Listas de vectores ortogonales y ortonormales
Objetivos. Estudiar propiedades b´asicas de listas ortogonales y ortonormales de vectores en un espacio vectorial V con producto interno.
Requisitos. Producto interno, norma inducida por un producto interno.
En esta secci´on V es un espacio vectorial real o complejo con un producto interno h·, ·i. En el caso complejo se supone que el producto interno es lineal respecto al segundo argumento.
Ortogonalidad de dos vectores
1. Definici´on (vectores ortogonales). Sean x, y ∈ V . Se dice que x es ortogonal a y y se escribe x ⊥ y si hx, yi = 0.
2. La ortogonalidad de dos vectores es una relaci´on binaria sim´etrica. Sean x, y ∈ V tales que x ⊥ y. Muestre que y ⊥ x.
Ortogonalidad de un vector a un conjunto
3. Definici´on (ortogonalidad de dos conjuntos de vectores). Sean X, Y ⊂ V . Se dice que X es ortogonal a Y y se escribe X ⊥ Y , si todo vector de X es ortogonal a todo vector de Y :
X ⊥ Y ⇐=def=⇒ ∀x ∈ X ∀y ∈ Y x ⊥ y.
4. Definici´on (ortogonalidad de un vector a un conjunto). Sea v ∈ V y sea X ⊂ V . Decimos que v es ortogonal al conjunto X y escribimos v ⊥ X si v es ortogonal a cualquier vector del conjunto X:
v ⊥ X ⇐=def=⇒ ∀x ∈ X v ⊥ x.
5. Ejercicio: ¿cu´al vector es ortogonal a si mismo?. Encuentre todos los vectores u ∈ V que cumplen con la propiedad u ⊥ u.
6. Proposici´on (criterio de la ortogonalidad de un vector a todo el espacio).
Sea u ∈ V . Entonces
u ⊥ V ⇐⇒ u = 0.
7. Proposici´on (criterio de la ortogonalidad de un vector al subespacio gene- rado por un conjunto de vectores). Sea X ⊂ V y sea v ∈ V . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
v ⊥ `(X) ⇐⇒ v ⊥ X.
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Listas ortogonales y ortonormales de vectores
8. Definici´on (lista ortogonal de vectores). Una lista de vectores (a1, . . . , am) en V se llama ortogonal si ai ⊥ aj para todo i, j ∈ {1, . . . , m}, i 6= j.
9. Producto interno de dos vectores de una lista ortogonal. Sea (a1, . . . , am) una lista ortogonal. Demuestre que para cualesquiera j, k ∈ {1, . . . , m}
haj, aki = δj,kkajk2.
10. Normalizaci´on de un vector. Un vector a ∈ V se llama unitario o normalizado si kak = 1. Si v ∈ V \ {0}, entonces el vector v
kvk es normalizado.
11. Definici´on (lista ortonormal de vectores). Una lista de vectores (a1, . . . , ak) en V se llama ortonormal si hai, aji = δi,j para todos i, j ∈ {1, . . . , n}.
12. Observaci´on. Una lista de vectores es ortonormal si y s´olo si esta es ortogonal y todos sus elementos son normalizados (tienen norma 1).
13. Ejemplo. Los siguientes vectores del espacio R4 son ortogonales:
a1 =
1 1 1 1
, a2 =
1
−1 1
−1
, a3 =
−2 1 2
−1
.
Calculemos los productos internos:
ha1, a1i = 4, ha1, a2i = 0, ha1, a3i = 0, ha2, a1i = 0, ha2, a2i = 4, ha2, a3i = 0, ha3, a1i = 0, ha3, a2i = 0, ha3, a3i = 10.
Normalizando los vectores a1, a2, a3 obtenemos una lista ortonormal:
b1 = 1 2,1
2,1 2,1
2
>
, b2 = 1 2, −1
2,1 2, −1
2
>
, b3 =
− 2
√10, 1
√10, 2
√10, − 1
√10
>
. 14. Ejercicio. Muestre que la siguiente lista de vectores es ortogonal y normal´ıcela:
a1 =1, 2, −3, 1>, a2 =1, 3, 2, −1>, a3 =8, −3, 1, 1>.
15. Ejercicio. En el espacio vectorial complejo C([−π, π], C) con el producto interno hf, gi = 1
2π
π
Z
−π
f (x)g(x) dx
consideremos las funciones
ek(x) = ei kx= cos(kx) + i sen(kx).
Muestre que la familia de funciones (ek)k∈Z es ortonormal, esto es,
∀j, k ∈ Z hej, eki = δj,k.
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F´ ormula de Pit´ agoras–Parseval para sumas de vectores ortogonales
16. Teorema de Pit´agoras generalizado. Sean a1, . . . , am vectores ortogonales en V . Entonces
m
X
j=1
aj
2
=
m
X
j=1
kajk2.
Demostraci´on. Aplicamos la propiedad aditiva del producto interno y la condici´on que a1, . . . , am son ortogonales a pares:
m
X
j=1
aj
2
=
* m X
j=1
aj,
m
X
k=1
ak +
=
m
X
j=1 m
X
k=1
haj, aki =
m
X
j=1 m
X
k=1
δj,kkajk2 =
m
X
j=1
kajk2.
17. Tarea adicional. Demuestre el teorema anterior por inducci´on.
18. Ejercicio (f´ormula de Pit´agoras–Parseval). Sean a1, . . . , am vectores ortogonales y λ1, . . . , λm algunos escalares. Entonces
m
X
k=1
λkak
2
=
m
X
k=1
|λk|2kakk2.
Idea de soluci´on. Probar que los vectores λ1a1, . . . , λmam son ortogonales, aplicar el teo- rema de Pit´agoras generalizado y luego utilizar la f´ormula kλkakk = |λk|kakk.
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Combinaciones lineales de vectores ortogonales
La siguiente proposici´on es muy simple, pero sumamente importante.
19. Proposici´on (expresi´on a trav´es del producto interno de los coeficientes de una combinaci´on lineal de vectores ortogonales). Sean a1, . . . , am vectores ortogo- nales no nulos del espacio V y sea b una combinaci´on lineal de los vectores a1, . . . , am:
b =
m
X
j=1
λjaj. (1)
Entonces para todo k ∈ {1, . . . , m}
λk = hak, bi
kakk2. (2)
Demostraci´on. Calcular el producto interno hak, bi usando la f´ormula (1).
20. Corolario (expresi´on a trav´es del producto interno de los coeficientes de una combinaci´on lineal de vectores ortonormales). Sea (a1, . . . , am) una lista orto- normal y sea
b =
m
X
j=1
λjaj.
Entonces para todo k ∈ {1, . . . , m}
λk = hak, bi.
21. Proposici´on (cualquier lista ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente). Sea (a1, . . . , am) una lista ortogonal en V . Supongamos que ai 6= 0 para todo i ∈ {1, . . . , m}. Entonces la lista de vectores (a1, . . . , am) es linealmente independien- te.
Demostraci´on. Supongamos que λ1, . . . , λm son algunos escalares tales que
m
X
j=1
λjaj = 0. (3)
Apliquemos la f´ormula (2) de la proposici´on anterior con b = 0:
λk= h0, aki kakk2 = 0.
22. Corolario. Cualquier lista ortonormal es linealmente independiente.
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