Integrales dobles

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES F

C

Integrales dobles

Logros esperados

 Representa gráfica y simbólicamente la región de integración de una integral doble

 Elabora representaciones de integrales dobles iteradas a partir del análisis de su región de integración

 Aplica adecuadamente el cambio del orden de integración para calcular integrales dobles en diversos contextos.

 Calcula integrales dobles mediante integrales

iteradas en contextos intra-extra matemáticos

haciendo uso adecuado del cambio del orden

de integración.

Integrales dobles

En los vehículos de

competición se busca que la sustentación sea

negativa (para que el auto sea empujado hacia el

suelo) con el objetivo de tener un mejor agarre o apoyo aerodinámico. Esto se consigue con

superficies como por ejemplo alerones.

¿Cómo podrías hallar la fuerza de sustentación que actúa sobre el ala de un auto de carrera?

FLUJO DE AIRE EN EL ALA DE UNA AUTO DE CARRERA

Definición de integral doble

Sea 𝑓 una función

sobre el rectángulo 𝑅 dado por:

𝑅 = 𝑎; 𝑏 × 𝑐; 𝑑 = 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑅

; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 Sean las particiones

𝑃

= 𝑥

; 𝑥

; ⋯ ; 𝑥

de 𝑎; 𝑏 𝑃

= 𝑦

; 𝑦

; ⋯ ; 𝑦

de 𝑐; 𝑑

Que definen una partición 𝑃 en el rectángulo 𝑅

𝒙_𝟎 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑 𝒙_𝟒 𝒙_𝟓 𝒙_𝟔 𝒚_𝟎

𝒚_𝟏 𝒚_𝟐 𝒚_𝟑 𝒚_𝟒 𝒚_𝟓 𝒚_𝟔 𝒚_𝟕

Definición de integral doble

Para cada subrectángulo 𝑅

= 𝑥

− 𝑥

× 𝑦

; 𝑦

definimos la norma de la partición 𝑃 como

𝑃 = max 𝑥

; 𝑥

; 𝑦

; 𝑦

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 La integral doble de 𝑓 sobre el rectángulo 𝑅 es

𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨

𝑹

= 𝐥𝐢𝐦

𝑷 →𝟎

𝒇 𝒙 ; 𝒚

∆𝑨

𝒏 𝒋=𝟏 𝒎

𝒊=𝟏

si el límite existe.

Donde ∆𝐴 = 𝑥

− 𝑥

𝑦

− 𝑦

y 𝑥 ; 𝑦

es un punto

cualquiera del subrectángulo 𝑅

= 𝑥

− 𝑥

× 𝑦

; 𝑦

A la suma anterior se le llama suma (doble) de Riemann

Suma de Riemann

𝒙 𝒚

𝒚 𝒙

𝒛

Partición de un rectángulo Suma doble de Riemann

𝒙 ; 𝒚_{𝒊 𝒋}

Integral doble como un volumen

La interpretación anterior permite interpretar la integral doble como un volumen:

Sea 𝑓 una función

𝑅 ⊂ ℝ

entonces el volumen del sólido

𝑺 = 𝒙; 𝒚; 𝒛 ∈ ℝ

; 𝒙; 𝒚 ∈ 𝑹 ∧ 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒇 𝒙; 𝒚 ,

que se encuentra encima de 𝑅 y debajo de la superficie 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) está dado por:

𝑽 𝑺 = 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑹

𝒛

𝒚 𝒙

𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦)

𝑅

Propiedades de la integral doble

1.- Si 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ² → ℝ es una función continua en la región cerrada y acotada 𝐷 entonces 𝑓 es integrable en 𝐷.

2.- Si 𝑓 y 𝑔 son integrables en 𝐷 ⊂ ℝ², entonces 𝑓 𝑥; 𝑦 ± 𝑔(𝑥; 𝑦) 𝑑𝐴 =

𝐷

𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 ±

𝐷

𝑔(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

3.- Si 𝑓 es integrables en 𝐷 ⊂ ℝ², entonces 𝑐𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 =

𝐷

𝑐 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

donde 𝑐 es una constante 4.- Si 𝑓 y 𝑔 son integrables en 𝐷 y 𝑓 𝑥; 𝑦 ≥ 𝑔 𝑥; 𝑦 , ∀(𝑥; 𝑦)

∈ 𝐷 entonces

𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 ≥

𝐷

𝑔(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

Propiedades de la integral doble

5.- Si 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ² → ℝ es una función continua en 𝐷. Si 𝐷 se puede descomponer en un número finito de subconjuntos 𝐷_𝑖 tales que:

• Los conjuntos 𝐷_𝑖 son disjuntos dos a dos o a lo más se intersectan en una curva o un número finito de puntos.

•

entonces

𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨

𝑫

= 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑫_𝒊 𝒏 𝒊=𝟏

𝐷 = 𝐷_𝑖

𝑛 𝑖=1

Integrales dobles iteradas Orden 𝑑𝑦𝑑𝑥

Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de 2 procesos de integración simple considerando los

diferenciales 𝑑𝑥 y 𝑑𝑦.

Sea 𝑓 función continua definida sobre el rectángulo

𝑅 = 𝑎; 𝑏 × 𝑐; 𝑑 entonces la integral iterada con el orden 𝑑𝑦𝑑𝑥 se define como:

𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙^𝒅

𝒄

= 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚^𝒅

𝒄

𝒅𝒙

𝒃 𝒂 𝒃

𝒂

SEGUNDO: Integrar respecto a 𝒙

PRIMERO: Integrar

respecto a 𝒚 (constante 𝒙)

Ejemplo

Integrales iteradas

1

Calcule la siguiente integral iterada 𝑓 𝑥; 𝑦 𝑑𝑦

1

0 2

−1

𝑑𝑥 donde 𝑓 𝑥; 𝑦 = 16 − 𝑥² − 𝑥𝑦²

Solución:

Integrales dobles iteradas Orden 𝑑𝑥𝑑𝑦

Sea 𝑓 función continua definida sobre el rectángulo

𝑅 = 𝑎; 𝑏 × 𝑐; 𝑑 entonces la integral iterada con el orden 𝑑𝑥𝑑𝑦 se define como

𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚

𝒃 𝒂

= 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒙

𝒃 𝒂

𝒅𝒚

𝒅 𝒄 𝒅

𝒄

SEGUNDO: Integrar respecto a 𝑦

PRIMERO: Integrar

respecto a 𝑥 (constante 𝑦)

Ejemplo

Integrales iteradas

1

Calcule cada una de las integrales:

𝑎) 𝑥

𝑦

2

1

𝑑𝑥𝑑𝑦

3

0

Solución

𝑏) 𝑥

𝑦

3

0

𝑑𝑦𝑑𝑥

2

1

Teorema de Fubini (primera forma)

Sea 𝑓 una función continua definida sobre el rectángulo 𝑹 = 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ

\𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 ; 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅

entonces,

𝒇(𝒙; 𝒚)𝒅𝑨 =

𝐑

𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙

𝒅

𝒄

= 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚

𝒃

𝒂 𝒅

𝒄 𝒃

𝒂

Ejemplo

Teorema de Fubini

1

Calcule las siguientes integrales dobles

a) 𝑥 − 3𝑦² 𝑑𝐴

𝑅

y 𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ²; −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 ; 1 ≤ 𝑦 ≤ 3

b) 1 + 𝑥² 1 + 𝑦² 𝑑𝐴

𝑅

donde 𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ²; −3 ≤ 𝑥 ≤ 1 ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2

c) 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑑𝐴

𝑅

donde 𝑅 = 0;𝜋

6 × 0;𝜋 3

Solución

Ejemplo

Teorema de Fubini

2

Calcule la integral: (𝑥 + 𝑦)𝑑𝐴_𝐷 donde 𝐷 es la región exterior al cuadrado con vértices

2; 2 , 2; −2 , −2; −2 , (−2; 2) e interior al cuadrado con vértices 5; 5 , 5; −5 , −5; −5 , (−5; 5) con 𝑥 ≥ 0

Solución:

Teorema de Fubini (segunda forma)

Sea 𝑓 una función continua definida en una región 𝐷 del plano

𝑫 = 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ

/ 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 ∧ 𝒈

(𝒙) ≤ 𝒚 ≤ 𝒈

(𝒙) donde 𝑔

y 𝑔

son continuas en 𝑎; 𝑏 entonces,

𝒇(𝒙; 𝒚)𝒅𝑨

𝑫

= 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙

𝒈_𝟐(𝒙) 𝒈_𝟏(𝒙) 𝒃

𝒂

= 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚

𝒈_𝟐(𝒙) 𝒈_𝟏(𝒙)

𝒅𝒙

𝒃 𝒂

𝒙

Descripción analítica de 𝐷 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏;

𝑔₁ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔₂ (𝑥)

Orden de integración: 𝑑𝑦𝑑𝑥

Ejemplo

Teorema de Fubini

1

En cada caso calcule la integral 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴_𝐷 sobre la región 𝐷 descrita:

a.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = ^𝑦_𝑥

𝐷: Limitado por 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 𝑥²; 𝑥 = 4 b.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = ^𝑦2𝑥

𝑥³+𝑦³

𝐷: Limitado por 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 2𝑥; 𝑥 = 1 c.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥^3𝑒^𝑦

𝐷: Limitado por 𝑦 = 𝑥⁴ − 2; 𝑦 = 4 − 𝑥²; 𝑥 = 2

Solución

Teorema de Fubini (segunda forma)

Sea 𝑓 una función continua definida en una región 𝐷 del plano

𝑫 = 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ

/ 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅 ∧ 𝒉

(𝒚) ≤ 𝒙 ≤ 𝒉

(𝒚) donde 𝑕

y 𝑕

son continuas en 𝑐; 𝑑 entonces,

𝒇(𝐱; 𝐲)𝒅𝑨

𝐃

= 𝒇 𝐱; 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚

𝒉_𝟐(𝐲) 𝒉_𝟏(𝐲) 𝒅

𝒄

= 𝒇 𝐱; 𝒚 𝒅𝒙

𝒉_𝟐(𝐲) 𝒉_𝟏(𝐲)

𝒅𝒚

𝒅 𝐜

Descripción analítica de 𝐷 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑;

𝑕₁ 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑕₂ (𝑦)

Orden de integración: 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝒚

Ejemplo

Teorema de Fubini

1

En cada caso calcule la integral 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴_𝐷 sobre la región 𝐷 descrita:

a.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦²

𝐷: Limitado por 𝑦 = 𝑥 + 5; 𝑦 = ^3−𝑥_𝑥 ; 𝑦 = 2; 𝑦 = 4 b.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦

D: Limitado por 𝑦 = 𝑥 − 1; 𝑦² = 2𝑥 + 6

Solución

Cambio en el orden de integración

A veces es muy difícil o hasta imposible de evaluar una integral doble iterada. Sin embargo, invirtiendo o

cambiando el orden de integración de 𝑑𝑥𝑑𝑦 a 𝑑𝑦𝑑𝑥 o viceversa se puede obtener una integral doble iterada más simple.

Por ejemplo, intente calcular la integral iterada siguiente

𝑠𝑒𝑛 𝑦² 𝑑𝑦𝑑𝑥

1

𝑥 1

0

Ejemplo

Cambio en el orden de integración

1

Aplique un cambio en el orden de integración y calcule las siguientes integrales

a.- 𝑡𝑎𝑛 𝑥₀¹ _𝑦^{1 2} 𝑑𝑥𝑑𝑦 b.- 2₀² _𝑦⁴₂ ^𝑥3𝑑𝑥𝑑𝑦 c.- 𝑒₀¹ _𝑥 ^{𝑥 𝑥/𝑦}𝑑𝑦𝑑𝑥

Solución

Caso para que analice el estudiante:

Calcule la integral

𝑠𝑒𝑛 𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑥

1

𝑥 1

0

Solución

PASO 1: Notemos que la integral

sen(𝑦²)

no puede ser calculada en términos de funciones elementales, por ello se hace necesario un cambio del orden de integración.

PASO 2: Dibujemos la región de integración

𝐷 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ² 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1

Caso para que analice el estudiante:

𝒚

𝑥 𝑦

𝒚 = 𝒙

PASO 3: A partir del gráfico, describimos la región 𝐷 como:

𝐷 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ² 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 ∧ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 PASO 4: Formulamos y calculamos la integral iterada con los nuevos límites de integración

𝑠𝑒𝑛 𝑦² 𝑑𝑦𝑑𝑥

1

𝑥

= 𝑠𝑒𝑛 𝑦² 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑦

0 1

0 1

0

= 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑦² 𝑑𝑦

1

0

𝑠𝑒𝑛 𝑦² 𝑑𝑦𝑑𝑥

1

𝑥 1

0

= 1

2(1 − 𝑐𝑜𝑠1) ≈ 0,2298

Caso para que analice el estudiante: 2

Calcule la integral

𝑥𝑦²

𝐷

𝑑𝐴

donde 𝐷 es la región limitada por 𝑦 = 2; 𝑦 = 4; 𝑥 = 𝑦 − 5; 𝑦

= ^3−𝑥

𝑥

Solución

PASO 1: Primero grafiquemos la región 𝐷

𝑥 𝑦

𝒚 = 𝟑 − 𝒙 𝒙 𝒚 = 𝒙 + 𝟓

𝒚 = 𝟒

𝒚 = 𝟐 PASO 2: Notemos que si usamos el orden

𝑑𝑦𝑑𝑥 obtendríamos dos integrales, pero con el orden 𝑑𝑥𝑑𝑦 solo tendríamos una.

Describimos 𝐷 (para usar el orden 𝑑𝑥𝑑𝑦) 𝐷 = (𝑥; 𝑦) 2 ≤ 𝑦 ≤ 4 ∧ 𝑦 − 5 ≤ 𝑥 ≤ 3

𝑦 + 1

𝒚

Caso para que analice el estudiante: 2

PASO 3: Formulamos y calculamos la integral iterada 𝑥𝑦²𝑑𝑥

𝑦+13

𝑦−5

𝑑𝑦

4

2

= 𝑦² 2

9

𝑦 + 1 ² − 𝑦 + 5 ² 𝑑𝑦

4

2

= 9 2

𝑦²

𝑦 + 1 ² − 1

2 𝑦² 𝑦 − 5 ² 𝑑𝑦

4

2

= 9 ln 3

5 − 344

15 ≈ −27,531

Lo que no debes olvidar

• Para hallar una integral doble iterada:

Con el orden 𝒅𝒚𝒅𝒙. Con el orden 𝒅𝒙𝒅𝒚

• Las integrales iteradas tratadas son de los tipos:

VERTICAL HORIZONTAL

𝑓 𝑥; 𝑦 𝑑𝑦

𝑔₂(𝑥)

𝑔₁(𝑥)

𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑓 𝑥; 𝑦 𝑑𝑥

ℎ₂(𝑦)

ℎ₁(𝑦)

𝑑𝑦

𝑑

𝑐

CONSTANTES

• Existen integrales que no pueden ser expresadas por

𝒆^𝒙𝟐𝒅𝒙 ; 𝒔𝒊𝒏 𝒙^𝟐 𝒅𝒙 ; 𝒄𝒐𝒔 𝒙^𝟐 𝒅𝒙 ; 𝒆^𝒆𝒙𝒅𝒙 ; 𝒍𝒏 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ; 𝒆𝒕𝒄

Responde las siguientes interrogantes:

Para reflexionar

 ¿Puedo aplicar lo que aprendí de integrales

dobles en otras situaciones relacionadas con mi carrera?

 ¿Qué dificultades encontré calcular una integral doble?

 ¿Qué estrategias utilice para superar estas

dificultades

Actividades autónomas

La gráfica inferior muestra las gráficas de la presiones superior e inferior en el ala de un auto de carrera. Las líneas

representan una aproximación mediante curvas polinomiales.

El modelo matemático para la fuerza de sustentación es:

𝐹 = 𝑃_{𝑅 𝑡𝑜𝑝} − 𝑃_𝑏𝑜𝑡 𝑑𝐴 donde

𝑃_𝑏𝑜𝑡 y 𝑃_𝑡𝑜𝑝 representan las presiones en las superficies inferior y superior del ala del auto de carrera como una función de la posición a lo largo del ancho del ala. Calcule la fuerza de

sustentación ejercida sobre el ala de este auto.

BIBLIOGRAFÍA

• [1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010)

Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning

• [2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

• [3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México:

Limusa Wiley.

• [4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación.

• [5] Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. 11ª ed.

México: Pearson