Acciones de grupos sobre espacios topol�ógicos

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Acciones de grupos sobre espacios

topol´

ogicos

Santiago Biec Amigo

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Introducci´on

Este trabajo está dividido en cuatro cap´ıtulos. El primero introduce las acciones de grupo presentando los elementos básicos, algunos resultados inme-diatos y un par de teoremas clásicos, el teorema de Cayley y el de recurrencia de Poincaré. El segundo cap´ıtulo sigue tratando las acciones, ahora dotadas de topolog´ıa y se pasa a estudiar las órbitas de dichas acciones. El cap´ıtulo concluye con otro teorema de recurrencia que se apoya en la compacidad del espacio. El cuarto versa sobre el grupo de los homeomorfismos H(X) de un espacio topológico localmente compacto X. Claramente H(X) es un grupo respecto la composición de aplicaciones. En H(X) hemos considerado una topolog´ıa de grupoτg, introducida por Arens bajo el nombre deg-topolog´ıa,

que hace continua la acci´on naturalH(X)×X→X, es decir, es admisible y por ello m´as fina que la compacto-abierta.

La topolog´ıa compacto-abierta en H(X) en general no hace continua la inversi´on f 7→ f−1_{, y en consecuencia no es topolog´ıa de grupo. Si} _X _es

compacto y T2 la topolog´ıa descrita τg coincide con la compacto-abierta. En

el caso m´as general deX localmente compacto yT2,τg es la topolog´ıa menos

fina enH(X) de todas aquellas que cumplen las dos condiciones: ser topolog´ıa de grupo y ser admisible.

1. Nociones b´

asicas de acciones

Definición 1.1. SeaX un conjunto,Gun grupo, diremos que una aplicación θ:G×X →X es una acción deGsobreX si cumple los siguientes axiomas:

1)θ(x, e) =x,∀x∈X siendoe el elemento neutro deG.

2) θ(g, θ(h, x))) =θ(g·h, x)para todo x∈X g, h∈G, siendo · la opera-ci´on deG.

A partir de ahora vamos a denotar g·hcomo gh y θ(g, x) como gx, de forma que los axiomas quedar´ıan:

1)ex=x∀x∈X.

2)h(gx) = (hg)xpara todox∈X g, h∈G. Ejemplo 1.1. Seaθ: (_R,+)×_R2_→

R2, conθ(t,(x, y)) = (x+t, y). θes una acci´on de(_R,+)sobre_R2_:_{(x+0, y) = (x, y)}_y_θ(t

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para todox, y∈_R, t1, t2∈R

Sea θ una acci´on de Gsobre un conjuntoX, llamamos transiciones a las funcionesθg:X →X conθg(x) =gxsiendog un elemento deG.

Los axiomas de las acciones nos dicen que:θe=IdX y queθgh=θg·θh.Por

lo tanto toda transici´on θg tiene una inversa θg−₁ y as´ı las transiciones son

elementos deBiyec(X, X).

Sea ahora, la funci´on Θ :G→Biyec(X, X),tal que Θ(g) =θg, por lo que

hemos visto antes, est´a bien definida. Ahora veremos que es un homomorfis-mo considerando la aplicaci´on composicion enBiyec(X, X) : Θ(gh) =θgh =

θg◦θh= Θ(g)◦Θ(h)g, h∈G

Por esta raz´on a la terna (G, X, θ) se le denomina grupo de transforma-ciones.

Definici´on 1.2. Para un grupo de transformaciones (G, X, θ) usaremos los siguientes t´erminos:

? HA={ha, h∈H ya∈A}

? A es un conjunto invariante en X siGA=A ? Gx=gx, g∈Ges la ´orbita dex

? El conjunto de ´orbitas se denotaX/G

? La proyecci´on orbital se define comoπ:X →X/G,dondeπ(x) =Gx∈

X/G

? GA=g∈G:gA=A es el estabilizador deA.

? Gx=g∈G:gx=xes grupo de isotrop´ıa dex.

? x es un punto fijo siGx=G

? XG es el conjunto de puntos fijos.

Proposici´on 1.1. A⊆X es invariante siigA⊆A ∀g∈G

Demostraci´on. La primera implicaci´on es evidente. Para ver la segunda es suficiente ver quegA⊇A∀g∈G. Aplicamosg−1_{a ambos lados, obteniendo:}

g−1_gA₌_A_⊆_g−1_A_∀_g_∈_{G; como estamos en un grupo, todo elemento}_g_tiene

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Proposici´on 1.2. Dos ´orbitas o son iguales o disjuntas.

Demostraci´on. SeanGx1yGx2dos ´orbitas tales queGx1∩Gx26=∅y

vere-mos que tienen que ser iguales. Hevere-mos dicho que existeng1, g2 ∈ Gtal que

g1x1=g2x2, por tantox1=g1−1g2x2 y de aqu´ıx1∈Gx2de forma sim´etrica

obtendr´ıamosx2∈Gx1y as´ı la igualdad buscada.

En virtud de lo anterior hemos visto que las órbitas de un conjunto lo particionan. De hecho podr´ıamos definir la clase de equivalencia: x ∼ y si existeg∈Gtal quegx=y. Las clases de equivalencia serán los puntos,X/G el espacio cociente yπla proyección natural.

Proposici´on 1.3. Para cualquier subconjunto∅ 6=A⊆X,GA tiene

estruc-tura de grupo.

Demostraci´on. Tenemos que ver que el producto de elementos y la inversi´on son operaciones cerradas en GA. Sean g1, g2 ∈ G, g1(g2A) = g1A = A. Si

g∈G, gA=A luegoA=g−1_A _{y por tanto}_g−1_∈_G

A

En el ejemplo 1.1, si tomamos un punto (x0, y0), su ´orbitaR(x0, y0) ser´a la

recta horizontal de alturay0. Y por tanto la podr´ıamos identificar con el valor

y0, quedando entoncesR2/Ridentificado conR.

Proposición 1.4. El homomorfismoΘ :G→Biy(X)inducido por la acción θ tiene como núcleo kerΘ =T

x∈XGx.

Demostraci´on. g ∈ kerΘ sii Θ(g) = θg =IdX, es decir, gx = x para todo

x∈X, lo que equivale ag∈Gx para todox∈X.

Definici´on 1.3. Se dice que una acci´on deGen X es: trivial: si Gx=Gpara todox∈X.

libre: siGx={e} para todox∈X.

efectiva: siT

x∈XGx={e}.

transitiva: si tiene una ´unica ´orbita.

Observación 1.1. La acción del ejemplo es libre. Toda acción libre es efectiva.

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Una acci´on es transitiva si para cualquier parx, y ∈X existe g ∈Gtal que gx=y.

Ejemplo 1.2. Para un grupo cualquiera G, sea la acci´on µ : G×G →

G, µ(g1, g2) =g1g2. Trivialmente es una acci´on transitiva, libre y por tanto

efectiva. LuegoΘ :G→Biy(G)es un monomorfismo, habiendo demostrado as´ı que todo grupo es isomorfo a un subgrupo de su grupo de permutaciones (T eorema de Caley).

Definici´on 1.4. Sea(X,M, m)un espacio de medida. Diremos quef :X →

X conserva la medida si para todoA∈ M, f−1_(A)_tambi´_{en es medible y tiene}

la misma medida queA.

Si a un espacio medible le aplicásemos una y otra vez una función que conserva la medida, a priori dir´ıamos que cada punto trazará una ruta ca´ oti-ca. Los siguientes resultados garantizan cierta periocidad si el espacio es de medida finita y la función es invariante.

Teorema 1.1. (de recurrencia de Poincar´e)

Sea(X,M, m)un espacio de medida finita. Sif :X →X conserva la medida entonces para todo A ∈ M con m(A) >0, el conjunto de puntos x∈ A tal quefk_(x)_∈_/ _A_{para todo k a partir de cierto}_n _{, tiene medida nula.}

Demostraci´on. SeaAn=S∞_k₌_nf−kA.Claramente A⊆A0, yAi⊆Ajsiempre

quej ≤i. Dado que Ai=fj−iAj, se cumple que m(Ai) =m(Aj) para todo

i, j≥0. Para cualquiern >0, tenemos queA−An⊆A0−An, por tanto:

m(A−An)≤m(A0−An) =m(A0)−m(An) = 0

De aqu´ım(A−An) = 0 para todo n >0, por tantom(A−T∞n=1An) =

m(S∞

n=1(A−An)) = 0 y conluimos con quem(A−T ∞

n=1An) = 0 siendo este

precisamente el conjunto de los x∈A tal que para alg´unn y para todos los k > nse tienefk_(x)_∈_/ _A.

Ahora veremos otro resultado, más topológico que el anterior (en lo si-guienteX es un espacio topológico), pero antes necesitamos una definición: Definición 1.5. Dada una función f: X → X, decimos que x0 ∈ X es un

punto recurrente si para cualquier entorno abierto de x0, Ux0 se tiene que

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Teorema 1.2. Sea(X,M, m)un espacio de medida finito tal que los borelia-nos est´an contenidos enMy X verifica el segundo axioma de numerabilidad y es Hausdorff. Entonces dada una funci´on f que conserve la medida, casi todo punto es recurrente.

Demostraci´on. Por ser X segundo axioma de numerabilidad exite una base numerable{Un:n∈N}que genera la topolog´ıa. Sea

Un0 ={x∈Un:∀m>1, fm(x)∈/Un}

Por el teorema anterior sabemos que m(Un0) = 0. Sea N =

S

n∈NU

0 n.

Entoncesm(N) = 0 y habremos acabado si vemos que six∈X− N entonces es recurrente. DadoUx_{entorno de}_{x, existe}_U

n tal quex⊆Un⊆Ux,y como

x /∈ N tenemos que x∈ Un−Un0. Por definici´on deUn0 tenemos que existe

n≥1 tal quefn_(x)_∈_U

n⊆Ux. Por tanto es recurrente.

2. Acciones continuas y espacios de ´

orbitas

A partir de ahora consideraremos acciones sobre espacios topológicos a las que se le exigirá un axioma más:

θg: (X, τ)→(X, τ) es una funci´on continua para todog∈G.

Recordemos que θ−1

g = θg−1 luego θg va a ser un homeomorfismo. Por

tanto ahora el homomorfismo inducido Θ tiene como conjunto de llegada Homeo(X)

Si E ⊂ X es abierto o cerrado, entonces gE tambi´en lo ser´a. De hecho GE=S

g∈GgEser´a abierto o cerrado en el caso deGfinito.

Si la acci´on es transitiva, por definici´on, para todo par x, y ∈ X existe g∈Gtal quegx=y que equivale a θg(x) =y, es decir, que hay un

homeo-morfismo que llevaxa y; siendo esto la definición de queX es homogéneo. Al espacio de órbitasX/Gle daremos la topolog´ıa cociente respecto a la proyección orbitalπ:X →X/G, π(x) =Gx.

Proposición 2.1. La proyección orbital es abierta y si G es finito también es cerrada.

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Demostraci´on. SeaE ⊂X abierto, nos preguntamos si π(E) es abierto. Por la definici´on de topolog´ıa cociente significa queπ−1_{(π(E)) sea abierto en} _X.

π−1_{(π(E)) =} _π−1₍S

e∈E(Ge)) = GE que como hemos comentado

anterior-mente es abierto, y siE es cerrado yGfinito entonces es cerrado.

Proposici´on 2.2. (1)Si X es conexo, localmente conexo, compacto o local-mente compacto tambi´en lo es X/Grespectivamente.

(2) Si X esI o II numerableentonces X/Gtambi´en lo es respectivamente. (3) CuandoGes finito, siX esT1,T2,regular onormal, entonces tambi´en

lo esX/Grespectivamente.

Demostraci´on. (1)Es trivial puesto que la proyecci´on orbital es abierta. (2)Se demuestra de forma usual que siB={Bi :i∈I}es base deX entonces

B0₌_{_f_(B

i) :i∈I}es base def(X) siendof abierta, continua y sobreyectiva.

(3)T1es trivial si usamos la caracterizaci´on que dice que un espacio esT1si y

solo si sus conjuntos unipuntuales son cerrados. El resto de la demostraci´on la haremos en paralelo: tomemosP yQdos conjuntos disjuntos deX/Gque son, o dos puntos o un punto y un cerrado o dos cerrados. Entoncesπ−1_(P₎

y π−1_{(Q) van a ser un conjunto finito o un cerrado, por la hip´}_{otesis estos}

conjuntos tendr´an entornos abiertos disjuntos, llamemos U a la de π−1_(P₎

que cumplir´a π−1_(Q)_∩_U ₌_∅_. _{De lo que se deduce que} _Q_∩_π(U_{) =}_∅ _{y ya}

hemos encontrado los dos entornos disjuntos,π(U) y X/G−π(U) de P y Q respectivamente.

Enunciaré una proposición cuya demostración es directa pero laboriosa.

Proposici´on 2.3. Si Gi act´ua en un espacio Xi, para i = 1,2 entonces el

grupoG1×G2 act´ua en el espacio productoX1×X2 y

(X1×X2)/(G1×G2)≈(X1/G1)×(X2/G2).

Ejemplo 2.1. Nos planteamos averiguar el espacio orbital de la siguiente acci´on: θ : _Z2_×

R2 → R2 tal que (m, n)·(x, y) = (m+x, n+y). Por la proposici´on anterior podemos primero calcular el espacio orbital de µ : _Z×

R→R con n·x=n+xel cual es R con la relaci´on xv y sii y−x∈Z. Es de dominio general que ese espacio es S1_, _{por tanto gracias a nuestra}

proposici´on sabemos que el espacio orbital deθ es el toro, S1_×_S1_{.Se podr´ıa}

haber comprobado sin necesidad de ning´un resultado.

Ahora veremos un ejemplo en el que dos acciones con el mismo grupo y conjunto soporte tienen espacios orbitales distintos.

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Ejemplo 2.2. SeaG=_Z2={0,1}yX =S1.Seaθ1(1, x) =−x,entonces el

espacio orbital ser´a homeomorfo otra vez aS1_, _{que de hecho es la definici´}_on

del 1-espacio proyectivo; y si tomamos θ2(1, x) = x el espacio de ´orbitas es

homeomorfo al intervalo[0,1].

Ejemplo 2.3. Sea θ : _Z2×(S1×S1)→ S1 con θ(1,(x, y)) = (−x, y). En

esta acci´on relacionamos los pares(z1, z2)con(−z1, z2).En cambio en la

ac-ci´on µ : (_Z2×Z2)×(S1×S1) → S1×S1 definida como: (1,0)·(x, y) =

(−x, y), (0,1)·(x, y) = (x, y), (1,1)·(x, y) = (−x, y); relaciona los pares (z1, z2),(−z1, z2),(z1, z2),(−z1, z2).El espacio de órbitas de esta última acción

gracias a la proposici´on 2.3 y al ejemplo anterior es[0,1]×S1_{, es decir el}

cilin-dro acotado. Ahora veremos que pasa para la acciónθ.El conjunto es el toro, que lo consideramos como el espacio cociente del cuadrado [−1,1]×[−1,1] respecto a la funciónp(s, t) = (eπis, eπit).Si le aplicamos la acción obtenemos gp(s, t) =g(eπis_{, e}πit_{) = (}₋_eπis_{, e}πit_{) = (e}πi(s±1)_{, e}−πit_{) =}_p(s_±_1,₋_{t), donde}

el signo - toma valor en el rectángulo [0,1]×[−1,1]por lo que el espacio co-ciente será dicho rectángulo relacionando los lados horizontales punto a punto y los verticales punto a punto en sentido opuesto ya que relacionamos(s, t)a (s−1,−t). Por lo que el espacio de órbitas es la botella de Klein que no es homeomorfa al cilindro porque la botella no es orientable.

Ahora veremos un resultado de din´amica de acciones sobre espacios com-pactos.

Definici´on 2.1. Un conjunto minimal de una acci´onG en un espacioX es un conjunto cerrado, invariante, no vac´ıo y que no contiene propiamente otro conjunto con estas caracter´ısticas.

Lema 2.1. Si C es un conjunto minimal, entoncesGx=C para todox∈C (la otra implicaci´on tambi´en es cierta pero no la necesitaremos)

Demostraci´on. SiCun conjunto minimal, seax∈C,se tiene queGx⊆GC = C y tambi´en Gx ⊆C = C. Por ser C minimal obtenemos el contenido que falta probando queGx es no vac´ıo, cerrado e invariante. No vac´ıo y cerrado son triviales, para ver que es invariante:

gGx=gGx⊇gGx=Gx

y multiplicando porg−1 y renombrandog−1porgobtenemos la desigual-dad buscada por laProposici´on 1.1.

Proposici´on 2.4. Toda acci´on de un grupo Gen un espacio compacto tiene un conjunto minimal

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Demostraci´on. Vamos a usar el lema de Zorn. Consideremos la familiaC de conjuntos cerrados, no vac´ıos de X e invariantes bajo la acci´on de G. Esta familia no es vac´ıa ya que X ∈ C. Consideremos el orden parcial (C,⊇), seaC0 _{una cadena totalmente ordenada, es f´}_{acil ver que tiene la propiedad de}

intersección finita ya que de hecho será el conjunto más pequeño de la cantidad finita que se escoja. Por compacidadT

Ci =C∗ 6=∅ y precisamenteC∗ va a

ser el elemento minimal ya que ser cerrado y ser invariante son propiedades que se conservan por la intersecci´on arbitraria y que al estar ordenado con⊇

sabemos que no existe otro conjunto cerrado, invariante, no vac´ıo contenido enC∗.

Teorema 2.1. Cualquier acci´on deZo deRen un espacio compactoX tiene un punto recurrente.

Demostración. Es suficiente probarlo paraG=Zya que una acción enRse puede restringir a una en Z. Vamos a ver que todos los puntos de C∗ (ver la demostración anterior) son recurrentes. Seag:X →X el homeomorfismo que genera la acción, i.e.g(x) =θ1(x), tomamos x∈C∗ yU entorno de x.

Vamos a ver que {gn(U) : n ∈ Z} es un recubrimiento abierto de Zx. Sea y∈Zx,por el lema tenemos que Zx=Zy.En particularx∈Zy. Por lo que U∩Zy6=∅.Sea gn(y)∈U∩Z.Entoncesy∈g−n(U),quedando demostrado que{gn_(U_{) :}_n_∈

Z}es recubrimiento abierto. Por la compacidad deZx,existe un subrecubrimiento finito{gnk_(U_{) :}_k_{= 1, . . . , m}}_._{Sea un entero positivo}N_,

seas=N +max{n1, . . . , nm},como gs(x)∈gnk(U) para alg´unk, entonces

s−nk ≥ N ygs−nk(x)∈U, por tantoxes un punto recurrente.

3. Topolog´ıas admisibles para el grupo de

ho-meomorfismos de un espacio topol´

ogico

SeaAun espacio localmente compacto y Hausdorff. LlamamosH al grupo de homeomorfismos deAcon la operaci´on composici´on. Vamos a definir dos topolog´ıas para dicho grupo.

Notación.ParaK, W ⊂Adefinimos (K, W) :={f ∈H:f(K)⊂W}. Definición 3.1. La topolog´ıa compacto-abierta de H, que denominaremos τk, tiene como subbase los conjuntos de la forma (K, W)dóndeK recorre la

familia de los compactos deA yW la familia de los abiertos deA.

Definici´on 3.2. La g-topolog´ıa de H, que denominaremos τg, tiene como

subbase los conjuntos de la forma(K, W), siendoKcerrado yW abierto con la condici´on de que K oWC _{es compacto.}

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(H, τg) es un grupo topol´ogico, como veremos m´as tarde pero en general

(H, τk) no lo es, pudiendo asegurar solamente que la operaci´on composici´on

es continua respecto deτk.

Si el espacioAfuese compacto, como un cerrado en un compacto es com-pacto ambas topolog´ıas coincidir´ıan. En general, en un espacio Hausdorff tendr´ıamos solo queτk ⊆τg porque los conjuntos compactos son cerrados.

Si A no es compacto, llamamosA∗=A∪ {p} a la compactaci´on de Ale-xandroff yH∗ al grupo de homeomorfismos de A∗ que dejan fijo al punto p. Claramente hay una correspondencia biun´ıvoca entre los homeomorfismos de H y los de H∗.

Teorema 3.1. El grupo H de homeomorfismos (con la topolog´ıa τg) de un

espacio A localmente compacto y Hausdorff es topol´ogicamente isomorfo al grupoH∗.

Demostraci´on. Es evidente desde que (H, τg) es homeomorfo a (H∗, τk) y que

τg yτk coinciden en los compactos.

Definición 3.3. Diremos que una topolog´ıa µ en H es admisible, si la eva-luaciónF :H×A→A definida porF(f, x) :=f(x)es una función continua tomando en el primer espacio la correspondiente topolog´ıa productoµ×τ.

La continuidad de la aplicaci´on evaluaci´on F en (f, x) siendo f ∈ H y x ∈ A es equivalente a decir que dado un entorno W de f(x), podemos encontrar dos entornosVx _y_Uf _{tal que toda funci´}_{on de} _Uf _{manda puntos}

deVx _a_W_{. Es f´}_{acil probar que si}_A_{es localmente compacto y}_T

2 yH tiene

la topolog´ıa compacto-abierta, la aplicaci´on F es continua. Sin embargo se puede reforzar dicha afirmaci´on en el siguiente sentido:

Teorema 3.2. [2, Theorem 2] Si A es un espacio localmente compacto y Hausdorff, entonces la topolog´ıa compacto-abierta es la topolog´ıa menos fina admisible.

En el teorema anterior la compacidad local deAes esencial, como demues-tra el siguiente ejemplo que demues-trascribimos de [1].

Ejemplo 3.1. Sea H el grupo de los homeomorfismos de _Q. Supongamnos que hubiera una topolog´ıa admisible en H. Vamos a ver que podemos cons-truir otra topolog´ıa admisible enH menos fina que la anterior.

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Por la definici´on de topolog´ıa admisible, si tomamos el punto 0 ∈ _Q, el intervalo (−1,1)∩Qque claramente contiene al 0 y el homeomorfismo identi-dad; existen entornosUid _y_V0_{, tal que para todo} _h_∈_Uid _y_x_∈_V0 _{se tiene}

|h(x)|<1.

V0 = V ∩Q siendo V un abierto de la topolog´ıa usual en R, tomamos φ ∈V irracional. Construimos una nueva topolog´ıa definida a partir de los entornos del homeomorfismo identidad; usando como subbase elementos de la forma (F, W),dondeF es cerrado y no contiene sucesiones que converjan aφ yW es abierto. Esta topolog´ıa es claramente admisible. Veremos que ninguno de los nuevos abiertos b´asicosU∗ _{= (F}

1, ..., Fn;W1, ...Wn) est´a contenido en

Uid_{. Para ello, tomamos un intervalo abierto-cerrado que rodee a}_φ_{y que no}

corte aF1, ..., Fn. Y ahora cogemos un homeomorfismohque intercambie este

intervalo abierto-cerrado con el entorno correspondiente de 10 +φ, pero deje todos los dem´as puntos fijos. Entoncesh∈U∗ peroh /∈Uid_.

Observación 3.1. El hecho de que no siempre exista una topolog´ıa menos fina entre todas aquéllas que hacen continua la aplicación evaluación, hace conveniente la definición de laestructura de convergencia continuaΛ enH(X) conjunto de homeomorfismos en un espacio topológico cualquieraX, ó bien en otros conjuntos de aplicaciones continuas. Aunque no se denomina de este modo, la noción de estructura de convergencia continua está esbozada en [1], y se ha utilizado fruct´ıferamente en trabajos de otros autores. Por ejemplo, en [4] se caracterizan por medio de Λ, los grupos localmente compactos abelianos en la clase de los grupos reflexivos.

El teorema central de [4] afirma lo siguiente: Un grupo reflexivo G es localmente compacto si y sólo si la evaluaciónF :G∧×G→_T es continua. Aqu´ı_Tdesigna el c´ırculo unidad del plano complejo con su estructura natural de grupo topológico yG∧ el grupo de los homomorfismos continuos de Gen Tdotado de la correspondiente topolog´ıa compacto-abierta.

Es decir, aunque el teorema de dualidad de Pontryagin puede extenderse a otras clases de grupos topológicos abelianos, los localmente compactos si-guen siendo una clase distinguida. Este hecho ha sido muy celebrado entre los matemáticos que trabajan en el área.

Teorema 3.3. El grupo de homeomorfismos de un espacio localmente compac-to, Hausdorff, con la g-topolog´ıa es grupo topol´ogico y es la topolog´ıa admisible menos fina para la que es cierto.

Demostraci´on. Sea (K, W) un entorno del homeomorfismo h. Esto significa que h(K) ⊆W o lo que es equivalente h(Kc₎_⊇ _WC _o _h−1_(Wc₎ _⊆ _Kc_{, de}

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que transforma abiertos en abiertos.

Seanf, ghomeomorfismos y (K, W) un entorno deh=f◦g. Esto significa quef(g(K)) ⊆W, en consecuencia, g(K)⊆f−1(W). Para todo x∈g(K), x∈f−1(W) abierto. Por ser localmente compacto existeVx abierto tal que x ∈ Vx ⊆ Vx _⊆ _f−1_(W_{) siendo} _Vx _{compacto. Luego} _{_Vx _: _x _∈ _g(K)_} _es

un recubrimiento deg(K), por compacidad existe un recubrimiento finito da-do porVx1_{, ..., V}xn _{que cumplir´}_a _g(K) _{⊆ ∪}n

i=1V

xi _{⊆ ∪}n

i=1Vxi ⊆f− 1_(W_{) y}

∪n

i=1Vxi es compacto por ser uni´on finita de compactos y es cerrado porque

el espacio es Hausdorff. Por tanto (K,∪n

i=1Vxi) y (∪ni=1Vxi, W) son entornos degyf

respectivamen-te y la composici´on de cualquier par de sus funciones mandaK a W, queda probado que la composici´on de funciones es continua.

Supongamos que tenemos otra topolog´ıaτ paraH,la cual es admisible y hace la inversión continua. SeaU = (K, W) un abierto de la g-topolog´ıa. SiU no es un abierto de la topolog´ıa compacto-abierta, lo será U−1 = (Wc, Kc); de aqu´ı, por el teorema 3.2,U o U−1 pertenece a τ, pero como la inversión es continua los dos deben pertenecer. Por tanto la g-topolog´ıa es menos fina queτ.

Observación 3.2. En [3] se da un ejemplo de espacio métrico localmente compactoX, tal que la inversión (f 7→f−1_{) definida en su grupo de}

homeo-morfismos H(X) no es continua respecto de la topolog´ıa compacto-abierta. Por tanto, aunque la correspondiente evaluación tal como se define en 3.3 ser´ıa continua,H(X) no tiene estructura de grupo topológico. Es un proble-ma abierto caracterizar la clase de los espacios topológicosX tales queH(X) dotado de la topolog´ıa compacto-abierta es grupo topológico. Teniendo en cuenta el Teorema 3.3 y los comentarios previos al Teorema 3.1, dicha clase contendrá a los espacios compactos de Hausdorff.

Referencias

[1] R. ArensTopologies for homeomorphism groups. American Journal of Mathematics, 593–598 (1946). [2] R. ArensA Topology for Spaces of Transformations.

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[3] _{J. Dijkstra} On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topo-logy.

The American Mathematical Monthly, Vol 112, No 10 910–912 (2005). [4] _{E. Mart´ın-Peinador},A reflexive admissible topological group must be

locally compact, Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), no. 11, 3563–3566. [5] S. de NeymetIntroducci´on a los grupos topol´ogicos de transformaciones.