Programaci ´ on para Modelado y Simulaci ´ on:
Sesion: 14, Movimiento Realista de Proyectiles
Profesores: Gabriel Villalobos Camargo. , ([email protected])
Camilo Andr ´es Espejo Pab ´on. , ([email protected])
7 de noviembre de 2014
Resistencia del Aire
Movimiento Realista de Proyectiles
La bibliograf´ıa para ´esta clase es el libro: “Computational Physics”, Giordano.
Carreras cicl´ısticas: Efecto de la resistencia del aire
Usaremos la analog´ıa de la resistencia del aire como una aplicaci ´on de los m ´etodos y herramientas vistos.
La segunda ley de Newton para sistemas 1D de masa constante es:
F m=dv
dt (1)
La cicla/ciclista es un sistema muy complejo desde el punto de vista de las fuerzas. Pensemos mejor en la potencia:
P =dE dt = d
dt
1 2mv2
=mvdv dt (2)
Para un ciclista de ´elite P = 400 watt.
Luego:
P m =vdv
dt (3)
Bernard Hinault, 1981, pr ´ologo del Tour de France.
Resistencia del Aire
Movimiento bajo potencia constante... sin fricci ´ on.
Integraci ´on
Cuando no hay fricci ´on, se puede integrar f ´acil:
Z v v0
vdv = Z t
0
P mdt v =
r v0+P
m
Podemos usar el m ´etodo de Euler para integrar la ecuaci ´on de movimiento, obteniendo:
dv
dt ≈vn+1− vn
∆t (4)
En la ecuaci ´on 3, usando esta expresi ´on y v = vn:
vn+1=vn+ P mvn
∆t (5)
¿Qu ´e problema puede tener ´este modelo?
Lucho Herrera
Resistencia del Aire
Fricci ´ on del aire
La caracter´ıstica que falta es la fricci ´on, especialmente la fricci ´on del aire.
Ley de Stokes
A bajas velocidades, la fricci ´on es proporcional a la velocidad.
Ffric.= −B1v (6)
A mayores velocidades la relaci ´on es cuadr ´atica.
Fricci ´on a altas velocidades A altas velocidades la fricci ´on se proporcional a la velocidad al cuadrado.
Un buen estimado de la constante de proporcionalidad es 0,5 × ρaireA, entonces:
Ffric.= −0,5ρaireAciclistav2 (7)
ρair =1,2754kg/m3, Aciclista=0,33m2 Cochise
Resistencia del Aire
Resistencia del Aire
Movimiento Realista de Proyectiles
Integraci ´on de las ecuaciones del
movimiento Mariana Pajon
Resistencia del Aire
Resistencia del Aire
Movimiento Realista de Proyectiles
Ecuaci ´on del movimiento
La ecuaci ´on de movimiento, incluyendo fricci ´on, es:
vn+1=vn+ P mvn
∆t−0,5ρairAciclistavn2
m ∆t
(8)
Simulaci ´on
Rigoberto Ur ´an, 2014, Giro d’ Italia, contra reloj individual
Resistencia del Aire
Tarea:
Generalice el problema para tener en cuenta una pendiente. ¿Qu ´e potencia debe desarrollar el ciclista para subir una pendiente del 10 porciento de inclinaci ´on?
¿Qu ´e pendiente debe tener para que, bajando, la velocidad llegue a 110 km/h?
(Ayuda: la energ´ıa potencial gravitacional es mhg, una pendiente del 10 porciento es aquella cuya tangente es 0.1
Resistencia del Aire
Movimiento de una bala de ca ˜ n ´ on
Ecuaciones
Las ecuaciones del movimiento para una bala de ca ˜non:
d2x
dt2 =0 d2y
dt2 = −g (9) o, reescritas como ecuaciones de primer orden:
dx dt =vx
dy dt =vy
dvx
dt =0 dvy
dt = −g
Integraci ´on
Cada una de las ecuaciones, usando Euler
xn+1=xn+vx ,n∆t (10) vx ,n+1=vx ,n (11) yn+1=yn+vy ,n∆t (12) vy ,n+1=vy ,n− g∆t (13)
Resistencia del Aire
Resistencia del Aire
Movimiento Realista de Proyectiles
Y la fricci ´on?
~F = −Bv2v = −Bvˆ 2 ~|v |v
Fricci ´on
Ffric.,x= −Bv2vx
|v |= −B|v |vx (14) Ffric.,y= −Bv2vy
|v |= −B|v |vy (15)
Ecuaciones de Movimiento
xn+1=xn+vx ,n∆t (16) vx ,n+1=vx ,n−Bvvx ,n
m ∆t (17)
yn+1=yn+vy ,n∆t (18) vy ,n+1=vy ,n− g∆t −Bvvy ,n
m ∆t (19) Asumamos:
|v0| = 700 m/s, B/m = 4 × 10−5m−1 g = 9,8m/s2
Resistencia del Aire
Resistencia del Aire
Movimiento Realista de Proyectiles
Se pueden generar dos archivos de datos, “dat” para el caso sin fricci ´on y “dat2” para el caso con fricci ´on.
Resistencia del Aire
Tarea
Tarea
En los grupos de a 4: Reescriban este c ´odigo usando memoria din ´amica y guardando en memoria toda la trayectoria. Dividanse el trabajo, para que cada uno haga una parte de la tarea y lo suban a bitbucket usando mercurial.
Generalice el programa para que funcione en casos en que el ca ˜non no est ´a a la misma altura que el objetivo.
Resistencia del Aire
Proyecto
Fuerza de Magnus
