INSTITUTOPOLITECNICONACIONAL
SECRETARIADE INVESTlGACIONy POSGRADO
CARTA CESION DE DERECHOS
En la Ciudad de Santiago de Querétaro, el día 27, del mes de Marzo, del año 2006, el que suscribe Felipe León Hernández Márquez alumno del Programa de Maestría en Tecnología Avanzada, con número de registro A010712 adscrito a CICA TA - Unidad Querétaro, manifiesta que es autor intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la dirección del Dr. Jorge Adalberto Huerta Ruelas y Dr.
Máximo López López cediendo los derechos del trabajo intitulado "Estudio del efecto Hall cuántico en heteroestructuras semiconductoras desa"olladas en México para reproducir la unidad de resistencia eléctrica" al Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación.
Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este
puede ser obtenido escribiendo
a la siguiente dirección:Centro Nacional de Metrología Div. Mediciones
Electromagnéticas
Carretera a Los Cués km 4.5Mpio. ElMarques
C.P. 76241 Querétaro, MEXICO
Correo electrónico:
[email protected]Si el
permiso se otorga,
el usuario deberá dar elagradecimiento correspondiente
y citar la fuente delmismo.
Felipe León Herr\¡ándlz Márquez (NombrJ y firma)
Instituto Politécnico Nacional
CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA
UNIDAD QUERÉTARO
POSGRADO EN TECNOLOGÍA AVANZADA
Estudio del efecto Hall cuántico en heteroestructuras semiconductoras desarrolladas en México para
reproducir la unidad de resistencia eléctrica
TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRIA EN CIENCIAS EN
TECNOLOGÍA AVANZADA
PRESENTA
FELIPE LEÓN HERNÁNDEZ MÁRQUEZ
Director de Tesis Co-director de Tesis
Dr. Jorge Adalberto Huerta Ruelas Dr. Máximo López López
SIP-14
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
SECRETARIA DE INVESTIGACIONy POSGRADO ACTA DE REVISION DE TESIS
En la Ciudad de Querétaro siendo las 12:00 horas del día 15 del mes de febrero del 2006 se reunieron los miembros de la Comisión Revisora de Tesis designada por el Colegio de Profesores de Estudios de Posgrado e Investigaciónde CICATA - QRO.
para examinar la tesis de grado titulada:
Estudio del efecto Hall cuántico en heteroestructurassemiconductorasdesaffolladas en México 'arareDroducirla unidad de resistencia eléctrica
Presentada por el alumno:
HERNANDEZ MARQUEZ FELIPE LEON
Apellido paterno materno nombre(s)
Con registro:
~
aspirante al grado de: MAESTRIA EN TECNOLOGIAAVANZADA
Después de intercambiar opiniones los miembros de la Comisión manifestaron SU APROBAC/ON DE LA TESIS, en virtud de que satisface los requisitos señalados por las disposiciones reglamentariasvigentes.
LA COMISION REVISORA
DR.80RGEADALBE~ERTA RUELAS DIR~R DETESIS
DR. IVAN DOMINGUEZLOPEZ
!N~9¡¡nffi1~L4Y~I~
CENT~..~~ INVESTIGACIóN EN ...IENCIAAPLICADA y TECNOLOGIA AVANZADA
UNIDAD QUERÉTARO
A mis Padres Crescencio† y Paulina
A mi Esposa e Hijas Adriana, Ariadna y Abril
A mis segundos Padres Hilario y Jovita
A Eva†, Mario Alberto y Eva Mariel
AGRADECIMIENTOS
Al Centro Nacional de Metrología (CENAM)
Por permitirme lograr esta meta en aras de que la metrología sea uno de los pilares para el desarrollo del país
Al Instituto Politécnico Nacional (IPN)
Por brindarme la oportunidad de formarme como profesionista, pero sobre todo por inculcarme que mi trabajo siempre debe tener como objetivo final el hacer de México una patria mejor
Al Dr. Máximo López López (CINVESTAV del IPN-México) y al Dr. Jorge A. Huerta Ruelas (CICATA-IPN, unidad Querétaro)
Por su apoyo y guía para alcanzar esta meta
Al Dr. Héctor Nava Jaimes y al Dr. René Carranza López Padilla Por su guía y ejemplo en el desarrollo de mi trabajo
ÍNDICE
RESUMEN ...7
ABSTRACT ...8
ÍNDICE DE FIGURAS ...9
ÍNDICE DE TABLAS ...11
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN...12
1.1 Antecedentes Históricos... 12
1.2 Situación Actual y el Efecto Hall Cuántico ... 13
1.3 Fundamento teórico del Efecto Hall Cuántico... 16
1.3.1 Definiciones básicas... 16
1.3.2 Efecto Hall Clásico ... 17
1.3.3 Efecto Hall Cuántico... 21
CAPÍTULO 2 ANTECEDENTES, JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS ...37
2.1 Antecedentes ... 37
2.2 Justificación ... 39
2.3 Objetivo... 40
CAPÍTULO 3 DESARROLLO EXPERIMENTAL ...41
3.1 Crecimiento de muestras por epitaxia por haces moleculares ... 41
3.2 Caracterización de muestras por fotorreflectancia... 44
3.3 Preparación de muestras para medición del Efecto Hall Cuántico ... 47
3.3.1 Aplicación de contactos y su caracterización ... 47
3.4 Descripción del sistema para observar el efecto Hall cuántico... 49
3.4.1 Sistema de Bobina Superconductora ... 49
3.4.2 Proceso de llenado del Dewar con Helio líquido... 51
3.4.3 Descripción de la sonda porta-muestra y caja de conexiones... 52
3.5 Caracterización metrológica de heteroestructuras ... 56
3.5.1 Generalidades y pruebas preliminares ... 56
3.5.2 Caracterización de la dependencia con el campo magnético... 60
3.5.3 Caracterización de la resistencia de contactos a dos terminales ... 62
3.5.4 Caracterización de la resistencia de contactos a tres terminales... 64
3.5.5 Caracterización de la resistencia de contacto con ruido ... 65
3.5.6 Caracterización de la resistividad longitudinal residual ... 66
CAPÍTULO 4 RESULTADOS EXPERIMENTALES ...70
4.1 Datos básicos de las muestras ... 70
4.2 Medición de contactos a temperatura ambiente y a baja temperatura ... 72
4.3 Gráficas de cuantización... 73
4.4 Medición de la resistencia longitudinal ... 79
CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE RESULTADOS ...81
5.1 Análisis de cumplimiento de las condiciones ... 81
5.2 Cuantización de la resistencia... 81
5.3 Cálculo de la resistencia longitudinal ... 83
CAPÍTULO 6 CONCLUSIÓN Y PERSPECTIVAS DEL TRABAJO...86
6.1 Conclusión ... 86
6.2 Perspectivas del trabajo... 86
REFERENCIAS ...89
PUBLICACIONES...96
Resumen
El descubrimiento del Efecto Hall Cuántico (EHC) ha permitido a los Institutos Nacionales de Metrología reproducir la unidad de resistencia eléctrica (ohm) en términos de dos constantes físicas fundamentales, la carga del electrón (e) y la constante de Planck (h). Para observar el fenómeno es necesario someter una muestra semiconductora, la cual contiene un sistema bidimensional de electrones, a una temperatura muy baja y a un campo magnético intenso. El presente trabajo es parte del esfuerzo realizado por varias instituciones Mexicanas para desarrollar dispositivos semiconductores, llamados heteroestructuras, de AlGaAs/GaAs con la calidad suficiente para ser utilizados como referencias de resistencia eléctrica en metrología.
La primera etapa del proyecto consistió en desarrollar heteroestructuras semiconductoras de AlGaAs/GaAs, cuyas propiedades físicas y eléctricas fueron medidas por fotorreflectancia y efecto Hall clásico. Mediante estas técnicas se cuantificaron los campos eléctricos en la heteroestructura, se encontró la presencia de un gas bidimensional de electrones en las muestras y una estimación de la movilidad de portadores, siendo éstas propiedades fundamentales en heteroestructuras semiconductoras. Una vez crecidas y analizadas, se trabajó en el procesamiento de los contactos óhmicos de las muestras, siendo su optimización uno de los principales aspectos abordados.
El objetivo central de esta tesis, fue la medición del efecto Hall cuántico en las heteroestructuras desarrolladas en la primera etapa anteriormente citada. Para esto se empleó un sistema de bobina superconductora, con el cual se pueden generar campos magnéticos hasta de 14 teslas y temperaturas de 1.3 K. En las diferentes etapas del proyecto se compararon los resultados de las mediciones realizadas contra heteroestructuras semiconductoras desarrolladas en el instituto nacional de metrología de Alemania (el Physikalisch-Technische Bundesanstalt – PTB) las cuales se emplean actualmente para reproducir la unidad de resistencia en el Centro Nacional de Metrología. Los resultados obtenidos muestran que las heteroestructuras semiconductoras desarrolladas son comparables con las obtenidas en las muestras desarrolladas en el PTB de Alemania.
Abstract
The Quantum Hall Effect (QHE) allows to national metrology institutes to reproduce the unit of resistance (ohm) in terms of two fundamental physical constants, the electron charge (e) and the Planck constant (h). To observe the QHE, it is necessary a semiconductor device which contains a two-dimensional electron gas under a high magnetic field and at a very low temperature. This work is part of a project performed by several Mexican institutions to develop AlGaAs/GaAs semiconductor heterostructures, with the required characteristics to be used as electric resistance reference in metrology.
The first stage of this project was to grow and characterize AlGaAs/GaAs semiconductor heterostructures. Their growth was performed by molecular beam epitaxy technique. Important physical and electrical properties of semiconductor heterostructures were evaluated using photoreflectance and classical Hall effect techniques. By these techniques the electrical fields in the heterostructures were evaluated, the formation of a two-dimensional electron gas was confirmed, and an estimation of a mobility value, which are important properties in semiconductor heteroestructures. After growth and characterization, electrical contact application procedure was optimized, as a key factor to reach metrological quality in the samples.
The main objective of this work was to measure the Quantum Hall Effect with a superconducting coil cooled at liquid Helium temperature, in samples previously optimized.
Magnetic fields up to 14 Teslas and temperatures as low as 1,3 K were reached. In all steps of the project, results were compared to heterostructures developed in Germany at the Physikalisch- Technische Bundesanstalt (PTB) which are presently used to reproduce the resistance unit at the Centro Nacional de Metrologia (CENAM). Results obtained prove that our semiconductor heterostructures were fabricated with quality comparable to PTB samples.
Índice de figuras
Figura 1-1. Esquema del establecimiento de la escala de resistencia ...13 Figura 1-2. Curvas obtenidas por Klaus von Klitzing de la cuantización de la resistencia Hall ...14 Figura 1-3. Esquema del establecimiento de la escala de resistencia utilizando como referencia la resistencia
Hall cuantizada...16 Figura 1-4. Esquema experimental del efecto Hall clásico...18 Figura 1-5. Movimiento de electrones que se encuentran confinados en un gas bidimensional de electrones sin
campo eléctrico o magnético. ...21 Figura 1-6. Sistema bidimensional de electrones ideal en presencia de un campo magnético ...23 Figura 1-7. Sistema bidimensional de electrones ideal en presencia de un campo magnético intenso y un
campo eléctrico perpendiculares entre sí ...24 Figura 1-8. Representación esquemática de la medición del efecto Hall cuántico ...26 Figura 1-9. Esquema de electrones que pueden ocupar solamente estados discretos con energía discreta bien
definida (niveles de Landau) ...28 Figura 1-10. Cuantización de los niveles de Landau en un gas bidimensional de electrones ...30 Figura 1-11. Trayectorias clásicas de los electrones moviéndose a lo largo de un borde de una muestra
sometida a un campo magnético ...32 Figura 1-12. Espectro de energía de un gas bidimensional de electrones en un campo magnético con un
potencial de confinamiento infinito en los bordes de una muestra ...33 Figura 1-13. Trayectorias cuasiclásicas a lo largo del borde superior de una muestra en presencia de una
impureza localizada ...34 Figura 1-14. Esquema de una muestra Hall con seis contactos óhmicos separados una distancia mayor que la longitud de dispersión inelástica ...36 Figura 2-1. Constante de red cristalina para varios compuestos...38 Figura 2-2. Sistema de bobina superconductora y contenedor de helio líquido...38 Figura 2-3. Sistema de epitaxia por haces moleculares utilizado para el crecimiento de las heteroestructuras.
...39 Figura 3-1.- Esquema de un sistema de epitaxia por haces moleculares (a) y esquema de la formación de las
capas epitaxiales (b) ...41 Figura 3-2.- Estructura básica de la heteroestructuras crecidas en este proyecto...42 Figura 3-3. Efecto fotoeléctrico. La luz crea pares electrón hueco. Portadores minoritarios reducen carga en
los estados superficiales. ...45 Figura 3-4. Diagrama del sistema de fotorreflectancia ...46 Figura 3-5. Ejemplos de espectros de fotorreflectancia utilizados para calcular el campo eléctrico superficial
Figura 3-6. Vista lateral y frontal de porta-muestras...48
Figura 3-7. Heteroestructuras montadas en los porta-muestras (a) muestra del PTB de Alemania, (b) una de las muestras fabricadas en México ...49
Figura 3-8. Esquema del sistema de bobina superconductora...50
Figura 3-9. Base del porta muestras...53
Figura 3-10. Notación utilizada para los contactos de las muestras...53
Figura 3-11. Esquema de la sonda que se inserta en el contenedor Dewar ...54
Figura 3-12. Conector Fisher ubicado en la parte superior de la sonda ...55
Figura 3-13. Fotografía de la caja de conexiones con los conectores British Post Office (BPO)...56
Figura 3-14. Esquema de la fuente de corriente para el suministro en la muestra...57
Figura 3-15. Diagrama de conexiones para verificar la integridad de la muestra ...58
Figura 3-16. Diagrama utilizado para medir la resistencia de cables conectados a la muestra...60
Figura 3-17. Diagrama para obtener la dependencia con el campo magnético...61
Figura 3-18. Diagrama para medir la resistencia de contactos a dos terminales ...62
Figura 3-19. Diagrama para medir la resistencia de contactos a tres terminales ...64
Figura 3-20. Configuración empleada para medir la tensión longitudinal...67
Figura 3-21. Ejemplo de las tres regiones para realizar la determinación de la resistividad longitudinal ...67
Figura 4-1. Esquema de la estructura de las muestras utilizadas...71
Figura 4-2 Curvas de cuantización para la muestra del MPTB ...73
Figura 4-3. Curvas de cuantización para la muestra M234 ...74
Figura 4-4. Curvas de cuantización para la muestra M235 ...75
Figura 4-5. Curvas de cuantización para la muestra M235-2...75
Figura 4-6. Curvas de cuantización para la muestra M900 con contactos de AuGeNi ...76
Figura 4-7. Tensión longitudinal en la muestra del PTB...77
Figura 4-8. Tensión longitudinal en la muestra 900. La línea sólida es la tensión medido entre los contactos B* y C*, la línea punteado es la tensión medidos entre los contactos B y C...78
Figura 4-9. Curvas de cuantización para la muestra M500 con contactos de Indio. ...79
Figura 4-10. Mediciones de la resistencia longitudinal para la muestra M500In, entre contactos AC y A*C* para corriente con polaridad positiva y negativa ...80
Figura 5-1. Comparación de resistencias de Hall cuantizadas para las mejores muestras obtenidas...82
Figura 5-2. Comparación de resistencias de Hall cuantizadas para las mejores muestras obtenidas...83
Figura 5-3. Medición de la tensión longitudinal a T=1.3K para la muestra M500In (a) y MPTB (b) en la parte baja, media y alta de la meseta de cuantización con i=2. ...84
Índice de Tablas
Tabla 3-1. Estructura de las muestras ...44 Tabla 3-2. Formato para el registro de la integridad de los contactos y cableado de la muestra ...59 Tabla 3-3. Formato para el registro de la resistencia a dos terminales de todos los contactos de la muestra ..63 Tabla 3-4. Formato para el registro de la resistencia a tres terminales de todos los contactos de la muestra..65 Tabla 4-1. Muestras estudiadas en este trabajo ...71 Tabla 4-2.- Resistencia de contactos a temperatura ambiente para tres muestras ...72 Tabla 5-1. Comparación de promedios de la resistencia longitudinal para tres muestras caracterizadas ...85
Capítulo 1 Introducción
1.1 Antecedentes Históricos
El descubrimiento de la electricidad y su impacto en la segunda revolución industrial propició el desarrollo de los mercados de la época. Para apoyar las transacciones comerciales, se hizo necesario el uso de referencias de medición para las magnitudes eléctricas.
Para el caso de la resistencia eléctrica se pensó inmediatamente en el uso de alambres de metales puros, pero pronto esta opción tuvo que ser abandonada debido, principalmente, a los cambios que presenta la resistencia eléctrica con la temperatura, es decir el coeficiente de temperatura, así como también la resistividad eléctrica de esos materiales. Buscando la solución a esta problemática se empezaron a estudiar las aleaciones, siendo el Constantan®, una aleación con composición nominal de 55% de cobre y 45% de níquel, la que brindó resultados más favorables. Esta aleación tiene un coeficiente de temperatura nominal de 20 (μΩ/Ω)/°C y una resistividad de 52 µΩ-cm. Con esta aleación se construyeron los primeros resistores de referencia que fueron ocupados en los Institutos Nacionales de Metrología (INM).
Posteriormente se continuó el estudio de otras aleaciones en busca de características eléctricas que fueran mejores que la del Constantan®, de esta manera se encontró a la Manganina®, aleación con composición nominal de 86% de cobre, 12% de manganeso y 2% de níquel. Esta nueva aleación tiene un coeficiente de temperatura de 10 (μΩ/Ω)/°C y una resistividad de 48 µΩ-cm, esto quiere decir que respecto de las características del Constantan® el coeficiente de temperatura es mejor y la resistividad es ligeramente menor. Por otro lado, la estabilidad del valor de resistencia con el tiempo se pudo mejorar notablemente por el envejecimiento del material mediante procesos térmicos. Actualmente los INM mantienen gran parte de su escala de resistencia empleando resistores construidos con Manganina®, sobresaliendo los resistores de 1Ω tipo Thomas, que por mucho tiempo fueron empleados para mantener la referencia nacional de resistencia eléctrica en los INM.
Con el propósito de contar con una aleación con una mayor resistividad, sin perder las características encontradas en la Manganina®, se investigaron otras aleaciones hasta que se encontró una aleación conocida como Evanohm®, cuya composición nominal es de 75% níquel,
20% cromo, 2.5% aluminio y 2.5% cobre. Esta aleación además de contar con una resistividad de 134 µΩ-cm (más del doble que el de la Manganina®), tiene la importante ventaja que mediante tratamientos térmicos se puede manipular su coeficiente de temperatura [1], en los INM se cuentan con resistores de referencia, construidos con Evanohm®, de 10 kΩ que tienen coeficientes de temperatura menores de 0.1 (μΩ/Ω)/°C.
1.2 Situación Actual y el Efecto Hall Cuántico
La escala de resistencia que se mantiene en el Centro Nacional de Metrología (CENAM) y en varios Institutos Nacionales de Metrología (INM), cuentan con dos puntos de referencia (ver figura 1-1), un grupo de resistores de Manganina de 1 Ω tipo Thomas y un grupo de resistores de 10 kΩ de Evanohm®. A partir de estos dos puntos en conjunto con patrones de transferencia y varios sistemas de medición se establecen los demás valores de la escala.
Conjunto de Resistores de 1 Ω
Conjunto de Resistores de 10 kΩ
1 mΩ, 10 mΩ y 100 mΩ
10 Ω, 100 Ω y 1 kΩ
100 kΩ, 1 MΩ,…, 1 GΩ,…, 1 TΩ
Figura 1-1. Esquema del establecimiento de la escala de resistencia
Durante mucho tiempo, los INM mantuvieron como referencia nacional el valor promedio de un conjunto de resistores tipo Thomas de 1 Ω, sin embargo su deriva en el tiempo, aunque muy pequeña es finita, del orden de ± 60 nΩ/año [2].
La importancia de encontrar una mejor forma de mantener las referencias nacionales de los INM fue en aumento, fue entonces que los avances en la tecnología de semiconductores y los fenómenos cuánticos encontraron un punto de coincidencia, la metrología primaria. Ejemplo de
superconductor dividida por una pequeña capa de material aislante), en la cual al ser enfriada a temperaturas del Helio líquido, a presión normal, (4.2 K) y ser sometida a una señal de radio frecuencia, se induce la cuantización de la tensión Josephson, cuyo valor está relacionado con dos constantes físicas fundamentales: la carga del electrón (e) y la constante de Planck (h) [3].
En 1980 Klaus von Klitzing al estar haciendo investigaciones sobre los fenómenos de transporte de electrones en transistores de efecto de campo, sometidos a una temperatura muy baja y campos magnéticos muy altos, descubrió el efecto Hall cuántico. Lo que observó von Klitzing fue la cuantización de la resistencia Hall (RH) en términos de solamente dos constantes físicas, la carga del electrón (e) y de la constante de Planck (h). En la figura 1-2 se muestran las gráficas que von Klitzing presentó en [4].
Figura 1-2. Curvas obtenidas por Klaus von Klitzing de la cuantización de la resistencia Hall
Este descubrimiento planteó la alternativa de reproducir la unidad de resistencia eléctrica en términos de la constante de Planck h y la carga del electrón e, de acuerdo a la siguiente expresión:
Ω
=
−90= 2 25 812.807 e
RK h (1.1)
El valor de resistencia de la ecuación 1.1 se obtiene cuando las unidades en las que está dada la constante de Planck con valor de 6,626 069 3x10-34 J s y la carga del electrón con valor de 1,602 176 53x10-19 C se expresan en términos de las unidades de base del Sistema Internacional de Unidades - SI (kilogramo, metro, segundo, ampere, kelvin, mol y candela), es decir la unidad de energía el joule (J) se expresa en unidades del SI como m2 kg/s2 y la unidad de carga eléctrica el coulomb (C) se expresa en unidades del SI como A s, de esta manera se encuentra que la expresión resultantes está dada por m2 kg/s3 A2, la cual es la expresión en unidades de base del SI de la unidad de resistencia eléctrica el ohm (Ω).
Mediante el efecto Hall cuántico se ha logrado contar con una referencia de medición cuyo valor es inalterable en el tiempo. Lo anterior se obtiene debido a que el valor sólo depende de constantes físicas fundamentales y por tal motivo la ecuación 1.1 define a la constante de von Klitzing, declarada como tal en 1990 y cuyo nombre es un reconocimiento a su descubridor.
Para poder establecer el valor de la constante de von Klitzing en 1990, se tuvo que trabajar previamente en varios experimentos para determinar su valor, la incertidumbre asociada a la constante de von Klitzing en 1990 fue de 0.2 μΩ/Ω [5]. También fue necesario valorar el impacto que tendría para la comunidad metrológica el recomendar el efecto Hall cuántico para reproducir la unidad de resistencia eléctrica como se plantea en varios trabajos en aquellos años [6-9]. Como resultado de lo anterior un gran número de INM reproducen la unidad de resistencia eléctrica mediante el efecto Hall cuántico [10-17].
Para propósitos prácticos los INM emplean la resistencia Hall cuantizada, la cual está determinada por:
90 2
)
( ie
h i
i R
RH = K− = (1.2)
Donde i representa los niveles de Landau completamente ocupados y cuyo valor son números enteros positivos de valor pequeño, así la resistencia Hall cuantizada adquiere los siguientes valores:
RH(2) = 12 906.403 5 Ω (1.3)
RH(3) = 8 604.269 Ω (1.4)
R (4) = 6 453.201 75 Ω (1.5)
El valor más utilizado por los INM es cuando la resistencia Hall cuantizada tiene el valor mostrado en la ecuación 1.3, lo anterior debido a la proximidad al valor de 10 kΩ, donde se cuenta con referencias de excelente calidad metrológica, como se describió en la sección 1.1.
De esta manera el esquema de la Fig. 1-1, para establecer los valores de la escala de resistencia se modifica, quedando como se muestra en la figura 1-3.
RH(2) 12 906.403 5 Ω
Conjunto de Resistores de 1 Ω
Conjunto de Resistores de 10 kΩ
1 mΩ, 10 mΩ y 100 mΩ
10 Ω, 100 Ω y 1 kΩ
100 kΩ, 1 MΩ,…, 1 GΩ,…, 1 TΩ
Figura 1-3. Esquema del establecimiento de la escala de resistencia utilizando como referencia la resistencia Hall cuantizada
1.3 Fundamento teórico del Efecto Hall Cuántico
1.3.1 Definiciones básicas
En cualquier medición eléctrica uno de los conceptos básicos está contenido en la ley que indica que:
“La corriente (I) que pasa a través de un elemento es directamente proporcional a la tensión o diferencia de potencial (V) aplicada e inversamente proporcional a su resistencia (R).”
A esta ley se le conoce como ley de Ohm, aunque en realidad se está más familiarizado con el planteamiento simbólico de la misma, es decir:
R
I =V (1.6)
Desde un punto de vista físico la resistencia representa la aptitud en que los portadores de carga pueden desplazarse bajo un campo eléctrico, así en un material conductor los portadores de carga se moverán más fácilmente que en un material aislante. La proporción en que los portadores de carga se pueden desplazar está dada por una propiedad intrínseca del material, la resistividad ρ. Por otra parte la resistencia en un material depende de sus dimensiones físicas, de esta manera la resistencia eléctrica, por ejemplo, de un alambre de longitud l y sección transversal A, está dada por:
Aρ
R= l (1.7)
La unidad de resistencia eléctrica (ohm) es una unidad derivada del Sistema Internacional de Unidades (SI), su símbolo es Ω y relacionada con las unidades de base del SI se representa de la siguiente forma:
2 3
2
A s
kg
= m
Ω (1.8)
donde m es metro, kg kilogramo, s segundo y A ampere.
1.3.2 Efecto Hall Clásico
El movimiento de electrones y huecos en presencia de un campo eléctrico y un campo magnético es muy importante y ha conducido al estudio de varios efectos galvanométricos. El más importante de ellos es el efecto Hall. Para explicar este fenómeno se puede considerar una barra semiconductora tipo n rectangular, uniformemente dopada con una densidad de portadores n0 , de longitud l, ancho w y espesor d. A esta barra se le aplica un campo eléctrico Ex=Vx/l en la dirección x y simultáneamente se le aplica un campo magnético Bz en la dirección z, como se muestra en la figura 1-4. En presencia solamente del campo eléctrico, los electrones se mueven de derecha a izquierda con una velocidad vnx dada por
(
−v)
=μ E (1.9)z x
y
B Ix
d
l
w
-
Deflexión de la trayectoria de los electrones
V0=Vx
+
+ + + + + + + + + + + + + + + +
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Figura 1-4. Esquema experimental del efecto Hall clásico
Cuando una partícula de carga q se mueve en presencia de un campo magnético, el campo ejerce una fuerza q(v × B) sobre la carga que causa que ésta se mueva en una dirección perpendicular tanto al campo eléctrico como al campo magnético. Para el caso de la figura 1-4 la partícula es un electrón de carga –q, por lo tanto el electrón se desviará en dirección –y. Cuando una corriente fluye en la dirección x, los electrones se mueven hacia uno de los lados en respuesta del campo magnético y una carga positiva de donantes ionizados se deja en el otro lado de la muestra. De esta manera se produce un campo eléctrico Ey entre las caras opuestas de la muestra, esto permite que una tensión Hall VH se pueda medir entre estas dos caras de la muestra, por ejemplo en la figura 1-4 la parte frontal de la muestra es negativa respecto de la cara posterior. Si la carga fueran huecos en lugar de electrones las polaridades de VH se invierten.
Para desarrollar una expresión simple para la tensión Hall, se asume que todos los electrones tienen la misma velocidad de desplazamiento vn y el mismo tiempo de relajación τc. La fuerza resultante que actúa sobre cualquier electrón está dada por la ecuación de la fuerza de Lorentz
(
E v B)
q
F =− + n× (1.10)
Por otra parte se conoce que para un campo eléctrico aplicado
c e n
e n v
dt m m dv
F = + τ (1.11)
En estado estable el primer término de la ecuación 1.11 es cero y combinando las dos ecuaciones anteriores se llega a que
n
n vn
B v
E+ × =−μ (1.12)
donde
e n mc
qτ
μ = (1.13)
Si ahora se considera que la densidad de corriente se puede expresar mediante J=-qn0vn, entonces la ecuación 1.12 se puede modificar para expresar el campo eléctrico de acuerdo a la expresión
qn B J n q E J
n
× +
=
0
μ 0 (1.14)
La ecuación anterior se puede simplificar si se observa que Bx=By=0 y que Jy=Jz=0. Bajo estas condiciones la ecuación 1.14 se reduce a tener dos ecuaciones escalares
σx
x J
E = (1.15)
y
x z z n
y x B E
qn B E =−J =−μ
0
(1.16)
La relación 1.15 es el establecimiento de la ley de Ohm, mientras que la relación 1.16 expresa la situación de que en la dirección y la fuerza sobre un electrón debido al campo magnético (qμnBzEx) esta equilibrada por una fuerza (-qEy) debido al campo Hall. La ecuación 1.16 generalmente se escribe como
z x H
y R J B
E = (1.17)
donde
0
1
RH =−qn (1.18)
esta última expresión se conoce como la constante Hall. Un análisis similar se lleva a cabo para semiconductores tipo p, para este caso las ecuaciones 1.17 y 1.18 quedan expresadas de la siguiente manera
x z p z x H
y R J B B E
E = =μ (1.19)
con
0
1
RH = qp (1.20)
donde p0 es la concentración de huecos en la muestra. Si se conocen las dimensiones de la muestra es posible determinar los valores de RH y la movilidad μn o μp. Si w es el ancho de la muestra en la dirección y, mientras que VH es la medición de la tensión Hall, entonces |Ey|=VH/w.
De la ecuación 1.17 se obtiene que
z x H IHB
d
R =V (1.21)
donde Ix=Jxwd es la corriente en la dirección x. La movilidad de los portadores μH se puede determinar conociendo RH y la resistividad de la muestra, o bien directamente de la ecuación 1.19. Así si se escribe μH en lugar de μp o μn en la ecuación 1.16 se encuentra que
x z H H
y B E
w
E =V =μ (1.22)
si lo que se quiere calcular es la movilidad de los huecos, la ecuación anterior se modifica para obtener
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
z x
H V HB
V w
μ l (1.23)
donde |Ex|=Vx/l, siendo Vx la diferencia de potencial aplicada. La medición de la tensión Hall y las dimensiones de la muestra permiten calcular el signo y la concentración de los portadores de corriente así como su movilidad.
El efecto Hall normal es una técnica muy utilizada para determinar los parámetros fundamentales en materiales semiconductores.
1.3.3 Efecto Hall Cuántico
Previo al descubrimiento del efecto Hall cuántico, varios grupos de trabajo, principalmente de Alemania y de Japón estuvieron trabajando en los fenómenos de transporte a temperaturas bajas y campos magnéticos intensos como se puede analizar en [18-21].
Para explicar cómo la resistencia Hall (RH) (ver ecuación 1.2) se cuantiza, se puede partir de la descripción simple de cómo se puede observar el efecto Hall cuántico.
“El efecto Hall cuántico se observa cuando un dispositivo semiconductor, que contiene un gas bidimensional de electrones, se somete a una temperatura muy baja y a campos magnéticos muy intensos” [22, 23].
La parte medular de la anterior descripción es que se requiere de un gas bidimensional de electrones para observar el fenómeno. Los electrones que se encuentran en este gas bidimensional de electrones sólo se pueden mover en un plano, por ejemplo en el plano x-y.
Partiendo de una explicación clásica, los electrones contenidos en un gas bidimensional sin ningún campo eléctrico o magnético aplicado, se moverán “libremente” en el plano de confinamiento como se ilustra en la figura 1-5.
x
y z
Figura 1-5. Movimiento de electrones que se encuentran confinados en un gas bidimensional de electrones sin campo eléctrico o magnético.
Si ahora a este sistema se le aplica un campo eléctrico E, en la dirección negativa de x, entonces cada electrón se acelerará en la dirección positiva x, sin embargo en el sistema existe dispersión debido a imperfecciones o vibraciones de los átomos, esto hace que el movimiento sea
electrones, el sistema alcanza un estado de equilibrio con una velocidad constante vn por lo que la densidad de corriente j está dada por:
envn
j= (1.24)
Donde n es el número de electrones por unidad de área. De manera macroscópica la relación que tiene el campo eléctrico E y la densidad de corriente j está caracterizada por la conductividad σ o bien por la resistividad ρ del sistema mediante
E
j=σ y
ρ=σ1 (1.25) Si se sustituye la ecuación 1.24 en 1.25 y se despeja a la conductancia σ, entonces tenemos que
μ
σ en
E envn =
= (1.26)
El término μ representa la capacidad que tienen los electrones para moverse dentro del sistema y se conoce como movilidad.
Si ahora se considera la situación de qué es lo que pasa con el sistema bidimensional de electrones cuando sólo está sometido a un campo magnético intenso B en la dirección z, es decir perpendicular al plano x-y (el plano donde sólo se pueden mover los electrones), entonces la situación cambia considerablemente. En este caso los electrones experimentan una fuerza dada por la fuerza de Lorentz (ver ecuación 1.10), para este caso la dirección de esta fuerza es perpendicular al movimiento de los electrones y perpendicular a la dirección del campo magnético B. Es así que los electrones obtienen un movimiento de rotación que forma un círculo en el plano x-y, cuyo radio esta dado por:
eB
r = mv (1.27)
La frecuencia a la que se mueven los electrones se le conoce como frecuencia de ciclotrón dada por:
m eB r v
c = =
ω (1.28)
Debido a que el campo magnético B no hace cambiar la velocidad de los electrones, solamente su dirección, su energía es independiente de B, la cual puede ser expresada como
2 2
2 1mωcr
∈= (1.29)
Como conclusión se puede decir que en un sistema bidimensional de electrones ideal en presencia de un campo magnético intenso se puede visualizar como un sistema de electrones girando en círculos a una frecuencia constante ωc alrededor de las líneas de campo, siendo el radio proporcional a la velocidad de los electrones, como se muestra en la figura 1-6.
x
y
r v
Energía
z B
Figura 1-6. Sistema bidimensional de electrones ideal en presencia de un campo magnético
Si ahora se agrega un campo eléctrico en la dirección –x, bajo estas condiciones los electrones se moverán en la dirección que es perpendicular a los campos E y B, es decir en la dirección y como se muestra en la figura 1-7.
Cada electrón permanecerá rotando, mientras que el centro presenta un corrimiento hacia uno de los lados. Esto es resultado de la fuerza de Lorentz (ver ecuación 1.10), el campo eléctrico E acelera al electrón en la dirección x, mientras que el campo magnético intenso B hace cambiar el movimiento hacia la dirección y.
x
y
E
j=enE/B
z B
Figura 1-7. Sistema bidimensional de electrones ideal en presencia de un campo magnético intenso y un campo eléctrico perpendiculares entre sí
Bajo estas condiciones las ecuaciones de movimiento son:
x eB
y&& −= & (1.30)
y eB eE
x && = − + &
(1.31) Debido a que x& = y& =constante, la velocidad vx = x& =0 y la velocidad paralela a la dirección y.B
vy = E (1.32)
Esto quiere decir que el sistema completo de electrones sufre un corrimiento con velocidad constante en la dirección perpendicular a E y B, esto representa una corriente constante en la dirección y. Entonces la densidad de corriente está dada por:
B env enE
j= y = (1.33) Por otra parte se debe considerar que en presencia de un campo magnético la resistividad ρ y la conductividad σ dejan de ser escalares para convertirse en tensores, debido a esto las componentes de la densidad de corriente y las del campo eléctrico se relacionan mediante
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
=⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
y x yy yx
xy xx y
x
E E j
j
σ σ
σ
σ (1.34)
donde σxx representa la conductividad para la componente de corriente en la dirección del campo eléctrico E, mientras que σxy es la conductividad Hall para la componente de corriente perpendicular a E. De la relación de Onsager para la simetría de los coeficientes cinéticos se tiene que σxx= σyy y que σyx= -σxy. El tensor de la resistividad es una matriz inversa del de la conductividad, es decir:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
= +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
xx xy
xy xx
xy xx xx
xy xy xx yy
yx xy xx
σ σ
σ σ
σ σ σ
σ σ σ ρ
ρ ρ ρ
2 2
1 1
(1.35)
o de manera inversa
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
= +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
xx xy
xy xx
xy yy xx
yx xy xx
ρ ρ
ρ ρ
ρ σ ρ
σ σ σ
2 2
1 (1.36)
De la ecuación anterior se conoce que σxx =ρxx /
(
ρ2xx +ρxy2)
, cuando la resistividad longitudinal ρxx cae a cero implica que la conductividad σxx también es cero simultáneamente, lo cual es extraño pero es cierto mientras se encuentra cuantizada la resistencia Hall. La conductividad σxx que describe la densidad de corriente en dirección del campo eléctrico es cero.Sin embargo la resistividad ρxx que define a la intensidad de campo eléctrico a lo largo de la trayectoria de corriente también es cero, debido a que no existe componente del campo E en la dirección de la corriente, es decir la corriente y el campo eléctrico son mutuamente ortogonales y la conducción está libre de disipación. Por otra parte de la ecuación 1.36 se determina que
(
2 2)
/ xx xy
xy
xy ρ ρ ρ
σ =− + , lo cual implica que cuando la resistividad longitudinal ρxx es igual a cero σxy =−1/ρxy es también un valor constante. La conductividad Hall σxy y la resistividad Hall ρxy, relacionadas con el campo eléctrico E y la densidad de corriente j a través de
E
j=σxy y E=ρxyj (1.37)
están dadas por
B
xy =ne
σ y
ne
xy = B
ρ (1.38)
Figura 1-8. Representación esquemática de la medición del efecto Hall cuántico
Experimentalmente la tensión Hall (VH) se mide en la dirección perpendicular a la corriente, es decir, en nuestro caso en la dirección y (ver figura 1-8), mientras que la corriente se aplica en la dirección x. Bajo estas condiciones la corriente puede expresarse como
H y
x
x V
B w ne B E w ne j
I = = = (1.39)
De esta manera se encuentra que en dos dimensiones la resistencia Hall RH es idéntica a ρxy y entonces
x xy
H H ne
B I
R =V = =ρ (1.40)
La explicación del comportamiento de los electrones en un sistema bidimensional real sometido a campos magnéticos intensos se debe a principios que están más allá de una descripción clásica, estos principios necesitan de la mecánica cuántica. La diferencia fundamental entre la mecánica cuántica y la clásica, cuando se trata de explicar el comportamiento de un electrón en un campo magnético, es que solamente un número discreto de orbitas puede ser ocupado por los electrones, es decir, los electrones pueden ocupar solamente
x
y
w
l
B I
z
Vx VH
estados discretos con energía discreta bien definida. Lo anterior se puede deducir a través de la solución la ecuación de Schrödinger con el Hamiltoniano:
[ ]
20 2
1 p eA
H = m + (1.41) donde la masa efectiva en el plano xy está representada por m, A es el vector potencial asociado a B mediante la relación B=curl A. En la métrica de Landau (Landau gauge), A=(0, Bx, 0), entonces la ecuación de Schrödinger correspondiente al Hamiltoniano se convierte en
(
, ,)
0 22 2 2 2 2
2 Ψ =
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ +
∂ + ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
∂ + ∂
∂
∂ mE x y z
x z ieB
x y h h (1.42)
Esta ecuación es separable en dos ecuaciones, una para el movimiento en la dirección z y otra para el plano xy. El movimiento en la dirección z es la de una partícula libre con energía y función de onda dadas por
m Ez kz
2
2
h2
= (1.43)
y
) exp(
)
(z = ±ikzz
ψ (1.44)
Este resultado es consistente con el resultado clásico de que el movimiento del electrón paralelo al campo magnético no se altera y permanece como un electrón libre. La ecuación para el movimiento en el plano xy, es decir el plano de interés para el caso de un sistema bidimensional de electrones, se puede resolver escribiendo la función de onda en la forma
) exp(
) ( ) ,
(x y =u x ikyy
φ (1.45)
Si se sustituye la ecuación 1.44 y 1.45 en la ecuación 1.42, la ecuación de onda para u(x) puede ser expresada como
) ( ' ) 2 (
) ( 2
2 2
2 2
x u E x m u
x k m eB m x
x u m
y⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ +⎛
∂
⎟∂
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛− h h ( 1.46)
donde E’=E-Ez. Esta última ecuación se asemeja a la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico simple de una dimensión con una frecuencia resonante ωc y posición de equilibrio dada por
c y
m x k
ω
= h
0 (1.47) Los eigen valores E’ de la ecuación 1.46 están dados por la expresión bien conocida para el osciladores armónico simple
c
i i ⎟hω
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
=
∈ 2
1 (1.48)
donde ωc=eB/m es la frecuencia de ciclotrón y el número cuántico i es un número entero positivo (i = 1, 2, 3, …). Estos niveles de energía cuantizados se conocen como niveles de Landau, lo anterior se puede representar como se muestra en la figura 1-9.
x
y
i=2
i=1
Energía
z B
i=3
i=3 i=2
i=2
i=1 i=1
i=1
i=1 i=2 i=3 i=4
hωc
Figura 1-9. Esquema de electrones que pueden ocupar solamente estados discretos con energía discreta bien definida (niveles de Landau)
Por otra parte los electrones deben de obedecer el principio de exclusión de Pauli, esto limita el número de electrones por unidad de área que pueden ocupar cada nivel de Landau. Este número es la degeneración de cada nivel de Landau y está dado por:
h
s= eB (1.49)
A una temperatura muy baja los electrones ocupan los estados permitidos con la mínima energía. Un sistema bidimensional de electrones con densidad n sometido a un cierto campo magnético se puede acomodar de la siguiente manera: De los n electrones por unidad de área, s ocuparán el nivel de Landau menor i = 1, cada uno teniendo una energía hωc
2 1
1=
∈ y una orbita
con un radio de
2 / 1
1 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛
r eBh . El mismo número s de electrones ocuparán el siguiente nivel de Landau i = 2, teniendo una energía hωc
2 3
2=
∈ y radio
2 / 1
2 3
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛
r eBh . Esto forma una segunda
“capa”, energéticamente hablando, la cual reside en el mismo plano. De esta forma todos los electrones pueden ser acomodados mediante el llenado de niveles de Landau consecutivos. El último nivel generalmente se llena de forma parcial, debido a que n no es un múltiplo de la degeneración s. La energía de Fermi (EF) es la energía del último electrón acomodado en el sistema a 0 K, esto se puede ver como la energía que divide a los niveles llenos y vacíos del sistema.
En la región donde los niveles de Landau i están completamente llenos, es decir cuando
h ieB s i
n= ⋅ = (1.50)
de esta ecuación se puede observar que una pequeña variación de n o B cambiará drásticamente la energía del sistema.
Si ahora se considera que en un sistema bidimensional de electrones la resistencia Hall (RH) es igual a la resistividad transversal (ρxy) como se indica en la ecuación 1.40 y se sabe que el número de electrones por unidad de área, cuando los niveles de Landau están completamente llenos, está dado por la expresión 1.50, entonces se llega a que
ie2
RH =ρxy = h (1.51)
Hasta este momento se ha considerado un sistema bidimensional de electrones perfecto, es decir libre de impurezas, no obstante que las impurezas en la muestra es una parte esencial para observar el efecto Hall cuántico.
El inevitable desorden causado por la presencia de impurezas en el sistema divide a los niveles de Landau en sub-bandas de Landau como se puede observar en la figura 1-10
1 2 3
BZ = 0 BZ > 0 sin dispersión
BZ > 0 con dispersión
Densidad de estados Estados localizados Estados extendidos
Meseta Hall Meseta
Hall
Nivel de Fermi
E
Figura 1-10. Cuantización de los niveles de Landau en un gas bidimensional de electrones
Una consecuencia fundamental de la presencia de estas impurezas es que se crean dos diferentes tipos de estados electrónicos, los llamados estados localizados y extendidos. Cuando la densidad de electrones se incrementa los estados electrónicos se van llenando gradualmente, esto equivale a desplazar el nivel de la energía de Fermi EF a través de la densidad de estados, cuando el nivel de Fermi se mueve en la brecha de movilidad (región donde los estados
electrónicos están localizados), la ocupación de los estados extendidos no cambia y, debido a que solamente estos estados son los que pueden conducir la corriente, por consecuencia la resistencia Hall tampoco cambia, dando como resultado la aparición de una meseta Hall.
Es crucial que la energía de los estados extendidos en el centro de esta meseta esté retirada, energéticamente hablando, de EF, de esta manera los procesos inelásticos como la absorción de fonones no cambia la ocupación de los estados extendidos. Simultáneamente cuando existe la meseta Hall la resistencia longitudinal desaparece debido a que solamente los estados localizados se encuentran en la vecindad de EF. Tan pronto como EF se aproxima a la siguiente sub-banda de Landau la disipación aparece en el sistema y la resistencia Hall hace una transición a la siguiente meseta, por lo tanto el efecto Hall cuántico se puede entender como una sucesión de transiciones entre estados localizados y deslocalizados cuando la energía de Fermi EF se mueve a través de la densidad de estados.
El siguiente paso es explicar cómo se da el efecto Hall cuántico, considerando los fenómenos de transporte en una muestra real, es decir con impurezas y con contactos, esto último no ha sido una tarea fácil y durante mucho tiempo se ha estado trabajando en este tema [24], actualmente la explicación del efecto Hall cuántico requiere de dos teorías una de ellas es la existencia de estados de borde (edge state) en combinación con el formalismo teórico de Landauer y Büttiker [25].
El modelo de los estados de borde ha sido aplicado a muchos experimentos, los cuales han podido ser explicados de manera exitosa por el modelo, sin embargo una prueba final que pruebe que la corriente solamente fluye en los bordes de la muestra aún no ha sido publicado a la fecha.
Históricamente, los estados superficiales inducidos por campo magnético fueron por primera vez investigados en metales puros. En 1957 mediciones de resonancia de ciclotrón en estaño revelaron estructuras a campos magnéticos bajos [24]. Se hicieron mediciones de la impedancia superficial de cristales simples preparados de estaño y otros metales puros y se encontraron oscilaciones a valores de campo bajos, que no pudieron ser explicados con los modelos disponibles en aquellos años. Hasta que en 1966 se planteó la existencia de choques entre las orbitas que describen la trayectoria clásica de los electrones moviéndose en un campo magnético y la superficie como se describe en la figura 1-11.
Figura 1-11. Trayectorias clásicas de los electrones moviéndose a lo largo de un borde de una muestra sometida a un campo magnético
En analogía a este planteamiento clásico, en 1968 se generó una teoría a través de la mecánica cuántica capaz de proporcionar una explicación completa de los niveles superficiales cuantizados, esto hizo posible entender experimentos en superconductores. En estos sistemas en tres dimensiones se había identificado la importancia de los niveles superficiales. Para sistemas bidimensionales la pregunta de que si el campo magnético induce niveles superficiales se planteó hasta el descubrimiento del efecto Hall cuántico. Desde ese momento mucha gente trabajó en varios planteamientos [26, 27], pero todos ellos estaban incompletos debido a que no existía la influencia de los contactos en las muestras. No fue hasta que Büttiker en 1988 empleando como base el trabajo de Landauer de 1957, planteó un panorama completo. El planteamiento de Landauer-Büttiker está basado en la descripción del transporte por coeficientes de transmisión y reflexión. Uno de los problemas mayores para este concepto fue el cuestionamiento de que se está midiendo realmente en el experimento. La corriente fue identificada como la magnitud más importante, se tuvo la idea de tratar el transporte con coeficientes de transmisión y reflexión con la ventaja de aplicarlos en problemas de una dimensión, puesto que la corriente I en un canal de una dimensión toma la forma
μ Δ
=h
I e (1.52)
donde Δμ es la diferencia en el potencial electroquímico entre las dos partes de la muestra por donde la corriente se observa que circula. Esta forma extremadamente simple se debe a la única cancelación de la densidad de estados y la velocidad de Fermi en una dimensión. Si uno toma un arreglo donde una muestra está conectada a dos centros de carga por conductores ideales de una
dimensión, la conductancia de la muestra se puede determinar de la corriente transmitida y reflejada en conductores de una dimensión ideales. Markus Büttiker lo que hizo fue tomar una vista general del efecto Hall cuántico en el marco de los estados de borde y la transmisión y reflexión de corrientes de borde, mostrando que el efecto Hall cuántico puede ser explicado por la supresión de dispersión de retroceso, es decir dispersión de un lado de la muestra a otro lado.
En los bordes de una muestra real el confinamiento del potencial provoca una desviación hacia arriba de los niveles de Landau como se muestra en la figura 1-12.
Figura 1-12. Espectro de energía de un gas bidimensional de electrones en un campo magnético con un potencial de confinamiento infinito en los bordes de una muestra
Para cada nivel de Landau que atraviesa la energía de Fermi se forma un canal de borde de una dimensión. De manera clásica esto corresponde a tener trayectorias de un electrón moviéndose a lo largo del borde de la muestra en un campo magnético. Como consecuencia existen estados extendidos en la energía de Fermi cerca de los límites de la muestra.
En el formalismo de transporte de Landauer-Büttiker la corriente se toma como la fuerza de manejo y el campo eléctrico se puede obtener calculando la distribución de carga debido al flujo de corriente. Utilizando las probabilidades de transmisión y reflexión, la corriente está dada como una función de potencial electroquímico en los contactos. Para un solo estado de borde k localizado entre dos reservas o centros de carga de electrones con potencial electroquímico μ1 y μ2, la corriente suministrada por los contactos en ausencia de dispersión está dada por
( )(
μ −μ)
= Δμ= h
E e D ev
I k 1 2 (1.53)
donde vk es la velocidad de desplazamiento de los electrones que es proporcional a la forma del nivel de Landau y por lo tanto tiene un signo opuesto en cada lado de la muestra. La densidad de estados D(E) está dada por D(E)=2πhvk en un canal de una dimensión. La diferencia de potencial V entre los centros de carga es eV=Δμ y la resistencia a dos terminales del estado de borde es R=h/e2. Para N canales se obtiene que
e N R h 1
= 2 (1.54)
Cuando toman parte dispersiones elásticas a lo largo de los canales de borde con probabilidad de transmisión T a través de la región desordenada, la resistencia a dos terminales se modifica
e NT R h 1
= 2 (1.55)
La situación de una dispersión de impureza localizada en un canal de borde se puede representar como se muestra en la figura 1-13.
Borde superior de la muestra
Impureza
Figura 1-13. Trayectorias cuasiclásicas a lo largo del borde superior de una muestra en presencia de una impureza localizada
De una manera intuitiva la figura 1-13 muestra que el campo magnético suprime la dispersión de retroceso de los electrones en una distancia mayor a la orbita de ciclotrón. Esta supresión de dispersión de retroceso, la cual permite que la corriente circule a lo largo de los bordes sin disipación, es la propiedad fundamental responsable del fenómeno del efecto Hall cuántico. Como consecuencia, T=1 y la resistencia es nuevamente dada por la ecuación 1.54.
El poder del enfoque del canal de borde radica en la posibilidad de estudiar el rol de los contactos los cuales son fundamentales en metrología como lo hizo notar Büttiker y otros investigadores [28]. En el caso de tener dos contactos no ideales, estos contactos selectivamente poblarán los canales de borde, es decir que T1,2≠1 y R1,2≠0. En este caso la corriente puede ser escrita como
μ
− Δ
=
2 2 1 12
R R N
T NT h
I e (1.56)
esto conduce a tener una resistencia de dos terminales de
2 1
2 2 1
2 NTT
R R N e
R= h − (1.57)
La resistencia a dos terminales muestra una desviación de una cuantización perfecta. Sin embargo la dispersión inelástica equilibrará la población entre los estados de borde en el mismo lado de la muestra (la dispersión de retroceso está aún suprimida). Para una dispersión inelástica alejada del contacto la tensión Hall VH se podrá calcular mediante
μ
− Δ
=
2 2 1 12
R R N
T
eVH NT (1.58)
esta expresión conduce a tener a una resistencia cuantizada perfectamente RH=(h/e2)(1/N). Esta situación muestra la robustez del efecto Hall cuántico relacionada a la calidad de los contactos.
También destaca la importancia de la dispersión inelástica, la cual equilibra los estados de borde en el establecimiento de una cuantización exacta [29].
La situación de una heteroestructura para observar el efecto Hall cuántico se muestra en la figura 1-14. Los contactos están caracterizados por coeficientes de transmisión Ti y reflexión Ri. Como los contactos están separados por una distancia mayor que la longitud de la dispersión inelástica, Ti=1 y Ri=0 para todos los contactos independientemente de que sean ideales o no.
Los potenciales electroquímicos están relacionados por μ1= μ3= μ4 y μ2= μ5= μ6. Estas condiciones conducen a I = N e(μ2 - μ1) y VH = V56 = V34 = Δμ, produciendo que RH=h/Ne2 y Rxx=0 como se espera.
Figura 1-14. Esquema de una muestra Hall con seis contactos óhmicos separados una distancia mayor que la longitud de dispersión inelástica
