Conservación de la energía

(1)

Ecuaci´on diferencial de la conservaci´on de la energ´ıa

Conservaci´ on de la energ´ıa

R. Castilla y P.J. Gamez-Montero

Dep. de Mec´anica de Fluidos U.P.C. Campus de Terrassa

Curso 2011-2012

R. Castilla y P.J. Gamez-Montero Conservaci´on de la energ´ıa

(2)

´Indice

1 Ecuación integral de la conservación de la energ´ıa Análisis del trabajo

Ecuaci´on de Bernoulli

2 Ecuaci´on diferencial de la conservaci´on de la energ´ıa

(3)

Ecuación diferencial de la conservación de la energ´ıa Ecuación de Bernoulli

Ecuaci´ on integral de la conservaci´ on de la energ´ıa

Primera ley de la termodin´amica para un sistema cerrado:

DE

Dt = ˙Q − ˙W

Q˙ : calor transferido al sistema W˙ : trabajo realizado por el sistema Aplicando el teorema del transporte de Reynolds al sistema:

DE Dt =

ˆ

VC

∂ρe

∂t dV +

˛

SC

ρe~v · d~S = ˙Q − ˙W donde

e = 1 2v²

|{z}

E. cin´etica

+ gz

| {z }

E. potencial

+ u

| {z }

E. interna

es la energ´ıa por unidad de masa.

(4)

An´ alisis del trabajo

realizado por el tensor de esfuerzos en las superficies de control en las que existe un flujo de fluido

trabajo realizado por los esfuerzos normales:

W˙n= − ˆ

SC

σnn~v · d~S ≈ ˆ

SC

p~v · d~S trabajo realizado por los esfuerzos tangenciales:

W˙_t= − ˆ

SC

~

v ·~~τ⁰· d~S

| {z }

~ τ⁰dS

= − ˆ

SC

~ v · ~τ⁰dS

En general, se intenta escoger el VC de forma que ~v k d~S , y, dado que ~τ⁰ est´a en dS , ~v ⊥ ~τ⁰, y ~v · ~τ⁰ = 0 (flujos

unidimensionales).

realizado por otros elementos externos, como, p.e., trabajo el´ectrico, o trabajo mec´anico de un eje (agitador, . . . ). Lo expresamos como ˙W_e.

(5)

Para un Volumen de Control tal que ~v ⊥ d~S en las entradas y salidas, tendremos

Q − ˙˙ W_e−

˛

SC

p~v · d~S = ˆ

VC

∂ρe

∂t dV +

˛

SC

ρe~v · d~S

⇒ ˙Q − ˙We = ˆ

VC

∂ρe

∂t dV +

˛

SC

ρ(e + pv )~v · d~S , donde v = ¹_ρ es el volumen espec´ıfico.

Dado que u + pv = h, la conservaci´on de la energ´ıa queda Q − ˙˙ We =

ˆ

VC

∂ρe

∂t dV +

˛

SC

ρ

h + gz +1 2v²

~v · d~S

Actividad 1:

¿Porqu´e no hemos incluido el trabajo realizado por la gravedad en W ?˙

(6)

Simplificaciones

Flujo permanente :

∂ρe

∂t = 0 en todo el Volumen de Control

Propiedades constantes en las superficies de entrada (1) y de salida (2) (con flujo unidimensional):

˛

SC

ρ

h + gz +1 2v²

~v · d~S =

ρ2

h2+ gz2+1 2v₂²

v2S2− ρ₁

h1+ gz1+1 2v₁²

v1S1

Q − ˙˙ We = ρ2

h2+ gz2+1 2v₂²

v2S2− ρ₁

h1+ gz1+1 2v₁²

v1S1

(7)

Ecuaci´ on de Bernoulli

Flujopermanente,incompresibleyno viscoso. ˙Q = ˙W = 0

⇒ ρ₂

h2+ gz2+1 2v₂²

v2S2= ρ1

h1+ gz1+1 2v₁²

v1S1

Dado que ρ₂v₂S₂ = ρ₁v₁S₁ = ˙m, tenemos h₂+ gz₂+1

2v₂² = h₁+ gz₁+1 2v₁²

Si suponemos tambi´en que no hay cambios en la energ´ıa interna, p₂

ρ + gz₂+ 1

2v₂²= p₁

ρ + gz₁+1 2v₁², es decir,

p

ρ + gz + 1

2v² = cte sobre una l´ınea de corriente Este es la conocida comoEcuaci´on de Bernoulli.

(8)

Actividad 2:

Una pareja que vive en una casa en la montaña decide aprovechar el arroyo de cerca de su casa para generar la energia necesaria para su vivienda. Compran una turbina en eBay y estiman que poniendo una presa podr´ıan conseguir una altura en la entrada de la turbina de unos 4 metros. El caudal del arroyo es de unos 800 litros por segundo. Si en la salida de la turbina la velocidad del agua será de 3,6 m/s, estimad la potencia que podr´ıan generar, menospreciando pérdidas por rozamiento.

(9)

Ecuaci´ on diferencial de la conservaci´ on de la energ´ıa

~g : fuerzas m´asicas

Partiendo de la forma general de la conservaci´on de la energia en un VC

Q +˙ ˆ

VC

~

g · ~v ρ dV +

˛

SC

~v ·~~τ · d~S =ˆ

VC

∂ρe

∂t dV +

˛

SC

ρe~v · d~S donde ~~τ incluye la diagonal y e no incluye el t´ermino gz

(¿por qu´e?)

Q puede ser debido o bien a un flujo de calor (~˙ q) a trav´es de la SC o bien a una producci´on de energ´ı a en el interior del VC (s, que tiene unidades de W/kg).

Q = −˙

˛

SC

~q · d~S + ˆ

VC

sρ dV

(10)

Usando el Teorema de Gauss sobre las tres SC , queda

− ˆ

VC

∇~qdV +~ ˆ

VC

sρ dV + ˆ

VC

~g · ~v ρ dV + ˆ

VC

∇~ ~~τ · ~v dV =

= ˆ

VC

∂ρe

∂t dV + ˆ

VC

∇ · (ρe~v ) dV~ Si lo reescribimos en forma de componentes, usando el convenio de doble ´ındice, y en una sola integral, obtenemos

ˆ

VC

−∂q_i

∂x_i + ρs + ρg_iv_i+ ∂τijvi

∂x_j − ∂eρv_i

∂x_i +∂ρe

∂t

dV = 0 Dado que esto ha de ser cierto para todo VC , el integrando debe ser nulo,

−∂q_i

∂x_i + ρs + ρg_iv_i +∂τ_ijv_i

∂x_j −∂eρv_i

∂x_i +∂ρe

∂t = 0

(11)

Para simplificar esta expresi´on expandimos en primer lugar todas las derivadas, usando e = u +¹₂v².

−∂q_i

∂xi

+ ρs + ρgivi + τij

∂v_i

∂xj

+ vi

∂τ_ij

∂xj

=

= ρv_i ∂

∂xi

v² 2

+ v²

2

∂

∂xi

(ρv_i) + uρ∂v_i

∂xi

+ uv_i ∂ρ

∂xi

+ ρv_i∂u

∂xi

+

+ρ ∂

∂t

v² 2

+ v²

2

∂ρ

∂t + u∂ρ

∂t + ρ∂u

∂t

(12)

Reordenando t´erminos, tenemos v_i ∂τ_ij

∂x_j + ρg_i

| {z }

ρ^Dvi_Dt

| {z }

=^ρ₂^{Dv 2}_Dt

+τ_ij∂v_i

∂x_j −∂q_i

∂x_i + ρs =

= ρ 2

∂v²

∂t + v_i∂v²

∂xi

| {z }

=^{Dv 2}_Dt

+v² 2

∂ρv_i

∂xi

+∂ρ

∂t

| {z }

=0

+ρ ∂u

∂t + v_i ∂u

∂xi

| {z }

Du Dt

+

+u ∂ρ

∂t + v_i ∂ρ

∂xi

| {z }

Dρ Dt

+uρ∂v_i

∂xi

(13)

. . . y simplificando, τ_ij∂v_i

∂x_j −∂q_i

∂x_i + ρs = ρDu

Dt + u Dρ

Dt + ρ∂v_i

∂x_i

| {z }

=0

τij

∂vi

∂x_j −∂qi

∂x_i + ρs = ρDu Dt

(14)

Si ahora usamos la ley de Fourier q_i = −k∂T

∂x_i

y la descomposici´on τ_ij = −pδ_ij + τ_ij⁰, como hicimos con la conservaci´on de cantidad de movimiento,

−p∂v_i

∂xj

δ_ij + τ_ij⁰∂v_i

∂xj

| {z }

funci´on disipaci´on Φ

+ ∂

∂xi

k∂T

∂xi

+ ρs = ρDu Dt

ρDu

Dt = ρ ∂u

∂t + v_i∂u

∂x_i

= −p∂vi

∂x_i + Φ + ρs + ∂

∂x_i

k∂T

∂x_i

Para un fluido newtoniano, Φ = µX

ij

∂v_i

∂x_j +∂vj

∂x_i

2

(15)

Bibliograf´ıa

Frank M. White.

Mec´anica de Fluidos.

McGraw-Hill, M´exico, 1988.

V. L. Streeter, E. B. Wylie, and K. W. Bedford.

Mec´anica de los Fluidos.

I. H. Shames.

Mec´anica de Fluidos.

McGraw-Hill, Colombia, 1995.

Robert W. Fox and Alan T. McDonald.

Introducci´on a la Mec´anica de Fluidos.