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T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I)

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(1)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I)

3.1. Teoría de elasticidad bidimensional

3.2. Formulación del elemento triangular de tres nudos

3.3.

Discretización

del

campo de deformaciones

3.4. Ecuaciones de equilibrio de la discretización

3.5. Formulación del elemento rectangular de cuatro nudos

3.6. Consideraciones acerca de la solución obtenida con el MEF

3.7. Condiciones para la convergencia de la solución

3.7.1. Condiciones necesarias

3.7.2. Condiciones deseables

(2)

9

Tensión plana

El espesor es mucho menor que el resto de dimensiones y las cargas actuantes están contenidas en

el plano medio de la estructura.

Ejemplos: contrafuertes de presas y vigas de gran canto

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): teoría de elasticidad 2D

9

Deformación plana

El espesor es mucho mayor que el resto de dimensiones, las cargas actuantes están uniformemente

distribuidas en su longitud, y están contenidas en planos ortogonales al eje que une los centros de

gravedad de las distintas secciones transversales.

(3)

9

Si Z

es el eje que contiene al espesor, todas las secciones perpendiculares a Z

se deforman

lo mismo en su plano, por lo que basta con estudiar una de estas secciones (plano XY)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): teoría de elasticidad 2D

( )

( )

=

y

x

v

y

x

u

,

,

u

⎪⎪

⎪⎪

γ

ε

ε

=

xy y x

ε

x y xy

u

v

u

v

x

y

x

y

ε

=

ε

=

γ

=

+

ε

z

=

γ

xz

=

γ

yz

= 0 en deformación plana

ε

z

0 y

γ

xz

=

γ

yz

= 0 en tensión plana

Campo de movimientos

Campo de deformaciones

con

Campo de tensiones

x y xy

σ

σ

τ

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

σ

con

τ

xz

=

τ

yz

= 0

σ

z

=

τ

xz

=

τ

yz

= 0 en tensión plana

σ

z

0 y

τ

xz

=

τ

yz

= 0 en deformación plana

9

Puesto que el producto de

σ

z

ε

z

es nulo en ambos casos, se considera que las dos variables están

desacopladas de la formulación, pudiéndose calcular a posteriori

Y, v

X, u

t

x

t

y

P

(4)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): teoría de elasticidad 2D

Relación tensión deformación

(

)

=

+

=

+

=

0 0 33 22 21 12 11 0 e

d

0

0

0

d

d

0

d

d

con

D

D

D

ε

σ

ε

ε

σ

σ

Tensión plana:

11 22 2

1

ν

=

=

d

E

d

d

12

=

d

21

= ν

d

11

33

=

=

2

(

1

+

ν

)

E

G

d

Deformación plana:

(

)

(

)(

)

(

+

ν

)

=

=

ν

ν

=

=

ν

ν

+

ν

=

=

1

2

1

2

1

1

1

33 11 21 12 22 11

E

G

d

d

d

d

E

d

d

α

=

0

0

1

1

T

ε

(

)

ν

+

α

=

0

0

1

1

1

T

ε

9

Material elástico lineal e isótropo, con posibles tensiones iniciales

σ

0

y deformaciones iniciales

ε

0

Siendo

D

la matriz constitutiva que relaciona tensiones y deformaciones elásticas, con valores:

9

En el caso de deformaciones iniciales isótropas por efecto térmico

ε

0

vale:

Tensión plana:

Deformación plana:

(5)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): teoría de elasticidad 2D

9

Todas las ecuaciones anteriores se obtienen a partir de las relaciones elásticas isótropas de la

elasticidad 3D, aplicando las condiciones de tensión plana o de deformación plana

9

Se supone que las variaciones térmicas sólo provocan deformaciones longitudinales de valor

α∆

T

en las tres direcciones espaciales y se aplica que las deformaciones totales son la suma de las elásticas

y las iniciales:

(

)

(

)

(

)

G ; G ; G T E 1 T E 1 T E 1 yz xz xy y x z 0 z e z z x y 0 y e y y z y x 0 x e x yz xz xy z x τ = γ τ = γ τ = γ ∆ α + νσ − νσ − σ = ε + ε = ε ∆ α + νσ − νσ − σ = ε + ε = ε ∆ α + νσ − νσ − σ = ε + ε = ε

• Tensión plana:

σ

z

=

τ

xz

=

τ

yz

= 0

(

)

(

)

(

)

(

)

xy x y 2 y x 2 xy E (1- ) E (1- ) x y T T T T G

σ

α

ν

α

ν

σ

α

ν

α

ν

τ

γ

= ε − ∆ + ε − ∆ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ = ε − ∆ + ε − ∆ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩

• Deformación plana:

ε

z

=

τ

xz

=

τ

yz

= 0

σ

z

=

ν

(

σ

x

+

σ

y

)

E

α

T

(

)

(

)

(

)

(

)

xy x y y x xy E(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 2 ) 1 E(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 2 ) 1 x y T T T T G ν ν σ ν α ν α ν ν ν ν ν σ ν α ν α ν ν ν τ γ − ⎧ =ε − + + ε − + ⎤ ⎪ + ⎪ ⎪ = − ⎡ ε − + + ε − + ⎤ ⎨ + ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩

(6)

Formulación del elemento triangular de tres nudos

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): Elemento triangular lineal

[

]

3 1 1 1 2 3 2 3

'

u

N

0

,

,

;

;

;

0

N

e i i i i i e i i i i

a

con

a

v

a

=

=

=

⎧ ⎫

⎧ ⎫

⎪ ⎪

=

=

=

⎨ ⎬

=

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

⎩ ⎭

u

u

N a

Na

N

N N N

N

a

a

u

vector de movimientos de un punto P

u’

aproximación de u

a

e

vector de movimientos nodales elemental

N

matriz de funciones de forma del elemento

y

x

v

)

y

,

x

(

N

)

y

,

x

(

v

y

x

u

)

y

,

x

(

N

)

y

,

x

(

u

6 5 4 3 1 i i i 3 2 1 3 1 i i i

α

+

α

+

α

=

=

α

+

α

+

α

=

=

= =

9

Suponemos que la variación de los movimientos es lineal e igual en las dos direcciones del plano

t

x

t

y i j k e

P

e

P

1 2 3

Y, v

X, u

(7)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): Elemento triangular lineal

[

]

1 2 3 1 2 3

1

1,2,3

2

1

1

1

1

, ,

1, 2, 3

2

i e i i i i j k k j e i j k i k j

N

a

b x

c y

i

A

a

x y

x y

con

A

x

x

x

y

b

y

y

i j k

y

y

y

c

x

x

=

+

+

=

⎧ =

=

=

=

⎪ = −

=

=

i

j

si

0

i

j

si

1

)

y

,

x

(

N

i j j

En el nudo i:

9

Particularizando las expresiones anteriores a los nudos e igualando, obtenemos las expresiones

polinómicas de las funciones de forma del elemento triangular de tres nudos

i j k x y

N

i 1

(8)

9

Discretización del campo de deformaciones

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): Elemento triangular lineal

=

+

=

⎪⎪

⎪⎪

γ

ε

ε

=

v

u

x

/

y

/

0

y

/

0

x

/

x

v

y

u

y

v

x

u

xy y x

u

S

ε

SN

B

a

B

=

=

con

ε

{

}

=

=

x

/

N

y

/

N

0

y

/

N

0

x

/

N

con

,

i i i i i 3 2 1

B

,

B

B

B

B

=

3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 e

b

c

b

c

b

c

c

0

c

0

c

0

0

b

0

b

0

b

A

2

1

B

Como

u

=

N a

definimos

Siendo B la matriz de deformación del elemento:

Luego:

(9)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): Elemento triangular lineal

9

Ecuaciones de equilibrio del elemento

Aplicamos el PTV a un elemento aislado sobre el que actúan un conjunto de cargas externas.

El equilibrio se establece en los nudos del elemento

3

,

2

,

1

i

V

U

;

p

p

;

t

t

;

b

b

i i i y x y x y x

=

=

=

=

=

t

p

q

b

b

cargas de volumen

t

cargas de superficie

p

fuerzas puntuales

q

fuerzas nodales de equilibrio

{

}

T 3 3 2 2 1 1 3 2 1 e xy y x v u v u v u v u δ δ δ δ δ δ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ δ δ δ = δ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ δγ ε δ ε δ = δ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ δ δ = δ a a a a ; ; u ε

Al aplicar un movimiento virtual

δ

u

se producirán los correspondientes movimientos virtuales en

los nudos

δ

a

e

y unas deformaciones virtuales en el elemento

δε

:

PTV :

T (e)T e S T V T V T e e e

dS

dV

dV

=

δ

u

b

+

δ

u

t

+

δ

u

p

+

δ

a

q

δ

ε

σ

1 2 3 Y, v X, u px py bx by ty tx V1 U1 U2 V2 V3 U3

(10)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): Elemento triangular lineal

e T ) e ( T S T V T V T e e e

dS

dV

dV

=

δ

u

b

+

δ

u

t

+

δ

u

p

+

δ

a

q

δ

ε

σ

T T T T T T Ν Ν Β ε Β ε a u a u a a δ = δ ⇒ = δ = δ ⇒ = e T A A l T T T T T e e e

tdl

tdA

tdA

N

b

N

t

N

p

a

q

B

a

=

δ

δ

σ

e A A l T T T T e e e

tdl

tdA

tdA

N

b

N

t

N

p

q

B

=

σ

(

)

+ 0 =

(

)

+ 0 = ε ε σ Β ε σ σ 0 0 a D D e A A l T T T A 0 T A 0 T e T e e e e e

tdl

tdA

tdA

tdA

tdA

)

a

B

D

B

N

b

N

t

N

p

q

DB

B

(

ε

+

σ

=

=

e A e eT e

tdA

B

D

B

K

e e e p e t e b e 0 0 σ ε

+

+

+

+

=

f

f

f

f

f

f

e e e e

q

f

a

K

=

j e e j

p

q

=

f

Ka

=

= e A T e b N btdA f

= e l T e t N ttdl f p N fpe = T

0 ε = e 0 A T e tdA ε B f

− = σ e 0 A 0 T e tdA σ B f Con:

(11)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): Ensamblaje

9

Ejemplo de obtención de las ecuaciones de equilibrio global

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ = − 3 2 1 3 2 1 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 q q q f f f a a a K K K K K K K K K q f a Ke e e e i 3 i3 2 i2 1 i1 i K a K a K a f q = + + − I 1 j I p q = ∑ = ne j ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + + = + + = 3 R 2 R 1 R R 4 M 5 M 1 M M 6 I 7 I 1 I I q q q p q q q p q q q p 6 I J 6 23 I 6 22 G 6 21 6 I 7 I I 7 33 H 7 32 G 7 31 7 I 1 I R 1 13 M 1 12 I 1 11 1 I f a K a K a K q f a K a K a K q f a K a K a K q − + + = − + + = − + + = ) ( ( ( 7 I 6 I 1 I J 6 23 H 7 32 G 6 21 7 31 R 1 13 M 1 12 I 6 22 7 33 1 11 I f f f a K a K )a K K a K a K )a K K K p + + − + + + + + + + + + = 1 6 7 1 7 6 1 1 I I I I 11 33 22 12 13 I 1 4 5 1 1 4 5 1 M M M M 21 22 11 33 23 M 1 2 3 1 1 1 3 2 R R R R R 31 32 33 11 22 p f f f K K K K K u p f f f K K K K K u u p f f f K K K K K ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ + + + + + ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ + + + = + + ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ + + + ⎪ ⎢ ⎥ + + ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ # # # # # " " " " # # # # # " " " " # # # # # " " " " # # # # # ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Considerando el equilibrio en el nudo i:

Sustituyendo y agrupando términos pi:

Agrupando los términos de cargas y colocándolos en forma matricial se obtiene:

Ka

=

F

Y, v

X, u

7 1 2 3 4 5 6 I N S T P H G J M R L K (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) 1 I (1) M (2) R (3) Elemento 1 qM qI qR Nudo I -qI6 pI -qI1 -qI7

(12)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): Elemento rectangular de 4 nudos

Formulación del elemento rectangular bilineal

rs s r v s r y x v rs s r u s r y x u i i i i i i 8 7 6 5 4 1 4 3 2 1 4 1 ) , ( N ) , ( ) , ( N ) , ( α + α + α + α = = α + α + α + α = = ∑ ∑ = =

[

]

4 1 1 2 1 2 3 4 3 4

u

N

0

,

,

,

;

;

;

0

N

e i i i i i e i i i i

con

v

=

=

=

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎧ ⎫

⎪ ⎪

=

=

=

⎨ ⎬

=

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

⎪ ⎪

⎩ ⎭

u

N a

Na

a

a

N

N N N N

N

a

a

a

a

Trabajando en las coordenadas locales (r,s), el desarrollo

de las funciones de forma del elemento es:

px i j k e e 1 2 3

Y, v

X, u

espesor t l 4

s

r

yc xc 2a 2b 1 2 3 4 s r N1 N4 N3 N2 1 1 2 3 4 s r 2a 2b ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = b s 1 a r 1 4 1 N b s 1 a r 1 4 1 N b s 1 a r 1 4 1 N b s 1 a r 1 4 1 N 4 3 2 1

(13)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): Elemento rectangular de 4 nudos

[

]

=

=

=

x

N

y

N

y

N

0

0

x

N

con

,

,

,

;

i i i i i 4 3 2 1 e

B

B

B

B

B

B

a

B

ε

9

Discretización del campo de deformaciones

⎪⎪

=

=

=

=

s

s

r

r

i i c i i c

N

y

N

y

y

N

x

N

x

x

=

+ − + + − + − − − − − + + − − − + − + − − − ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

B

b 1 a 4 1 a 1 b 4 1 b 1 a 4 1 a 1 b 4 1 b 1 a 4 1 a 1 b 4 1 b 1 a 4 1 a 1 b 4 1 a 1 b 4 1 0 a 1 b 4 1 0 a 1 b 4 1 0 a 1 b 4 1 0 0 b 1 a 4 1 0 b 1 a 4 1 0 b 1 a 4 1 0 b 1 a 4 1 s r s r s r s r r r r r s s s s

(14)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): Propiedades de la solución

9

La solución aproximada mediante un modelo de E.F. tiene las siguientes características

de compatibilidad y equilibrio.

Compatibilidad:

Asegurada a nivel nodal y elemental, la solución en desplazamientos es

continua dentro de los elementos al usar funciones polinómicas para aproximarla, y es continua

en los nudos. Entre elementos la compatibilidad se garantiza para todos los elementos

planteados, aunque existen también elementos con incompatibilidad interelemental.

Equilibrio de fuerzas:

Se satisface siempre en los nudos, por ser la ecuación

Ka

F

=

0

una

ecuación de equilibrio nodal. El equilibrio de fuerzas se satisface también para cada elemento

por separado y a nivel global.

Equilibrio de tensiones:

Salvo en el límite de refinamiento de la malla las tensiones no están

en equilibrio entre elementos ni en el interior del elemento, produciéndose discontinuidades.

Las tensiones tampoco son nulas en los bordes libres aunque sus valores deben ser

sensiblemente inferiores a los del interior de la malla.

(15)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): Convergencia de la solución

¾Condiciones necesarias

Continuidad: El campo de desplazamientos debe ser continuo en el interior de cada elemento, lo que se asegura al usar funciones de aproximación polinómicas.

Derivabilidad: La aproximación polinómica escogida debe ser derivable, al menos hasta el orden de las derivadas que aparecen en la forma integral del problema (P.T.V.). En el caso de elasticidad 2D las derivadas son de primer orden, lo que exige que las funciones de forma sean como mínimo polinomios de primer grado.

Integrabilidad: Las funciones de forma deben ser tales que las integrales del P.T.V. del problema tengan función primitiva. Como regla general, la derivada de orden m de una función es integrable si son continuas sus

m-1 primeras derivadas.

Si en la expresión del P.T.V. aparecen derivadas de los desplazamientos de orden m, los desplazamientos, y por lo tanto las funciones de forma que los aproximan deben tener continuidad de clase Cm-1.

En el caso de elasticidad 2D con derivadas de primer orden las funciones de forma deben ser de clase C0, es

decir, deben ser funciones continuas que aseguren un campo de desplazamientos continuo.

Deformación constante: Todo elemento debe ser capaz de reproducir un estado de deformación constante para garantizar la convergencia en el límite, ya que a medida que se refine la malla el estado de deformación del elemento tenderá al de deformación constante.

Como caso particular, todo elemento debe ser capaz de reproducir movimientos de sólido rígido, lo que asegura un campo de deformación constante nula ante movimientos de sólido rígido. Esta condición implica que las funciones de forma en cualquier punto del elemento deben sumar la unidad:

N

(

,

)

1

1

=

= f n i i

x

y

(16)

T3. Elementos finitos en elasticidad 2D (I): Convergencia de la solución

9

Condiciones deseables

Compatibilidad interelemental: El campo de desplazamientos debe ser continuo entre elementos.

Estabilidad: El rango de la matriz de rigidez de un elemento aislado y sin condiciones de contorno debe ser igual al número de movimientos de sólido rígido del elemento.

Invarianza geométrica: Un elemento no debe tener direcciones preferentes. La invarianza se consigue interpolando todos los desplazamientos con los mismos términos polinómicos y cuando la aproximación no varía al cambiar una coordenada por otra.

Condición de polinomio completo: Es deseable que las funciones de forma de un elemento sean polinomios completos, y en el caso de que no sea posible, que el número de términos adicionales sea el menor posible.

El motivo es que el grado de aproximación de un elemento (el tipo de variación polinómica que son capaces de reproducir las funciones de forma) es igual o inferior al polinomio completo de mayor grado que contienen las funciones de forma. Los términos adicionales introducen variables que no contribuyen de forma significativa a una mayor aproximación del elemento.

La solución de E.F. (u’) equivale a aproximar un cierto número de términos del desarrollo en serie de Taylor de la solución exacta (u):

... 2 ) ( 2 u 2 ) )( ( 2 u 2 2 ) ( 2 u 2 ! 2 1 ) ( u ) ( u u u + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = i y y i y i y y i x x i y x i x x i x i x y i y i x x i x i u'=α01x2y3x2+α4xy5y2+...

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