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ALGEBRA (Ciencias) – a˜no 2013 PR ´ACTICA N◦ 3
Relaciones y Funciones
1. Sean A = {1,3}, B = {w,u,1}, C ={∅,1}, D = ∅yU = A∪B∪C∪D. Determinar cada uno de los siguientes conjuntos (los complementos se toman respecto deU):
(i) A ×B (ii) C×A (iii) A×D
(iv) (A-B) ×C (v) (A-C)×D (vi) (Bc∪C) ×A (vii) A ×(B∪C) (viii) (A×B) ∪(A×C) (ix) (A×B) ∩(A×C) (x) (A×B)−(A×C) (xi) (A∩C) ×(D∪B)
2. Hallar valores de x e y (si existen) para que los siguientes pares ordenados sean iguales: a) (5x−2,1); (3,x−3y) b) (x+ 3,4); (2,x+y) 3. Demostrar: a) X×Y =∅ ⇐⇒X =∅ ∨Y =∅ b) (A×B)∪(C×B) = (A∪C)×B c) (X−Y)×Z = (X×Z)−(Y ×Z)
d) A⊂B∧C⊂D⇒A×C⊂B×D. ¿que hip´otesis debo agregar para que valga la implicaci´on rec´ıproca?
4. Representar A×B en un gr´afico cartesiano y determinar (A×B)c siendo: a) A={x∈N : 1≤x <5}yB =R ;UA={1,2,3,4,5,6}yUB=R b) A= [−2,2] yB ={x∈R : x+ 1 = 3};UA=R yUB=R
c) A= [0,1) y B= (−√2,√2]; UA= [0,1] y UB=R d) A={2k+ 1, k∈Z} yB =N;UA=Zy UB=Z
Nota:UA yUB son los universos sobre los cuales se tomanA yB respectivamente y sus comple-mentos.
5. Demostrar:
a) X×Y = X ×Z ∧ X ̸=∅=⇒ Y = Z
b) (A× B)∪(C ×D) ⊂(A∪C) ×(B∪D). ¿Vale la igualdad?¿Por qu´e? c) ¿Cu´ando (A×B)∩(B×A)̸=∅? y ¿cu´ando es no vac´ıo?
6. Hallar A ×(B×C) y (A ×B) ×C, en los siguientes casos: a) A ={1, 2}; B ={6,7}; C = {2,6,8}
b) A = B = C ={1, 8}
c) ¿Existen conjuntos A, B y C tales que A×(B× C) =(A×B) ×C?
NOTA: formalmente la notaci´on A×B×C es ambigua. Se acepta por convenci´on que A×B× C= (A×B) ×C. Un elemento cualquiera ((a, b), c) de este conjunto se representa (a, b, c). 7. Dados los conjuntosA={1,2,3}yB ={2,3,4,5}y las relaciones de A en B:S,T yR, definidas
por,
xSy ⇔x−1 =y ∨x+ 1 =y T ={(1; 2),(2; 4),(3; 5)} 1R2, 1R3, 1R4, 1R5.
a) Obtener los gr´aficos cartesianos para cada una de estas relaciones. Adem´as, determinar en cada caso dominio e imagen.
b) Hallar:S∩R,Tc yT−1−R−1
NOTA: Si Res una relaci´on de A en B, se llamaRc a (A×B)−R
8. Hallar dominio e imagen de Ren los siguientes casos. ¿Cu´ales de estas relaciones son funci´on? a) E un conjunto cualquiera y Rla relaci´on definida en P(E) por:
i) ARB ⇐⇒A⊂B. ii) ARB ⇐⇒A∩B =∅. iii) ARB⇐⇒A∩B ̸=∅.
b) EnNla relaci´on:xRy⇐⇒y≤x.
SeaA={2,20,200}. Determinar R(A) y R−1(A). c) EnNla relaci´on:xRy⇐⇒x+ 2y = 40.
d) R definida en el conjunto de rectas del plano, como:aRb⇐⇒a∩b̸=∅.
9. En cada uno de los siguientes casos determinar si la relaci´on R en A es reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica o transitiva.
a) A={ 1, 2, 3, 4 5},R={(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (1; 2); (1; 3); (2; 5); (1; 5)} b) A={1; 2; 3; 4; 5; 6},R={(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5)}
c) A=N,R={(a;b)∈N×N tal quea+b es par} d) A=R,R dada por x R y ⇔x−y≥0.
e) A=Z×N,R dada por (m, n)R(m′, n′)⇔m=n′. 10. Dar un ejemplo de una relaci´on enZ que
b) No sea ni sim´etrica ni antisim´etrica c) Sea sim´etrica pero no reflexiva
11. Sean R yR′ dos relaciones definidas en un conjunto A. Establecer si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar
a) SiR es reflexiva entoncesR−1 es reflexiva. b) SiR es reflexiva entoncesR∩R−1 ̸=∅. c) SiR es sim´etrica entoncesR∩R−1̸=∅.
d) SiR yR′ son transitivas entoncesR∩R′ es transitiva. e) SiR no es sim´etrica entonces Res antisim´etrica.
12. Ver que (R,≤) es un conjunto ordenado donde≤es el orden usal de los reales, es decir x≤y⇔x−y≤0.
13. Considere (R,≤) como en el Ejercicio anterior, y el subconjunto A={x∈R : x= 1
n, n∈N, n̸= 0}.
Analizar si A tiene primer y ´ultimo elemento, si est´a bien ordenado, si admite cotas, supremo e ´ınfimo. Idem para
B={x∈R : 1≤x <2};C ={x∈R :|x|>1};y D= (0,1]∪[2,3].
14. Sean R y R′ dos relaciones definidas respectivamente en los conjuntos A y B. Llamamos ∼ a la relaci´on definida enA×B en la forma
(a, b)∼(a′, b′)⇔aRa′ ybR′b′
Establecer si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar. a) SiR yR′ son reflexivas entonces ∼es reflexiva.
b) SiR yR′ son sim´etricas entonces∼es sim´etrica.
c) SiR yR′ son antisim´etricas entonces∼es antisim´etrica. d) SiR yR′ son transitivas entonces∼es transitiva. 15. Considere en el conjuntoN×Nla relaci´on ♢definida por
(n, m)♢(s, t)⇔n≤s
Analice las propiedades de esta relaci´on. ¿Es de orden? ¿Puede dar otra relaci´on con la queN×N resulte ordenado?
16. Sea E un conjunto y R una relaci´on definida en P(E) por ARB ⇐⇒ A ⊂ B. Demostrar que (P(E),R) es un conjunto ordenado.
a) ¿Cu´ales son los elementos maximales y cu´ales los minimales?
b) Consideremos ahora el conjuntoP(E)−{∅}con el orden inducido porR, ¿cu´ales ser´an ahora los elementos minimales?
17. SeaA={x∈N : 1≤x≤10} y seanRyT dos relaciones de orden definidas enA dadas por aRb⇐⇒adivide ab.
aTb⇐⇒aes m´ultiplo de b.
a) Hacer el diagrama de Hasse y hallar los elementos maximales y los elementos minimales. b) Idem inciso anterior en A− {1}.
18. Demostrar que si a es primer elemento de un conjunto ordenado (A, R), entonces a es el ´unico minimal de A.
19. Considere el conjunto A={1,2,3,4,5,6} con el orden representado en el primer diagrama de la siguiente figura y luego con el orden representado en el segundo diagrama.
2 5 3 1 4 6 1 6 3 2 5 4
En cada caso hallar los elementos minimales y maximales. Primer y ´ultimo elemento. Cotas, supremo e ´ınfimo, primer y ´ultimo elemento del subconjunto{1,3,4}. Determinar un subconjunto que sea totalmente ordenado con el orden inducido.
A={a, b, c, d},
a) Sea{{a},{b, c},{d}}una partici´on deA. Obtener la relaci´on de equivalencia asociada. b) ¿S={(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(b, c),(b, a),(c, a)}es una relaci´on de equivalencia? c) Hallar dos relaciones de equivalencias en A. ¿Cu´antas se pueden definir?
20. Sea∼ una relaci´on definida enZ×Z−{0}dada por:
(a, b)∼(c, d)⇐⇒ad=bc Probar que ∼es de equivalencia.
21. Sif :A→B, dondeA={−2,−1,0,1,2},B ={−1,0,1,2,3}y f(x) =x2−1. Determinar:
(a) f(0) (b)f(−1) (c) f(−2) (d) f({−1,1}) (e)f(A) (f) f({−1,0,1}) (g) f−1({−2,2}) (h)f−1({−1,3}) (i) f−1({0,−1,3}) 22. Dada la funci´on f :R→R, definida como:
f(x) = x si x≤0 x2 si 0< x≤2 5 si x >2 Hallar f−1(B), siendo: a)B={4} b)B ={4,5} c)B= (−∞,0] d)B = (0,4]∪ {5} ¿Hay alg´un subconjuntoB tal quef−1(B) =∅?
23. Seaf :A→B una funci´on. SeanX ⊂A eY ⊂A, probar: a) Y ⊂X =⇒f(Y)⊂f(X)
b) f(X)−f(Y)⊂f(X−Y) c) X ⊂f−1(f(X))
24. Seaf :A→B una funci´on y X⊂B. Establecer si son verdaderas o falsas. (Justificar) a) X =∅=⇒f−1(X) =∅
b) f−1(X) =∅=⇒X =∅
25. Seaf :A→B una funci´on, sean Z ⊂B eY ⊂B. Probar: Z ⊂Y =⇒f−1(Z)⊂f−1(Y)
26. Seanf :R→R, dada por:f(x) =|x|yg:R→Rdada por:g(x) =x2−3x. Hallar:
a) g◦f ¿Es g◦f =f◦g? b) g◦g=g2 yf ◦f =f2 c) (g◦f)(−1)
27. SeaE un conjunto yAun subconjunto propio1 de E. Analice inyectividad y suryectividad de las siguientes funciones:
1
a) f :P(E)→P(E) dada porf(X) =Xc. b) g:P(E)→P(E) dada porg(X) =A∩X. c) h:P(E)→P(E) dada porh(X) =A∪X. 28. Seanf :A→B yg:B →C funciones. Demostrar:
a) Si (g◦f) es inyectiva entonces f es inyectiva.
b) Sif yg son suryectivas entonces (g◦f) es suryectiva. c) Si (g◦f) es suryectiva entonces g es suryectiva. d) Sif yg son inyectivas entonces (g◦f) es inyectiva.
Sif yg son biyectivas, ¿es (g◦f) biyectiva? y si (g◦f) es biyectiva, ¿sonf yg biyectivas? 29. Probar que Nes coordinable con Z.
30. Seana < b≤c < dreales cualesquiera. Hallar una biyecci´on entre el intervalo [a, b] y el intervalo [c, d]
31. Probar que el intervalo real [0,1] es coordinable con el intervalo (0,1). 32. Hallar una biyecci´on entre los n´umeros reales y el intervalo real (−1,1).
