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ALGEBRA (Ciencias) – a˜no 2017 PR ´ACTICA N◦ 3
N´umeros Naturales 1. Escribir los 5 primeros t´erminos de las siguientes sucesiones:
a) an=n4−5n n= 1,2,· · ·
b) bn= (−1)n+1·3n n= 0,1,2,· · ·
c) bj =xj·y−(j+1) j = 1,2,· · · x, y fijos.
d) a1 = 1, a2 = 2, am= (−2)·am−1+am−2 m= 3,4,· · ·
2. Para los siguientes casos determinar una f´ormula general para an e indicar a partir de qu´e valor de ntiene validez. a) 2,4,8,16,· · · b) 1,1 3, 1 9, 1 27,· · · c) 2,−2,2,−2,2,−2,2,−2,· · · d) −2,4,−6,8,−10,· · · e) 2 4, 3 5, 4 6, 5 7,· · · f) 3,5,9,17,33,65,· · ·
3. Dada la siguiente sucesi´on: 7,10,13,16,19,· · · ¿C´omo es la diferencia de dos t´erminos consecu-tivos?
A estas sucesiones se las llama ARITMETICAS, porque la diferencia entre dos t´erminos conse-cutivos es constante. En general si { an}n∈N , n ≥ 1, es aritm´etica, dado el primer t´ermino a1 resulta que an=an−1+d, ∀n≥2 , donde d es la diferencia.
a) Encuentra una definici´on expl´ıcita para la sucesi´on aritm´etica dada.
b) Encuentra una definici´on expl´ıcita para una sucesi´on aritm´etica cualquiera.
4. Dada la siguiente sucesi´on: 3,6,12,24,48,96,· · ·¿C´omo es el cociente entre dos t´erminos conse-cutivos?
A estas sucesiones se las llama GEOMETRICAS, porque el cociente entre dos t´erminos conse-cutivos es constante. En general si { an}n∈N, n ≥ 1, es geom´etrica, dado el primer t´ermino a1 resulta que an=an−1·r, ∀n≥2 , donde r es la raz´on.
a) Encuentra una definici´on expl´ıcita para la sucesi´on geom´etrica dada.
b) Encuentra una definici´on expl´ıcita para una sucesi´on geom´etrica cualquiera.
5. El s´eptimo t´ermino de una sucesi´on aritm´etica es 79 y el decimotercero es 150. Encontrar el primer t´ermino y la diferencia.
6. Una pelota de ping pong se lanza desde una altura de 15 mts. En cada rebote se eleva verticalmente 1
4 de la altura alcanzada por el rebote previo. ¿A que altura se elevar´a en el octavo? ¿Y en el n-´esimo?
7. Sias=
2s+ 1
3s+ 1 paras=−2,−1,0,1,2,· · ·
a) Definir hi parai=−1,0,1,2,· · ·, de modo que: h−1 =a−2,h0 =a−1,h1 =a0, etc.
b) ¿C´omo definir´ıack para k= 1,2,3,· · · de modo que: c1 =a−2,c2=a−1,c3 =a0,· · ·?
8. Desarrollar las siguientes sumatorias:
a) 7 X j=4 (j)j−1 (j−1)j+1 −1 b) 5 X k=1 ak·bk c) 5 X k=1 8
9. Expresar usando el s´ımbolo de sumatoria.
a) √31 +√32 +√34 +√38 +√316 b) 1−1 8 + 1 27 − 1 64 + 1 125 c) a4b0+a3b1+a2b2+a1b3+a0b4
10. Desarrolar los siguientes productos.
a) 5 Y j=1 (−1)j(j+ 1) b) 4 Y j=2 aj(b+j) c) 4 Y k=1 −2
11. Expresar usando el s´ımbolo de productoria.
a) 1 3 · 1 9· 1 15 · 1 21 b) b1·b2·b3·b4· · ·bh h factores. c) 4 5 · 6 10 · 8 15 · 10 20· · · nfactores.
12. Expresar cambiando la variaci´on de los sub´ındices y consecuentemente el t´ermino general para que valgan las siguientes igualdades.
a) 6 X i=1 2i·[3·(i+ 2)−7i] = ··· X j=2 · · ·
b) m X i=1 ai = ··· X j=6 · · ·= ··· X s=2 · · ·= ··· X h=R · · · R constante. 13. Desarrollar: a) 2 X j=1 3 X i=1 ai·bj ! b) 4 X j,i=0 (−1)i· 3 5 j c) X 0≤i+j≤2 2i·[j+ 1] 14. Calcular: (a) 7! 4!·2! (b) 4! + 2! (c) (4 + 2)! (d) (22)! (e) (2!)2 (f) 6!−5!
Notar que a! +b!6= (a+b)! y que (ab)!6=a!b. ¨ı¿12 Es (a−b)! igual aa!−b!?
15. Calcular y/o simplificar:
(a) n!−(n−2)! (n≥2) (b) 8(n−1)!−2n! (n≥1)
(c) n!
(n−3)!·n (n≥3) (d)
(2n−2)!·(n−2)!
n!(2n−3)! (n≥2) 16. Expresar utilizando los factoriales convenientes (m, n, k ∈N∧r≥1∧k≥1)
(a) 10·9·8 (b) (r+ 2)(r+ 1)r(r−1)
(c) k2(k2−1) (d) 2m(2m−2)(2m−4)(2m−6)· · ·6·4·2
17. Hallar n, si es que existe, que verifique:
(a) n! (n−1)! = 21 (b) n! (n−2)! = 15 (c) n!−(n−1)! (n−2)! = 49 18. Demostrar aplicando el principio de inducci´on:
a) 1 2 + 1 4 +· · ·+ 1 2n = 1− 1 2n ∀n≥1 b) 1 + 23+ 33+· · ·+n3 = n(n+ 1) 2 2 ∀n≥1 c) n X i=1 i·2i−1 = 1 + (n−1)·2n ∀n≥1 d) n X i=0 −1 4i2−1 = n+ 1 2n+ 1 ∀n≥0
e) 1 + 2 + 3 +·+n= n(n+ 1)
2 ∀n≥1
f) Probar que sian es una sucesi´on geom´etrica definida recursivamente por:a1 y an=an−1.r,
∀n≥2 entonces el t´ermino expl´ıcito es an=a1.rn−1 ∀n≥1
g) Suma de los n primeros t´erminos de una sucesi´on geom´etrica: n X i=1 a1·Ri−1 =a1· (Rn−1) R−1 ∀n≥1 R6= 1
h) Probar que sianes una sucesi´on aritm´etica definida recursivamente por:a1 yan=an−1+d,
∀n≥2 entonces el t´ermino expl´ıcito es an=a1+ (n−1)d ∀n≥1
i) Suma de los n primeros t´erminos de una sucesi´on aritm´etica: n X i=1 (a1+ (i−1)d) = n·[2a1+ (n−1)d] 2 ∀n≥1 j) n Y i=2 1−1 i = 1 n k) n X i=1 i·i! = (n+ 1)!−1 ∀n≥1 l) xn−yn= (x−y)· n−1 X k=0 xn−1−k·yk ∀n≥1 m) Ejercicio optativo: n Y i=1 n+i 2i−3 = 2n(1−2n) ∀n≥1
19. Calcular utilizando propiedades de la suma y los resultados del ejercicio anterior:
a) 48 X i=8 1 2i b) 78 X j=40 j·2j c) 40 X k=10 8 + 7k d) h X t=0 9·4t+1
e) La suma de los 70 primeros impares
f) La suma de los 90 primeros pares
g) Un mendigo le propuso a un avaro :”Durante este mes le dar´e a usted 1 peso el primer d´ıa, 2 pesos el segundo, 3 pesos el tercero y as´ı sucesivamente. A cambio usted me dar´a 10001 el primer d´ıa, 10002 el segundo, 10004 el tercero, 10008 el cuarto, y as´ı sucesivamente”. El avaro acept´o entusiasmado y convinieron en hacer el pago a fin de mes. Qui´en de los dos se qued´o con m´as dinero?
20. Probar las siguientes desigualdades utilizando el principio de inducci´on. a) (m+ 1)!≥2·m! ∀m≥1 b) 6n≥1 + 4n ∀n≥1 c) 3n≥3n ∀n≥1 d) 8n≥1 + 5n ∀n≥1 e) 2n< n! ∀n≥4 f) Ejercicio optativo: 3n2≥2n+ 1 ∀n≥1 g) Ejercicio optativo: 2n>2n+ 1 ∀n≥3 21. Probar por Inducci´on Completa
a) Seaanuna sucesi´on de n´umeros naturales tales quea1= 18, a2= 170 y se verifica la siguiente relaci´on :an= 18an−1−77an−2 ∀n≥3
Probar que an= 7n+ 11n ∀n≥1
b) Sea an una sucesi´on de n´umeros naturales tales que a1 = 0, a2 = 3 y se verifica la siguiente relaci´on :an= 9an−2 ∀n≥3
Probar que an= 3
n+(−3)n
6 ∀n≥1
c) Dada la sucesi´on de Fibonacci, definida recursivamente pora1= 1, a2 = 1 yan=an−1+an−2
∀n≥3 Probar que an= √15 ·(1+ √ 5 2 ) n −√1 5 ·( 1−√5 2 ) n ∀n≥1 22. Dado el siguiente esquema , P(n) :n2+ 5n+ 1 es par .
a) Probar que siP(k) es verdadera para alg´un knatural, entonces P(k+ 1) tambi´en lo es.
b) Considerando el principio de Inducci´on Completa, puede decirse queP(n) es verdadera para todo natural?
