INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHETUMAL
PARA LAS CARRERAS DE:
CONTADOR PÚBLICO INGENIERÍA EN ADAMINISTRACIÓN LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN
CUADERNILLO DEL CURSO DE NIVELACIÓN 2014
A LOS ESTUDIANTES
El presente Curso de Nivelación forma parte del ingreso al Instituto Tecnológico de Chetumal y está dirigido a los aspirantes que han sido aceptados en las carreras de licenciatura.
El objetivo del curso es profundizar y aumentar los conocimientos matemáticos que se estudian en las distintas Instituciones de Educación Media Superior, de manera que todos los estudiantes puedan acceder a los primeros semestres de su carrera con un adecuado nivel de conocimientos y de dominio, tanto en los conceptos como en los métodos matemáticos y lograr un mejor desempeño académico durante su formación profesional.
Para realizar el repaso de estos tan necesarios conocimientos, que se utilizan en las materias de las distintas carreras, se trabaja con las nociones básicas. En cada tema tratado se incluyen ejercicios resueltos que el estudiante deberá desarrollar y comparar sus resultados con los aquí presentados.
Para lograr terminar su carrera profesional, es indispensable que el estudiante verdaderamente lo desee y este convencido de realizar el esfuerzo para estudiar y adquirir los conocimientos necesarios de su profesión. Este curso es el primer paso para lograr esta meta.
Bienvenido al Instituto Tecnológico de Chetumal.
ÍNDICE
TEMA I. ALGEBRA ... 4
I. EXPONENTES ... 4
1.1. LEYES DE EXPONENTES ... 4
II. PRODUCTOS NOTABLES ... 7
2.1. BINOMIO AL CUADRADO ... 7
2.2. BINOMIO AL CUBO ... 7
2.3. BINOMIOS CONJUGADOS ... 8
2.4. BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN ... 8
III. FACTORIZACIÓN ... 9
3.1. FACTOR COMÚN ... 10
3.2. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS ... 11
3.3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP) ... 13
3.4. POLINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c ... 15
3.4.1. Cuando a=1. ...15
3.4.2. Cuando a≠1 ...16
3.5. DIFERENCIA DE CUADRADOS ... 18
3.6. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS... 19
IV. FRACCIONES ALGEBRAICAS ... 20
4.1. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ... 21
V. RADICALES ... 22
5.1. SIMPLIFICACION DE RADICALES... 22
VI. GRAFICACIÓN DE RECTAS Y SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ... 23
6.1 GRAFICACIÓN DE RECTAS ... 23
VII. ECUACIONES CUADRÁTICAS... 24
7.1 APLICACIÓN DE FACTORIZACIÓN SIMPLE ... 24
7.2 FÓRMULA GENERAL ... 25
VIII. DESPEJE DE FÓRMULAS Y REGLA DE TRES ... 25
veces n
n
a a a a a
3
3 3
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
a b a b a b a b a a a b b b a b
TEMA I. ALGEBRA
I. EXPONENTES Exponentes enteros
Los exponentes enteros son una forma de expresar la multiplicación de una expresión por sí misma un número determinado de veces.
Definición:
A la letra a se le llama la base y a la letra n se le llama exponente.
Veamos algunos ejemplos
Base 2, exponente 3 Base 5, exponente 7
Base y, exponente 6
1.1. LEYES DE EXPONENTES
Las leyes de exponentes nos permiten evaluar y simplificar expresiones matemáticas. La tabla siguiente nos ilustra cuales son:
Descripción Expresión Ilustración de la ley
1) Producto de dos factores con igual base
2) Producto de dos factores elevado a un exponente
3) El cociente elevado a un exponente
n n
n
a a
b b
5
5 5
a a a a a a
b b b b b b
a a a a a b b b b b a
b
4)Expresión exponencial elevado a su vez a un exponente
( a
n m) a
n m
5 2
2
210
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
5) El cociente de dos expresiones exponenciales
n
n m m
a a
a
6 4
2
a a a a a a a a a a a a
a a a
6) Cero como
exponente donde
a 0
0
1
a
2 2
a a a a a a
7) Exponentes enteros negativos
n
1 a
na
3 25 3
1
a a a
a a a a a a a a
EJEMPLOS: Simplifique la expresión Ejemplo 1:
Observe que para resolver este tipo de expresión algebraica utilizaremos la ley #5 y propiedades de la multiplicación de expresiones racionales.
Solución:
Ejemplo 2:
Solución:
Ejemplo 3:
Determina el valor numerico de la expresion Solución:
Ejemplo 4:
Determina el valor numérico de
Solución:
Ejemplo 5:
Determina el valor numérico de
Solución:
Ejemplo 6:
Determina el valor numérico de
Solución:
Ejercicios de taller de exponentes Simplifica las siguientes expresiones
Ejercicio Solución
1. =
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. Efectuando
II. PRODUCTOS NOTABLES
En matemáticas, continuamente encontramos expresiones que mantienen la misma mecánica, son tan repetitivas que no necesitamos realizar la operación para conocer su respuesta, a este tipo de operaciones se les llama notables, y puede encontrarse su respuesta con un mínimo de esfuerzo.
El primer producto notable que consideramos es: Binomio al cuadrado
2.1. BINOMIO AL CUADRADO
Básicamente se escriben así:
Se lee, cuadrado de un binomio
Como se puede ver en ambos casos se sigue la misma mecánica y si se sustituye “a” o “b” o ambos por expresiones que incluyan tanto números como letras seguirán exactamente la misma mecánica. Se puede acortar como:
Que se leen respectivamente:
El cuadrado de la suma de dos cantidades ( (a+b)2) es igual al cuadrado de la primera (a2) más el doble producto de ellas (2ab) más el cuadrado de la segunda (b2).
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades ( (a - b)2 ) es igual al cuadrado de la primera (a2) menos el doble producto de ellas (-2ab) más el cuadrado de la segunda (b2).
Ejemplo:
2.2. BINOMIO AL CUBO
Las siguientes son las formas básicas de los cubos de binomio.
EJEMPLO
2.3. BINOMIOS CONJUGADOS
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades conocido como binomios conjugados.
Básicamente se escriben así:
Se lee: la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados
Ejemplo:
Como puede verse en el último ejemplo se puede convertir un polinomio de más de dos términos en un binomio con solo usar paréntesis y tomar lo que se encuentra en el paréntesis como un todo.
2.4. BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN
Tenemos los binomios (m + c) (m + b), donde “m” es el termino común, ahora desarrollamos la multiplicación. Como notable nos queda:
Se lee: El producto de dos binomios con un término en común es igual al cuadrado de ese término, más el producto de este por la suma algebraica de los otros dos, más el producto de estos.
Ejemplo:
Ejercicios taller de productos notables Realiza los productos notables
Escribir por simple inspección, el resultado de:
1.
Solución: (Desarrollando el cuadrado de la suma)
2.
Solución:
3.
Solución:
) 4.
5.
Solución:
6.
7.
8.
Solución:
9.
III. FACTORIZACIÓN
Antes de comenzar directamente con los casos de factorización vamos a necesitar algunas definiciones:
Factor: Cuando un polinomio se escribe como producto de otros polinomios, cada polinomio del producto es un factor del polinomio original.
Factorización: Es el proceso con el cual expresamos un polinomio como un producto.
Primo: Se dice que un polinomio es primo o irreducible cuando no puede escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo.
Al factorizar un polinomio el objetivo es expresarlo como un producto de polinomios primos o potencias de polinomios primos, tratando principalmente de trabajar con los números enteros.
La factorización juega un papel importante en una gran cantidad de aplicaciones de la matemática, pues nos permite convertir expresiones muy complicadas en expresiones más simples facilitando así su estudio. Para factorar un monomio se realiza por pura inspección, separando los números y las letras entre sí.
Prueba general de los factores
En cualquiera de los casos de factores la prueba es la misma: multiplicación de los polinomios primos para ver si el resultado es el polinomio original.
3.1. FACTOR COMÚN
Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio. Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor. Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas.
Ejemplo:
Como puede verse el cinco es el común numérico y la “x” la única letra común en este polinomio, como dos es el menor exponente de “x” es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor común .Nos queda como respuesta:
Ejemplos:
Encontrar el factor común de los siguientes términos:
1.
2.
3 . 4 .
Ejercicios taller factor común
1. Encontrar un factor común en 2a+4
Paso 1. Buscamos el factor común de 2a y 4.
Como el factor común de 2a y 4 es 2, procedemos a factorizarlo:
2. Encontrar un factor común en a+a2
Paso 1. Buscamos el factor común de a y a2
Como el factor común de a y a 2 es a, procedemos a factorizarlo:
3. Encontrar el factor común en b2 + b3
Paso 1. Buscamos el factor común en b2 y b3
Como el factor común en b2 y b3 es b2, procedemos a factorizarlo:
4. Encontrar un factor común en 3a + 4a2 + 5a3 Paso 1. Buscamos el factor común en 3a, 4a2 y 5a3.
Como el factor común de 3a, 4a2 y 5a3 es a, procedemos a factorizarlo:
x
5
5. Encontrar un factor común en 5x3 + 2x - 3x2 Paso 1. Buscamos el factor común en 5x3, 2x y 3x2
Como el factor común de 5x3, 2x y 3x2 es x, procedemos a factorizarlo:
6. Encontrar un factor común en 4b - 12b2 +8b3
Paso 1. Buscamos el factor común en 4b, 12b2 y 8b3
Como el factor común de 4b, 12b2 y 8b3 es 4b, procedemos a factorizarlo:
7. Encontrar un factor común en 5m2 +10m3 -15m5
Paso 1. Buscamos el factor común en 5m2, 10m3 y 15m5
Como el factor común de 5m2, 10m3 y 15m5 es 5m2, procedemos a factorizarlo:
En esta serie de problemas, debemos factorizar un binomio, que sin embargo sigue con la misma idea que los anteriores problemas, es decir, se aplica la ley distributiva: a(b+c)=ab+ac.
1. Factorizar x(m+n) + y(m+n)
Paso 1. Buscamos el factor común entre x(m+n) y y(m+n), como el factor común es (m+n), podemos factorizarlo:
2. Factorizar a(x-y) + b(x-y)
Paso 1. Buscamos el factor común, que es (x-y), podemos factorizarlo:
3. Factorizar r(m+n) –s(m+n)
Paso 1. Buscamos el factor común, que es (m+n), podemos factorizarlo:
4. Factorizar x(a+b) –a – b
Paso 1. Factorizamos el -1 de –a-b
Paso 2. Buscamos el factor común de x(a+b) y (a+b), como es (a+b), entonces:
5. Factorizar a(c-d) + xc - xd
Paso 1. Factorizamos la x de xc-xd
Paso 2. Buscamos el factor común de a(c-d) y x(c-d), que es (c-d) entonces:
6. Factorizar a(m+2n) + bm + 2bn Paso 1. Factorizamos la b de bm+2bn
Paso 2. Localizamos el factor común (m+2n), entonces:
3.2. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.
Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas.
Agrupo los términos que tienen un factor común
Saco el factor común de cada grupo
a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:
( 2x -y +5 )(a + b) Que es nuestra respuesta.
Ejemplos:
m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1) Ejercicios taller agrupación de términos
1. Factorizar 2xy + y - 6x – 3
2. Factorizar 3mn + 15n -4m -20
3. Factorizar 2a2 +6a – 3ab – 9b
4. Factorizar m(4x-1) + 12x – 3
Paso 1. Factorizamos el 3 de 12x – 3
Paso 2. Localizamos el factor común (4x-1), entonces:
5. Factorizar y(5x+2) – 15x - 6
Paso 1. Factorizamos el 3 de 15x + 6:
Paso 2. Localizamos el factor común (5x+2), entonces:
3.3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP)
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
Es un trinomio cuadrado perfecto. El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x)2=36x2, el último es el cuadrado de y2 pues (y2)2=y4, y el segundo término es el doble producto de las bases de estos cuadrados, es decir 6x y y2, pues 2*6x*y2=12xy2.
En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:
O también así
Ambas son respuestas aceptables.
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Ejemplos:
Ejercicios taller factorización trinomios cuadrados perfectos 1. Factorizar
a) es el cuadrado de x.
b) 2xy es el término donde aparece x
c) 2y es la parte restante de x del término anterior d) y es la mitad de esa parte restante
e) es el cuadrado de esa mitad
f) es en efecto, el tercer término del trinomio.
Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.
2. Factorizar
a) es el cuadrado de x.
b) 4x es el término donde aparece x
c) 4 es la parte restante a x del término anterior d) 2 es la mitad de esa parte restante
e) es el cuadrado de esa mitad
f) 4 es en efecto, el tercer término del trinomio Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.
3. Factorizar
a) es el cuadrado de 2x.
b) 12x = 6*2x es el término donde aparece 2x c) 6 es la parte restante a 2x del término anterior d) 3 es la mitad de esa parte restante
e) es el cuadrado de esa mitad
f) 9 es en efecto, el tercer término del trinomio Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.
4. Factorizar
a) es el cuadrado de
b) es el término donde aparece
c) 6b es la parte restante a del paso anterior d) 3b es la mitad de esa parte restante
e) es el cuadrado de esa mitad f) es en efecto, el tercer término del trinomio
Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.
5. Factorizar a)
b) c)
d) es la mitad de esa parte restante.
e) f)
Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.
Creación de trinomios cuadrados perfectos
Existe una manera de lograr trinomios cuadrados perfectos a partir de binomios si simplemente les sumamos y restamos el término que le haga falta.
1. Si tenemos un binomio cuyos dos factores tengan raíces cuadradas se siguen los siguientes pasos para la creación de un trinomio cuadrado perfecto:
Se les extrae la raíz cuadrada a los dos términos.
Se encuentra el doble producto de estas raíces.
Este doble producto se suma y se resta a los dos términos que son cuadrados perfectos.
Ejemplo:
2. Si tenemos un binomio de la forma x2 + bx hace falta completarlo con el cuadrado de la mitad del coeficiente de la raíz del término de la derecha.
Ejemplo:
Pero para que el resultado original del polinomio no varíe se le debe restar lo que se añadió.
3.4. POLINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c
3.4.1. Cuando a=1.
Ejemplo explicativo: Factorizar
Ejemplos:
Detengámonos un poco en los últimos dos ejemplos. En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado “x” no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque “x”
es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple letra, este puede ser también un polinomio completo. Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica es bastante elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos, una herramienta bastante útil es descomponer este número en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos que busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica. Así:
En el cuarto ejemplo se observa que el término “c” no es un simple numero sino que tiene una forma , en este caso no se ha hecho ninguna diferencia simplemente se ha tomado como factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta 98m2 y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos.
Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa, ya sea números, letras, o polinomios. Sólo se necesita que se cumplan las reglas indicadas.
3.4.2. Cuando a≠1 Ejemplo explicativo:
Factorizar 1er paso 2° paso 3° paso
4° paso
5° paso
Simplificar Ejemplos: Factorizar
Siempre que sea posible hay que realizar la división indicada que nos queda, sin olvidar que los factores del denominador dividen a todos los términos del binomio correspondiente.
Ejercicios de taller de factorización de trinomios de la forma ax2+bx+c, en los casos que a=1 y a≠1.
1. Factorizar x2 +4x+3 a) 3 y 1 suman 4 b) 3 por 1 da 3 c) Por lo tanto,
2. Factorizar x2-4x+3 a) -3 y -1 suman -4 b) -3 por -1 da 3 c) Por lo tanto,
x2-4x+3=(x-3)(x-1) 3. Factorizar x2+3x-10
a) 5 y -2 suman 3 b) 5 por -2 da -10 c) Por lo tanto,
x2+3x-10=(x+5)(x-2)
2
a) 4 y -2 suman -2 b) 4 por -2 da -8 c) Por lo tanto,
x2-2x-8=(x-4)(x+2) 5. Factorizar x2+x-20
a) 5 y -4 suman 1 b) 5 por -4 da -20 c) Por lo tanto,
x2 +x-20=(x+5)(x-4) 6. Factorizar x2-x-12
a) -4 y 3 suman -1 b) -4 por 3 da -12 c) Por lo tanto
x2-x-12=(x-4)(x+3) 7. Factorizar x2+7x+6
a) 6 y 1 suman 7
b) 6 por 1 da 6 c) Por lo tanto
x2+7x+6=(x+6)(x+1) 8. Factorizar x2-2x-24
a) -6 y 4 suman -2 b) -6 y 4 da -24 c) Por lo tanto
x2-2x-24=(x-6)(x+4) 9. Factorizar a2+5a+6
a) 3 y 2 suman 5 b) 3 por 2 da 6 c) Por lo tanto
a2+5ª+6=(a+3)(a+2) 10. Factorizar b2-7b+12
a) -4 y -3 suman -7 b) -4 por -3 da 12 c) Por lo tanto
b2-7b+12=(b-4)(b-3) 11. Factorizar c2-4c+3
a) -3 y -1 suman -4 b) -3 por -1 da 3 c) Por lo tanto
c2-4c+3=(c-3)(c-1) 12. Factorizar 2x2 + 7x+ 3 R: ( 2x + 1)(x + 3) 13. Factorizar 2y2 + 9y + 4 R: (2y + 1)(y + 4) 14. Factorizar 3z2 - 14z – 5 R: (z - 5)(3z + 1) 15. Factorizar 4x2 - 29x + 7 R: (4x - 1)(x - 7) 16. 5x2 + 12x– 9 R: (5x-3)(x+3)
17. Factorizar 6y2 + 17y +12 R: (3y + 4)(2y + 3) 18. Factorizar 7x2 - 46x – 21 R: (x - 7)(7x + 3)
19. Factorizar 8y2 +24y – 32 R: (4y+ 16)(2y- 2)=8(y+4)(y-1)
3.5. DIFERENCIA DE CUADRADOS
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. Al estudiar los productos notables teníamos que:
En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este tema es el caso contrario:
Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.
Pasos:
1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término del binomio negativo es la raíz del término del binomio que es negativo).
Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
3.6. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
FORMAS BASICAS:
SUMA: a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)
DIFERENCIA : a3-b3= ( a-b)( a2+ab+b2)
1. Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio 2. Se forma un producto de dos factores.
3. Los factores binomios son la suma o diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio.
4. Los factores se determinan así:
El cuadrado de la primera raíz menos (para la suma), o más (para la diferencia) el producto de estas raíces para el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo 1: Factorizar La raíz cúbica de:
La raíz cúbica de:
Ejemplo 2. Factorizar La raíz cúbica de:
La raíz cúbica de: 64 es 4
Ejemplo 3: Factorizar La raíz cúbica de:
La raíz cúbica de:
Según procede
Ejemplo 4: Factorizar y3 - 27 La raíz cúbica de: y3 es y La raíz cúbica de: 27 es 3
Ejemplo 5: Factorizar 125x3 - 1000 La raíz cúbica de: 125x3 es 5x La raíz cúbica de: 1000 es 10
Ejemplo 6: Factorizar 216x9y12z15 - 343m30w18a La raíz cúbica de: 216x9y12z15 es 6x3y4z5 La raíz cúbica de: 343m30w18a es 7m10w6a
Ejercicios taller de factorización de suma y diferencia de cubos 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
IV. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Definición:Una fracción algebraica es una expresión de la forma donde a y b son polinomios.
O también, es toda expresión de la forma
) (
) (
x q
x
r
, donde r(x), q(x)
P(x); q(x) 0.El polinomio r(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica.
Son fracciones algebraicas:
Existen tres signos asociados en una fracción algebraica:
El signo del numerador
El signo del denominador
Y el signo resultante de la operación de la fracción Es decir:
De lo anterior se observa que se pueden hacer cambios en los signos de una fracción, sin que ésta se altere.
4.1. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.
Por ejemplo: Simplificar
Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, ,
Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.
Por ejemplo: Simplificar
Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo.
En este caso el método adecuado es sacar factor común así
Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas
1. Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes
2.
3. En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor común en el numerador e en el denominador
4. , aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma.
5. , aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia
Ejercicios propuestos: Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas
(1) 4
2 3
ab 20
b a
15
(2) 3 2 23 2 4
n m n m
n m n m
(3) 5 8
7 5 4
d ac 11
d c a
121
(4)24 b 16 a 8
(5) 2 2
2 2
b 3 ab 5 a 2
b 32 ab 56 a 16
(6)
2
43 3
n m 18
mn 12
(7)
36 m 48 n n 36 m 27
(8)
xy x x x
2
(9)
3 a 3 b b ab 2
a
2 2
(10)2
2
8 pq 2 q
p 8
q 2 p 4
(11)
x 2 x
6 x 5 x
2 2
(12) 2 23 3
b a
b a
(13)
140 15
5
42 27 3
2 2
x x
x
x
(14)y 10 xy 3 y x 4
y 25 y x 16
2 2
V. RADICALES
5.1. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
SIMPLIFICAR UN RADICAL. Es reducirlo a su más simple expresión.
Un radical está reducido a su más simple expresión cuando la cantidad subradical es entera y del menor grado posible
Para simplificar radicales debe tenerse muy presente que para extraer una raíz a un producto se extrae dicha raíz a cada uno de sus factores, o sea · = En la simplificación de radicales consideraremos los dos casos siguientes:
CASO I: Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible entre el índice de la raíz.
1).- Simplificar
= · · = 3a o también:
= 3a
2).- Simplificar 2
2 = 2 = 2 · ·
2 · 5 · · · = 10
En la práctica no se indican las raíces, sino que una vez arreglados los factores de la cantidad subradical, aquellos cuyo exponente sea divisible entre el índice, se sacan del radical dividiendo su exponente entre el índice.
3).- Simplificar
= = =
Ejercicios:
Simplificar: 1).- 2 2).- 3 3).-
CASO II: Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común.
1).- Simplificar R. = = · =
2).- Simplificar ; R = = · = · · =
3).- Simplificar R. = =
Ejercicios.
Simplificar: 1).- 2).- 5 3).-
VI. GRAFICACIÓN DE RECTAS Y SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Se llama ecuación lineal con dos incógnitas a cualquier expresión de la forma: ax+by=c donde a, b y c son números reales cualesquiera y x e y son las incógnitas
Toda ecuación lineal con dos incógnitas representa una línea recta o, simplemente, recta.
6.1 GRAFICACIÓN DE RECTAS
Para graficar una recta basta con hallar dos de sus puntos, despejando y, dándole dos valores a x, sustituyendo dichos valores en la ecuación y calculando los correspondientes valores de y.
Posteriormente en el plano cartesiano se localizan dichos puntos y con el borde de una regla se traza una línea que una a los puntos.
Ejercicios.
Graficar las siguientes ecuaciones lineales:
5x - 3y = 0; b) 3x+4y=12; c) x-3=0; d) y=2
Se le llama sistema de ecuaciones lineales al conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.
Casos en la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
SOLUCION UNICA INFINITAS SOLUCIONES SOLUCION INCONSISTENTE
APLICACIONES:http://webpages.ull.es/users/amontes/cabri/inter-rc.htm
http://tutormatematicas.com/archivoCAR/archivoCAR_alg/Interactivo_Forma_Pendiente_Intersecci on_Linea_Recta.html
VII. ECUACIONES CUADRÁTICAS
Las siguientes expresiones algebraicas son ejemplos de ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado con una incógnita:
x2 + 2x – 8 = 0, 4x2 + 12x – 8 = 0 , x2 + 12x = 0, 4x2– 8 = 0, x2 + 3x – 2 = 0, 3x2 – 5x = 20, x2 – x – 12 = 0.
Solución de ecuaciones cuadráticas.
Ecuaciones cuadráticas completas como las anteriores, que tienen la forma, , pueden resolverse: a) Por factorización, b) Mediante la fórmula general. (Otro método empleado se denomina completando cuadrados el cual no se muestra en este material).
7.1 APLICACIÓN DE FACTORIZACIÓN SIMPLE
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios.
Luego, se busca el valor de x de cada binomio que los hace igual a cero, estas son las soluciones
o raíces de la ecuación cuadrática.
Ejemplo:
Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0. Aplicando la factorización de expresiones de la forma , en el caso cuando , su buscan dos números cuyo producto sea -8 y sumados den 2.
(x + 4 ) (x – 2) = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones o raíces.
7.2 FÓRMULA GENERAL
Este método es muy simple, hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática en la siguiente fórmula:
Ejemplo:
Resolver mediante la fórmula general la siguiente ecuación cuadrática x2 + 2x – 8 = 0 ; a = 1, b
= 2, c = -8
x = -2 ± 6 2
X = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2
x = 4 x = -8 2 2
x = 2 x = - 4 Estas son las dos soluciones o raíces.
Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando la fórmula general o por factorización según sea el caso:
x2 + 2x – 8 = 0, 4x2 + 12x – 8 = 0 , x2 + 12x = 0, 4x2– 8 = 0, x2 + 3x – 2 = 0, 3x2 – 5x = 20, x2 – x – 12 = 0.
OBSERVACIÓN.- La resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general se puede emplear para resolver cualquier ecuación cuadrática, mientras que el de factorización sólo es aplicable cuando las raíces son números enteros.
VIII. DESPEJE DE FÓRMULAS Y REGLA DE TRES
Los términos son expresiones que constan de uno o varios símbolos no separados por los signos de más (+) o menos .
Una ecuación es una igualdad en donde están involucrados varios términos.
Una ecuación está dividida en dos partes, el primer miembro que está a la izquierda de la igualdad y el segundo miembro que está a la derecha de la igualdad.
Una fórmula es una ecuación que expresa una ley o principio general.
Ejemplo: La ecuación V = + , es la fórmula para determinar la velocidad de un objeto, en la que tenemos tres términos, que hemos señalado en los recuadros:
V = +
Las variables son cada una de las posibles incógnitas de la ecuación, que en este ejemplo son V,
, .
Despejar consiste en modificar una ecuación hasta que la variable seleccionada quede sola en uno de los miembros de la igualdad.
Para efectuar el despeje de una variable se aplica el axioma fundamental de las ecuaciones:
“Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales”.
Como resultado directo de este teorema tenemos que para cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro, aplicamos la siguiente regla:
Si un término en un miembro está sumando restando
restando sumando
multiplicando dividiendo
dividiendo multiplicando
Las siguientes reglas tienen plena justificación, debido a que los números reales son un campo.
En forma general se consideran para toda ecuación algebraica simplificada a su mínima expresión.
Procedimiento General.
Estos pasos deben aplicarse en el orden en que se presentan para obtener un despeje correcto.
1. Si existen diversos denominadores, para eliminarlos debes hallar el común denominador A AMBOS LADOS de la fórmula. Multiplica la ecuación por este común denominador y
simplificar cada término.
2. Lleva TODOS los términos que tengan la variable a despejar a un sólo lado de la fórmula, y los demás términos al otro lado; debes tener en cuenta que cuando pasas de un lado al otro los términos que estaban sumando pasan a restar y viceversa.
.
3. Suma los términos semejantes (si se puede).
4. Si la variable a despejar se encuentra en el denominador cambiarla al otro lado.
1er miembro 2do miembro
Términos
pasa al otro miembro
5. Aislar el término donde está la variable a despejar en alguno de los miembros.
6. TODOS los números y/o variables que acompañan la incógnita a despejar, pasan al otro lado, a realizar la operación contraria: si estaban dividiendo pasan a multiplicar y viceversa.( OJO: En este caso NUNCA se cambia de signo a las cantidades que pasan al
otro lado)
7. Si la variable queda negativa, multiplica por (-1) a AMBOS lados de la fórmula para volverla positiva (en la práctica es cambiarle el signo a TODOS los términos de la fórmula)
8. Si la variable queda elevada a alguna potencia (n), debes sacar la raíz (n) a AMBOS lados de la fórmula para eliminar la potencia.
Ten en cuenta que no siempre es necesario aplicar todos los pasos para despejar una incógnita.
Ejemplo:
En la ecuación x= (at²)/2 a) Despejar “a”
Solución:
x = (at²)/2 2x = t² =
b) Despejar "t"
Solución
x = (at²)/2
Ejemplos:
1.-Despejemos x en la ecuación z= r t − wa + dxdy 2. Encontremos el valor de z en la ecuación xs=rtz 3. Encontremos el valor de «y» en la ecuación r+y−s=q 4.- Despejar c en la ecuación
5.- Despejar en .
6.- Despejar c en .
Regla de tres simple
En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor. Y,
y
La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos casos.
Regla de tres simple directa
La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, la regla de tres establece una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:
Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar:
y diremos que: A es directamente proporcional a B, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A.
Imaginemos que se nos plantea lo siguiente: Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?
Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así:
Regla de tres simple inversa
En la regla de tres simple inversa, en la relación entre los valores se cumple que:
donde, e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:
y diremos que: A es inversamente proporcional a B, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X.
Si por ejemplo tenemos el problema: Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar el mismo muro?
Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).
El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece constante.
Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres
simples inversas, tenemos:
Campo de aplicación
Como se ha comentado, la regla de tres es un mecanismo sencillo y extremadamente útil que sólo se puede establecer cuando existe una relación de linealidad entre los valores que pueden tomar las variables que intervienen. Sin embargo no es siempre fácil averiguar si existe tal relación, de modo que es necesario utilizar para ello el sentido común y la experiencia.
Ejemplos
Para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres: Ubicamos la incógnita en la primera posición:
Esto formaliza la pregunta "¿Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180 grados?". Así tenemos que:
Donde π es el Número π.
Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X es igual al producto de los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que está frente a X.
Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos: El resultado es:
