TRABAJO DE ALGEBRA TRANSFORMACION LINEAL

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO

EXTENSIÓN ACADÉMICA VALERA

TRANSFORMACION LINEAL

INTEGRANTES: TERAN G. KANDY CI:12907560 MANUEL PEÑA CI:16267405 MAGDA MORENO CI:12044791 NAKARI HERNANDEZ CI:25913605 VICTOR JACANAMIJOY CI 17832640 PROF. CARLOS L. GOMEZ V. INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL

TRANSFORMACIONES LINEALES. DEFINICIÓN

Una transformación lineal es una función o aplicación lineal cuyo dominio y condominio son espacios vectoriales, en lugar de los números reales como es el caso de las funciones en el

campo real. Por supuesto esta tiene que cumplir con ciertas propiedades pero siempre sobre los espacios vectoriales.

A las transformaciones lineales también se les llama operaciones lineares. Una transformación lineal es entonces, una función entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de espacio vectorial, es decir, el conjunto de llegada ( condominio o imagen) de la suma de los 2 vectores del dominio ( conjunto de salida) es la suma de las imágenes de cada uno de los vectores y la imagen del producto del vector por el escalar . La transformación lineal es una definición entre espacios vectoriales, es decir , el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Para enseñar una transformación lineal usaremos F (v)=W, son los espacios

vectoriales que actúan sobre un mismo campo. A las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal.

Una aplicación entre conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada elemento de A, uno de B.

La aplicación de f del conjunto A en el conjunto B si indica mediante f:AB. El conjunto A se llama conjunto inicial, y el conjunto B final. Si la aplicación f asigna al elemento a E A el elemento b E B , diremos que b es la imagen de a, lo que se denota por f(a)=b. la regla ha de estar inequivocadamente definida, de modo que para todos y cada uno de los elementos de A, este claro que elemento de B es su imagen.

En síntesis, podemos dar la siguiente definición:

Una función T: V W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W)

se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, k Î K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T (b) T (k a) = k T (a)

que se puede resumir en T ( a +  b) =  T (a) +  T (b), llamada propiedad de linealidad. Si T: V  W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama

codominio de T.

Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación: T: R2 _{ R}3 _{/  x Î R}2 _{: T ((x}

Se deben verificar las dos condiciones de la definición: a) ¿  x, y Î R2 _{: T (x + y) = T (x) + T (y) ?} x = (x1, x2) y = (y1, y2) x + y = (x1 + y1, x2 + y2) T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) = = (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y) b) ¿  x Î R2_{,  k Î R : T (k x) = k T (x) ?} T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) = = k (x1 + x2, x1 - x2, x2) = = k T (x)

Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal. Ejemplo 2. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R2 _{ R}2 _{/  x Î R}2 _{: T ((x}

1, x2)) = (x2, x1 + 2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición: a) ¿  x, y Î R2 _{: T (x + y) = T (x) + T (y) ?} x = (x1, x2) y = (y1, y2) x + y = (x1 + y1, x2 + y2) T (x) + T (y) = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 4) T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2) T ( x) + T (y)

No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.

Ejemplo 3. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: Mn x n  R /  v Î Mn x n : T (v) = det(v)

Sabemos que det(A + B) det(A) + det(B), y det(kA) = k n _{det(A) k det(A), entonces esta }

transformación no es lineal. Propiedades

 Para toda transformación lineal T: V  W, T (0) = 0 ( El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0V) = 0W )

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn} una base de

V, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única

transformación lineal T: V  W tal que T (vi) = zi (1 ≤ i ≤ n

Clasificación de las transformaciones lineales

Recordemos que las transformaciones lineales son funciones, y como tales, pueden ser sobryectivas, inyectivas o biyectivas. Gráficamente,

Transformación sobreyectiva Transformación inyectiva Transformación biyectiva Se dice que:

T: V  W es un monomorfismo si, y sólo si, T es inyectiva. Es decir, T es un monomorfismo si y sólo si  u, v Î V: T(u) = T(v)  u = v.

T: V  W es un epimorfismo si, y sólo si, T es sobreyectiva. Es decir, T es un epimorfismo si y sólo si  w Î W,  v Î V / w = T(v).

T: V  W es un isomorfismo si, y sólo si, T es biyectiva. Es decir, T es un isomorfismo si y sólo si es un monomorfismo y un epimorfismo.

T: V  W es un automorfismo si y sólo si T es un isomorfismo y un endomorfismo.

Imagen de una transformación lineal

Sea T: V  W una transformación lineal.

Se llama imagen de T ( Im (T)) al conjunto de vectores y e W tales que existe x e V con T (x) = y. Ejemplos Analicemos la transformación: T1: R2 _R2 _{/  v e R}2_: T((x, y)) = (-y, x), encontrando T1(v)

para mil vectores v diferentes:

La imagen de la transformación T1 es, como puede verse en el gráfico, el espacio R2. Esta

transformación es una rotación de 90° en sentido antihorario.Si queremos hallar Im (T1) a

“mano”:

Im (T1) = {y e R2 /  x e R2 : T1 (x) = y }

Si y = (y1, y2) = T1((x1, x2)) = (-x2, x1) entonces: y1 = - x2; y2 = x1

Así, Im (T1) = {y e R2} o simplemente Im (T1) = R2

Analicemos ahora T2 : R2  R2 /  v e R2 : T2 ((x, y)) = ( x + y, - x - y)

La imagen de esta transformación es una recta. ¿Cómo podemos obtener su ecuación?

Sabemos que (0, 0) es un punto de la recta, porque siempre 0W pertenece a la imagen de una

transformación lineal.

Para obtener las coordenadas de otro punto: T2 (1, 1) = (1 + 1, - 1 - 1) = (2, -2)

Entonces la ecuación de la recta es: y = -x, e Im (T2) = { (x, y) / y = - x}.

Analíticamente:

Im (T2) = { y e R2 /  x e R2 : T2 (x) = y }

entonces: x1 + x2 = y1; - x1 - x2 = y2 . Así, y1 = -y2 y Im (T2) = { y e R2 / y1 = -y2 }

Propiedades

Si T: V  W es una transformación lineal, Im (T) es un subespacio de W.

Sea T: V  W una transformación lineal. T es suryectiva (o sobreyectiva) si y sólo si Im (T) = W.

Sea T: V  W una transformación lineal y sean v1, ..., vn e V. Si T (v1), ..., T (vn) son

linealmente independientes en W, entonces v1, ..., vn son linealmente independientes en V.

Como formar transformaciones lineales

Dado un espacio vectorial V, el espacio vectorial L(V,V), que se nota usualmente como (V), forma un álgebra asociativa sobre el cuerpo base, donde la multiplicación es la composición y la unidad es la transformación identidad.

Dominio, codominio, núcleo y recorrido de una transformación.

Al igual que las funciones tradiciones, las transformaciones tienen tres partes esenciales para existir: el dominio, el codominio, y la regla de asignación, como se observa en la figura.

El dominio es el espacio vectorial � al cual se le aplicará la transformación; el codominio es el espacio � al cual pertenece el resultado de aplicar la transformación; la regla de

asignación � es la forma en la cual se debe manipular un elemento de � para convertirlo en un elemento de �; finalmente, �(�) es el recorrido de la transformación, y es el subconjunto de � obtenido a partir de la aplicación de la transformación a cada elemento de �.

EJEMPLO 3.3. Sea la transformación �: ℝ4 →�1, definida por la regla de asignación �(�, �, �, �) = (�+ �)�+ (�−�)

donde ℝ4 es el espacio vectorial de los cuartetos ordenados con elementos reales, y �1 es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a uno.

En este caso, el dominio de � será el espacio ℝ4; en tanto que el codominio es �1. Para obtener el recorrido de la transformación se requiere obtener uno de sus conjuntos

generadores. Esto se logra a partir de la transformación de una base del dominio; es decir, si se aplica la transformación a la base de ℝ4

�= {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} Se obtendrá un conjunto generador:

(1, 0, 0, 0) = � (0, 1, 0, 0) = 1

(0, 0, 1, 0) = −1 (0, 0, 0, 1) = �

Entonces, el conjunto generador del recorrido es �= {�, 1, −1, �}

Como se observa, el conjunto � también es generador de �1. En este caso, el recorrido y el codominio son el mismo.

EJEMPLO. Para la transformación �: ℂ→�2 definida por

donde ℂ (dominio) es el espacio vectorial de los números complejos sobre el campo real, y �2 (codominio) es el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos sobre el campo real.

El recorrido se obtendrá por medio del conjunto generador resultante de transformar la base {1,}.

Para este caso �2 ≠(ℂ). Utilizando la ecuación de dependencia lineal.

Se obtiene que el espacio generado por el conjunto {(1), (�)} es

Dentro de las transformaciones existe un subconjunto especial llamado núcleo. El núcleo es parte del dominio y es el conjunto de vectores de � cuya transformación bajo � tiene como único resultado al vector nulo del espacio � (codominio). Es decir, si se tiene una

transformación �: �→� y existe un subconjunto 𝑈⊂� tal que �(𝑈) = 0�, entonces el subconjunto 𝑈 es el núcleo de la transformación �.

Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, expansión, contracción y rotación Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn Rm

Transformaciones lineales

Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este texto. Su utilización mejora el sentido geométrico de lo escrito.

1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.

2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6). 3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).

4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado

el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.

Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de la

transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a través de la recta y = (−2x / 3).

El primer paso para esto es determinar los vectores base. Por qué debería preocuparme por las transformaciones lineales

Las transformaciones lineales constituyen una de las áreas más importantes de estudio en la matemática. Tienen usos y aplicaciones importantes en el mundo real y se muestran en diferentes áreas del sector de empleo. Los matemáticos describen las transformaciones lineales por un conjunto de reglas y relaciones pero, más simplemente, como un tipo de regla que, cuando se aplica, cambia el tamaño o la dirección de un vector.

Los matemáticos utilizan flechas para representar el valor y el sentido de un vector. Cómo funcionan los Vectores

Los matemáticos piensan en vectores como objetos del mismo modo que piensan un punto o una línea, pero los vectores se mueven en una dirección específica y tienen un valor. Por ejemplo, los físicos describen vectores de velocidad por sus variables: metros y horas. Como vector, la velocidad tiene metros como su valor y norte, sur, este u oeste para representar su dirección. Cualquier tipo de datos con más de una variable pueden representar un vector. Las transformaciones lineales ayudan a los investigadores a predecir acontecimientos futuros Modelos de regresión

Los modelos de regresión ayudan a los investigadores a determinar los patrones en los datos recogidos. Ellos recogen datos y los introducen en un modelo de regresión que los organiza en un diagrama de dispersión o gráfico de líneas. Cada punto de la gráfica corresponde a un vector en dos variables. Por ejemplo, en un modelo de regresión que describe el número de búsquedas de Google hechas al año, el número de búsquedas se corresponde con el valor y el año representa la dirección. El investigador puede introducir los vectores en una

transformación lineal que detecta la tendencia de los datos y predice el número de búsquedas que se producirán en los próximos años. Los investigadores médicos utilizan transformaciones lineales para predecir resultados importantes como los efectos de las hierbas medicinales en los pacientes con cáncer.

Las transformaciones lineales convierten una pantalla de pequeños cuadrados de color en una imagen en tres dimensiones.

Computadoras

Las transformaciones lineales tienen aplicaciones importantes en el mundo de los gráficos por computadora. Aunque los matemáticos observan una transformación lineal como una

manipulación de vectores en un plano, los diseñadores gráficos lo miran como una

manipulación de píxeles en una pantalla de una computadora. Cada vector representa un píxel de una imagen. Esto permite al diseñador utilizar una transformación lineal para agrandar, ampliar o girar los píxeles, uno por uno, hasta que la imagen siga su deseo. Los

programadores usan las transformaciones lineales para hacer muchas de las imágenes tridimensionales y de computadora que disfrutas en línea.

Mercadotecnia

Los comercializadores resuelven muchos de sus problemas cotidianos con transformaciones lineales. Por ejemplo, en la comparación de varios tipos de productos para ver cuál produce el mayor beneficio. Un contador introduce diversos datos sobre el tipo de piezas que se

necesitan para hacer cada producto como columnas en un gráfico. Cada columna representa un vector que puede introducirse en un programa de transformación lineal. La transformación lineal determina el costo por pieza y ayuda a que el negocio funcione de manera eficiente y te ofrezca el precio más bajo posible para sus productos

Matriz asociada a una transformación lineal

Según la teoría de Brevis- Devaud. Una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.

Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1. T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp

Entonces:

coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)

Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz res/sub>(v2), ..., coordC(vn))

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro.

Se puede considerar a la homotecia una homología particular de eje impropio, con centro en el de homología

La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:

1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura

2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro

es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']

3. La imagen de línea es otra línea paralela a la original.

4. el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).

5. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).

6. k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.

7. Si k ≠ 0, admite como trasformación recíproca (cuando k = 0, no es biyectiva).

8. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: o = .

9. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una

homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.

Cuando K es mayor que cero es k mayor Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, se cumple que:

1. todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.

2. el cociente de longitudes es conservado: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura

3. los ángulos orientados son conservados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

Más aún:

1. k = - 1 corresponde a la simetría de centro C que es la rotación alrededor de C de

ángulo π radianes (180º).

2. |k| > 1 implica una ampliación de la figura.

3. |k| < 1 implica una reducción.

4. k < 0, la homotecia se puede expresar como la composición de una simetría con una homotecia de razón |k|, ambas de igual centro. Que la homotecia original.

En esta sección, los escalares serán números reales.

Una homotecia generalizada en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas. De esta definición, se sigue fácilmente que las homotecias conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un 'grupo' y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias.

Consideremos la homotecia en la cual la recta OA se transforma en la recta O'B, siendo O' el homólogo de O y B el homólogo de A. Necesariamente, las rectas OO' y AB son invariantes en esta homotecia y el punto H1, centro de la homotecia, es invariante. En esta homotecia la circunferencia de centro O y radio OA se transforma en la circunferencia de centro O' y de radio O'B y la razón de la homotecia es la razón (positiva) de los segmentos O'B y OA. Si por el contrario, el punto A se transforma en B' entonces la recta AB' es invariante y es el punto H2 el centro de homotecia. En este caso, la razón de la homotecia es negativa.

Ejes de homotecia

Dadas dos circunferencias, éstas siempre se pueden considerar como homotéticas una de la otra.

En la figura de a lado, las líneas de s1, es en la homotecia de razón positiva, con centro en P1, o de razón negativa, con centro de homotecia en N1.

Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la circunferencia S2 es

homotética de la circunferencia s1, y la homotecia de centro P3 en la que la circunferencia s3 es homotética a la circunferencia s2. La composición de estas dos homotecias es la homotecia de centro en P2 que transforma la circunferencia s1 en la circunferencia s3. Es por esta razón que los centros de homotecia positivos, P1, P2 y P3 están alineados. En general, dadas tres circunferencias existen seis centros de homotecia, alineados tres a tres sobre cuatro rectas. Estas rectas son las llamadas ejes de homotecia de las tres circunferencias dadas

Consideremos el siguiente triángulo en R2R2:

Tríangulo 1

¿Existirá alguna transformación lineal que permita modificar de cierta manera este triángulo? Por ejemplo, una FF que transforme el triángulo dado en este otro:

Tríangulo 2 O alguna que lo transforme así:

Triángulo 3

Triángulo 4

El triángulo 4 no contiene al (0,0), por lo tanto no puede obtenerse aplicando una transformación lineal al triángulo 1. ¿Por qué?

¿Los otros podrán obtenerse mediante una transformación lineal? ¿Existe alguna herramienta teórica que permita asegurarlo?

Sí, es el teorema fundamental de las transformaciones lineales. Teorema fundamental de las transformaciones lineales

Este teorema, conocido también como “Teorema de existencia y unicidad de una transformación lineal”, dice lo siguiente:

Sean los espacios vectoriales VV y W, sea B={v1,v2,…,vn}unabasedeVB={v1,v2,

…,vn}unabasedeV y w1,w2,…,wnw1,w2,…,wn vectores cualesquiera (iguales o distintos) de WW. Entonces existe una única transformación lineal que verifica:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪T(v1)=w1T(v2)=w2…T(vn)=wn{T(v1)=w1T(v2)=w2…T(vn)=wn

Para demostrarlo habría que demostrar que esa transformación existe, que es única, y que es lineal. No lo vamos a demostrar pero lo pueden encontrar en textos de álgebra lineal. En el texto recomendado de Ana María Kozak y otros autores, Nociones de Geometría Analítica y Algebra Lineal, está en página 561 y siguientes.

Ejemplo 1

Sean V=R2V=R2 y W=R3W=R3 Consideremos en la base B={(1,0),(1,1)}B={(1,0),(1,1)}, y sean w1=w2=(0,1,0)w1=w2=(0,1,0) De acuerdo con el teorema, existe una única

transformación lineal T:R2→R3T:R2→R3 que verifica: T((1,0))=(0,1,0)T((1,0))=(0,1,0)

T((1,1))=(0,1,0)T((1,1))=(0,1,0)

¿Cómo buscamos la fórmula de la transformación lineal? Tomamos un vector genérico de R2R2 y lo escribimos como combinación lineal de la base, o sea buscamos sus coordenadas respecto de B:

(x,y)=α(1,0)+β(1,1)⇒{x=α+βy=β⇒{α=x–yβ=y(x,y)=α(1,0)+β(1,1)⇒{x=α+βy=β⇒{α=x–yβ=y Los escalares α,βα,β son las cordenadas del vector (x,y)(x,y) en la base BB:

[(x,y)]B=(x–yy)[(x,y)]B=(x–yy)

Donde recordemos que la escritura [(x,y)]B[(x,y)]B significa “las coordenadas del vector (x,y) (x,y)en la base .

(x,y)=α(1,0)+β(1,1)(x,y)=α(1,0)+β(1,1)

Aplicamos la transformación lineal a ambos miembros: ⇒T(x,y)=T(α(1,0)+β(1,1))⇒T(x,y)=T(α(1,0)+β(1,1))

Por las propiedades de las transformaciones lineales, Reemplazamos αα y ββ : T(x,y)=(x–y).(0,1,0)+y(0,1,0)T(x,y)=(x–y).(0,1,0)+y(0,1,0)

T(x,y)=(0,x–y,0)+(0,y,0)T(x,y)=(0,x–y,0)+(0,y,0) T((x,y))=(0,x,0)T((x,y))=(0,x,0)

Hemos obtenido la fórmula de la transformación lineal que cumple con las condiciones. Ejemplo 2

Vamos a ver si podemos transformar el triángulo del esquema de la izquierda, en el triángulo del esquema que está a la derecha:

Nosotros tenemos que dar una base de R2R2 y asignarle sus transformados. Por ejemplo consideremos los versores canónicos que definen al primer triángulo:

Entonces podríamos hacer la siguiente asignación: F((1,0))=(1;0)F((1,0))=(1;0)

F((0,1))=(12;1)F((0,1))=(12;1)

Como (1,0),(0,1)(1,0),(0,1) constituyen una base del dominio, el teorema fundamental permite afirmar que existe una única transformación lineal que verifica esto:

Para encontrar la fórmula de esta trasformación vamos a escribir a un vector genérico de R2R2 como combinación lineal de los vectores de la base dada:

(x,y)=α(1,0)+β(0,1)⇒{x=αy=β⇒{α=xβ=y(x,y)=α(1,0)+β(0,1)⇒{x=αy=β⇒{α=xβ=y

Ahora aplicamos la transformación lineal sobre ese vector genérico, y resolvemos para llegar a una expresión analítica de la transformación lineal:

F((x,y))=F(α(1,0)+β(0,1))F((x,y))=F(α(1,0)+β(0,1))

F((x,y))=α.F((1,0))+β.F((0,1))F((x,y))=α.F((1,0))+β.F((0,1)) F((x,y))=x.(1,0)+y.(12;1)F((x,y))=x.(1,0)+y.(12;1)

F((x,y))=(x,0)+(12y;y)F((x,y))=(x,0)+(12y;y) F((x,y))=(12y+x;y)F((x,y))=(12y+x;y)

En el siguiente archivo de GeoGebra se puede ver el triángulo original, y el transformado. También se puede redefinir la ubicación de los puntos del triángulo original y ver cómo quedaría el transformado en cada caso.

Ejemplo 3

Halle la expresión analítica de cada una de las siguientes transformaciones (R2→R2) (R2→R2):

a) Simetría respecto de la recta y=3xy=3x Resolución

La clave para resolver este ejercicio es elegir una base conveniente para definir la simetría. Grafiquemos la recta y=3xy=3x:

Primero hay que entender qué significa una reflexión respecto de una recta. Supongamos que nos piden una simetría respecto del eje xx. Si tenemos un cuadrado así como el rojo, se transforma en un cuadrado como el violeta:

Todos los puntos que pertenecen al eje xx quedan idénticos. Y los puntos que están sobre el eje yy se transforman en su opuesto. Entonces:

{F((1,0))=(1,0)F((0,1))=(0,–1) {F((1,0))=(1,0)F((0,1))=(0,–1) Considerando estas ideas sobre simetría, en nuestro caso tomamos un vector que esté sobre el eje de

v=(1,3),w=(–3,1)v=(1,3),w=(–3,1)

¿Cuál es el transformado del vector (1,3)(1,3) que está sobre el eje de simetría? ¿Cuál es el transformado del vector (–3,1)(–3,1) que es perpendicular al eje de simetría? Entonces: {F((1,3))=(1,3)porqueestásobreelejedesimetríaF((–3,1))=(3,–

1)porqueesperpendicularalejedesimetría{F((1,3))=(1,3)porqueestásobreelejedesimetríaF((– 3,1))=(3,–1)porqueesperpendicularalejedesimetría

Ahora queda el problema técnico de buscar la fórmula de esta transformación lineal: (x,y)=α(1,3)+β(–3,1)⇒{x=α–3βy=3α+β⇒β=y–3x10∧α=x+3y10(x,y)=α(1,3)+β(–3,1)⇒{x=α– 3βy=3α+β⇒β=y–3x10∧α=x+3y10

Aplico FF a ambos miembros

F((x,y))=F(α(1,3)+β(–3,1))F((x,y))=F(α(1,3)+β(–3,1)) Como FF es transformación lineal:

F((x,y))=α.F((1,3))+βF((–3,1))F((x,y))=α.F((1,3))+βF((–3,1))

F((x,y))=(x+3y10).(1,3)+(y–3x10)(3,–1)F((x,y))=(x+3y10).(1,3)+(y–3x10)(3,–1)

F((x,y))=(x+3y10,3x+9y10)+(3y–9x10,–y+3x10)F((x,y))=(x+3y10,3x+9y10)+(3y–9x10,–y+3x10) F((x,y))=(6y–8x10,6x+8y10)F((x,y))=(6y–8x10,6x+8y10)

F((x,y))=(3y–4x5,3x+4y5)F((x,y))=(3y–4x5,3x+4y5)

Podemos ver en GeoGebra cómo opera la transformación: Ejemplo 4

El propósito de este ejercicio es destacar cuándo es posible aplicar el teorema fundamental de las transformaciones lineales. Sugerimos una lectura cuidadosa de cada uno de los casos presentados a continuación: Analizar si existe y es única la transformación

lineal T:R3→R3T:R3→R3 que verifica: Caso A ⎧⎩⎨⎪⎪T((1,0,0))=(0,1,0)T((0,1,0))=(0,1,0)T((1,1,1))=(0,0,0) {T((1,0,0))=(0,1,0)T((0,1,0))=(0,1,0)T((1,1,1))=(0,0,0) Caso B ⎧⎩⎨⎪⎪T((1,0,0))=(0,1,0)T((0,1,0))=(0,1,0)T((1,–1,0))=(1,0,0) {T((1,0,0))=(0,1,0)T((0,1,0))=(0,1,0)T((1,–1,0))=(1,0,0) Caso C ⎧⎩⎨⎪⎪T((1,0,0))=(0,1,0)T((0,1,0))=(0,1,0)T((1,–1,0))=(0,0,0) {T((1,0,0))=(0,1,0)T((0,1,0))=(0,1,0)T((1,–1,0))=(0,0,0)

Resolución

¿Cuál es la hipótesis del teorema? O sea, ¿qué debe cumplirse para que el teorema tenga validez?

Los vectores del dominio deben ser una base, es decir que debemos prestar atención en cada caso a los vectores señalados:

Caso A

En el caso A los tres vectores son base de R3R3 y entonces podemos aplicar el Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales. Como lo establece el teorema, se puede afirmar que existe una única transformación lineal que verifica las condiciones dadas. ¿Cuál es el mecanismo para buscar la fórmula? Consideramos un vector (x,y,z)(x,y,z) y buscamos sus coordenadas respecto de la base de partida:

(x.y,z)=α(1,0,0)+β(0,1,0)+γ(1,1,1)(x.y,z)=α(1,0,0)+β(0,1,0)+γ(1,1,1)

⎧⎩⎨⎪⎪x=α+γy=β+γz=γ⇒⎧⎩⎨⎪⎪α=x–zβ=y–zγ=z{x=α+γy=β+γz=γ⇒{α=x–zβ=y–zγ=z Aplicamos la transformación lineal a ambos miembros:

T((x,y,z))=αT((1,0,0))+βT((0,1,0))+γT((1,1,1))T((x,y,z))=αT((1,0,0))+βT((0,1,0))+γT((1,1,1)) Y ahora sustituimos las coordenadas obtenidas:

T((x,y,z))=(x–z)(0,1,0)+(y–z)(0,1,0)+(z)(0,0,0)T((x,y,z))=(x–z)(0,1,0)+(y–z)(0,1,0)+(z)(0,0,0) T((x,y,z))=(0,x–z,0)+(0,y–z,0)=(0,x+y–2z,0)T((x,y,z))=(0,x–z,0)+(0,y–z,0)=(0,x+y–2z,0) T((x,y,z))=(0,x+y–2z,0)T((x,y,z))=(0,x+y–2z,0)

Caso B

En el caso B, el conjunto de vectores de partida es linealmente dependiente, no es base de R3R3. Si no se cumplen las hipótesis de un teorema, éste no puede aplicarse. ¿Cómo podemos determinar si existe una transformación lineal que verifique estas condiciones?

Lo que define a una transformación lineal es la conservación de las combinaciones lineales. ¡Esto es lo que debemos controlar! Veamos la diferencia entre el caso B y el C: Observamos que el tercer vector se puede obtener como combinación lineal de los primeros dos:

(1,–1,0)=(1,0,0)–(0,1,0)(1,–1,0)=(1,0,0)–(0,1,0)

Entonces entre sus transformados debería cumplirse la misma relación:

No se conserva la combinación lineal, entonces no existe una transformación lineal que cumpla las condiciones dadas.

Caso C

En el caso C tenemos la siguiente información:

Tampoco se puede aplicar el TFTL, porque el conjunto de vectores de partida es linealmente dependiente. Igualmente podemos preguntarnos: ¿Se conserva la combinación lineal? Notemos que el tercer vector es la diferencia del primero con el segundo:

(1,–1,0)=(1,0,0)–(0,1,0)(1,–1,0)=(1,0,0)–(0,1,0)

Reemplazando:

Lo cual es verdadero. Entonces podemos concluir que existe la transformación lineal aunque no quede unívocamente determinada por la información disponible. Para definir una TL bastaría con establecer cuáll es el transformado de un tercer vector LI con (1,0,0)

(1,0,0) y (0,1,0)(0,1,0). Agreguemos un dato nuevo para que quede bien definida: T((0,0,1))=(0,0,1)T((0,0,1))=(0,0,1)

¿Existe una TL que cumpla con las condiciones iniciales más ésta que acabamos de agregar? Llamemos:

⎧⎩⎨⎪⎪T1((1,0,0))=(0,1,0)T1((0,1,0))=(0,1,0)T1((0,0,1))=(0,0,1) {T1((1,0,0))=(0,1,0)T1((0,1,0))=(0,1,0)T1((0,0,1))=(0,0,1)

Ahora T1T1 queda bien definida y podríamos hallar su fórmula. ¿Cómo podrían definir una transformación T2T2 distinta de T1T1 que también cumpla con las condiciones iniciales? Resumamos lo que obtuvimos analizando estos tres casos:

 Caso A: La transformación lineal existe y es única.

 Caso B: No existe, no se conservan las combinaciones lineales.

 Caso C: Existe pero no es única, no podemos encontrar una fórmula porque la transformación lineal no quedó definida.

Ejemplo 5

Halle la expresión analítica de cada una de las siguientes transformaciones R3→R3R3→R3: a) Reflexión respecto del plano x=yx=y

Resolución

Este ejercicio requiere elegir una buena base. Una gráfica del plano x=yx=y se puede ver a continuación:

El arte para resolver este ejercicio es elegir tres vectores linealmente independientes que sepamos en qué se transforman. ¿Cuál es el simétrico de un vector que esté sobre el plano? El mismo vector. Entonces podemos elegir dos vectores no paralelos incluidos en el plano: T(v1)=v1T(v1)=v1

T(v2)=v2T(v2)=v2

¿Y si tomamos un vector perpendicular al plano, digamos v3v3, en que se transforma? T(v3)=–v3T(v3)=–v3

Ahora debemos elegir v1v1, v2v2 y v3v3 de acuerdo con el plano dado. Proponemos: v1=(1,1,0)v1=(1,1,0)

v2=(0,0,1)v2=(0,0,1) v3=(1,–1,0)v3=(1,–1,0)

Donde los vectores v1v1 y v2v2 están en el plano y el vector v3v3 es perpendicular al plano. De esta forma sabemos cómo se transforman:

⎧⎩⎨⎪⎪T((1,1,0))=(1,1,0)T((0,0,1))=(0,0,1)T((1,–1,0))=(–1,1,0) {T((1,1,0))=(1,1,0)T((0,0,1))=(0,0,1)T((1,–1,0))=(–1,1,0)

Ya queda definida la transformación lineal sobre una base del dominio. Dejamos a cargo del lector encontrar la fórmula de la TL. Les proponemos que definan la TL sobre otra base con las mismas características: dos vectores del plano y uno perpendicular a él. Luego busquen la expresión analítica, ¿coincide con la anterior? Los vectores no son únicos: v1v1 y v2v2 son dos vectores cualesquiera (LI) del plano y v3v3 es un vector perpendicular cualquiera. No importa cuáles elijamos, obtendremos la misma transformación lineal.

Ejercicio para el lector 2

Definir una transformación lineal

F

F de

R3→R2×2

R3→R2×2 que verifique las dos condiciones que siguen:

i)

Nu(F)=gen{(1,1,0)}

Nu(F)=gen{(1,1,0)}

ii)

Im(F)⊆S={A∈R2×2:A=At}

Im(F)⊆S={A∈R2×2:A=At} Obtener la fórmula de la transformación definida.

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL Sea

T

T la siguiente transformación lineal:

T:R2→R3|T((x,y))=(x+2y,x–y,y)

T:R2→R3|T((x,y))=(x+2y,x–y,y)

¿Existirá una matriz

A

A que multiplicada por

(x,y)

(x,y) dé por resultado

(x+2y,x–y,y)

(x+2y,x– y,y)? Para esto vamos a escribir los vectores como columna:

A.(xy)=⎛⎝⎜x+2yx–yy⎞⎠⎟

A.(xy)=(x+2yx–yy) ¿Cuál debería ser el tamaño de la matriz?

Efectuando el producto de matrices, podemos obtener los coeficientes de

A

A :

Encontramos una matriz que realiza la transformación lineal. Se conoce como la matriz estándar de la transformación lineal.

Notemos que la transformación va de

R2

R2 a

R3

R3, y que el orden de la matriz es

3×2

3×2.

Ejemplo 2

Ahora consideremos la siguiente transformación lineal:

F:R3→R2|F((x,y,z))=(x+2z,–y)

F:R3→R2|F((x,y,z))=(x+2z,–y) Queremos buscar una matriz

B

B tal que:

Pensando el orden de la matriz y el valor de sus elementos llegamos a:

Hemos hallado de manera intuitiva la matriz estándar de la transformación lineal. Notemos que la transformación va de

R3

R3 a

R2

R2 y que el orden de la matriz asociada a la

transformación lineal es

2×3

2×3.

Construcción de la matriz asociada a una transformación lineal

Hemos visto ejemplos de cómo surge a partir del producto de matrices, la matriz estándar de una transformación lineal de

Rn

Rn a

Rm

Rm. En lo que sigue intentaremos generalizar para cualquier espacio vectorial de dimensión finita, el concepto de matriz asociada a una

transformación lineal. Aun en el caso de TL en

Rn

Rn, veremos que no siempre la matriz estándar es la más conveniente.

Sea

T:V→W

T:V→W transformación lineal, y

dim(V)=n

dim⁡(V)=n

dim(W)=m

dim(W)=m

B={v

1

,v

2

,…,v

n

}basedeV

B={v1,v2,…,vn}basedeV

B′={w1,…,wm}basedeW

B′={w1,…,wm}basedeW Designamos:

M(T)BB′

M(T)BB′ a la matriz asociada a la transformación lineal

T

T respecto de las bases

B

B y

B

′B′.

Esta matriz se construye por columnas transformando los vectores de la base

B

B (del dominio), y expresando los transformados en sus coordenadas en la base

B

′B′:

M(T)BB′

=([T(v1)]B′

[T(v2)]B′

[T(v3)]B′

…[T(vn)]B′

)

M(T)BB′=([T(v1)]B′[T(v2)]B′[T(v3)]B′… [T(vn)]B′)

La matriz asociada tiene

n

n columnas porque la base

B

B tiene

n

n vectores, y tiene

m

m filas porque las coordenadas en

B

′B′ se escriben con

m

m componentes. O sea que

si

dim(V)=n

dim(V)=n y

dim(W)=m

dim(W)=m,

M(T)

BB′∈Rm×nM(T)BB′∈Rm×n

Propiedad

La matriz asociada a una transformación lineal cumple la siguiente propiedad:

M(T)

BB‘

[v]

B

=[T(v)]

B‘M(T)BB‘[v]B=[T(v)]B‘

Ejemplo 3

Retomemos la transformación lineal:

T:R

2

→R

3

|T((x,y))=(x+2y,x–y,y)

T:R2→R3|T((x,y))=(x+2y,x–y,y) Consideremos las siguientes bases para el dominio y codominio:

B={(0,1),(1,1)}

B={(0,1),(1,1)}

B′={(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)}

B′={(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)}

Construyamos la matriz asociada a la transformación

T

T de la base

B

B a la base

B

′B′, es decir

M(T)BB‘

M(T)BB‘:

M(T)BB‘=⎛⎝⎜4–214–11⎞⎠⎟

M(T)BB‘=(44–2–111)

Dado un vector cualquiera, aunque no conozcamos la fórmula, conociendo la matriz y las dos bases podemos calcular su transformado. Vamos a tomar un vector cualquiera de

R2

R2y lo transformamos… sin mirar la fórmula. Hallemos

T((3,5))

T((3,5)) mediante la matriz

asociada

M(T)BB′

M(T)BB′ :

M(T)

BB‘

[v]

B

=[T(v)]

B‘M(T)BB‘[v]B=[T(v)]B‘

No podemos operar con

(3,5)

(3,5) porque la matriz asociada opera con coordenadas.Debemos buscar las coordenadas de

(3,5)

(3,5) en la base

B

B.

Multiplicamos la matriz por las coordenadas que obtuvimos,

El vector obtenido no es el transformado del vector (3,5) sino que son sus coordenadas en la base

B

′B′.

Para hallar

T(3,5)

T(3,5) debemos multiplicar las coordenadas obtenidas por los vectores de la base B’:

T((3,5))=20(1,0,0)–7(11,0)+5(0,1,1)

T((3,5))=20(1,0,0)–7(11,0)+5(0,1,1)

T((3,5))=(13,–2,5)

T((3,5))=(13,–2,5)

Ahora en lugar de tomar estas bases, tomemos las bases canónicas de

R2

R2 y de

R3

R3.

Busquemos

M(T)

E2E3M(T)E2E3 dónde:

E2={(1,0),(0,1)}

E2={(1,0),(0,1)}

E

3

={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

E3={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} El procedimiento es el mismo pero las cuentas son más fáciles

T((1,0))=(1,1,0)=α(1,0,0)+β.(0,1,0)+γ.

(0,0,1)⇒⎛⎝⎜110⎞⎠⎟1∘columna

T((1,0))=(1,1,0)=α(1,0,0)+β.(0,1,0)+γ.(0,0,1)⇒(110)1∘columna

T((0,1))=(2,–1,1)=α.(1,0,0)+β.(0,1,0)+γ.(0,0,1)⇒⎛⎝⎜2–

11⎞⎠⎟2∘columna

T((0,1))=(2,–1,1)=α.(1,0,0)+β.(0,1,0)+γ.(0,0,1)⇒(2–11)2∘columna

Estos vectores hay que expresarlos en coordenadas respecto de la base canónica de R3, pero

justamente por tratarse de la base canónica, el vector y sus coordenadas son iguales. Entonces resulta:

¡Qué es la matriz estándar de la TL! Es decir que la matriz estándar es la que trabaja con las bases canónicas.

Ejemplo 4

Consideremos la siguiente transformación lineal:

F:R2→P1|M(F)BB′

=(1122)

F:R2→P1|M(F)BB′=(1212)

B={(1,0),(1,1)}

B={(1,0),(1,1)}

B′={1,1–x}

B′={1,1–x} a) Hallar

F((2,1))

F((2,1))

b) Hallar la fórmula de la transformación lineal c) Hallar el núcleo de la transformación lineal d) Hallar la imagen de la transformación lineal

e) Hallar la imagen de la transformación pero sin utilizar la fórmula de la transformación lineal f) Hallar el núcleo de la transformación sin utilizar la fórmula

Resolución

Ítem a

No tenemos la fórmula. Tenemos que trabajar con la matriz asociada. ¿Qué propiedad tiene la matriz asociada?

M(F)BB‘.[v]B=[F(v)]B‘

M(F)BB‘.[v]B=[F(v)]B‘ Donde:



[v]B

[v]B: son las coordenadas del vector

v

v en la base

B

B



[F(v)]

B′[F(v)]B′: son las coordenadas del transformado del vector

v

v en la base

B

′B′



M(F)BB′

M(F)BB′: es la matriz asociada a la transformación lineal en bases

B

B y

B′

B′ Las matrices asociadas no operan con los vectores, sino con las coordenadas de los vectores en alguna base. Entonces no podemos multiplicar la matriz por el vector

(2,1)

(2,1).

(2,1)=α(1,0)+β(1,1)⇒α=1∧β=1⇒[(2,1)]

B

=(11)

(2,1)=α(1,0)+β(1,1)⇒α=1∧β=1⇒[(2,1)]B=(11)

Ahora multiplicamos por la matriz y obtenemos las coordenadas en

B′

B′ del transformado de

(2,1)

(2,1):

[F((2,1))]B‘=(1122)(11)=(33)

[F((2,1))]B‘=(1212)(11)=(33)

¿Qué objeto esperamos obtener como imagen de esta transformación? ¿Un vector de

R

2R2? No, esperamos obtener un polinomio de grado menor o igual que uno.

Para obtener F(2,1) debemos multiplicar estas coordenadas por los vectores de la base

B

′B′:

F((2,1))=3.1+3.(1−x)=6–3x

F((2,1))=3.1+3.(1−x)=6–3x Ítem b

En el ítem (a) buscamos la imagen del vector

(2,1)

(2,1). Ahora nos proponemos obtener la fórmula de la transformación, esto significa encontrar la imagen de cualquier vector

(x,y)

(x,y) de

R2

R2. Teniendo en cuenta que en el polinomio usamos la variable

x

x,

llamaremos

(a,b)

(a,b) a los vectores de R2.

Busquemos

F((a,b))

F((a,b)) tal como buscamos

F((2,1))

F((2,1)):

(a,b)=α(1,0)+β(1,1)⇒{a=α+βb=β⇒{α=a–

bβ=b

(a,b)=α(1,0)+β(1,1)⇒{a=α+βb=β⇒{α=a–bβ=b

[(a,b)]

B

=(a–bb)

[(a,b)]B=(a–bb)

Éstas son las coordenadas del vector que estamos buscando. Falta multiplicar por los vectores de la base B’:

F((a,b))=(a+b).1+(a+b)(1−x)=2a+2b–(a+b).x

F((a,b))=(a+b).1+(a+b) (1−x)=2a+2b–(a+b).x

Ésta es la fórmula de la transformación lineal.

Ahora podemos hallar base y dimensión de núcleo e imagen. Ítem c

La definición de núcleo dice que son los vectores del dominio que se transforman en el vector nulo del codominio.

–(a+b)x+2(a+b)=0

P1

=0x+0

–(a+b)x+2(a+b)=0P1=0x+0

⇒{a+b=0a+b=0⇒a=–b

⇒{a+b=0a+b=0⇒a=–b

⇒Nu(F)={(a,–a)∈R2}⇒BNu={(–11)}⇒dim(Nu(F))=1

⇒Nu(F)={(a,– a)∈R2}⇒BNu={(–11)}⇒dim⁡(Nu(F))=1

Ítem d

Por el teorema de las dimensiones:

dim(Im(F))=dim(R

2

)–dim(Nu(F))=1

dim⁡(Im(F))=dim⁡(R2)–dim⁡(Nu(F))=1 Queremos una base de la imagen. ¿En qué espacio vectorial está la imagen? En

P1

P1. Recordemos que los transformados de una base (cualquiera) del dominio, generan la imagen de la transformación lineal:

F((1,0))=2–x

F((1,0))=2–x

F((0,1))=2–x

F((0,1))=2–x

Entonces ¿Cuál es una base de la imagen de la transformación lineal?

BIm={2–x}

BIm={2–x}

Veamos que la imagen no depende de la base del dominio que elijamos. Por ejemplo tomemos la base

B

B:

F((1,0))=2–x

F((1,0))=2–x

F((1,1))=4–2x

F((1,1))=4–2x

{2–x,4–2x}

{2–x,4–2x} generan

Im(F)

Im(F)

BIm={2–x}

BIm={2–x} Ítem e

No es necesario buscar la fórmula para obtener la imagen. Las columnas en la matriz nos dan las coordenadas en la base

B′

B′ de los transformados de una base del dominio:

M(F)

BB′

=([F(v

1

)]

B′

[F(v

2

)]

B′

)=(1122)

M(F)BB′=([F(v1)]B′[F(v2)]B′)=(1212) Entonces:

F((1,0))=1.1+1.(1–x)=2–x

F((1,0))=1.1+1.(1–x)=2–x

F(1,1)=2.1+2(1–x)=4–2x

F(1,1)=2.1+2(1–x)=4–2x Luego:

Im(F)=gen{2–x,4–2x}

Im(F)=gen{2–x,4–2x}

Cómo

4–2x

4–2x es combinación lineal de

2–x

2–x podemos quedarnos con la siguiente base:

BIm(F)={2–x}

BIm(F)={2–x} Ítem f

¿Y para el núcleo sin la fórmula? Queremos hallar los

v∈R

2v∈R2 tales que al aplicarles la transformación den por resultado el polinomio nulo:

F(v)=0

P1F(v)=0P1 Éstas son las coordenadas en la base

B

B de una base del núcleo:

Ejemplo 5

Vamos a retomar el ejercicio 8, ítem a, de página 40 que decía:

Halle la expresión analítica de la siguiente transformación: Simetría respecto de la

recta

y=3x,R

2

→R

2y=3x,R2→R2

En un ejemplo anterior habíamos obtenido la fórmula de la transformación lineal:

T((x,y))=(–45x+35y;35x+45y)

T((x,y))=(–45x+35y;35x+45y)

La matriz estándar (referida a la base canónica de

R2

R2),

M(T)EE

M(T)EE es la siguiente:

Observación: cuando se trata de las bases canónicas para simplificar la notación se escribe

M(T)

M(T) en lugar de

M(T)EE

M(T)EE.

Veamos si podemos hallar una representación matricial más sencilla para esta simetría. ¿Qué significa una simetría respecto de la recta

y=3x

y=3x? Recordemos que el

transformado de un vector que esté sobre la recta es el mismo vector, y el transformado de un vector perpendicular a la recta es su opuesto.

Armemos una base de

R2

R2 formada por un vector v sobre la recta (

y=3x

y=3x ) y un vector w perpendicular a dicha recta. Por ejemplo:

B={(1,3),(–3,1)}

B={(1,3),(–3,1)}

T((1,3))=(1,3)=1.(1,3)+0(–3,1)⇒[(1,3)]B=(10)

T((1,3))=(1,3)=1.(1,3)+0(– 3,1)⇒[(1,3)]B=(10)

T((–3,1))=(3,–1)=0.(1,3)+(–1).(–3,1)⇒[(–3,1)]B′

=(0–1)

T((–3,1))=(3,–1)=0.(1,3)+ (–1).(–3,1)⇒[(–3,1)]B′=(0–1)

¿Cuál es la matriz asociada a la transformación lineal en esta nueva base?

M(T)BB=(100–1)

M(T)BB=(100–1)

Eligiendo una base conveniente, pudimos caracterizar la simetría mediante una matriz diagonal. Continuaremos desarrollando este tema en la próxima unidad (autovalores y autovectores).

Ejercicio para el lector 3

M(F)BE=(1–10010)

M(F)BE=(101–100)

siendo

B={(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1)}

B={(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1)} y

E={1,t}

E={1,t} bases de

R3

R3 y

P1

P1respectivamente.

a) Hallar una base del núcleo de

F

F. A partir de la base obtenida, ¿es posible afirmar que

F

Fes sobreyectiva? ¿Por qué?

b) Hallar todos los

v∈R3

v∈R3 tales que

F(v)=–1+t

F(v)=–1+t.

El rango es igual a la dimensión de la imagen

Recordemos que:

1.

M(T)

BB‘

=([T(v

1

)]

B‘

,…,[T(v

n

)]

B‘

)

M(T)BB‘=([T(v1)]B‘,…,[T(vn)]B‘)

2.

{T(v1),…,T(vn)}

{T(v1),…,T(vn)} generan

Im(T)

Im(T)

Para obtener una base de

Im(T)

Im(T) tenemos que determinar cuántos son LI. Se puede demostrar que en

{T(v

1

),…,T(v

n

)}

{T(v1),…,T(vn)} habrá tantos vectores LI como columnas LI en la matriz. Dado que el rango de una matriz es el número de columnas LI, entonces el rango de la matriz asociada a la transformación lineal respecto de las bases

B

B y es igual a la dimensión de la imagen de la trasformación lineal.

rango(M(T)BB‘)=dim(Im(T))

rango(M(T)BB‘)=dim⁡(Im(T))

Observación: La dimensión de la imagen no depende de las bases elegidas, por esto el rango tampoco depende de ellas