PROBLEMAS MATEMÁTICOS

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§ 1. Sobre los métodos para resolver problemas geométricos 1

Prácticas para Resolver

PROBLEMAS

MATEMÁTICOS

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2 Capítulo I. Planimetría § 1. Sobre los métodos para resolver problemas geométricos

Prácticas para Resolver

PROBLEMAS MATEMÁTICOS

V. Gúsiev, V. Litvinenko, A. Mordkóvich

Geometría

Editorial Mir Moscú

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ÍNDICE

Prólogo

Capítulo I. PLANIMETRIA

§ 1. Sobre los métodos para resolver problemas geométricos

§ 2. Triángulos y cuadriláteros

Problemas para el trabajo individual

§ 3. Circunferencia

§ 4. Áreas de las figuras planas

§ 5. Transformaciones geométricas Problemas para el trabajo individual

§ 6. Vectores

§ 7. Valores máximos y mínimos Problemas para el trabajo individual

Capítulo II. ESTEREOMETRÍA

§ 8. Generalidades sobre la construcción de la representación de una figura dada

§ 9. Construcciones geométricas en el espacio Problemas para el trabajo individual

§ 10. Rectas cruzadas. Ángulo entre una recta y un plano Problemas para el trabajo individual

§ 11. Ángulos diedros y poliedros Problemas para el trabajo individual

§ 12 Secciones de poliedros

§ 13. Áreas

§ 14. Volúmenes

§ 15. Combinación de poliedros y cuerpos redondos Problemas para el trabajo individual

§ 16. Valores máximos y mínimos Problemas para el trabajo individual Soluciones e indicaciones

Bibliografía

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108 120 132 136 145 149 153 155 166 169 177 179 187 190 197 201 207 210 360 Traducido del ruso por el ingeniero

Antonio Ballesteros Elías

Impreso en la URSS

© , 1985

© Traducido al español, editorial Mir, 1989

LIBRERÍA CIENTÍFICA, junio 2007 Jr. Ica 441 – A – Int. 101  428-0448

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problemas para el trabajo individual. Ellos están agrupados según las partes y secciones de la geometría escolar y por el grado de crecimiento de la complejidad. Para la mayoría de los problemas, que se resuelven de forma individual, al final del libro se ofrecen las soluciones y, para parte de ellos, indicaciones para su resolución.

El presente manual consta de dos capítulos. El primero está dedicado a resolver problemas de planimetría En el § 1, que en cierto sentido es la introducción a todo el libro, tratan los métodos para resolver problemas geométricos tradicionales, que con actividad se emplean en los siguientes apartados. Aquí se destacan los métodos puramente geométricos, algebraicos y mixtos, así como sus casos particulares: el método del elemento de referencia (que contiene el método de las áreas) y el método de introducción de un parámetro auxiliar. Para que sea más cómodo trabajar, en ese mismo apartado se ofrece la lista de los teoremas de planimetría, necesarios para resolver los problemas.

En los párrafos 2 - 4 se ha incluido una cantidad bastante grande de problemas estándares de dificultad media, ya que, como muestra la práctica, los problemas tradicionales de planimetría son uno de los puntos débiles en la preparación de los estudiantes, futuros profesores de matemáticas.

El objetivo fundamental de los párrafos 5 - 6 es la formación en los futuros profesores los hábitos y conocimientos necesarios para resolver los problemas geométricos según el método de las transformaciones geométricas y el método vectorial. Al mismo tiempo, hay que remarcar que dichos apartados, fundamentalmente, contienen problemas geométricos tradicionales, que se resuelven mediante los métodos indicados, pero no problemas especiales para las transformaciones y vectores, con lo que se tropieza, frecuentemente, en los compendios de problemas de geometría.

Aquí no nos habíamos planteado el objetivo de mostrar la ventaja de los métodos indicados, lo primero es necesario enseñar al estudiante la aplicación de estos métodos. Como los problemas geométricos pueden ser resueltos por diversos métodos, en los párrafos 2 - 4, 5 y 6 se tropieza con problemas iguales o análogos.

Dos párrafos (el § 7 del capítulo 1 y el § 16 del capítulo II) están dedicados a problemas geométricos para la búsqueda de los valores mínimos y máximos. Por regla, se considera que de dichos problemas ha de ocuparse el curso de análisis matemático. Pero en él, la fundamental aplicación de esos problemas consiste en la demostración del papel aplicado del cálculo diferencial (es decir, se acentúa la resolución de los problemas dentro del modelo matemático confeccionado y, en menor grado, para la propia composición del modelo y su interpretación). Incluyendo en el

PRÓLOGO

El presente manual está dirigido a los estudiantes de las facultades matemáticas y fisicomatemáticas de las Escuelas Normales Superiores para las especialidades «Matemática» y «Matemática y física» y, además, para la especia lidad «Física y matemática». Está confeccionado en correspondencia con el programa en vigor «Prácticas de resolución de problemas».

Al trabajar en las «Prácticas» tendíamos a que en ellas encontraran su reflejo los tipos fundamentales de problemas geométricos escolares. En el presente libro hay cerca de 1 000 problemas, de diversa complejidad para la resolución individual. Junto con problemas comparativamente sencillos, con carácter de entrenamiento, hay problemas cuya resolución requiere serias reflexiones y, en ocasiones, enfoque no estándar. Aunque no sea de todos, la resolución de una considerable parte de los problemas, ayudará al estudiante a la formación de tan importante cualidad profesional para el futuro profesor de matemáticas como el hábito de resolver problemas geométricos que correspondan a los requisitos de los programas de matemáticas de las escuelas medias de enseñanza general y profesional.

Los procedimientos y métodos para resolver problemas geométricos se analizan en diferentes partes del curso de geometría estudiado en las Escuelas Normales Superiores. No obstante, a los métodos tradicionales se presta insuficiente atención, por lo que uno de los objetivos planteados en el proceso de la creación de este manual era completar esos huecos.

Señalemos que el libro que ofrecemos a la atención del lector no sólo es un compendio de problemas en su sentido habitual, sino, además, un libro de prácticas para resolver problemas. Esto ha hallado su reflejo en el contenido y en la estructura de nuestro libro.

Cada apartado contiene material teórico y ejemplos examinados con detalle. Con singular minuciosidad hemos elegido los problemas acompañados de las soluciones, tendiendo a que cada solución sea útil al estudiante, ante todo, desde el punto de vista metodológico, para que el conjunto de dichos ejemplos sea una aportación lo suficientemente plena y entera en la preparación de los estudiantes de las Escuelas Normales Superiores de los problemas del método particular de enseñanza de las matemáticas en la escuela. Al final de casi todo apartado se aducen

Prólogo

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presente manual uno u otro problema para determinar el valor máximo o mínimo, teníamos en cuenta que cada uno de los problemas fuera, ante todo, interesante desde el punto de vista geométrico (es decir, que se acentuara la estructuración del modelo matemático y su interpretación).

El segundo capítulo está dedicado a la resolución de problemas de estereometría. En él, en forma breve, se recuerdan los datos fundamentales para la construcción de las representaciones de las figuras en la proyección paralela. Se trata de la determinación de la plenitud de la representación y su definición métrica. Se examinan las construcciones geométricas en el espacio y, con ello, se presta singular atención a las construcciones en las representaciones. En este capítulo muchos problemas son nuevos confeccionados especialmente para el presente material. Entre ellos, señalemos aquellos que están ligados con la determinación del ángulo entre rectas cruzadas, la distancia entre ellas, el ángulo entre la recta y el plano, el ángulo diedro y los problemas relacionados con la construcción de las secciones. Según nuestra opinión, la resolución de estos problemas ha de favorecer al desarrollo en los estudiantes de las representaciones espaciales.

Los autores

Prólogo

Capítulo I

PLANIMETRÍA

§ 1. SOBRE LOS MÉTODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

Al resolver problemas geométricos, por regla, se emplean tres métodos fundamentales: geométrico (la afirmación requerida se deduce con ayuda de razonamientos lógicos de una serie de teoremas conocidos); algebraico (la demostración de la afirmación o bien el hallazgo de los valores que se determinan, se realiza con el cálculo directo, sobre la base de diversas dependencias entre las magnitudes geométricas, con ayuda de la composición de ecuaciones o sistemas de éstas); mixto (en ciertas etapas la resolución se lleva a cabo por método geométrico, en otras, algebraico).

Independientemente de la vía elegida para la resolución, el éxito de su utilización, como es natural, depende del conocimiento de los teoremas y el hábito de su aplicación. Recordemos la enunciación de alguno de los teoremas que se emplean activamente en la resolución de los problemas.

Más adelante, reiteradamente, nos vamos a referir a esos teoremas.

1. Triángulos y cuadriláteros

1. Teorema de la igualdad de los ángulos con lados perpendiculares entre sí: si  ABC y  DEF son ambos agudos o bien obtusos y

Fig. 1

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AB  DE, BC  EF (fig. l), entonces

 ABC=  DEF..

2. Propiedades de la línea media del trapecio:

a) la línea media es paralela a las bases del trapecio;

b) la línea media es igual a la semisuma de las bases del trapecio;

c) la línea media (y sólo ella) divide por la mitad cualquier segmento contenido entre las bases del trapecio (fig. 2).

Estos teoremas son también válidos para la línea media del triángulo si consideramos que éste es un trapecio «degenerado», una de cuyas bases tiene una largura igual a cero.

3. Teoremas sobre los puntos de intersección de las medianas, bisectrices, alturas del triángulo:

a) las tres media nas del triángulo concurren en un punto (llamado centro de gravedad o centroide del triángulo) y se dividen por ese punto en la razón 2 : 1, contando desde el vértice;

b) las tres bisectrices del triángulo concurren en un punto;

c) las tres alturas del triángulo concurren en un punto (llamado ortocentro del triángulo).

4. P ropiedad de la mediana en un triángulo rectángulo: en un triángulo rectángulo la mediana trazada a la hipotenusa es igual a su mitad. El teorema inverso es asimismo cierto:

si en un triángulo una de las medianas es igual a la mitad del lado sobre el que está trazada, tal triángulo es rectángulo.

5. Propiedad de la bisectriz del ángulo interior de un triángulo: la bisectriz del ángulo

interno de un triángulo divide el lado en el que está trazada en partes proporcionales a los lados adyacentes: ^'

 ' a a

b b (fig. 3).

6. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo: si a y b son los catetos, c, la hipotenusa, h, la altura, a’ y b’, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (fig. 4), entonces: a) h² = a’b’; b) a² = ca’; c) b² = cb’;

d) a² + b² = c² ; e) h = ^ab_c

7. Teorema de los cosenos: a² = b² + c² – 2bc cos A (fig. 5).

8. Teorema de los senos: ^a ^ ^b ^ ^c ^

sen A sen B senC 2R , donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

9. Definición del tipo de triángulo por sus lados:

sean a, b, c los lados del triángulo, con la particularidad de que c es el lado mayor, entonces:

a) Si c² < a² + b² , el triángulo es acutángulo;

b) Si c² = a² + b², el triángulo es rectángulo;

c) Si c² > a² + b², el triángulo es obtusángulo.

10. Teorema de Ceva: supongamos que en el triángulo ABC, en los lados AB, BC, AC se han

tomado los puntos D, E, F, respectivamente. Con el fin de que las rectas AE, BF y CD concurvan en un punto (fig. 6) es necesario y suficiente que se verifique la igualdad

AD BD.^BE

CE.^CF 1.

AF

11. Relaciones métricas en el paralelogramo: la suma de los cuadrados de las diagonales del paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados: d₁²d²₂= 2a² + 2b² (fig. 7).

II. La circunferencia 12. Propiedades de las tangentes a la circunferencia:

a) el radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente (fig. 8);

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b) dos tangentes trazadas a la circunferencia desde un mismo punto son iguales, y el centro de la circunferencia yace en la bisectriz del ángulo entre ellas (fig. 9).

13. Medida de los ángulos relacionados con la circunferencia:

a) el ángulo central se mide con el arco sobre el que se apoya;

b) el ángulo inscrito se mide con la mitad del arco sobre el que se apoya;

c) el ángulo entre la tangente y la cuerda se mide con la mitad del arco entre ellas.

14. Teoremas sobre las circunferencias y los triángulos:

a) a todo triángulo es posible circunscribir una circunferencia; el centro de ésta es el punto en que concurren las perpendiculares trazadas a los lados por sus puntos medios;

b) en todo triángulo es posible inscribir una circunferencia; el centro de ésta será el punto en que concurren las bisectrices.

15. Teoremas sobre las circunferencias y los cuadriláteros:

a) con el fin de que a un cuadrilátero puede ser circunscrita una circunferencia, es necesario y suficiente que la suma de los ángulos opuestos del cuadrilátero sea igual a 180° (^ + ^= 180°, fig. 10).

b) con el fin de que en un cuadrilátero puede ser inscrita una circunferencia, es necesario y suficiente que las sumas de sus lados opuestos sean iguales (a + c = b + d, fig. 11).

16. Relaciones métricas en la circunferencia:

a) si las cuerdas AB y CD se cortan en el punto M, AM.BM=CM.DM (fig. 12);

b) si del punto M se trazan a la circunferencia dos secantes MAB y MCD, AM. BM = CM.DM (fig. 13);

c) si del punto M se trazan la secante MAB y la tangente MC, AM.BM=CM ² (fig. 14).

III. Áreas de las figuras planas

17. La razón entre las áreas de figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

18. Si en dos triángulos son iguales las bases, sus áreas se relacionan como las alturas; si en dos triángulos son iguales las alturas sus áreas se relacionan como las bases.

19. Fórmulas para calcular el área de un triángulo: a) S = 2 ah ;

b) S=^ab^sen₂ ^C ; c) S = 4 abc

R ; d) S = pr, donde p=

2 a b c

; R es el radio de la circunferencia circunscrita; r, el radio de la circunferencia inscrita;

e) S = ^{p p}⁽ ^^{a p}⁾⁽ ^^{b p}⁾⁽ ^^c⁾ (fórmula de Herón).

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15

20. Fórmulas para calcular el área de un cuadrilátero convexo (fig. 15): a) S = S_ABC+ S_ACD = S_ABD + S_BCD = S_AOB + S_BOC + S_COD + S_AOD ;

b) S =¹

2 AC.BD.sen^ ; c) S = pr (si en el cuadrilátero se puede inscribir una circunferencia y r es su radio).

21. Fórmulas para calcular el área de un paralelogramo (fig.16):

a) S = ah; b) S = ab sen C; c) S = ¹

2d₁d₂ sen^. 22. Fórmula del área del trapecio (fig. 17): S =

2 a b

h.

23. Fórmula del área de un sector circular (fig. 18): S =¹

2R² ( es la medida en radianes del ángulo central).

24. Fórmula del área de un segmento circular (fig. 19):

S=¹

2R²(^-sen^).

Con frecuencia, al resolver problemas geométricos, es preciso establecer la igualdad de dos segmentos (o ángulos). Indiquemos las tres vías fundamentales de la demostració geométrica de la igualdad de dos segmentos:

1) dichos segmentos se consideran como los lados de dos triángulos y se demuestra que éstos son iguales;

2) dichos segmentos se consideran como lados de un triángulo y se demuestra que éste es isósceles.

3) el segmento a se sustituye por el a’, igual a él, mientras que el segmento b por el b’, igual a él y se demuestra la igualdad de los segmentos a’ y b’.

Al resolver problemas geométricos con frecuencia es preciso realizar construcciones auxiliares. Indiquemos algunas de ellas: trazado de una recta paralela o perpendicular a una de las que hay en la figura; duplicación de la mediana de un triángulo, como resultado de lo que el triángulo se transforma en paralelogramo; trazado de una circunferencia auxiliar;

trazado de radios al punto de tangencia de una circunferencia y una recta o de dos circunferencias, etc.

EJEMPLO 1. Dos rectas perpendiculares entre sí cruzan los lados AB, BC, CD y AD del cuadrado ABCD en los puntos E, F, K, L, respectivamente.

Demostremos que EK = FL (fig. 20).

SOLUCIÓN. Haciendo uso de la primera de las vías indicadas para la demostración de la igualdad de dos segmentos, tracemos FM ^ CD y KP^AD, entonces, los segmentos que nos interesan EK y FL se convertirán