SISTEMA CARTESIANO

(1)

SISTEMA CARTESIANO

PAR ORDENADO

Intuitivamente, un par ordenado es un conjunto de dos elementos en el cual cada elemento tiene un lugar fijo, si los elementos son (a, b) el par ordenado se simboliza por :

(a , b) = { {a} , {a , b} }

donde : (a , b)

segundo elemento, componente o coordenada primer elemento, componente ó coordenada

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS O RECTANGULARES

Es aquel sistema de referencia usado con más frecuencia para representar un par ordenado como un punto en el plano.

Representándose mediante la intersección de dos rectas (numéricas) en forma perpendicular llamadas Eje de Coordenadas.

 La recta horizontal se llama eje X ó eje de abscisas.

 La recta vertical se llama eje Y ó eje de ordenadas.

 El punto de intersección se llama origen de coordenadas.

(0, 0) a

b (a, b)

origen

X Eje de abscisas Y Eje de ordenadas

(2)

Observaciones

:

 Debemos tener en cuenta que tanto a la derecha como hacia arriba del origen de coordenadas se encuentran números reales positivos, a la izquierda y hacia abajo del mismo números reales negativos.

 Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro zonas ó regiones llamadas CUADRANTES (primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante).

Ejemplo :

(2, 1)  IC , (-3, 5)  IIC , (-1, -4)  IIIC y (5, -5)  IVC origen de coordenadas

X Y

(+)

(-)

2 -1 1

-3

5

-4 -5

X Y

(-3, 5)

(2, 1)

(-1, -4)

(-5, -5) X

Y

II

III

I

IV

origen de coordenadas

coordenadas

(3)

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dado los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) la distancia entre ellos se calcula de la siguiente manera :

d = (x₂ x₁)² (y₂ y₁)² ………. d > 0

siempre es positiva

Ejemplo :

Calculando la distancia :

d = (3(3))²(41)² d = ^{6 }² ³²

d = ⁴⁵ ó d = 3 ⁵

CASO PARTICULAR

Radio Vector.- Es la distancia que existe entre el origen de coordenadas y punto cualquiera del plano, dicho radio vector se representa por r, siendo siempre positivo.

Calculando el radio vector : r = (x0)²(y0)² r = x ² y²

A(x₁, y₁)

B(x₂, y₂) d

Y

X

(x, y) Y

(0, 0) origen X r (-3, 1)

(3, 4) 4

-3 3

1 d Y

X

(4)

Calculando el radio vector :

r = ⁽^¹⁾² ^⁽ ²⁾² r = ³

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Dado el segmento AB ubicamos el punto M tal que :

MB AM

=

b a

Se cumple :

M =

b a

Ba Ab



Ejemplo : Calcular las coordenadas del punto P si

PB AP

=

3 2

Calculando “P” : P =

5 2 ) 7 , 3 ( 3 ) 2 , 12

(  

=

5 ) 14 , 6 ( ) 6 , 36

(  

=





 





5 , 20 5

30

= (6, 4) Y

-1 X (-1, ) 2

r

A

B

M b a

X Y

2 3

B

P

A(12, 2) (-3, 7)

(5)

CASO PARTICULAR

Punto Medio.- Dado el segmento AB mostrado en el gráfico adjunto su punto medio M se halla así :

M =

2 B A 

Ejemplo :

M =

2 ) 11 , 5 ( ) 5 , 3

( 

M =





 



 2 , 16 2 8

M = (4, 8)

BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO

Dado el triángulo ABC su baricentro G se halla de esta manera.

G = 3

C B A  Y

X M

A

B

G

A

C Y B

X (3, 5)

(5, 11) 11

5

3 5

M Y

X

(6)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Señale la alternativa incorrecta :

a) (5, 3)  IC

b) (3, 0) esta ubicado en el semi eje positivo de las abscisas

c) (-2, -1)  IIIC d) (0, 6)  IC ó IIC e) (2, -5)  IV

2. Halle la distancia del punto (1, -2) al punto (4, 2)

a) 5 b) 12 c)

13

d) 4 e) 8

3. Determine el radio vector del punto medio del segmento que se forma al unir los puntos (-8, 7) y (6, 3)

a) ¹³ b) ³ c)

20

d) ²⁶ e) 5

4. Determine ^{b }^a del gráfico :

a) 2 b) 3 c)

5

d) ⁷ e) 2 ³

5. Del gráfico, calcular “b - a”

a) -2 b) 10 c) 14 d) -10 e) -14

6. (4, 2) es el punto del segmento formado al unir los puntos A(a, -3) y B(5, b).

Determinar : E = ^{b }^a

a) ² b) ³ c) 2

d) 3 e) 5

7. Del gráfico, hallar “x”

a) 2 ⁵

b) 2 ⁷

c) 2 ¹⁰

d) 2 ¹¹

e) 2 ¹³

8. Señale el punto P que divide el segmento de extremos A(-5, 1) y B(3, 5), si se sabe que :

PB AP

= 3

a) (1, 2) b) (2, 3) c)

(2, 4)

d) (1, 4) e) (1, 1)

9. Si dos vértices de un cuadrado son (1, 3) y (-1, 2) el perímetro de cuadrado sería :

a) 4 ³ b) 8 c)

12

d) 4 ⁵ e) 4 ⁶

10. Calcular el perímetro del rectángulo ABCD

a) 10 b) 20 c) 12 d) 24 e) 36

11. Del gráfico, hallar “x + y”

(ABCD es un paralelogramo) (-7, 4a+1)

(-3, b+3)

(a, 9)

S S

A(-1, -1)

C(a, b)

B(7, 7) D(4, -6)

D C

B(7,3) A(-2,3)

X Y

A

D(5,y) C(7,9) B(x,5)

Y

X B(16,13)

A(-2,5)

C(2,-7) x

(7)

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

(8)

12. Si en un triángulo dos de sus vértices son A(1, 3) y B(7, 1) además su baricentro es C(5, 0). ¿Cuál es la suma de coordenadas del tercer vértice C?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

13. Del gráfico, calcular la distancia entre A y C.

a) ³¹

b) 2 ³¹

c) ⁶¹

d) 2 ⁶¹

e) ³⁷

14. Del gráfico, halle la suma de coordenadas de M si BN = 5 NC.

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0

15. De la figura, calcular tg  si AM = MB = BC

a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 3/4 e) 1/5

TAREA DOMICILIARIA Nº 1

1. Señale la alternativa incorrecta :

a) (1, 2)  IC b) (-3, 5)  IIC c) (8, -3)  IIIC d) (-3, -5)  IIIC e) (3, 6)  IC 2. Señale lo incorrecto :

a) (1, -2)  IVC b) (-3, -5)  IIIC c) (-4, 5)  IIC

d) (3, 0) esta ubicado en el eje x e) (0, 3) esta ubicado en el semi eje

negativo de ordenadas

3. ¿Cuál es la distancia entre A(3, -1) y B(2, 0)?

a) 3 b) 2 c)

2

d) 3 ² e) 1

4. Determine la distancia entre (1, 1) y (2, 3)

a) ⁵ b) ¹⁰

c) 5

d) 10 e) 3

5. Determine el radio vector del punto (- ³, ⁶ )

a) 3 b) 2 c)

1/3

d) 4 e) 5

6. Determine el punto medio del segmento formado al unir A(4, 7) y B(-10, 5)

a) (-3, 6) b) (-3, 5) c)

(-6, 6)

d) (-3, 4) e) (-2, 1)

7. Si (-1, 2) es el punto medio del segmento al unir los puntos (-3, -1) y (a, b). Determine “a + b”

a) 3 b) 4 c) 5

A

B(3,7)

C X Y

5 6

7S

S N M

C(9,-19) A(1,1)

B

 X

Y B

C

A (-11,-5) (-7,0) M

(9)

d) 6 e) 7

8. Señale el punto “P” que divide al segmento de extremos A(-1, 1) y B(5, 7) si se sabe que

PB AP

=

2 1

a) (1, 3) b) (-1, 3) c)

(1, 1)

d) (1, 2) e) (2, 3)

9. Determine el área que encierra una circunferencia que pasa por el punto (3, 4)

a) 5 u² b) 10 c)

15

d) 25 e) 30

10. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son A(-1, 1) y B(3, -2). ¿Cuál es el área del cuadrado?

a) 5 u² b) 100 c)

25

d) 50 e) 35

11. Si dos vértices de un triángulo equilátero son (3, 1) y (1, -1). ¿Cuál es su área?

a) ³ b) 2 ³

c) 4 ³

d) 6 ³ e) 8 ³

12. En el gráfico, calcular el área de la región sombreada.

a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 24

13. En un paralelogramo tres vértices consecutivos son A(1, 1), B(3, 5) y C(7, 3). Calcular la suma de coordenadas del cuarto vértice.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

14. Si ABCD es un paralelogramo, hallar las coordenadas del punto “P”.

a) (2, 2) b) (9/2, 2) c) (5, 2) d) (6, 3) e) (5, 3)

15. Calcular el baricentro del triángulo cuyos vértices son A(2, 3) , B(7, 5) y C(- 3, 1)

a) (1, 2) b) (2, 1) c)

(3, 1)

d) (1, 3) e) (2, 3)

B(-2,-3)

A(-6,5) y

X

A(-1,6)

B(4,8)

C P

D(2,1)