Espacio cociente de un espacio normado

Espacio cociente de un espacio normado

1 Proposici´on (relaci´on de equivalencia inducida por un subespacio). Sea V un espacio vectorial y sea W un subespacio de V . Entonces la siguiente relaci´on binaria es una relaci´on de equivalencia:

x ∼ y =⇒ x − y ∈ W.

2 Proposici´on (las operaciones lineales y la relaci´on de equivalencia). Sea V un espacio vectorial y sea W un subespacio de V . Definimos ∼ como en la proposici´on anterior.

Entonces las operaciones lineales son congruentes con ∼, en el sentido que si x₁ ∼ x₂, y1 ∼ y₂, entonces x1 + y1 ∼ x₂+ y2, y λx1 ∼ λx₂.

3 Definici´on. Sea V un espacio vectorial y sea W un subespacio de V . El espacio co- ciente V /W se define como el conjunto de las clases de equivalencia respecto a la relaci´on definida en la Proposici´on 1. Las operaciones vectoriales en V /W se definen mediante representantes:

(x + W ) + (y + W ) := (x + y) + W, λ(x + W ) := (λx) + W.

Por la Proposici´on2, esta definici´on es consistente.

4 Proposici´on (espacio cociente de un espacio normado). Sea V un espacio normado y sea W un subespacio cerrado de V . Entonces la funci´on, definida mediante la siguiente f´ormula, es una norma en V /W :

kAk_{V /W} := ´ınf

x∈Akxk_V. La funci´on π : V → V /W , π(x) := x + W , es continua.

Demostraci´on. Demostremos la propiedad subaditiva de k · k_{V /W}. Sean A₁, A₂ ∈ V /W . Entonces para cualesquiera u en A₁ y v en A₂ tenemos u + v ∈ A₁+ A₂, luego

kA₁+ A₂k_{V /W} ≤ ku + vk_V ≤ kuk_V + kvk_V.

Pasando al ´ınfimo sobre u en A₁ y v en A₂, obtenemos kA₁ + A₂k_{V /W} ≤ kA₁k_{V /W} + kA2k_{V /W}.

La continuidad de π se sigue de la desigualdad kπ(x)k_{V /W} ≤ kxk_V.

5 Proposici´on (espacio cociente de un espacio de Banach). Sea V un espacio de Banach y sea W un subespacio cerrado de V . Entonces V /W es un espacio de Banach.

Espacio cociente de un espacio normado, p´agina 1 de 2

Demostraci´on. Sea (A_k)_k∈N una sucesi´on en V /W tal que X

k∈N

kA_kk < +∞.

Usando la definici´on de la norma en V /W , para cada k en N encontramos xk en A_k tal que kx_kk ≤ kA_kk_{V /W} + 2^−k. Entonces

X

k∈N

kx_kk ≤X

k∈N

kA_kk_{V /W} +X

k∈N

2^−k < +∞.

Como V es de Banach, la serieP

k∈Nx_k converge a un vector que denotemos por y. Luego para cada n en N tenemos quePn

k=1x_k− y es un elemento de la clasePn

k=1A_k− (y + W ), as´ı que

n

X

k=1

A_k− (y + W ) V /W

≤

n

X

k=1

x_k− y . Esto implica que l´ımn→∞Pn

k=1Ak = y + W .

Espacio cociente de un espacio normado, p´agina 2 de 2