PROGRAMACIÓN LINEAL
GUÍA NÚMERO CUATRO
Área: Matemáticas Período: 2
Fecha: 30 de agosto de 2020
Asignatura: Cálculo y análisis matemático Grado: 11
Institución Educativa: Centro Formativo de Antioquia CEFA
Docente: Jorge Cardeño Espinosa
E-mail: [email protected]
Sesiones de trabajo: 1 semana aproximadamente
Fecha de devolución: 14 de septiembre de 2020
1. TÍTULO:
PROGRAMACIÓN LINEAL 2. LOGROS DE APRENDIZAJE
Resolver problemas sobre programación lineal, con el fin de representar un sistema de inecuaciones en el plano cartesiano, y hallar la solución conforme a los puntos máximos o mínimos de un polígono convexo acotado o no acotado.
3. ESTÁNDARES CURRICULARES O DBA
Aplico las inecuaciones en la solución de problemas relacionados con la programación lineal.
Utilizo programas de computación para determinar la solución de un sistema de inecuaciones.
4. METODOLOGÍA
SABERES PREVIOS (VIVENCIAS)
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Antes de iniciar el estudio y el análisis de la presente guía de aprendizaje debes recordar algunos conceptos básicos que conducen al concepto de desigualdades e inecuaciones polinómicas y racionales, que puedes consultar en textos, enciclopedia o por medio de internet.
Consulta por favor los siguientes conceptos matemáticos:
Inecuación lineal con dos variables.
Sistema de inecuaciones lineales.
Semiplano
2 También puedes observar los siguientes videos en YouTube, y recordar la definición de estos conceptos:
Sistemas de inecuaciones lineales una y dos incógnitas:
https://www.youtube.com/watch?v=42ZjyjG7HG0
Gráfica de una inecuación lineal con dos variables:
https://www.youtube.com/watch?v=mY9fdxM5614
Programación Lineal Maximización: https://www.youtube.com/watch?v=dHTFI- wAPUg
EXPLORACIÓN TEMÁTICA (CONCEPTUALIZACIÓN)
Comienza por estudiar un poco acerca del origen de la Programación Lineal y su aplicación en las diversas ciencias y en la vida.
PROGRAMACIÓN LINEAL: BREVE HISTORIA1
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos, como Newton, Leibnitz, Bernoulli y, sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.
Posteriormente, el matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.
Si exceptuamos al matemático Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1776 se interesó por problemas de este género, debemos remontarnos al año 1939 para encontrar nuevos estudios relacionados con los métodos de la actual programación lineal. En ese año, el matemático ruso Leonid Vitalevich Kantorovitch publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida, llamada hoy en día programación lineal.
En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y por Kantorovitch, razón por la cual se suele conocer con el nombre de problema de Koopmans-Kantorovftch.
Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de régimen alimenticio optimal.
1 Recuperado el 30 de agosto de 2020 de: https://sites.google.com/site/miguelriverasite1501/001-historia- de-pl
3 En los años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la programación lineal.
Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las técnicas de computación y los ordenadores, instrumentos que harían posible la resolución y simplificación de los problemas que se estaban gestando.
En 1947, G. B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formarían el grupo que dio en denominarse SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs).
Respecto al método simplex, señalaremos que su estudio comenzó en 1951 y fue desarrollado por Dantzig en el United States Bureau of Standards SEAC COMPUTER, ayudándose de varios modelos de ordenador de la firma International Business Machines (IBM).
Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático norteamericano de origen húngaro John (Janos) Von Neumann (1903-1957), quien en 1928 publicó su famoso trabajo Teoría de Juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos.
La influencia de este respetado matemático, discípulo de Dávid Hilbert en Gotinga y, desde 1930, catedrático de la Universidad de Princeton de Estados Unidos, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina.
5. CONCEPTOS BÁSICOS (DOCUMENTACIÓN)
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Ahora hagamos lectura consciente de algunos conceptos fundamentales sobre inecuaciones lineales con dos variables y discute con algunos compañeros de tu clase o por medio de las redes acerca de esto, si no es posible continua con tu estudio independiente:
INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
Una inecuación lineal con 2 variables es una expresión de la forma: ax + by ≤ c (donde el símbolo ≤ puede ser también ≥, < o bien >), donde a, b y c son números reales y x e y las incógnitas.
4 Para resolver estas inecuaciones, hay que representar gráficamente en el plano la recta dada por la correspondiente ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al plano.
Ejemplo 1
Si queremos resolver la inecuación: 2x + 3y ≥ −3, representamos en primer lugar la recta 2x +3y = −3:
Figura 1: Recta en el plano
Fuente: Diseño del autor
La recta divide al plano en dos regiones, una de las cuales es la solución de la inecuación.
Para saber qué parte es, hay dos procedimientos:
1. Se despeja la y de la inecuación, poniendo cuidado en que, si en una inecuación multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
En este caso tendríamos que:
𝑦 ≥−2𝑥 − 3
3 Figura 2: Semiplano hacia la derecha a partir de la recta continua
Fuente: Diseño del autor
5 Observando el dibujo vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos partes.
La solución de la inecuación será aquella parte en la que la y sea mayor que la recta, es decir, la parte superior.
2. Se toma un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo: el (1,2).
Para que dicho punto sea solución, se tendría que cumplir la desigualdad, por lo que sustituimos en la inecuación inicial el (1,2):
(2)・ (1) +(3)・ (2) ≥ −3, es decir, 8 ≥ −3.
Como esta última desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el (1,2) es solución y por tanto el semiplano que contiene al (1,2) es la solución, es decir el semiplano superior, como habíamos obtenido antes.
Cualquiera de los procedimientos es válido.
Ejemplo 2:
Representar la inecuación 2𝑥 − 5𝑦 < 10 Solución:
Se representa en el plano cartesiano la recta 2𝑥 − 5𝑦 = 10 para determinar el límite del semiplano. Por lo tanto se despeja la 𝑦.
−5𝑦 = −2𝑥 + 10
∴ 𝑦 =−2𝑥 + 10
−5 → 𝑦 =2
5𝑥 −10
5 → 𝑦 =2 5𝑥 − 2 Tabla de valores. (Interceptos)
𝑥 0 5
𝑦 −2 0
Ahora la inecuación sería:
2𝑥 − 5𝑦 < 10 ∴ −5𝑦 < −2𝑥 + 10
5𝑦 > 2𝑥 − 10 → 𝑦 >2 5𝑥 − 2
6
Figura 2: Semiplano hacia la izquierda a partir de la recta discontinua
Fuente: Diseño del autor
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
Un sistema de inecuaciones lineales, por tanto, es un conjunto de inecuaciones del tipo anterior, y resolverlo consistirá en resolver gráficamente cada inecuación (como en el caso anterior), representar la solución en un mismo gráfico y la solución total será la parte común a todas las soluciones.
Ejemplo 3
Resolver el sistema de inecuaciones siguiente:
2x +3y ≥ −3 2x − y − 9 ≤ 0 2x − 5y − 5 ≥ 0
Si representamos las rectas:
2x+ 3y = −3 (recta r) 2x − y − 9 = 0 (recta s) 2x − 5y − 5 = 0 (recta t)
El triángulo sombreado es la solución del sistema. En este caso, el polígono donde confluyen los tres colores o áreas sombreadas. Lo anterior, se puede hacer en forma mental y sombrear solo el polígono o área de mayor número de semiplanos sombreados.
Además, para los problemas de programación lineal es necesario el cálculo de los vértices de la región solución. Es sencillo su cálculo, pues se reduce a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, que provienen de igualar las ecuaciones de
7 las rectas correspondientes, utilizando cualquier método de solución algebraica como:
sustitución, igualación, reducción, determinantes o método gráfico.
Figura 3: Polígono convexo acotado
Fuente: Diseño del autor
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN SUJETA A RESTRICCIONES
En un problema de programación lineal de dos variables x e y, se trata de optimizar (hacer máxima o mínima, según los casos) una función (llamada función objetivo) de la forma: 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦, sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones lineales del tipo:
𝑎1+ 𝑏1𝑦 ≤ 𝑐1 𝑎2+ 𝑏2𝑦 ≤ 𝑐2
…
𝑎𝑛+ 𝑏𝑛𝑦 ≤ 𝑐𝑛
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano. El conjunto intersección de todos esos semiplanos recibe el nombre de zona de soluciones factibles.
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso). El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.
Los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto convexo acotado (poligonal) o no acotado, llamado región factible del problema.
8 Todos los puntos de dicha región cumplen el sistema de desigualdades. Se trata de buscar, entre todos esos puntos, aquel o aquellos que hagan el valor de 𝐹(𝑥, 𝑦) máximo o mínimo, según sea el problema.
Los puntos de la región factible se denominan soluciones factibles.
De todas esas soluciones factibles, aquellas que hacen óptima (máxima o mínima) la función objetivo se llaman soluciones óptimas.
En general, un problema de programación lineal puede tener una, infinitas o ninguna solución. Lo que si se verifica es la siguiente propiedad:
Propiedad:
Si hay una única solución óptima, esta se encuentra en un vértice de la región factible, y si hay infinitas soluciones optimas, se encontrarán en un lado de la región factible.
Es posible que no haya solución óptima, pues cuando el recinto es no acotado, la función objetivo puede crecer o decrecer indefinidamente. Para resolver el problema, podemos abordarlo de dos formas, pero antes de aplicar cualquiera de ellas siempre hay que dibujar la región factible, resolviendo el sistema de inecuaciones lineales correspondiente, como se ha señalado anteriormente (la región factible puede estar acotada o no), y se calculan los vértices de dicha región.
PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL El procedimiento por seguir para resolver un problema de programación lineal en dos variables será, pues:
1. Elegir las incógnitas.
2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).
Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no es acotado).
9 6. EJERCICIOS Y ACTIVIDADES (AMPLIACIÓN)
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Lee atentamente la información, resume los elementos conceptuales que te permitan comprender cada concepto tratado anteriormente, en esta parte vas a encontrar ejercicios y problemas resueltos, que te muestran cómo aplicar los conceptos tratados.
Ejemplo 1:
Laura se gana 10 millones de pesos en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10 %.
Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que el beneficio anual sea máximo?
Las variables serían:
𝑥: cantidad invertida en acciones A 𝑦: cantidad invertida en acciones B La función objetivo es:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 10
100𝑥 + 7 100𝑦
Y las restricciones o sistema de inecuaciones en este caso son:
{
𝑥 + 𝑦 ≤ 10 ➀ 𝑥 ≤ 6 ➁ 𝑦 ≥ 2 ➂ 𝑥 ≥ 𝑦 ➃ 𝑥 ≥ 0 ➄ 𝑦 ≥ 0 ➅
Cada inecuación se corresponde con una ecuación lineal, que es el límite del semiplano o área sombreada, para ello se hace necesario hallar los interceptos de cada recta con los ejes o calcular dos puntos, para poder trazar la recta dada.
𝑥 + 𝑦 = 10 ➀
∴ 𝑦 = −𝑥 + 10 (Ecuación canónica)
10 Tabla de valores:
Si 𝑥 = 0, entonces 𝑦 =?
𝑦 = −0 + 10 = 10 Si 𝑦 = 0, entonces 𝑥 =?
𝑥 + 𝑦 = 10 𝑥 + 0 = 10 𝑥 = 10
𝑥 0 10 30
𝑦 10 0 −20
𝑦 = 6 ➁
La cual representa una recta vertical. Se asigna cualquier valor a la 𝑥
𝑥 −5 2 5
𝑦 6 6 6
De esta misma manera con cada recta ➂, ➃, ➄ y ➅, lo cual significa que en total se tendrían seis rectas en el plano cartesiano. Por lo tanto al representar todas las inecuaciones en el mismo plano resultaría un recinto acotado (polígono convexo) o no acotado, que en este caso tiene el mayor número de áreas sombreadas posibles.
Figura 4: Polígono ABCD con la intersección de los seis semiplanos
Fuente: Diseño del autor
11 El polígono de soluciones factibles en este caso sería:
Figura 4: Polígono solución
Fuente: Diseño del autor
Por medio de los vértices del polígono ABCD calculamos los puntos máximos o mínimos:
Cada vértice resulta de la intersección entre las diferentes rectas, para lo cual se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales 2𝑥2 , por medio de sustitución, reducción, igualación o determinantes.
Se calcula la intersección entre las rectas ➂ y ➃:
{𝑦 = 2 𝑥 = 𝑦
Por igualación se tiene:
𝑥 = 𝑦 = 2 𝐴(2, 2)
Luego la intersección entre las rectas ➁ y ➂ es 𝐵(6, 2), que es inmediato Ahora la intersección entre las rectas ➀ y ➁:
{𝑥 + 𝑦 = 10 𝑥 = 6
12 Sustituyendo ➁ en ➀, se obtiene:
6 + 𝑦 = 10 𝑦 = 10 − 6 𝑦 = 4 𝐶(6, 4)
Finalmente, las coordenadas del vértice D, por medio de la intersección de la recta ➀ y ➃:
{𝑥 + 𝑦 = 10 𝑥 = 𝑦
Sustituyendo se obtiene:
𝑥 + 𝑥 = 20 2𝑥 = 10
∴ 𝑥 =10 2 = 5 𝐷(5, 5)
Para determinar el beneficio máximo, se sustituye en la función objetivo, las diferentes coordenadas de los vértices del polígono y donde se obtenga el mayor valor, esa será la solución.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝐴) = 10
100𝑥 + 7 100𝑦 𝑓(𝐴) =10(2)
100 +7(2)
100 = 20
100+ 14
100= 34
100= 0,34 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0,34 𝑥 106 = $340.000 𝑓(𝐵) = 10(6)
100 +7(2)
100 = 60
100+ 14
100= 74
100= 0,74 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0,74 𝑥 106 = $740.000 𝑓(𝐶) = 10(6)
100 +7(4)
100 = 60
100+ 28
100= 88
100= 0,88 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0,88 𝑥 106 = $880.000 𝑓(𝐷) =10(5)
100 +7(5)
100 = 50
100+ 35
100= 85
100= 0,85 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0,85 𝑥 106= $850.000 En consecuencia, Laura debe invertir 6 millones de pesos en acciones tipo A y 4 millones en acciones tipo B, para obtener el máximo beneficio, que en este caso se corresponde con el vértice 𝐶, para un total de $880.000
13 7. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (AMPLIACIÓN)
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Ahora debes resolver las siguientes enunciados y problemas, aplicando los pasos básicos de la programación lineal, representando el sistema de inecuaciones lineales con dos variables, con las habilidades que has desarrollado en esta guía de aprendizaje.
7.1. Representar gráficamente, en el plano cartesiano, las siguientes inecuaciones lineales con dos indeterminadas:
a) 2𝑥 − 4𝑦 ≤ 8 b) 𝑥 < 3𝑦 + 2
7.2. Encontrar el valor máximo y el mínimo de cada función para el conjunto convexo poligonal definido por cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 = 3𝑥 + 5𝑦 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 72
𝑥 + 2𝑦 ≤ 40 𝑥 + 𝑦 ≥ 0 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0
7.3. Resolver el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas y determinar si es un recinto convexo acotado o no acotado:
{
𝑥 + 𝑦 − 1 ≤ 0 2𝑥 + 3𝑦 + 4 > 0
𝑥 − 2𝑦 − 2 < 0
7.4. Una microempresa con 80 kg de acero y 120 kg de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 200 y 150 euros cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará un kg de acero y tres kg de aluminio, y para la de montaña 2 kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá? Expresar la solución final en pesos colombianos.
7.5. Un fabricante de cabinas metálicas para vehículos repartidores de alimentos produce dos tipos de cabina, A y B, para vehículos pequeños y para vehículos grandes, respectivamente. La empresa está obligada a producir no más de dos cabinas tipo B por cada una de tipo A y las fabrica en dos plantas. La planta P1 que trabaja un máximo de 48 horas semanales, se dedica básicamente al ensamblaje; la planta P2 que trabaja un máximo de 40 horas, se dedica a la instalación, pintura, decoración, entre otros. Cada planta no puede procesar más de una cabina al tiempo. (Suponer que una cabina tipo B
14 requiere 4 horas en cada planta, mientras que una cabina del tipo A requiere 3 horas en P1 y 2 horas en P2).
a) ¿Por qué cada uno de los siguientes programas de producción son no factibles: 4 cabinas de tipo B y 11 cabinas de tipo A; 5 cabinas de tipo B y 2 de tipo A?
b) Describir las restricciones para el nivel de producción con un sistema de desigualdades lineales.
c) Construir la gráfica.
d) Si la venta de una cabina de tipo A produce una utilidad de $500.000 y la venta de una de tipo B una utilidad de $800.000, ¿cuántas se deben producir semanalmente de cada tipo para maximizar la utilidad?
8. EVALUACIÓN (APLICACIÓN)
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Ahora resuelves los siguientes ejercicios, que sirven para prepararte para la evaluación posterior Online y además debes resolverlos como parte de tus responsabilidades y tarea.
8.1. El comité de convivencia de un colegio propone publicar el reglamento a color para compartirlo en las próximas reuniones de padres de familia y necesita al menos 240 copias. Existen dos máquinas copiadoras, A y B, en el colegio, tales que A puede sacar 2 copias por minuto a un costo de 20 centavos de dólar cada copia y B puede sacar 3 copias por minuto a un costo de 60 centavos de dólar por copia. Las máquinas pueden disponerse para ese uso por un máximo de 100 minutos. Si el comité quiere sacar las copias con un costo mínimo, ¿Cuántos minutos deberá ser usada cada máquina?
8.2. Una tienda de ropa femenina vende trajes de dos marcas Bella y Candy. Nunca hace pedidos mayores de 60 trajes en un mes. La marca Bella le cuesta $30.000 y la vende en
$35.000, mientras que compra la marca Candy en $50.000 para venderla en $56.000. Si se restringe su gasto para la compra de trajes a $1.600.000 por mes. ¿Cuántos de cada marca deberá comprar para que su utilidad sea máxima, suponiendo que se venden todos los trajes?
8.3. Un constructor puede hacer dos tipos de casas en un barrio de Medellín. Para uno necesita dos oficiales y cinco ayudantes y da una utilidad de $3.000.000, mientras que para el otro necesita tres oficiales y tres ayudantes y tiene un margen de utilidad de
$2.000.000. ¿En que relación deberá construir los dos tipos de vivienda para que sus utilidades sean máximas, si dispone de 18 oficiales y 36 ayudantes?
15 8.4. Una compañía productora de alimentos para gatos necesita proporcionar como parte integral de su producto tres vitaminas diferentes con requisitos mínimos de fabricación.
Las vitaminas se pueden obtener en diferentes cantidades de la materia prima marca M, que cuesta $9 el kg. Igualmente, se puede obtener de la materia prima marca N, que cuesta $7 el kg. Por otra parte, la materia prima M contiene 15 unidades de la vitamina A, 20 unidades de la vitamina C y 15 unidades de la vitamina B. La materia prima N contiene 10 unidades de la vitamina A, 5 unidades de la vitamina C y 25 unidades de la vitamina B. Lo mínimo que debe contener el producto terminado son 60 unidades de la vitamina A, 40 unidades de la vitamina C y 75 unidades de la vitamina B. ¿Cuál es la combinación más eficaz de materias primas para minimizar los costos de producción?
8.5. La oficina de publicaciones del CEFA puede editar libros con cubierta rústica y de lujo.
En una semana determinada, esta dependencia puede sacar 4000 libros, de los cuales se proyecta para las estudiantes de ambas jornadas 1000 libros con cubierta de lujo y 1500 en rústica, Sabemos, además, que el beneficio por unidades de lujo es 500 pesos, y por unidad de rústica es 200 pesos. ¿Cuántos libros de uno y de otro tipo debe producir la oficina de publicaciones hasta un total de 4000 para obtener el máximo beneficio.
BIBLIOGRAFÍA
Problemas resueltos de Programación Lineal. (2012). Recuperado el 11 de junio de 2020 de:
http://www.monografias.com/trabajos23/programacion-lineal/programacion- lineal.shtml
Programación Lineal: su historia. Recuperado el 10 de junio de 2020 de:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/Descartes1/Bach_HCS_1/Programacio n_lineal/Pl_historia.htm
Londoño N. y Guarín H. (1996). Dimensión Matemática 11. Bogotá: Norma.
Elaboró: MsC. JORGE CARDEÑO ESPINOSA Departamento de Matemáticas CEFA
