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Listas de vectores ortogonales y ortonormales

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Academic year: 2022

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Listas de vectores ortogonales y ortonormales

Objetivos. Estudiar propiedades b´asicas de listas ortogonales y ortonormales de vectores en un espacio vectorial V con producto interno.

Requisitos. Producto interno, norma inducida por un producto interno.

En esta secci´on V es un espacio vectorial real o complejo con un producto interno h·, ·i. En el caso complejo se supone que el producto interno es lineal respecto al segundo argumento.

Ortogonalidad de dos vectores

1. Definici´on (vectores ortogonales). Sean x, y ∈ V . Se dice que x es ortogonal a y y se escribe x ⊥ y si hx, yi = 0.

2. La ortogonalidad de dos vectores es una relaci´on binaria sim´etrica. Sean x, y ∈ V tales que x ⊥ y. Muestre que y ⊥ x.

Ortogonalidad de un vector a un conjunto

3. Definici´on (ortogonalidad de dos conjuntos de vectores). Sean X, Y ⊂ V . Se dice que X es ortogonal a Y y se escribe X ⊥ Y , si todo vector de X es ortogonal a todo vector de Y :

X ⊥ Y ⇐=def=⇒ ∀x ∈ X ∀y ∈ Y x ⊥ y.

4. Definici´on (ortogonalidad de un vector a un conjunto). Sea v ∈ V y sea X ⊂ V . Decimos que v es ortogonal al conjunto X y escribimos v ⊥ X si v es ortogonal a cualquier vector del conjunto X:

v ⊥ X ⇐=def=⇒ ∀x ∈ X v ⊥ x.

5. Ejercicio: ¿cu´al vector es ortogonal a si mismo?. Encuentre todos los vectores u ∈ V que cumplen con la propiedad u ⊥ u.

6. Proposici´on (criterio de la ortogonalidad de un vector a todo el espacio).

Sea u ∈ V . Entonces

u ⊥ V ⇐⇒ u = 0.

7. Proposici´on (criterio de la ortogonalidad de un vector al subespacio gene- rado por un conjunto de vectores). Sea X ⊂ V y sea v ∈ V . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

v ⊥ `(X) ⇐⇒ v ⊥ X.

Listas de vectores ortogonales y ortonormales, p´agina 1 de 4

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Listas ortogonales y ortonormales de vectores

8. Definici´on (lista ortogonal de vectores). Una lista de vectores (a1, . . . , am) en V se llama ortogonal si ai ⊥ aj para todo i, j ∈ {1, . . . , m}, i 6= j.

9. Producto interno de dos vectores de una lista ortogonal. Sea (a1, . . . , am) una lista ortogonal. Demuestre que para cualesquiera j, k ∈ {1, . . . , m}

haj, aki = δj,kkajk2.

10. Normalizaci´on de un vector. Un vector a ∈ V se llama unitario o normalizado si kak = 1. Si v ∈ V \ {0}, entonces el vector v

kvk es normalizado.

11. Definici´on (lista ortonormal de vectores). Una lista de vectores (a1, . . . , ak) en V se llama ortonormal si hai, aji = δi,j para todos i, j ∈ {1, . . . , n}.

12. Observaci´on. Una lista de vectores es ortonormal si y s´olo si esta es ortogonal y todos sus elementos son normalizados (tienen norma 1).

13. Ejemplo. Los siguientes vectores del espacio R4 son ortogonales:

a1 =

 1 1 1 1

, a2 =

 1

−1 1

−1

, a3 =

−2 1 2

−1

 .

Calculemos los productos internos:

ha1, a1i = 4, ha1, a2i = 0, ha1, a3i = 0, ha2, a1i = 0, ha2, a2i = 4, ha2, a3i = 0, ha3, a1i = 0, ha3, a2i = 0, ha3, a3i = 10.

Normalizando los vectores a1, a2, a3 obtenemos una lista ortonormal:

b1 = 1 2,1

2,1 2,1

2

>

, b2 = 1 2, −1

2,1 2, −1

2

>

, b3 =



− 2

√10, 1

√10, 2

√10, − 1

√10

>

. 14. Ejercicio. Muestre que la siguiente lista de vectores es ortogonal y normal´ıcela:

a1 =1, 2, −3, 1>, a2 =1, 3, 2, −1>, a3 =8, −3, 1, 1>.

15. Ejercicio. En el espacio vectorial complejo C([−π, π], C) con el producto interno hf, gi = 1

π

Z

−π

f (x)g(x) dx

consideremos las funciones

ek(x) = ei kx= cos(kx) + i sen(kx).

Muestre que la familia de funciones (ek)k∈Z es ortonormal, esto es,

∀j, k ∈ Z hej, eki = δj,k.

Listas de vectores ortogonales y ortonormales, p´agina 2 de 4

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F´ ormula de Pit´ agoras–Parseval para sumas de vectores ortogonales

16. Teorema de Pit´agoras generalizado. Sean a1, . . . , am vectores ortogonales en V . Entonces

m

X

j=1

aj

2

=

m

X

j=1

kajk2.

Demostraci´on. Aplicamos la propiedad aditiva del producto interno y la condici´on que a1, . . . , am son ortogonales a pares:

m

X

j=1

aj

2

=

* m X

j=1

aj,

m

X

k=1

ak +

=

m

X

j=1 m

X

k=1

haj, aki =

m

X

j=1 m

X

k=1

δj,kkajk2 =

m

X

j=1

kajk2.

17. Tarea adicional. Demuestre el teorema anterior por inducci´on.

18. Ejercicio (f´ormula de Pit´agoras–Parseval). Sean a1, . . . , am vectores ortogonales y λ1, . . . , λm algunos escalares. Entonces

m

X

k=1

λkak

2

=

m

X

k=1

k|2kakk2.

Idea de soluci´on. Probar que los vectores λ1a1, . . . , λmam son ortogonales, aplicar el teo- rema de Pit´agoras generalizado y luego utilizar la f´ormula kλkakk = |λk|kakk.

Listas de vectores ortogonales y ortonormales, p´agina 3 de 4

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Combinaciones lineales de vectores ortogonales

La siguiente proposici´on es muy simple, pero sumamente importante.

19. Proposici´on (expresi´on a trav´es del producto interno de los coeficientes de una combinaci´on lineal de vectores ortogonales). Sean a1, . . . , am vectores ortogo- nales no nulos del espacio V y sea b una combinaci´on lineal de los vectores a1, . . . , am:

b =

m

X

j=1

λjaj. (1)

Entonces para todo k ∈ {1, . . . , m}

λk = hak, bi

kakk2. (2)

Demostraci´on. Calcular el producto interno hak, bi usando la f´ormula (1).

20. Corolario (expresi´on a trav´es del producto interno de los coeficientes de una combinaci´on lineal de vectores ortonormales). Sea (a1, . . . , am) una lista orto- normal y sea

b =

m

X

j=1

λjaj.

Entonces para todo k ∈ {1, . . . , m}

λk = hak, bi.

21. Proposici´on (cualquier lista ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente). Sea (a1, . . . , am) una lista ortogonal en V . Supongamos que ai 6= 0 para todo i ∈ {1, . . . , m}. Entonces la lista de vectores (a1, . . . , am) es linealmente independien- te.

Demostraci´on. Supongamos que λ1, . . . , λm son algunos escalares tales que

m

X

j=1

λjaj = 0. (3)

Apliquemos la f´ormula (2) de la proposici´on anterior con b = 0:

λk= h0, aki kakk2 = 0.

22. Corolario. Cualquier lista ortonormal es linealmente independiente.

Listas de vectores ortogonales y ortonormales, p´agina 4 de 4

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