Efectuar las integrales Calcular, si existe, el límite Incluir el análisis de los extremos. Obtener el intervalo de convergencia de la serie 1221

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL SEGUNDO EXAMEN FINAL

COLEGIADO

9 de diciembre de 2016

1221

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es 2 horas.

1. Obtener el intervalo de convergencia de la serie

^{ }

1

3 2

n

x n n







15 Puntos

2. Calcular, si existe, el límite

0

1 1

lim

1

x ^

e x

 

   

 

15 Puntos

3. Efectuar las integrales:

 

3 3 6 a ) sen x cos x d x b ) x ln x d x c ) x d x

x x

 

 

  

30 Puntos

2EF17-1

4. Calcular el área de la región limitada por las curvas

2 2

: :

1 2 2

C y   x C y  x 

Hacer la representación gráfica de la región.

10 Puntos

5. Obtener el recorrido de la función

^{f x y}  ^,  ^{ x}

^{ y}

representar gráficamente su dominio.

10 Puntos

6. Determinar la máxima razón de cambio de la función

 ^,  ^cos

f x y  x y  y sen x

2 , 2 P    

 

 

20 Puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

1221

Solución del Segundo Examen Final Semestre 2017 – 1

1.

 

 

 

 

   

1 1 1

1

1 1

1 1

Sea

3

3 2 3

2

3 3 2 2

2

lim 3 1, de donde

2 -5<x<-1

Análisis de los extremos Si x=-5

2 1

2

que es divergente, según el criterio de Leibniz

si 1

2 1

2 que e

n

n n

n

n n n

n

n

n

n n

n n

n

n

n n

x

x x

r

x x

r x si

x

 



 





 

 

 

 

  

  

 

   

  

 



 

 

s divergente por compararla con la armónica Por lo que el intervalo es    5 x 1

15 puntos 2.

 

0

Si se efectúa el quebrado

1 0

podemos aplicar la regla 1 0

x x x

x e lim

 x e



   

  

  

 

S2EF17-1

0

0

1 0

volvemos aplicar la regla 1 0

1 2

x

x x

x

x

x x x

x

lim e

xe e lim e

xe e e









   

   

 

  

     

 

15 Puntos 3.

   

 

2 2 2

2

2

2 3

3 2

)

I= sen cos sen 2 sen cos cos

I= 1 2 sen cos sen

b) Por partes 2 ln

a Al desarrollar el binomio quedan dos intregr

2 ln 2

3

2 2

ales inmediata

I= ln

3 3

I

s

=

x x dx x x x x dx

x x dx

I x x C

x x dx

u x dv x dx

du dx v x

x

x x x dx

   



  

 

 



 







3 3

3

2 2

3 ln 9

2 1

I= ln

3 3

x x x C

x x C

 

   

 

 

S2EF17-1

  

  

   

   

  

2

3 2

c)Por fracciones parciales

1 1

3 3 6 3 2 1

1

2 1 2 1

1 1 2

2 1

1 2

3 3

1 1 2

3 3 2 3 1

1 ln 2 1

3

x x

x x x x

x A B

x x x x

x A x B x

Si x Si x

A B

I dx

x x

I x x C

  

   

   

   

     

  

 

 

     

   



30 Puntos

4.

2 2

2

1 2

Al hacer simultáneas las ecuaciones

2

2 2

1 1

x x

x

x x

  

  

  

-1 1

S2EF17-1

   

   

1 1

2 2 2

1 0

1 3 3

0

2 4 1

4 4

4 1 4 1

3 3

4 4

3

8 unidades de área 3

A x x dx x dx

A x x

A

A



 

       

      



  



 

10 Puntos 5.

  



El dominio tiene su expresión analítica como 0 por lo que la gráfica es:

D

 x, y | x   y

 

Y el recorrido es: R_f  z | z 0

10 Puntos

_______________________________________________________________________________________________

6.

^Sea  

0 1 por lo que 2

2 1

f p

f

f cos y y cos x , x sen y sen x , 



    

 

       

  

20 Puntos