Métodos Numéricos: soluciones Tema 7: Valores y vectores propios

Tema 7: Valores y vectores propios

Francisco Palacios

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña

Mayo 2008, Versión 1.2 Ejercicio 1 Dada la matriz

A=

µ 1 2 2 1

¶ . 1. Calcula los valores propios.

2. Determina una base de vectores propios.

3. Diagonaliza la matriz.

4. Verifica los resultados con Maple.

1. Valores propios.

Calculamos el polinomio característico p(λ) = |A − λI| =

¯¯

¯¯ 1 − λ 2 2 1 − λ

¯¯

¯¯ ,

p(λ) = λ²− 2λ − 3.

Resolvemos la ecuación característica

p(λ) = 0 ⇒ λ²− 2λ − 3 = 0, Obtenemos

λ1= −1, λ2= 3.

El espectro de A es

σ(A) = {−1, 3} . 2. Base de vectores propios

2.1 Vectores propios asociados a λ1= −1.

Resolvemos

(A + I) v = ~0, µ 2 2

2 2

¶ µ x y

¶

= µ 0

0

¶ ,

½ 2x + 2y = 0 2x + 2y = 0 ⇒

½ x + y = 0 x + y = 0 ⇒

½ x = t

y = −t t ∈ R.

1

Vectores propios

v= tv1= t

µ 1

−1

¶

, v1=

µ 1

−1

¶ . 2.2 Vectores propios asociados a λ2= 3.

Resolvemos

(A − 3I) v = ~0, µ −2 2

2 −2

¶ µ x y

¶

= µ 0

0

¶ ,

½ −2x + 2y = 0 2x − 2y = 0 ⇒©

−x + y ⇒

½ x = t

y = t t ∈ R, vectores propios

v= tv₂= t µ 1

1

¶

, v₂= µ 1

1

¶ . Base de vectores propios

V= {v1, v₂} . 3. Diagonalización

D= V⁻¹AV.

V=

µ 1 1

−1 1

¶

, V⁻¹=1 2

µ 1 −1 1 1

¶ ,

D = 1

2

µ 1 −1 1 1

¶ µ 1 2 2 1

¶ µ 1 1

−1 1

¶ ,

= 1 2

µ 1 −1 1 1

¶ µ −1 3 1 3

¶ ,

= 1 2

µ −2 0 0 6

¶

=

µ −1 0

0 3

¶ . ¤ Ejercicio 2 Consideramos la matriz

A=

µ a₁₁ a₁₂ a21 a22

¶ . 1. Demuestra que el polinomio característico es

p(λ) = λ²− traza(A) λ + det(A).

2. Demuestra que A tiene dos valores propios reales distintos si y sólo si [traza(A)]²> 4 det(A).

Recuerda que la traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal.

1.

p(λ) = det (A − λI) =

¯¯

¯¯ a₁₁− λ a₁₂ a₂₁ a₂₂− λ

¯¯

¯¯

= (a11− λ) (a²²− λ) − a²¹a12

= λ²− (a11+ a₁₂) λ + a₁₁a₂₂− a21a₁₂

= λ²− traza(A) λ + det(A).

2. La ecuación

λ²− traza (A) λ + det (A) = 0 tiene soluciones

λ =traza (A) ± q

[traza (A)]²− 4 det (A)

2 ,

tendremos dos soluciones reales si [traza (A)]²− 4 det (A) > 0. ¤ Ejercicio 3 Consideramos al matriz

A=

µ −5 18

−6 16

¶ .

1. Determina el número de valores propios reales de A usando la traza y el determinante.

2. Calcula el polinomio característicos y el espectro.

3. Determina un base de vectores propios y diagonaliza A.

4. Verifica los resultados con Maple.

1.

traza (A) = 11, det (A) = 28, polinomio característico

p (λ) = λ²− 11λ + 28,

[traza (A)]²− 4 det (A) = 121 − 112 = 9 > 0, tenemos dos valores propios reales.

2. Cálculo de los valores propios

p (λ) = 0 ⇒ λ²− 11λ + 28 = 0.

λ = 11 ±√ 9

2 =

( ₁₁₊₃

2 = 7,

11−3 2 = 4.

Espectro

σ (A) = {4, 7} . Radio espectral ρ (A) = 7.

3. Vectores propios

3.1. Vectores propios asociados a λ₁= 4.

Resolvemos

(A − 4I) v = ~0, µ −9 18

−6 12

¶ µ x y

¶

= µ 0

0

¶ ,

½ −9x + 18y = 0

−6x + 12y = 0 ⇐⇒©

−x + 2y = 0 .

½ x = 2t, y = t, t ∈ R.

Vectores propios

v= t µ 2

1

¶

⇒ v¹ µ 2

1

¶ . 3.2. Vectores propios asociados a λ₂= 7.

Resolvemos

(A − 7I) v = ~0, µ −12 18

−6 9

¶ µ x y

¶

= µ 0

0

¶ ,

½ −12x + 18y = 0

−6x + 9y = 0 ⇐⇒

½ −2x + 3y = 0

−2x + 3y = 0 ( x = t,

y = ²₃t, t ∈ R.

Vectores propios v= t

µ 1 2/3

¶

, tomamos v₂= µ 3

2

¶ . Diagonalización

D= V⁻¹AV.

Matriz de cambio

V=

µ 2 3 1 2

¶ , V⁻¹=

µ 2 −3

−1 2

¶ ,

D =

µ 2 −3

−1 2

¶ µ −5 18

−6 16

¶ µ 2 3 1 2

¶

=

µ 2 −3

−1 2

¶ µ 8 21 4 14

¶

=

µ 4 0 0 7

¶ . ¤

Ejercicio 4 Dada la matriz

A=

⎛

⎝ 3 −2 −6

−4 5 4

5 −5 −8

⎞

⎠ .

1. Calcula los valores propios.

2. Determina una base de vectores propios.

3. Diagonaliza la matriz.

4. Verifica los resultados con Maple.

1. Valores propios Polinomio característico

p (λ) = |A − λI| =

¯¯

¯¯

¯¯

3 − λ −2 −6

−4 5 − λ 4

5 −5 −8 − λ

¯¯

¯¯

¯¯,

(2^acol. + 1^acol) → (1^acol.) =

¯¯

¯¯

¯¯

1 − λ −2 −6

1 − λ 5 − λ 4

0 −5 −8 − λ

¯¯

¯¯

¯¯

Sacamos factor (1 − λ) de 1^a columna = (1 − λ)

¯¯

¯¯

¯¯

1 −2 −6

1 5 − λ 4 0 −5 −8 − λ

¯¯

¯¯

¯¯

= (1 − λ) [(5 − λ) (−8 − λ) + 30 + 20 + 2 (−8 − λ)]

= (1 − λ)¡

−40 − 5λ + 8λ + λ²+ 50 − 16 − 2λ¢

= (1 − λ)¡

λ²+ λ − 6¢

| {z }

factorizam os

λ²+ λ − 6 = 0, λ =−1 ±√

25

2 =

( −1+5 2 = 2,

−1−52 = −3.

p (λ) = (1 − λ) (λ − 2) (λ + 3) , espectro

σ (A) = {−3, 1, 2} . 2. Base de vectores propios.

2.1. Vectores propios asociados a λ₁= −3.

Resolvemos

(A + 3I) v = ~0,

⎛

⎝ 6 −2 −6

−4 8 4

5 −5 −5

⎞

⎠

⎛

⎝ x y z

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0 0 0

⎞

⎠ .

Reducimos por filas

⎛

⎝ 6 −2 −6

−4 8 4

5 −5 5

⎞

⎠ ⇒

⎛

⎝ 3 −1 −3

−1 2 1

1 −1 −1

⎞

⎠ ,

(3^a) → (1^a) (1^a) → (3^a)

⎛

⎝ 1 −1 −1

−1 2 1

3 −1 −3

⎞

⎠ ,

(2^a+ 1^a) → (2^a) (3^a− 3 × 1^a) → (3^a)

⎛

⎝ 1 −1 −1

0 1 0

0 2 0

⎞

⎠ ,

½ x − y − z = 0

y = 0 ⇒

⎧⎨

⎩ x = t, y = 0,

z = t, t ∈ R.

Vector propio asociado

v1=

⎛

⎝ 1 0 1

⎞

⎠ .

2.2 Vectores propios asociados a λ2= 1 Resolvemos

(A − I) v = ~0

⎛

⎝ 2 −2 −6

−4 4 4

5 −5 −9

⎞

⎠

⎛

⎝ x y z

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0 0 0

⎞

⎠ .

Reducimos por filas

¡₁

21^a¢

→ (1^a)

¡₁

42^a¢

→ (2^a)

⎛

⎝ 1 −1 −3

−1 1 1

5 −5 −9

⎞

⎠ ,

(2^a+ 1^a) → (2^a) (3^a+ 5 × 2^a) → (3^a)

⎛

⎝ 1 −1 −3

0 0 −2

0 0 −4

⎞

⎠ .

½ x − y − 6z = 0 z = 0 ⇒

⎧⎨

⎩

x = t, y = t, z = 0, t ∈ R.

Vector propio asociado

v₂=

⎛

⎝ 1 1 0

⎞

⎠ .

2.3 Vectores propios asociados a λ₃= 2

Resolvemos

(A − 2I) v = 0,

⎛

⎝ 1 −2 −6

−4 3 4

5 −5 −10

⎞

⎠

⎛

⎝ x y z

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0 0 0

⎞

⎠ .

Reducimos filas

(2^a+ 4 · 1^a) → (2^a) (3^a− 5 · 1^a) → (3^a)

⎛

⎝ 1 −2 −6

0 −5 −20

0 5 20

⎞

⎠

¡₋₁

5 2^a¢

→ (2^a) (3^a+ 2^a) → (3^a)

⎛

⎝ 1 −2 −6

0 1 4

0 0 0

⎞

⎠

½ x − 2y − 6z = 0 y + 4z = 0

⎧⎨

⎩

x = 2y + 6z = −8t + 6t = −2t, y = −4t,

z = t, t ∈ R.

Vectores propios asociados

v= t

⎛

⎝ −2

−4 1

⎞

⎠ , t ∈ R,

tomamos

v3=

⎛

⎝ 2 4

−1

⎞

⎠ .

Base de vectores propios

V= {v¹, v₂, v₃} . 3. Diagonalización

D= V⁻¹AV.

Matriz de cambio

V=

⎛

⎝ 1 1 2

0 1 4

1 0 −1

⎞

⎠ .

Inversa por Gauss-Jordan

⎛

⎝ 1 1 2

0 1 4

1 0 −1

¯¯

¯¯

¯¯

1 0 0 0 1 0 0 0 1

⎞

⎠ ,

(3^a− 1^a) → (3^a)

⎛

⎝ 1 1 2

0 1 4

0 −1 −3

¯¯

¯¯

¯¯

1 0 0 0 1 0

−1 0 1

⎞

⎠ ,

(3^a+ 2^a) → (3^a)

⎛

⎝ 1 1 2 0 1 4 0 0 1

¯¯

¯¯

¯¯

1 0 0 0 1 0

−1 1 1

⎞

⎠ ,

(1^a− 2 · 3^a) → (1^a) (2^a− 4 · 3^a) → (2^a)

⎛

⎝ 1 1 0 0 1 0 0 0 1

¯¯

¯¯

¯¯

3 −2 −2 4 −3 −4

−1 1 1

⎞

⎠ ,

(1^a− 2^a) → (1^a)

⎛

⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

¯¯

¯¯

¯¯

−1 1 2

4 −3 −4

−1 1 1

⎞

⎠ .

Inversa

V⁻¹=

⎛

⎝ −1 1 2

4 −3 −4

−1 1 1

⎞

⎠ .

Diagonalizamos

D = V⁻¹AV=

⎛

⎝ −1 1 2

4 −3 −4

−1 1 1

⎞

⎠

⎛

⎝ 3 −2 −6

−4 5 4

5 −5 −8

⎞

⎠

⎛

⎝ 1 1 2 0 1 4 1 0 1

⎞

⎠

=

⎛

⎝ −1 1 2

4 −3 −4

−1 1 1

⎞

⎠

⎛

⎝ −3 1 4

0 1 8

−3 0 −2

⎞

⎠

=

⎛

⎝ −3 0 0 0 1 0 0 0 2

⎞

⎠ .

4.Ver Resolución con Maple. ¤ Ejercicio 5 Dada la matriz

A=

⎛

⎝ 1 −1 0

−2 4 −2

0 −1 1

⎞

⎠ ,

1. Calcula los valores propios.

2. Determina una base de vectores propios.

3. Diagonaliza la matriz.

4. Verifica los resultados con Maple.

1. Valores propios Polinomio característico

p (λ) = |A − λI| =

¯¯

¯¯

¯¯

1 − λ −1 0

−2 4 − λ −2

0 −1 1 − λ

¯¯

¯¯

¯¯

p (λ) = (1 − λ)²(4 − λ) − 2 (1 − λ) − 2 (1 − λ)

= (1 − λ) [(1 − λ) (4 − λ) − 4]

= (1 − λ)¡

λ²− 5λ¢

= λ (1 − λ) (λ − 5) , espectro

σ (A) = {0, 1, 5} . 2. Base de vectores propios

2.1. Vectores propios asociados a λ₁= 0.

Resolvemos

Av= ~0,

⎛

⎝ 1 −1 0

−2 4 −2

0 −1 1

⎞

⎠

⎛

⎝ x y z

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0 0 0

⎞

⎠ .

Reducimos por filas

(2^a+ 2 · 1^a) → (2^a)

⎛

⎝ 1 −1 0

0 2 −2

0 −1 1

⎞

⎠

¡₁

22^a¢

→ (2^a)

¡3^a+¹₂2^a¢

→ (3^a)

⎛

⎝ 1 −1 0

0 1 −1

0 0 0

⎞

⎠

½ x − y = 0 y − z = 0 ⇒

⎧⎨

⎩ x = t, y = t,

z = t, t ∈ R.

Vector propio asociado

v₁=

⎛

⎝ 1 1 1

⎞

⎠ .

2.2 Vectores propios asociados a λ₂= 1.

Resolvemos

(A − I) v = ~0,

⎛

⎝ 0 −1 0

−2 3 −2

0 −1 0

⎞

⎠

⎛

⎝ x y z

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0 0 0

⎞

⎠ ,

½ −2x + 3y − 2z = 0 y = 0 ⇒

½ x + z = 0 y = 0 ,

⎧⎨

⎩

x = −t, y = 0,

z = t, t ∈ R.

Vector propio asociado

v₂=

⎛

⎝ −1 0 1

⎞

⎠ .

2.3 Vectores propios asociados a λ₃= 5.

Resolvemos

(A − 5I) v = 0,

⎛

⎝ −4 −1 0

−2 −1 −2

0 −1 −4

⎞

⎠

⎛

⎝ x y z

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0 0 0

⎞

⎠ .

Reducimos filas

(−2^a) → (1^a) (1^a) → (2^a)

⎛

⎝ 2 1 2

−4 −1 0

0 −1 −4

⎞

⎠ ,

(2^a+ 2 · 1^a) → (2^a)

⎛

⎝ 2 1 2

0 1 4

0 −1 −4

⎞

⎠

½ 2x + y + 2z = 0 y + 4z = 0

⎧⎨

⎩

x = ¹₂(−y − 2z) = ¹₂(4t − 2t) = t, y = −4t,

z = t, t ∈ R.

Vectores propios asociados

v= t

⎛

⎝ 1

−4 1

⎞

⎠ , t ∈ R,

tomamos

v₃=

⎛

⎝ 1

−4 1

⎞

⎠ .

Base de vectores propios

V= {v1, v₂, v₃} . 3. Diagonalización

D= V⁻¹AV.

Matriz de cambio

V=

⎛

⎝ 1 −1 1

1 0 −4

1 1 1

⎞

⎠ .

Inversa

V⁻¹ =

⎛

⎜⎝

2 5

1 5

2 5

−¹₂ 0 ¹₂

1 10 −¹5

1 10

⎞

⎟⎠ .

Diagonalizamos

D = V⁻¹AV=

⎛

⎜⎝

2 5

1 5

2 5

−¹2 0 ¹₂

1 10 −¹5

1 10

⎞

⎟⎠

⎛

⎝ 1 −1 0

−2 4 −2

0 −1 1

⎞

⎠

⎛

⎝ 1 −1 1

1 0 −4

1 1 1

⎞

⎠

=

⎛

⎜⎝

2 5

1 5

2 5

−¹2 0 ¹₂

1 10 −¹5

1 10

⎞

⎟⎠

⎛

⎝ 0 −1 5

0 0 −20

0 1 5

⎞

⎠

=

⎛

⎝ 0 0 0 0 1 0 0 0 5

⎞

⎠ .

4. Ver Resolución con Maple. ¤ Ejercicio 6 Dada la matriz

A=

⎛

⎝ −4 14 0

−5 13 0

−1 0 2

⎞

⎠ ,

queremos determinar el valor propio dominante usando el método de la potencia a partir del vector

x⁽⁰⁾ =

⎛

⎝ 1 0 0

⎞

⎠ .

1. Haz las 4 primeras iteraciones de forma manual.

2. Escribe un programa Maple que permita aplicar el método de la poten- cia. Verifica su funcionamiento con el valor de las iteraciones calculadas manualmente.

3. Aproxima el valor propio dominante con 5 decimales. Determina un vector propio asociado.

1. Iteraciones manuales.

x⁽⁰⁾ =

⎛

⎝ 1 0 0

⎞

⎠ .

Fase 1.

y⁽¹⁾= Ax⁽⁰⁾=

⎛

⎝ −4 14 0

−5 13 0

−1 0 2

⎞

⎠

⎛

⎝ 1 0 0

⎞

⎠ =

⎛

⎝ −4

−5

−1

⎞

⎠ ,

c₁= −5, x⁽¹⁾= 1

−5

⎛

⎝ −4

−5

−1

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0. 8 1.0 0. 2

⎞

⎠ .

Fase 2.

y⁽²⁾= Ax⁽¹⁾=

⎛

⎝ −4 14 0

−5 13 0

−1 0 2

⎞

⎠

⎛

⎝ 0. 8 1.0 0. 2

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 10. 8 9.0

−0. 4

⎞

⎠ ,

c₂= 10.8, x⁽²⁾= 1

10.8

⎛

⎝ 10. 8 9.0

−0. 4

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 1.0

0. 83333 33

−3. 70370 4 × 10⁻²

⎞

⎠ .

Fase 3.

y⁽³⁾= Ax⁽²⁾=

⎛

⎝ −4 14 0

−5 13 0

−1 0 2

⎞

⎠

⎛

⎝ 1.0

0. 83333 33

−3. 70370 4 × 10⁻²

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 7. 66666 6 5. 83333 3

−1. 07407 4

⎞

⎠ ,

c3= 7. 66666 6, x⁽³⁾= 1

7. 66666 6

⎛

⎝ 7. 66666 6 5. 83333 3

−1. 07407 4

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 1.0

0. 76086 96

−0. 14009 66

⎞

⎠ .

Fase 4.

y⁽⁴⁾ = Ax⁽³⁾=

⎛

⎝ −4 14 0

−5 13 0

−1 0 2

⎞

⎠

⎛

⎝ 1.0

0. 76086 96

−0. 14009 66

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 6. 65217 4 4. 89130 5

−1. 28019 3

⎞

⎠ ,

c4= 6. 65217 4, x⁽⁴⁾= 1

6. 65217 4

⎛

⎝ 6. 65217 4 4. 89130 5

−1. 28019 3

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 1.0

0. 73529 42

−0. 19244 73

⎞

⎠ .

Para el resto de los apartados ver Resolución con Maple.

Valor propio dominante λ = 6. ¤

Ejercicio 7 Sea A una matriz de dimensiones n × n con espectro σ(A) = {λ1, λ₂, . . . , λ_n}

entonces, se cumple

1. λ₁+ λ₂+ · · · + λn= traza(A) 2. λ1· λ²· · · λⁿ = det(A).

Usando estas propiedades y los resultados del ejercicio anterior, determina el espectro de

A=

⎛

⎝ −4 14 0

−5 13 0

−1 0 2

⎞

⎠ .

Verifica los resultados con Maple.

Tenemos

traza(A) = −4 + 13 + 2 = 11, det(A) = 36,

y las relaciones ½

λ1+ λ2+ λ3= 11 λ1· λ²· λ³= 36

en el ejercicio anterior hemos obtenido el valor propio λ = 6, entonces

½ λ1+ λ2+ 6 = 11 λ1· λ²· 6 = 36 ⇒

½ λ1+ λ2= 5 λ1· λ²= 6 Despejamos en la primera ecuación y sustituimos en la segunda

½ λ2= 5 − λ¹ λ1( 5 − λ¹) = 6 Resolvemos la ecuación de segundo grado

λ²₁− 5λ¹+ 6 = 0, y obtenemos

λ1= 5 ±√ 25 − 24

2 =

½ ₅₊₁

2 = 3,

5−1 2 = 2, que produce las soluciones

λ₁= 3, λ₂= 2, y

λ1= 2, λ2= 3.

por lo tanto, el espectro de A es

σ (A) = {2, 3, 6}. ¤ Ejercicio 8 Consideramos la matriz

A=

⎛

⎜⎜

⎝

1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4

⎞

⎟⎟

⎠

1. Determina el valor propio dominante usando el método de la potencia.

2. Determina el valor propio de módulo mínimo usando el método de la potencia inversa.

3. Usando la traza y el determinante, calcula el espectro de A.

4. Verifica los resultados con Maple.

El valor propio dominante es

λ1= 5.80389 y el valor propio de módulo mínimo es

λ₂= 0.29609.

Calculamos la traza

traza (A) = 10.

Para el determinante, simplificamos previamente operando por filas

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

=

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

= 6,

obtenemos las ecuaciones

½ 6. 09998 + λ3+ λ4= 10 1. 71847 4 · λ³· λ⁴= 6

½ λ₃+ λ₄= 3. 90002 λ₃· λ4= 3. 49147

λ₃= 1. 39227 , λ₄= 2. 50775. ¤ Ejercicio 9 Consideramos la matriz

A=

⎛

⎝ −4 14 0

−5 13 0

−1 0 2

⎞

⎠

que tiene un valor propio próximo a ¯λ = 3.1.

1. Calcula dicho valor propio y un vector propio asociado usando el método de la potencia desplazada. Inicia las iteraciones con el vector

x⁽⁰⁾=

⎛

⎝ 5 1 1

⎞

⎠ .

2. Verifica el resultado con Maple.

Se obtiene el valor propio λ = 3. Ver Resolución con Maple. ¤

Ejercicio 10 Determina una matriz A con espectro λ1= 1.23, λ2= 5.67, λ3= 8.62 y que tenga como vectores propios asociados,

v1=

⎛

⎝ 0.23 1.42

−1.54

⎞

⎠ , v2=

⎛

⎝ 1.53

−1.42

−2.54

⎞

⎠ , v3=

⎛

⎝ 0

−3.12 5.45

⎞

⎠ .

Tenemos la relación

D= V⁻¹AV donde

D=

⎛

⎝ 1.23 0 0

0 5.67 0

0 0 8.62

⎞

⎠

y

V=

⎛

⎝ 0. 23 1. 53 0 1. 42 −1. 42 −3. 12

−1. 54 −2. 54 5. 45

⎞

⎠ .

Obtenemos

A= VDV⁻¹ la inversa de V es

V⁻¹ =

⎛

⎝ 1. 93571 4 1. 03046 2 0. 58991 6 0. 36260 5 −. 15490 61 −8. 86801 8 × 10⁻² 0. 71596 64 . 21898 17 0. 30884 82

⎞

⎠

por lo tanto, la matriz buscada es

A=

⎛

⎝ 3. 69324 8 −1. 05230 8 −. 60242 22

−18. 79405 −2. 84236 6 −6. 56194 24. 74659 10. 56657 14. 66911

⎞

⎠ . ¤

Para los Ejercicios 11,12 y13, ver Resolución con Maple.

Ejercicio 11 Usando el método de la potencia, determina el valor propio dom- inante y un valor propio asociado para la matriz obtenida en el Ejercicio 10.

Ejercicio 12 Usando el método de la potencia inversa, determina el valor pro- pio de módulo mínimo y un valor propio asociado para la matriz obtenida en el Ejercicio 10.

Ejercicio 13 Aplica el método de la potencia desplazada con ¯λ = 5.1 a la matriz obtenida en el Ejercicio 10.