Unidad 5. Funciones de Varias Variables

Unidad 5. Funciones de Varias Variables

Preparado por: Gil Sandro Gómez Profesor de la UASD

Año: 2013

Contenido

Introducción ... 2

1. Función de dos variables ... 3

2. Límites y continuidad ... 4

3. Derivadas parciales ... 7

4. Interpretación geométrica de las derivadas parciales ... 9

5. Funciones armónicas ... 10

6. Diferenciales ... 11

7. Reglas de la cadena para funciones de varias variables ... 12

8. Extremos de funciones de dos variables ... 14

9. Multiplicadores de Lagrange ... 17

Bibliografía ... 19

Webgrafía ... 19

Introducción

Hasta el momento nada más habíamos estudiado las funciones de una variable, pero la mayoría de los fenómenos que analizamos en el mundo real dependen de más de una variable.

Las funciones de dos o más variables tienen una gran aplicación en la ingeniería química, entre las aplicaciones más comunes están: la ley de los gases, el análisis termodinámico entre otras.

Los multiplicadores de Lagrange es una metodología asociada a las funciones de varias variables que tiene una gran utilidad al momento de analizar funciones sujetas a restricciones. Es común en la ingeniería industrial usar esta técnica para analizar la factibilidad de un proceso o el costo de producción de un bien.

1. Función de dos variables

Definición. Es una función

f

que asigna a cada pareja ordenada

  ^{x y ,  D}

un único número real

f x y ( , )

. El conjunto

D

es el dominio de

f

y el correspondiente conjunto de valores f x y( , ) es el rango.

f

Dominio Rango

1.1 Gráfica de la función de dos variables

Definición. Es el conjunto de todos los puntos

( , , ) x y z

para los

z



f x y y x y ( , ) ( , )

que está en el dominio de

f

.

Ejemplo 1. Bosqueje la gráfica de f x y( , ) 1 x²y²

(x,y)

1.2 Curvas de nivel

Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campo escalar en el que el escalar

z



f x y ( , )

se asigna al punto

( , ) x y

. Un campo escalar puede caracterizarse por sus curvas de nivel o líneas de contorno a lo largo de los cuales es constante. Las curvas de nivel de igual presión se llaman isobaras. Las curvas de nivel que en mapas climáticos representan puntos de igual temperatura reciben el nombre de isotermas. Las curvas de nivel que representan campos de potenciales eléctricos se llaman líneas equipotenciales.

Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie de la tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de mapas se llama mapa topográfico.

2. Límites y continuidad

Previo a la definición de límite de una función de dos variables necesitamos definir una serie de conceptos, tales como:

1. Vecindad de un punto

x :

un punto

x

que pertenece a R, cualquier subconjunto de R que posea un abierto que contenga a

x

se llama una vecindad de

x .

2. Bola abierta: se llama bola abierta al conjunto representado por

2 2

( )_x {( , ) : ( 0) ( 0) } B  x y xx  yy 

3. Bola cerrada: se llama bola cerrada al conjunto dado por

2 2

( )_x {( , ) : ( 0) ( 0) } B  x y xx  yy 

4. Punto interior: un punto

x

es un punto interior de un conjunto

S

si existe una vecindad de

x

contenida en

S .

El conjunto de los puntos interiores de

S

se llama interior de

S .

5. Punto frontera: un punto

x

es un punto frontera de un conjunto

S

si cada vecindad de

x

contiene puntos que están en el interior de

S

y puntos que no están en

S .

El conjunto de los puntos fronteras recibe el nombre de frontera de

S .

6. Un conjunto es abierto si contiene todos puntos interiores y es cerrado si contiene todos sus puntos fronteras. Hay conjuntos que no son abiertos ni cerrados.

7. Conjunto acotado: un conjunto

S

es acotado si existe un

R  0

tal que todas las parejas ordenadas en

S

están dentro de un círculo de radio

R

y con centro en el origen.

2.1 Definición límite de una función de dos variables

Sea

f

una función de dos variables en un disco abierto centrado en ( ,x y_{0 0}), excepto posiblemente en ( ,x y_{0 0}), y sea

L

un número real. Entonces

0 0

( , )

lim

( , )

( , )

x y x y

f x y L





Si para cada

  0

existe un número real

  0

tal que si

  ^{x y ,  D}

^y



0

 

² 0



²

0



x



x



y



y





en este caso

^{f x y}   ^{,   L }

Nota: los límites de dos variables tienen las mismas propiedades que cuando es de una sola variable.

Ejemplo. Calcular el límite de

( , ) (0,0)

lim cos

cos

x y

xy x

xy x







( , ) (0,0)

cos (0)(0) cos 0 0 1

lim 1

cos (0)(0) cos 0 0 1

x y

xy x

xy x



      

  

Ejemplo 2. Determine si el límite existe o no.

   

2 2

2 2

,

lim

0,0 x y

x y

x y







Realizamos la sustitución de las variables para calcular el límite dado

   

2 2 2 2

2 2 2 2

, 0,0

0 0 0

lim ~ (3)

0 0 0

x y

x y

x y



 

 

 

Como podemos observar, el cálculo directo del límite nos proporciona una forma indeterminada, es decir, no sabemos si el límite existe o no. Es importante recordar que si la función es de dos o más variables no se aplica la regla de L’Hôpital.

Busquemos la solución utilizando en método de las tres vías, estas son:

Primera vía. Nos acercamos al origen por la recta

y  0

En este caso, sustituimos a la variable

y

por cero en la función.

               

2 2 2 2

2 2 2

,0 0,0 ,0 0,0 ,0 0,0 ,0 0,0

lim 0 lim lim lim 0

x

0

x x x

x x x

x x

x x

   

    



Segunda vía. Nos aproximamos a través de la recta

x  0

               

2 2 2 2

2 2 2

0, 0,0 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,0

lim 0 lim lim lim 0

y

0

y y y

y y y

y y

y y

   

    



Tercera vía. Nos acercamos por medio de la recta

y  x

Como ambas variables son iguales, entonces sustituimos a una por la otra por comodidad.

               

 

2 2 2 2

2 2 2

, 0,0 , 0,0 0, 0,0 0, 0,0

2 2 2 2 0

lim lim lim lim 0

2 2 2

y y y y

2

y y

y y y y y

y y y y

   

     



Comparando los resultados obtenidos por las tres vías, nos damos cuenta que son iguales, por tanto el límite existe y su valor es cero. Entonces,

Otra forma de calcular el límite de una función de dos variables es utilizando coordenadas.

Ejemplo 3. Aplicando coordenadas polares determine si el límite existe o no

2 2

2 2

( , )

lim

(0,0) x y

x y xy x y



  

  

 

Primero pasamos de coordenadas cartesianas a coordenadas polares y luego procedemos a calcular el límite dado.

cos

x  r 

y

y  rsen 

Como ambas variables son iguales a cero, entonces

r  0.

      

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

0 0

cos cos

lim cos lim cos

cos cos

r r

r r sen sen

r rsen r sen r

r r sen r sen

   

   

   

 

 

     

     

   

   

2 2 2 2 2 2

lim

0

cos cos 0 cos cos 0

r

r  sen   sen   sen   sen 



   

El límite existe y su valor es cero.

   

2 2

2 2

,

lim

0,0

0

x y

x y

x y



 



2 2

2 2

( , )lim(0,0) 0

x y

x y xy x y



  

  

 

2.2 Función continua en un punto

Definición. Una función f x y( , ) es continua en el punto

  ^{a b ,}

si se cumple que:

1.

f

tiene un valor en

  ^{a b ,}

2. El lίmite

f

existe en

  ^{a b ,}

3.

( , )

( , )

lim

( , )

( , )

x y a b

f a b f x y





2.3 Continuidad en un conjunto

Definición. Una función

f x y ( , )

es continua en un conjunto S si

f x y ( , )

es continua en cada punto del conjunto.

Teorema. Composición de funciones

Si una función

g

de dos variables es continua en

  ^{a b ,}

y una función

f

de una variable es continua en

g a b ( , )

, entonces la composición

f g

, definida como

(f g x y)( , ) f g x y( ( , ) es continua en

  ^{a b , .}

3. Derivadas parciales

Definición. Sea

f

una función de dos variables ( , )x y . Las derivadas parciales de

^{f x y}   ^,

respecto a la variable

x

y a la variable

y

se expresan por:

0

( , ) ( , )

( , ) lim ~ ( )

x x

f x x y f x y

f x y a

 

x

  

 

0

( , ) ( , )

( , ) lim ~ ( )

y y

f x y y f x y

f x y b

 

y

  

 

siempre que estos límites existan.

Las derivadas parciales de

^{f x y}   ^,

pueden escribirse en las formas siguientes:

( , ) f x y

x



 este símbolo significa la derivada parcial de f x y( , ) respecto de

x .

( , ) f x y

y



 este símbolo significa la derivada parcial de f x y( , ) respecto de

y .

Ejemplo 4. Determine la derivada parcial de

2 2

2 2

2 2 2 2 2

cos( ) 2

2 ( ) 2

2 ( ) cos( ) 2

z y x y xy

z xysen x y y

x

z y sen x y x y x

y

  

    



      



3.1 Derivadas parciales de orden superior

En una función de una variable podemos determinar la derivada de segundo orden, tercer orden, cuarto orden, etc., así sucede con una función de dos o más variables. Las derivadas parciales de orden superior se denotan en el orden que se hace la derivación. Dada una función

^{z  f x y}   ^,

tiene las siguientes derivadas de segundo orden:

1. Derivar dos veces respecto a

x :

  ^,

²

 

₂

^,

xx

  ^,

f x y f x y

f x y

x x x

 

 

   

    

2. Derivar dos veces respecto de

y :

  ^,

²

 

₂

^,

yy

  ^,

f x y f x y

f x y

y y y

 

 

    

    

3. Derivar primero respecto de

x

y luego respecto a

y :

2

xy

f f

y x y x f

        

     

4. Derivar primero respecto de

y

y luego respecto a

x :

2

yx

f f

x y xy f

 

      

    

Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas (cruzadas).

Ejemplo 5. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de

2 3 2

2 5

z  x y  y senx  x

Primero calculamos las derivadas de primer orden

3 2

4 cos 5

z

x

 xy  y x 

2 2

6 2

z

y

 x y  ysenx

Ahora buscamos las derivadas de segundo orden

12

2

2 cos z

xy

 xy  y x

12

2

2 cos z

yx

 xy  y x

3 2

xx

4

z  y  y senx 12

2

2 z

yy

 x y  senx

Como podemos ver las derivadas ²z ²z x y y y x

 

    son iguales.

4. Interpretación geométrica de las derivadas parciales 4.1 Interpretación geométrica de ^{f x y}   ^,

x





El valor de

f

x

  a b ^,

es la pendiente de la recta tangente en

^{P a b c}  ^{, ,} 

de la curva

x

que se encuentra sobre la superficie

^{z  f x y}   ^{, .}

4.2 Interpretación geométrica de ^{f x y}   ^,

y





El valor de

f

y

  a b ^,

es la pendiente de la recta tangente en

^{P a b c}  ^{, ,} 

de la curva

y

que se encuentra sobre la superficie

^{z  f x y}   ^{, .}

Teorema de Clairaut o teorema de las derivadas parciales cruzadas

Si

f

es una función en ( , )x y tal que

f

_xyy

f

_yx son continuas en un disco abierto R, entonces, para todo

( , ) x y

en R,

2 2

( , ) ( , ) f x y f x y

y x x y

  

   

5. Funciones armónicas

Las derivadas parciales se utilizan en las ecuaciones diferenciales parciales, éstas se expresan algunas del mundo real. La ecuación diferencial parcial

2 2

2 2

0

u u

x y

  

 

La ecuación anterior recibe el nombre ecuación de Laplace en honor al matemático francés Pierre Laplace. Las soluciones de esta ecuación las llamamos funciones armónicas, juegan un rol determinante en los problemas de conducción de calor, flujo eléctrico y flujo de líquidos.

Definición. Una función real de

n

recibe el nombre de función armónica en

D

si sobre

D

contiene derivadas parciales continuas de primer y segundo orden y además satisface la ecuación de Laplace.

Ejemplo 7. Analice si la función

^{u x y}   ^{,  senx cosh y  cos xsenhy}

es solución de la ecuación de Laplace.

Para verificar si una función es solución de la ecuación de Laplace es necesario determinar las derivadas parciales de segundo orden de la función dada.

Procedemos a encontrar las derivadas parciales de

^{u x y}   ^{, :}

cos cosh

cos cosh

x y

u x y senxsenhy

u senxsenhy x y

 

 

Las derivadas de segundo orden de

^{u x y}   ^,

^son:

  ^{, cosh cos}

u

xx

x y   senx y  xsenhy

  ^{, cos cosh}

u

yy

x y



xsenhy



senx y

Sumamos las derivadas de segundo orden de la función dada

  ^,   ^{, cosh cos cos cosh}

xx yy

u x y



u x y

 

senx y



xsenhy



xsenhy



senx y

Nos queda que:

u

xx

  x y ^,



u

yy

  x y ^,



⁰

Podemos concluir que la función dada es una función armónica, porque satisface la ecuación de Laplace.

6. Diferenciales

6.1 Diferencial total

Definición. Si

z  f x y ( , )

y

 x

y

 y

son los incrementos en

x

y en

y ,

entonces las diferenciales totales de las variables independientes son dx x y dy  y y la diferencial total de la variable dependiente

z

es

( , ) ( , )

x y

z z

dz dx dy f x y dx f x y dy

x y

 

   

 

Esta definición puede extenderse una función de tres o más variables.

Ejemplo 7. Halle la diferencial total de la función dada

2 3

2 ; (1,1), (0.99,1.02)

z x y P Q

Aplicando la fórmula de diferencial total tenemos que:

( , ) ( , )

x y

z z

dz dx dy f x y dx f x y dy

x y

 

   

 

3 2 2

3 2 2

4 , 6

0.99 1 0.1, 1.02 1 0.02

4 6

z z

xy x y

x y

dx dy

dz xy dx x y dy

   

 

      

 

Evaluamos el diferencial total de la función en (1,1)

2 2 2

4(1)(1) ( 0.01) 6(1) (1) (0.02) 0.08

dz   

6.2 Diferenciabilidad

Definición. Una función

f

dada por z f x y( , )es diferenciable en

( , x y

_{0 0}

)

_si

 z

puede expresarse en la forma

0 0 0 0 1 2

( , ) ( , )

x y

z f x y x f x y y  x  y

        

Donde ₁ y ₂ 0 cuando (  x, y) (0, 0). La función

f

es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R.

Teorema. Condiciones suficientes para la Diferenciabilidad

Si

f

es una función en ( , )x y , para la que f y f_{x y} son continuas en una región abierta R, entonces

f

es diferenciable en R.

Teorema. Diferenciabilidad implica continuidad

Si una función en ( , )x y es diferenciable en ( ,x y , entonces es continua en _{0 0}) ( ,x y . _{0 0})

7. Reglas de la cadena para funciones de varias variables

Teorema. Regla de la cadena: una variable independiente

Sea w f x y( , ), donde

f

es una función derivable de x e y . Si xg t( ), yh t( ), donde g y h son funciones derivables de t , entonces w es una función diferenciable de t , y

dw w dx w dy dt x dt y dt

 

 

 

Ejemplo 8. Determine ^dw

dt mediante la regla de la cadena.

  ^{, ln( ) 2 , cos ,}

w x y  x  y  xy x  t y  sent

Derivamos a

^{w x y}   ^,

respecto a

x

y respecto

y .

1 1

2 , 2

w w

y x

x x y y x y

     

   

, cos

dx dy

sent t

dt   dt 

Vamos a sustituir las variables por su respectivo valor en cada derivada parcial:

1 1

2 , 2cos

cos cos

w w

sent t

x t sent y t sent

     

   

Usando la fórmula

dw w dx w dy dt x dt y dt

 

 

 

   

1 1

2 2cos cos

cos cos

dw sent sent t t

dt t sent t sent

   

        

2

cos

2

2 2cos

cos cos

dw sent t

sen t t

dt   t sent   t sent 

 

2 2

cos 2 2cos

cos

dw t sent

sen t t

dt t sent

   



cos 1 cos 2 1 cos 2 cos

2 2 1 cos 2 1 cos 2

cos 2 2 cos

dw t sent t t t sent

t t

dt t sent t sent

       

           

Teorema. Regla de la cadena: dos variables independientes

Sea w f x y( , ), donde

f

es una función derivable de x e y . Si xg s t( , ), yh s t( , ) son tales que las derivadas parciales de primer orden x, x, y y

s t s y t

   

    , existen, y están dadas por w w x w y

s x s y s

    

     y w w x w y

t x t y t

    

    

Ejemplo 9. Hallar ^w s



 y ^w t





2 2

, cost,

~ ( ) ~ ( )

2 , 2 , cos , ~ (2)

t

t

w x y x s y se

w w x w y w w x w y

a b

s x s y s t x t y t

w w x y

x y t e

x y s s

   

           

         

        

   

Sustituyendo (2) en (a)

cos 2cos 2

cos

dw t sent

dt t sent t

  



2 (cos ) 2 ( )

^t

w x t y e

s

  



Sustituyendo a x y a y por su valor:

2 2

2 cost(cos ) 2 ( )

2 cos 2

t t

t

w s t se e

s

w s t se

s

  



  



Ahora derivemos respecto a

t

:

~ ( )

w w x w y

t x t y t b

    

 

    

,

~ (3)

2 ( ) 2 ( )

t

t

x y

ssent se

t t

w x ssent y se s

     

    

 

Sustituyendo (3) en (b)

2 2 2

2 cos ( ) 2 ( )

2 cos ) 2

t t

t

w s t ssent se se s

w s tsent s e

s

   



   



8. Extremos de funciones de dos variables

8.1 Extremos relativos

Definición. Sea

f

una función definida en una región R que contiene ( ,x y _{0 0}) 1. La función

f

tiene un mínimo relativo en ( ,x y si _{0 0})

0 0

( , ) ( , ) f x y  f x y

para todo ( , )x y en un disco abierto que contiene ( ,x y . _{0 0}) 2. La función

f

tiene un máximo relativo en ( ,x y si _{0 0})

0 0

( , ) ( , ) f x y  f x y

para todo en un disco abierto que contiene ( ,x y . )

Teorema del valor extremo

Sea

f

una función continua de dos variables x e y y definida en una región acotada cerrada R en el plano

xy

.

1. Existe por lo menos un punto en R , en el que f toma un valor mínimo.

2. Existe por lo menos un punto en R , en el que ^f toma un valor máximo.

8.2 Puntos críticos

Definición. Sea

f

definida en una región abierta R que contiene ( ,x y . El punto _{0 0}) ( ,x y _{0 0}) es un punto crítico de

f

si se satisface una de las condiciones siguientes:

1. f x y_x( ,_{0 0})0 y

f

y

  x y ^,



⁰

2.

f

x

  x y ^,

o

f

y

  x y ^,

no existe.

Teorema. Los extremos relativos se presentan solo en los puntos críticos

Si

f

tiene un extremo relativo en( ,x y en una región abierta_{0 0}) R , entonces es un punto crítico de

f

.

8.3 El criterio de las segundas derivadas parciales

Los puntos críticos de una función de dos variables no siempre son máximos o mínimos.

Algunos puntos críticos dan puntos sillas que no son ni máximos ni mínimos.

Teorema. Criterio de las segundas derivadas parciales

Sea

f

una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene un punto

  ^{a b ,}

para el cual

f a b_x( , )0 y ( , )f a b_y 0 Para buscar los extremos relativos de

f

considérese el valor

d



f

_xx

( , ) a b f

_yy

( , ) a b

 

f

_xy

( , ) a b

² Entonces,

1.

d  0

y

^{f a b}   ^{,  0}

existe un mínimo en el punto

  ^{a b , .}

2.

d  0

y

f

xx

  a b ^,  ⁰

existe un máximo en el punto

  ^{a b , .}

3.

d



0,

existe un punto silla en

  ^{a b , .}

4. Si

d  0

no se puede aplicar el método.

Nota: Una forma conveniente para recordar el valor de d, es utilizar el determinante 2x2 ( , ) ( , )

( , ) ( , )

xx xy

xy yy

f a b f a b f a b f a b

Ejemplo 10. Determine todos los puntos críticos. Indique si cada uno de estos puntos da un máximo local o un mínimo local o si es un punto silla.

  ^,

³

^{12 8}

³

f x y



x



xy



y

Primer paso. Derivamos la función dada para encontrar los puntos críticos

 

 

2

2

, 3 12

, 12 24

x

y

f x y x y

f x y x y

 

  

Igualamos a cero las primeras derivadas y determinamos los puntos críticos.

2

2

3 12 0

~ (10)

12 24 0

x y

x y

 

  

El sistema (10) es un sistema de ecuaciones no lineales, por tanto es necesario tener la precaución al momento de hallar la solución.

Al resolver el sistema nos encontramos que los puntos críticos son:

  ^0,0

^y

  ^{2,1 .}

^{Por un}

asunto de espacio no presentamos el desarrollo del sistema de ecuaciones.

Segundo paso. Buscamos las derivadas de segundo orden de la función dada

 

 

, 6

, 48

xx yy

f x y x

f x y y





 

 

12 12

xy yx

f xy f xy

 

 

Se cumple el teorema de Clairaut, que establece que las derivadas cruzadas son iguales.

Tercer paso. Calculamos el determinante

Por comodidad es preferible evaluar las derivadas antes de calcular el determinante.

Iniciemos nuestro análisis en el punto

  ^0,0

    ^{0,0 6 0 0}

f

xx

 

  ^{0,0 48 0}   ⁰

f

 

Los valores complejos no se consideran como parte de la solución del sistema, porque nuestra materia está basada en el campo de los reales.

  ^0,0   ^{0,0 12}

xy yx

f



f

 

   

   

0,0 0,0 0 12

0,0 0,0 12 0 144

xx xy

xy yy

f f

d f f

    



En el punto crítico

  ^0,0

tenemos que:

0,

d

 por tanto hay un punto silla.

Cuarto paso. Calculamos el punto silla

  ^{0,0 0}

³

^{12 0 0}      ^{8 0}

³

⁰

f    

El punto silla de la función es:

Quinto paso. Ahora tomamos el punto

  ^2,1

y reiniciamos nuestro análisis.

    ^{2,1 6 2 12}

f

xx

 

  ^{2,1 48 1}   ⁴⁸

f

yy  

   

  ^{2,1 2,1}   ^{2,1 2,1 12} 12 48 ^{12 432}

xx xy

xy yy

f f

d f f

   

 Evaluemos a

f

xx

  x y ^{, :}

    ^{2,1 6 2 12}

f

xx

 

Dado que

d  0

y

f

xx

  ^2,1  ^0,

hay un mínimo en

  ^{2,1 .}

Para calcular el mínimo evaluamos la función en el punto crítico.

    ^{2,1 2}

³

^{12 2 1}      ^{8 1}

³

⁸

f     

El punto mínimo es:

9. Multiplicadores de Lagrange

Teorema de Lagrange

Sean

f y g

funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que

f

tiene un extremo en un punto

( , x y

_{0 0}

)

sobre la curva suave de restricción o ligadura

g x y ( , )  c

. Si

0 0

( , ) 0 g x y

 

, entonces existe un número real



tal que

 f x y ( ,

_{0 0}

)    g x y ( ,

_{0 0}

)

 ^0,0,0 

 ^{2,1, 8 } 

9.1 Método de los multiplicadores de Lagrange

Si

f y g

son funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, y sea

f

_una

función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción

g x y ( , )  c

. Para hallar el mínimo o el máximo de

f

, seguir los pasos descritos a continuación:

1. Resolver simultáneamente las ecuaciones

 f x y ( , )    g x y y g x y ( , ) ( , )  c

resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente:

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

x x

y y

x y x y

f g x y

f g x y

g x y c











2. Evaluar

f

en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor mayor da el máximo de

f

sujeto a la restricción

g x y ( , )  c

, y el valor menor da el mínimo de

f

sujeto a la restricción

g x y ( , )  c

.

Ejemplo 11. Mediante los multiplicadores de Lagrange encuentre los extremos de la función sujeto a la restricción

x

²y² 1.

2 2

2

3 1 . ( , )

2 . :

( , ) 2 3 ~ (1) ( , ) 3 2

( , ) 2 ( , ) 2

:

( , ) ( ,

( , )

er

1

do

x y

x y

x x

xy y Paso Sea g x y

Paso Hallamos las derivadas parciales de f y g

x y x y

f x y x y

g x y x y g x y y

Construímos el sistema de ecuaciones x y g x y

f x y x

x y

f

f 

 



 

 

 





 

2 2

) ( , ) ( , ) ( , )

2 3 2 ~ (1)

3 2 2 ~ (2)

1 ~ (3)

y y

f x y g x y g x y c

x y x

x y y

x y











 

 

 

Despejamos a



de las ecuaciones (1) y (2):

2 3 3 2

~ (4) ~ (5)

2 2

x y x y

x y

 

^

 

^

Igualamos las ecuaciones (4) y (5):

2 2

2 3 3 2

4 6 6 4

2 2

x y x y

xy y x xy

x y

      

2 2

6 y  6 x    y x

Sustituimos a

y

por su valor en (3):

2 2

1 x  x 

2 2

1

2 1

x   x  2 1 ,

x

 

2

el punto crítico es

1 1 2 , 2

 

 

 

Evaluamos a

f

en

1 1

, :

2 2

 

 

 



¹ 2 ¹ 2



^{2 2}

1 1 1 1 1 3 1 5

, 3

2 2 2 2

2 2 2 2

f             

       El punto máximo es:

Bibliografía

1. Edwards, C & Penney, D. (2008). Cálculo con trascendentes tempranas (7^ma edición).

México: Pearson.

2. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (2006). Cálculo II (8^va edición). México: Mc Graw Hill.

3. Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (2010). Cálculo Esencial. México: CENGAGE Learning.

4. Purcell, E., Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Cálculo (9^na edición). México: Pearson 5. Thomas, G. (2005). Cálculo multivariables (11^ma edición). México: Pearson.

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Webgrafía

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1 1 5

, , 2 2 2

 

 

 

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