Taller 4
Probabilidades para Enseñanza Media
Resumen
. En este taller se llegará, de manera intuitiva, a la definición de probabilidad clásica y geométrica. Mediante ejercicios se conocerán las paradojas de Simpson, la del falso positivo, la de Bertrand y la de de Méré.Conceptos: Probabilidad clásica, probabilidad geométrica.
1. Introducción
Juego 1. Si tu puedes sacar una mesa (sin desarmarla) por la puerta, entonces ganas 100 lucas, si no las pierdes. ¿Jugarías?
Es muy fácil saber si jugamos porque sabemos medir bien el espacio, sobre todo si éste no varía.
Juego 2. Si tu lanzas dos monedas y obtienes 2 caras, entonces ganas 100 lucas, si no pierdes 40 lucas. ¿Jugarías?
Aquí es más difícil saber porque no sabemos exactamente qué ocurrirá.
Por tanto, necesitamos saber cuántas veces salen dos caras en el lanzamiento de dos monedas.
Ejercicio 1. Lancen dos monedas y cuenten la cantidad de caras que salieron. ¿Después de ver el resultado, jugarías el juego 2?, y ¿si lo que ocurrió fue por casualidad?
En el ejercicio anterior ganamos x veces y perdimos n - x. Luego, según lo visto, si hubiéramos jugado el juego 2 estas n veces tendríamos
40 ) (
100 n x
x − − lucas.
Por lo que en promedio, por cada jugada, tendríamos
n x n x100−( − )40
lucas.
Sin embargo, en los juegos de verdad no podemos hacer una prueba previa como la que hicimos en el ejercicio anterior. Por lo que debemos saber si vamos a jugar antes de hacer alguna prueba.
Luego, es necesario medir la frecuencia de eventos sin tener que hacer ensayos previos.
A esa medida la llamaremos probabilidad.
2. Probabilidad Clásica
A cada resultado posible de un juego (o un experimento) queremos asignarle un peso numérico o probabilidad para medir la posibilidad de que aparezca.
Ejercicio 2. ¿Qué número le asignarían a la posibilidad de obtener una cara en el lanzamiento de una moneda?
¿Qué número le asignarían a la posibilidad de que la moneda caiga parada?
¿Qué número le asignarían a la posibilidad de obtener una cara o una cruz en el lanzamiento de una moneda?
Del ejercicio anterior tenemos que la probabilidad debería ser un número que sea el mismo para los resultados que tienen igual posibilidad de ocurrir, debe ser mayor o igual a cero y menor o igual a uno.
Ejercicio 3. ¿Qué probabilidad le asignarían a obtener un 3 en el lanzamiento de un dado?
¿Qué probabilidad le asignarían a obtener un número menor que 3 en el lanzamiento de un dado?
¿Qué probabilidad le asignarían a obtener un número par en el lanzamiento de un dado?
Definición 1. La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de los resultados elementales que conforman dicho suceso.
Probabilidad clásica o regla de Laplace: Si todos los resultados elementales de un experimento tienen igual posibilidad de ocurrir, la probabilidad de que ocurra un evento E es
donde n es el número de resultados elementales que componen el evento E y n es el E total de posibles resultados elementales del experimento.
La idea de la probabilidad es medir la frecuencia con que ocurrirían los resultados de un experimento si lo repitiéramos infinitamente bajo las mismas condiciones.
3. Paradoja de Simpson
Juego 3
1. Hay dos urnas, una negra y una blanca. La urna negra tiene 5 bolas rojas y 6 verdes. La urna blanca tiene 3 bolas rojas y 4 verdes. Debemos escoger una de las dos urnas para extraer una bola al azar, y si la bola extraída es roja obtenemos un premio. ¿De cuál urna es conveniente sacar la bola?
2. Hagamos el mismo juego, pero ahora la urna negra tiene 6 bolas rojas y 3 verdes y, la urna blanca tiene 9 bolas rojas y 5 verdes.
3. Ahora hagamos una urna negra con la suma de las bolas de las dos urnas negras y, lo mismo con las urnas blancas. De esta manera tenemos una urna negra con 11 bolas rojas y 9 verdes y, una urna blanca con 12 bolas rojas y 9 verdes. ¿De cuál de estas nuevas urnas es conveniente sacar la bola?
4. Paradoja del falso positivo
1Supongamos que una extraña enfermedad afecta a uno de cada 1000 habitantes de una población, o sea, al seleccionar al azar a una persona de esa población la probabilidad de que esté enferma es P (E) = 0;001. La letra E significa que el individuo seleccionado está enfermo.
Supongamos que existe una prueba fiable, pero no infalible, para detectar la enfermedad:
• La prueba resulta positiva en un 99% de los enfermos, o sea, P (+ |E) = 0;99. El signo + significa que el individuo seleccionado obtuvo un resultado positivo.
• La prueba también produce falsos resultados positivos en un 2% de los casos, o sea, P (+ |S) = 0;02. La letra S significa que el individuo seleccionado está sano.
Ejercicio 4 Si bajo las condiciones anteriores tu recibes un resultado positivo de la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que tengas la enfermedad?
5. Probabilidad Geométrica
2Antes de presentar la siguiente paradoja es necesario conocer la definición geométrica de probabilidad.
1 Tomado del libro “La Estadística en Cómic" de L. Gonick y W. Smith. Zendrera Zariquiey, Barcelona. 1999.
2 Tomado del libro “The Theory of Probability" de B. V. Gnedenko. Mir Publishers,
La definición clásica de probabilidad tiene la dificultad de que es útil solamente en un grupo finito e igualmente probable de eventos. La siguiente definición de probabilidad es útil en algunos ejemplos con un número infinito de resultados posibles. Como en la definición anterior, el concepto de “igual probabilidad" de algunos eventos juega un papel importante en esta definición.
Objetivo principal. Consideremos una cierta región G sobre un plano y, dentro de ella, otra región g con una frontera rectificable. Entonces se tira un punto al azar sobre la región G y deseamos encontrar la probabilidad de que el punto caiga en la región g.
Figura 1.
La expresión “se tira un punto al azar sobre la región G" significa que dicho punto puede caer en cualquier punto de G, que la probabilidad de caer en cualquier porción de G es proporcional a la medida de esa porción (ya sea longitud, área, volumen, etc.) y es independiente de la posición y forma de esa porción.
Probabilidad geométrica: La probabilidad de que un punto tirado al azar sobre G caiga en g es igual a
) (
) ) (
( medida G g medida g
IP =
Figura 1
Ejercicio 5
Dos pololos acordaron reunirse en un lugar entre las 12:00 y 13:00 horas. El primero que llegue esperará por el otro sólo 20 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que los pololos se reunan si cada uno de ellos llega a la hora acordada de forma independiente3 y aleatoria?
Figura 2
Ejercicio 6 (Paradoja de Bertrand)
En un círculo se escoge una cuerda al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que su longitud exceda la longitud del lado del triángulo equilátero inscrito en el círculo?
6. Paradoja de de Méré
4Los dados, tal y como los conocemos en la actualidad, se hicieron muy populares en la edad media. Ya en el renacimiento, Chevalier de Méré le planteó un enigma matemático a su amigo Blaise Pascal. Para ese entonces Pascal había renunciado a las matemáticas, pero aceptó estudiar el problema de su amigo. Le escribió a su compañero Pierre de Fermat y en el transcurso de unas cuantas cartas, los dos ya habían desarrollado parte de la teoría clásica de probabilidades.
Ejercicio 7 (Paradoja de de Méré)
¿Qué es más probable: sacar al menos un 6 en cuatro tiradas con un solo dado, o sacar al menos un doble 6 en 24 tiradas con dos dados?
3Esto significa que el tiempo de llegada de uno de los pololos no afecta el tiempo de llegada del otro pololo.
4 Tomado del libro “La Estadística en Cómic" de L. Gonick y W. Smith. Zendrera Zariquiey, Barcelona. 1999.
