Sistemas de Ecuaciones Lineales

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Sistemas de

Ecuaciones Lineales

UNIDAD 5

Prof. Rosa De Peña

(2)

1

Algebra Superior Rosa De Peña Sistemas de Ecuaciones Lineales Unidad 5

Índice

5.1 Ecuación lineal o de primer grado……….2

5.2 Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales………...3

5.3 Matriz del sistema o matriz de los coeficientes del sistema……….4

5.4 Matriz de los términos independientes del sistema………...4

5.5 Matriz de las incógnitas del sistema………...4

5.6 Matriz ampliada………...4

5.7 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales………..4

5.7.1 Método de Gauss. Forma escalonada de un sistema de ecuaciones lineales. 5.7.2 Método de Gauss-Jordan. Forma escalonada reducida de un sistema de ecuaciones lineales. 5.8 Equivalencia de Sistemas………7

5.9 Teorema de Rouché-Frobenius. Analizar atendiendo al Teorema de Rouché-Frobenius sistemas de ecuaciones lineales………...7

5.10 Casos de compatibilidad e incompatibilidad en la solución de sistemas de ecuaciones………...8

5.11 Variables libres………..8

5.12 Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos………8

5.13 Solución en los sistemas homogéneos: Trivial. No trivial………...9

5.14 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales usando matriz inversa…...15

5.15 Analizar un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro…………...16

Bibliografia Consultada ………...18

(3)

2

Algebra Superior Rosa De Peña

Sistemas de Ecuaciones Lineales Unidad 5

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

5.1 Ecuación lineal o de primer grado.

Una ecuación lineal o de primer grado se obtiene igualando a cero un polinomio de primer grado de una o más incógnitas. La forma general de una ecuación lineal, una vez eliminados los denominadores y reunidos los términos semejantes, y suponiendo que las incógnitas sean: x₁,x₂,x₃,...,x_n, será:

a₁x₁ a₂x₂ a₃x₃ ...a_nx_n c

La ecuación anterior podemos determinarla tomando una matriz fila que identificamos como A y una matriz columna que identificamos como X. El producto matricial de AX origina un valor c que genera la ecuación lineal.

Es decir si: A



a₁,a₂,a₃,...,a_n



















xn

x x x

X

. :

3 2 1

Tenemos que : AX= C ecuación lineal.

Un sistema de valores numéricos



x₁,x₂,x₃,...,xn



que satisfaga a la ecuación anterior se llamará una solución de dicha ecuación. Una solución consta de “n” valores numéricos.

Caso de una Ecuación con una Incógnita: ax b. 1) Si a0:

Evidentemente a

x  b, siendo ésta la solución única, quedando el problema totalmente resuelto.

2) En cambio, si a0: Se presentan dos subcasos:

a) Si b0, y puesto que, cualquiera sea el valor de “x”, 0.x0.

La ecuación no tiene solución; es contradictoria consigo misma, imposible o incompatible.

b) Si también b0

Cualquier valor “x”, sustituido en la ecuación la satisface, de modo que ésta tiene infinitas soluciones; se dice en éste caso que es indeterminada.

(4)

3

Generalmente, el caso a0, en la práctica se presenta bajo la siguiente forma:

Al reducir los términos que contienen la incógnita, se los ve desaparecer en ambos miembros de la ecuación. Si los términos constantes no desaparecen simultáneamente, tenemos una ecuación incompatible; si desaparecen también, tenemos una ecuación indeterminada.

5.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales. Forma Matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales.

En general, un sistema de " m" ecuaciones lineales con " n" incógnitas está dado por:

1 1

3 13 2 12 1

11x a x a x ... a x b

a     _n _n 

2 2

3 23 2 22 1

21x a x a x ... a x b

a     _n _n 

. . . . . . . . . . . . . . .

m n mn m

m

m x a x a x a x b

a ₁ ₁  ₂ ₂  ₃ ₃ ... 

Pueden presentarse diferentes tipos de sistemas de ecuaciones:

a) Que tenga el mismo número de ecuaciones

 

m que de incógnitas

 

^{n ,}^{m }ⁿ

b) Que tenga mayor número de ecuaciones

 

^{n ,}^{m }ⁿ

c) Que tenga menor número de ecuaciones

 

^{n ,}^{m }ⁿ

Un sistema puede ser escrito en forma matricial:

















mn m

m m

n n

a a

...

. . . . .

...

3 2 1

2 23

22 21

1 13

12 11



































m

n b

b b

x x x

. . .

2 1 2

1

Si consideramos:



















mn m

m m

n n

a a

A

...

. . . . .

...

3 2 1

2 23

22 21

1 13

12 11



















xn

x x

X . . .

2 1



















bm

b b

B . . .

2 1

(5)

4

El sistema puede ser escrito como A.X B donde:

A representa la 5.3 Matriz de los Coeficientes del Sistema, cuyos elementos son los valores a_ij_. B representa la 5.4 Matriz de los Términos Independientes del Sistema, cuyos elementos son los valores b_j

X representa la 5.5 Matriz de las Incógnitas del Sistema, cuyos elementos son los valores de x . _i En este sistema los valoresa_ij_. , b_j son números reales dados. El problema es encontrar los valores x que satisfagan simultáneamente cada una de las _i " m"ecuaciones.

Una matriz a considerar es la 5.6 Matriz Ampliada

 

A , la cual formamos agregándole la ^' columna formada por los valores de los términos independientes "b" a la matriz de los coeficientes del sistema a considerar.















m mn

m m

n n

b a

a a

b a

a a

b a

a a

A

...

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

...

'

2 1

2 2

22 21

1 1

12 11

5.7 Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

5.7.1 Método de Eliminación de Gauss.

En este método se reduce la Matriz Ampliada a la forma escalonada, se despeja la última incógnita y luego se usa la sustitución hacia atrás para despejar las otras incógnitas.

5.7.2 Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

En este método se reduce la Matriz Ampliada a la forma escalonada reducida, obteniéndose los valores de las incógnitas.

En el proceso puede ocurrir una de las tres situaciones siguientes:

A) La última ecuación diferente de cero queda x_n C para alguna constante.

Entonces hay una única solución o hay un número infinito de soluciones para el Sistema que identificamos como Consistente.

B) Si la última ecuación es una ecuación lineal en dos o más de las variables, entonces existe un número infinito de soluciones. Este caso corresponde a un Sistema Consistente.

C) Si la última ecuación queda 0C, donde C 0, entonces no existe solución para el sistema. En este caso, decimos que el Sistema es Inconsistente.

(6)

5

Ejemplo

Resolver el sistema usando los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan

1 3 3 5

1 2 2 3

8 2 2























z y x

A) Método de Gauss

Escribimos en forma matricial el sistema:











































1 1 8

3 3 5

2 2 3

2 1 2

z y x

La matriz ampliada A^’ la escribimos a continuación y nombramos sus filas:















1 3

3 5

1 2

2 3

8 2

1 2

3 2 1

F F F

Realizamos operaciones elementales con las filas de A':

















 





1 3

3 5

1 2

2 3

4 2 1

1 1 2 1

3 2

1

F F

F

















21 2 8

0 11

13 2 5

0 7

4 2 1

1 1

5 3

3 1

2 1

1

F F

F



















 







 





11 42 11

1 16 0

7 26 7

1 10 0

4 2 1

1 1

11 2 7 2

3 2 1

F F F

















 1

77 0 2 0

7 26 7

1 10 0

4 2 1

1 1

3 2

2 1

F F



(7)

6

















 



 0 0 1 4

7 26 7

1 10 0

4 2 1

1 1

2 77

3 2 1

F F F

El nuevo sistema es:











































4 7 26 4

1 0 0

7 1 10 0

2 1 1 1

z y x

De otro modo, el sistema anterior se puede escribir al efectuar el producto matricial como:

1) 4

2

1  



 



 y z

x

2) 7

26 7

10 



 



 z

y

3) z4

Sustituyendo 3) en 2):

 

2

7 26 7 40 7 4 26 7

10    



 





y

Sustituyendo z,yen 1):

 

² ⁴ ⁴ ¹

2 4 1 2

1    



 







 



 



 y z

x

El conjunto solución es:



^x^,^y^,^z

 

^ ¹^,²^,⁴



(8)

7

Método de Gauss-Jordan

Usaremos la matriz ampliada escalonada, para continuar con la reducción del sistema:















4 1

0 0

7 26 7

1 10 0

4 2 1

1 1

3 2 1

F F F

















 







 





4 1

0 0

2 0

1 0

7 15 7

0 2 1 7

10 2 1

3 3 2

2 1

F F F

F F













 



 





4 1

0 0

2 0

1 0

0 7 1

2

3 2

3 1

F F

El sistema en forma matricial se puede escribir:







































4 2 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

z y x

Realizando el producto matricial e igualando las dos matrices resultantes, encontramos:

1) x1 2) y2 3) z4

El conjunto solución es:



^x^,^y^,^z

 

^ ¹^,²^,⁴



5.8 Equivalencia de Sistemas

Un sistema de ecuaciones y otro análogo en las mismas incógnitas se llaman equivalentes cuando toda solución de un sistema lo es también del otro, es decir cuando tienen las mismas soluciones.

5.9 Teorema de Rouché-Frobenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es que la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada tengan igual característica o rango. Si difieren la característica de la matriz de los coeficientes y la característica de la matriz ampliada el sistema es incompatible.

Si la característica es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y posee solución única. Si la característica es menor que el número de incógnitas, el sistema es indeterminado.

El sistema posee infinitas soluciones.

(9)

8

En resumen, tenemos:

5.10 A) Caso de Incompatibilidad.

En un sistema a estudiar, si el número de ecuaciones independientes es mayor que el número de incógnitas, el sistema no admite solución. Es decir, se dice que el sistema o las ecuaciones que lo forman, son incompatibles.

B) Caso de Compatibilidad

B.1) Sistemas Determinados. Poseen solución única. Esto ocurre cuando el número de ecuaciones independientes es igual al número de incógnitas.

B.2) Sistemas Indeterminados. Poseen infinitas soluciones. Ocurre cuando el número de ecuaciones independientes, es menor que el número de incógnitas.

En estos casos, se procede tomando un número de variables como parámetros, que identificamos como variables libres, a las cuales asignamos valores para resolver el sistema. Si llamamos “m” al número de ecuaciones linealmente independientes del sistema considerado y “n” al número de incógnitas del sistema (m < n), entonces:

5.11

Número de variables libres del sistema = n-m

La asignación de valores a las variables libres nos permitirá obtener las infinitas soluciones del sistema que se considera.

5.12 Sistemas Homogéneos

. Una ecuación lineal se llama homogénea cuando su término conocido o independiente es nulo. Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo cuando todas sus ecuaciones lo son.

Es decir: AX B es el sistema conocido, cuando B0 entonces:

AX 0 es un Sistema Homogéneo. Podemos escribir un sistema homogéneo:

a₁₁x₁ a₁₂x₂ a₁₃x₃ ...a₁_nx_n 0 a₂₁x₁ a₂₂x₂ a₂₃x₃...a₂_nx_n 0 . . . . . . . . . . . . . . . a_m₁x₁a_m₂x₂ a_m₃x₃ ...a_mnx_n 0 Expresando en forma matricial el sistema anterior:

















mn m

m m

n n

a a

...

. . . . .

...

3 2 1

2 23

22 21

1 13

12 11



































0 . . . 0 0

. . .

2 1

xn

x x

(10)

9

5.13 Solución en los sistemas homogéneos.

En este caso, el sistema admite, al menos, una solución. Es evidente que tal solución, siempre existente, es la x₁  x₂ ... x_n 0, que por convenir a cualquier sistema homogéneo, se le llama la solución trivial.

La solución trivial será solución única cuando el número de ecuaciones independientes sea igual al número de incógnitas. Es decir, la característica de la matriz de los coeficientes sea igual a la característica de la matriz ampliada. En este caso, el sistema se identifica como un sistema determinado.

Si el número de ecuaciones independientes es menor que el número de incógnitas, el sistema de ecuaciones admite infinitas soluciones. Podemos decir, que es un sistema indeterminado e incluye la solución trivial.

Ejemplos

Analizar los sistemas usando el Teorema de Rouché - Frobenius. Resolverlos si es posible

A) x y5 z 1

2x4y z3

4x2y7z3

Escribimos el sistema en forma matricial:









































3 3 1

7 2 4

1 4 2

5 1 1

z y x

Formamos la matriz ampliada y procedemos a calcular la característica de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada simultáneamente, mediante operaciones elementales:















3 7

2 4

3 1

4 2

1 5

1 1

3 2 1

F F F

















1 13

6 0

1 11

6 0

1 5

1 1 4 2

1 3

1 2

1

F F

F

















 0 0 2 2

1 11

6 0

1 5

1 1

2 3

2 1

F F



















 







 





1 1

0 0

6 1 6

1 11 0

1 5

1 1

2 1 6 1

3 2 1

F F F

(11)

10

De la matriz anterior, podemos decir que la matriz A de los coeficientes es:











  



1 0 0

6 1 11 0

5 1 1 A

El rango o característica de A es: ^r

 

^A ^³

La matriz A' ampliada es:

















1 1 0

0 6

1 6 1 11 0

1 5 1 1 ' A

El rango o característica de A' es: ^r

 

^A^{' }³

Como las características de A y A' son iguales, entonces el Sistema es Compatible. Si ocurre que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, el Sistema es Determinado y posee solución única.

Si escribimos el sistema en forma matricial tenemos:







































  

1 6 1 1

1 0 0

6 1 11 0

5 1 1

z y x

Efectuando el producto matricial podemos escribir el sistema equivalente:

1) x y5 z 1

2) 6

1 6

11 



 



 z y

3) z1

En el sistema anterior, de 3): z1

Sustituyendo z en 2):

 

1 2

6 11 6 1 6 1 6

11   



 







 



 





 z

y

Sustituyendo z, y en 1) ^x^ ^y^⁵^z^¹^²^⁵

 

^¹ ^¹^^²



x,y,z

 

 2,2,1



(12)

11

B) x y2 z 5 2x3yz8

Escribimos en forma matricial el sistema: _





























 8

5 1

3 2

2 1 1

z y x

Formamos la matriz ampliada procediendo a determinar el rango o característica de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada.













1 8

3 2

5 2

1 1

2 1

F

F  













 0 1 5 2

5 2

1 1 2₁

2 1

F F

F

La matriz A de los coeficientes es: 









 

5 1 0

2 1 A 1

El rango o característica de A es: 2

La matriz A' ampliada es: 











 

2 5 1 0

5 2 1 ' 1

A

El rango o característica de A' es: r

 

A' 2

Como las características de A y A' son iguales , entonces el Sistema es Compatible. Al ocurrir que el número de ecuaciones linealmente independientes (rangos de las dos matrices es dos (2) es menor que el número de incógnitas (3), entonces el Sistema es Indeterminado. Posee infinitas soluciones.

Escribiendo el sistema en forma matricial: _









 





















 2

5 5

1 0

2 1 1

z y x

(13)

12

Realizando el producto matricial, en el sistema tenemos:

1) x y2 z 5 2) y z5 2

Como tenemos dos

 

2 ecuaciones m = 2 y tres

 

3 incógnitas n=3 entonces:

Número de variables libres



NVL es:



NVLnm321 Luego el sistema lo expresamos como:

1) x y5 2z 2) y2 5z

Este sistema posee infinitas soluciones, para determinar una solución asignamos un valor a la variable libre “z”, de este modo:

Para : z0

Sustituyendo en 2) : y25z25(0)2

Sustituyendo y en 1): x52z y52(0)(2)527 Una solución es:



^x^,^y^,^z

 

^ ⁷^,^²^,⁰



Para : z8

Sustituyendo en 2): y25z25(8)38

Sustituyendo y en 1: x52z y52(8)385163849 Otra solución es:



^x^,^y^,^z

 

^ ^⁴⁹^,³⁸^,⁸



Las dos soluciones anteriores forman parte de las infinitas soluciones del sistema dado.

C) x yz0 2x4y3z0

5x13y10z0

Escribimos el sistema en forma matricial:









































0 0 0

10 13 5

3 4 2

1 1 1

z y x

Formamos la matriz ampliada procediendo a determinar la característica o rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada.

(14)

13















0 10

13 5

0 3

4 2

0 1

1 1

3 2 1

F F F





















0 15

18 0

0 5

6 0

0 1

1 1 5

2

3 1

1 2

1

F F

F



















 





0 0

0 5

6 0

0 1

1 1

3 6 1

3 2

2 1

F F

















0 0

6 0 1 5 0

0 1

1 1

3 2 1

F F F



Escribiendo el sistema en forma matricial:









































0 0 0

0 0

0 6

1 5 0

1 1 1

z y x

La matriz A de los coeficientes es:

















0 0 0

6 1 5 0

1 1 1 A

El rango de A es dos:^r

 

^A ^²

La matriz ampliada A' es:

















0 0 0 0

6 0 1 5 0

0 1 1 1 ' A

El rango de A' es dos: ^r

 

^A^{' }² Este sistema es un Sistema Homogéneo.

Como^r

 

^A ^^r

 

^A^' el Sistema es Compatible.



































0 0 6

1 5 0

1 1 1

z y x

(15)

14

Realizando el producto matricial, el sistema se puede escribir:

1) x yz0

2) 0

6 5 



 



 z y

Como tenemos dos ecuaciones m=2; y tres incógnitas n=3, el Sistema es Indeterminado. Posee Infinitas Soluciones.

Número de variables libres



^{NVL es:}



^NVL^ⁿ^^m^³^²^¹

Para determinar una solución del sistema fijamos un valor a una variable. De este modo,

Cuando: z0

En 2) :

 

⁰ ⁰

6 5 6

5  



 







 



 z y

En 1) : xyz000

Un conjunto solución es:



^x^,^y^,^z

 

^ ⁰^,⁰^,⁰



Esta solución se conoce como Solución Trivial (siempre estará presente en un sistema homogéneo).

Cuando: z6

En 2) :

 

⁶ ⁵

6 5 6

5  



 







 



 z y

En 1) : xyz561

Un conjunto solución es:



^x^,^y^,^z

 

^ ¹^,⁵^,⁶



Esta solución se conoce como Solución No Trivial en el sistema homogéneo dado.

(16)

15

5.14 Resolución de un Sistema de Ecuaciones Lineales usando Matriz Inversa

En un sistema A.X B si se cumple que A es invertible, entonces el sistema tiene solución única. Esta solución única está dada por:

X  A^¹.B Ejemplo.

Resolver el sistema A.X B usando la inversa de matrices.

Sea el sistema dado:

x₁  x2 ₂ 1 3x₁  x4 ₂ 0

Expresamos en forma matricial el sistema conocido: _

























0 1 4

3 2 1

2 1

x x

Identificamos la matriz de los coeficientes (A), la matriz de las incógnitas (X) y la matriz de los términos independientes (B):







 4 3

2

A 1 _









2 1

x

X x 







 0 B 1

La solución del sistema dado la tenemos cuando determinemos: _









2 1

x X x

Con este propósito procedemos a buscar la inversa de A, mediante el uso de las operaciones elementales, para ello formamos la matríz aumentada[A I]:













1 0 4

3

0 1 2

1

2 1

F

F  













 0 2 0 1

0 1 2

1

3 ₁ ₂

1

F F

F 

















 







2 1 2 1 3

0

1 2 0

1 2 1

2 2 1

F F F

La inversa es :















 

2 1 2 3

1 2 A 1

Resolviendo el producto X  A^¹.B tendremos la solución del sistema considerado.

   

_^













































 





 



 











































2 3 2 2 0

3 0 2 2 0

1 1 2 3

0 1 1 2 0

1 2 1 2 3

1 2

2 1

x

x 























2 3 2

2 1

x x

 





 





 2

,3 2 , ₂

1 x x

(17)

16

5.15 Analizar un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro.

Determine el valor del parámetro para que el sistema sea:

A) Consistente - Determinado.

B) Inconsistente

Sea el sistema a considerar:

1 



 y z x

1 3 x  y  z 

6 5 6 x  y  z  a 

a

2

z y

x   

Escribimos en forma matricial el sistema:













 



























2

6 5

1 1

1 1 1

1 1 6

1 1 3

1 1 1

a z a

y x

Formamos la matriz ampliada para determinar el rango o característica de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada.























2 4

3 2 1

1 1 1

6 5 1

1 6

1 1

1 3

1 1

a a F

F F F





















1 0

0 0

5 5

5 0

2 4

2 0

1 1

1 1 6 3

2 1

4 1 3

1 2

1

a a F

F F F

F F

F



 















1 0

0 0

1 1 0

1 2

1 0

1 1

2 4

3 5 1

2 2 1

1

a a F

F F F





















1 0

0 0

1 1

0 0

1 2

1 0

1 1

2 4

2 3

2 1

a a F

F F

(18)

17

Escribimos el sistema equivalente en forma matricial:















 



























2

1 1 1

0 0 0

1 0 0

2 1 0

1 1 1

a z a y x

La matriz A de los coeficientes es:

















0 0 0

1 0 0

2 1 0

1 1 1 A

El rango o característica de la matriz

A

es:

r

 

A 3

La matriz

A'

o matriz ampliada es:





















1 0

0 0

1 1

0 0

1 2 1 0

1 1 1 1 '

a2

A a

Caso A) Sistema Consistente – Determinado.

Para que el sistema posea solución la característica de

A'

debe ser igual a tres (3) para que eso suceda :

a² 10



a1

Caso B) Sistema Inconsistente

Cuando

a1

el sistema no tiene solución, porque

^r

 

^A ^^r

 

^A^'

En este caso decimos que el sistema es Inconsistente o incompatible.

(19)

18

Bibliografía Consultada

Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición).

Mexico: Thomson Learning Iberoamerica.

Grossman, Stanley I. ( 1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). Mexico: MacGraw-Hill Interamericana.

Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. ( Segunda edición actualizada).

Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A.

Féliz Lebreault, Rubén. (2007). Algebra y Análisis Matricial. (Primera edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Serie Multitexto.

Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemática. ( Décima edición).

México: Pearson.

Smith, Stanley A.; Charles, Randall I.; Dossey,John A. ; Keedy, Mervin L.; Bittinger, Marvin L.

(1998). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (Primera edición). México: Pearson.

Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Precálculo con avances de Cálculo. (Cuarta edición).

México: McGraw-Hill. Interamericana Editores S. A.

Báez Veras, José Justo; De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas (Décima edición).

República Dominicana: Editora Universitaria UASD.

Notas de Cátedra de:

Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior.

Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.

Direcciones Electrónicas:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Sistemas_ecuaciones_lineales_interpretacion/index.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones_sistemas_inecuaciones/Indice.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_de_ecuaciones_lineales