ÁLGEBRA (Ciencias) año 2013 PRÁCTICA N 3 Relaciones y Funciones

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ALGEBRA (Ciencias) – a˜no 2013 PR ´ACTICA N 3

Relaciones y Funciones

1. Sean A = {1,3}, B = {w,u,1}, C ={∅,1}, D = yU = A∪B∪C∪D. Determinar cada uno de los siguientes conjuntos (los complementos se toman respecto deU):

(i) A ×B (ii) C×A (iii) A×D

(iv) (A-B) ×C (v) (A-C)×D (vi) (Bc∪C) ×A (vii) A ×(BC) (viii) (A×B) (A×C) (ix) (A×B) (A×C) (x) (A×B)(A×C) (xi) (A∩C) ×(D∪B)

2. Hallar valores de x e y (si existen) para que los siguientes pares ordenados sean iguales: a) (5x2,1); (3,x3y) b) (x+ 3,4); (2,x+y) 3. Demostrar: a) X×Y =∅ ⇐⇒X =∅ ∨Y = b) (A×B)∪(C×B) = (A∪C)×B c) (X−Y)×Z = (X×Z)(Y ×Z)

d) A⊂B∧C⊂D⇒A×C⊂B×D. ¿que hip´otesis debo agregar para que valga la implicaci´on rec´ıproca?

4. Representar A×B en un gr´afico cartesiano y determinar (A×B)c siendo: a) A={x∈N : 1≤x <5}yB =R ;UA={1,2,3,4,5,6}yUB=R b) A= [−2,2] yB ={x∈R : x+ 1 = 3};UA=R yUB=R

c) A= [0,1) y B= (−√2,2]; UA= [0,1] y UB=R d) A={2k+ 1, kZ} yB =N;UA=Zy UB=Z

Nota:UA yUB son los universos sobre los cuales se tomanA yB respectivamente y sus comple-mentos.

5. Demostrar:

a) X×Y = X ×Z X ̸== Y = Z

b) (A× B)(C ×D) (AC) ×(BD). ¿Vale la igualdad?¿Por qu´e? c) ¿Cu´ando (A×B)∩(B×A)̸=? y ¿cu´ando es no vac´ıo?

6. Hallar A ×(B×C) y (A ×B) ×C, en los siguientes casos: a) A ={1, 2}; B ={6,7}; C = {2,6,8}

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b) A = B = C ={1, 8}

c) ¿Existen conjuntos A, B y C tales que A×(B× C) =(A×B) ×C?

NOTA: formalmente la notaci´on A×B×C es ambigua. Se acepta por convenci´on que A×B× C= (A×B) ×C. Un elemento cualquiera ((a, b), c) de este conjunto se representa (a, b, c). 7. Dados los conjuntosA={1,2,3}yB ={2,3,4,5}y las relaciones de A en B:S,T yR, definidas

por,

xSy ⇔x−1 =y ∨x+ 1 =y T ={(1; 2),(2; 4),(3; 5)} 1R2, 1R3, 1R4, 1R5.

a) Obtener los gr´aficos cartesianos para cada una de estas relaciones. Adem´as, determinar en cada caso dominio e imagen.

b) Hallar:S∩R,Tc yT−1−R−1

NOTA: Si Res una relaci´on de A en B, se llamaRc a (A×B)R

8. Hallar dominio e imagen de Ren los siguientes casos. ¿Cu´ales de estas relaciones son funci´on? a) E un conjunto cualquiera y Rla relaci´on definida en P(E) por:

i) ARB ⇐⇒A⊂B. ii) ARB ⇐⇒A∩B =. iii) ARB⇐⇒A∩B ̸=.

b) EnNla relaci´on:xRy⇐⇒y≤x.

SeaA={2,20,200}. Determinar R(A) y R1(A). c) EnNla relaci´on:xRy⇐⇒x+ 2y = 40.

d) R definida en el conjunto de rectas del plano, como:aRb⇐⇒a∩b̸=.

9. En cada uno de los siguientes casos determinar si la relaci´on R en A es reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica o transitiva.

a) A={ 1, 2, 3, 4 5},R={(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (1; 2); (1; 3); (2; 5); (1; 5)} b) A={1; 2; 3; 4; 5; 6},R={(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5)}

c) A=N,R={(a;b)∈N×N tal quea+b es par} d) A=R,R dada por x R y ⇔x−y≥0.

e) A=Z×N,R dada por (m, n)R(m′, n′)⇔m=n′. 10. Dar un ejemplo de una relaci´on enZ que

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b) No sea ni sim´etrica ni antisim´etrica c) Sea sim´etrica pero no reflexiva

11. Sean R yR dos relaciones definidas en un conjunto A. Establecer si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar

a) SiR es reflexiva entoncesR1 es reflexiva. b) SiR es reflexiva entoncesRR1 ̸=. c) SiR es sim´etrica entoncesRR1̸=.

d) SiR yR son transitivas entoncesRR es transitiva. e) SiR no es sim´etrica entonces Res antisim´etrica.

12. Ver que (R,≤) es un conjunto ordenado donde≤es el orden usal de los reales, es decir x≤y⇔x−y≤0.

13. Considere (R,≤) como en el Ejercicio anterior, y el subconjunto A={x∈R : x= 1

n, n∈N, n̸= 0}.

Analizar si A tiene primer y ´ultimo elemento, si est´a bien ordenado, si admite cotas, supremo e ´ınfimo. Idem para

B={x∈R : 1≤x <2};C ={x∈R :|x|>1};y D= (0,1][2,3].

14. Sean R y R dos relaciones definidas respectivamente en los conjuntos A y B. Llamamos a la relaci´on definida enA×B en la forma

(a, b)(a′, b′)⇔aRa′ ybR′b′

Establecer si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar. a) SiR yR son reflexivas entonces es reflexiva.

b) SiR yR son sim´etricas entonceses sim´etrica.

c) SiR yR son antisim´etricas entonceses antisim´etrica. d) SiR yR son transitivas entonceses transitiva. 15. Considere en el conjuntoN×Nla relaci´on definida por

(n, m)(s, t)⇔n≤s

Analice las propiedades de esta relaci´on. ¿Es de orden? ¿Puede dar otra relaci´on con la queN×N resulte ordenado?

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16. Sea E un conjunto y R una relaci´on definida en P(E) por ARB ⇐⇒ A B. Demostrar que (P(E),R) es un conjunto ordenado.

a) ¿Cu´ales son los elementos maximales y cu´ales los minimales?

b) Consideremos ahora el conjuntoP(E)−{∅}con el orden inducido porR, ¿cu´ales ser´an ahora los elementos minimales?

17. SeaA={x∈N : 1≤x≤10} y seanRyT dos relaciones de orden definidas enA dadas por aRb⇐⇒adivide ab.

aTb⇐⇒aes m´ultiplo de b.

a) Hacer el diagrama de Hasse y hallar los elementos maximales y los elementos minimales. b) Idem inciso anterior en A− {1}.

18. Demostrar que si a es primer elemento de un conjunto ordenado (A, R), entonces a es el ´unico minimal de A.

19. Considere el conjunto A={1,2,3,4,5,6} con el orden representado en el primer diagrama de la siguiente figura y luego con el orden representado en el segundo diagrama.

2 5 3 1 4 6 1 6 3 2 5 4

En cada caso hallar los elementos minimales y maximales. Primer y ´ultimo elemento. Cotas, supremo e ´ınfimo, primer y ´ultimo elemento del subconjunto{1,3,4}. Determinar un subconjunto que sea totalmente ordenado con el orden inducido.

A={a, b, c, d},

a) Sea{{a},{b, c},{d}}una partici´on deA. Obtener la relaci´on de equivalencia asociada. b) ¿S={(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(b, c),(b, a),(c, a)}es una relaci´on de equivalencia? c) Hallar dos relaciones de equivalencias en A. ¿Cu´antas se pueden definir?

20. Sea una relaci´on definida enZ×Z−{0}dada por:

(a, b)(c, d)⇐⇒ad=bc Probar que es de equivalencia.

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21. Sif :A→B, dondeA={−2,1,0,1,2},B ={−1,0,1,2,3}y f(x) =x21. Determinar:

(a) f(0) (b)f(1) (c) f(−2) (d) f({−1,1}) (e)f(A) (f) f({−1,0,1}) (g) f−1({−2,2}) (h)f−1({−1,3}) (i) f−1({0,1,3}) 22. Dada la funci´on f :RR, definida como:

f(x) =          x si x≤0 x2 si 0< x≤2 5 si x >2 Hallar f−1(B), siendo: a)B={4} b)B ={4,5} c)B= (−∞,0] d)B = (0,4]∪ {5} ¿Hay alg´un subconjuntoB tal quef−1(B) =∅?

23. Seaf :A→B una funci´on. SeanX ⊂A eY ⊂A, probar: a) Y ⊂X =⇒f(Y)⊂f(X)

b) f(X)−f(Y)⊂f(X−Y) c) X ⊂f−1(f(X))

24. Seaf :A→B una funci´on y X⊂B. Establecer si son verdaderas o falsas. (Justificar) a) X ==⇒f−1(X) =

b) f−1(X) ==⇒X =

25. Seaf :A→B una funci´on, sean Z ⊂B eY ⊂B. Probar: Z ⊂Y =⇒f−1(Z)⊂f−1(Y)

26. Seanf :RR, dada por:f(x) =|x|yg:RRdada por:g(x) =x23x. Hallar:

a) g◦f ¿Es g◦f =f◦g? b) g◦g=g2 yf ◦f =f2 c) (g◦f)(−1)

27. SeaE un conjunto yAun subconjunto propio1 de E. Analice inyectividad y suryectividad de las siguientes funciones:

1

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a) f :P(E)→P(E) dada porf(X) =Xc. b) g:P(E)→P(E) dada porg(X) =A∩X. c) h:P(E)→P(E) dada porh(X) =A∪X. 28. Seanf :A→B yg:B →C funciones. Demostrar:

a) Si (g◦f) es inyectiva entonces f es inyectiva.

b) Sif yg son suryectivas entonces (g◦f) es suryectiva. c) Si (g◦f) es suryectiva entonces g es suryectiva. d) Sif yg son inyectivas entonces (g◦f) es inyectiva.

Sif yg son biyectivas, ¿es (g◦f) biyectiva? y si (g◦f) es biyectiva, ¿sonf yg biyectivas? 29. Probar que Nes coordinable con Z.

30. Seana < b≤c < dreales cualesquiera. Hallar una biyecci´on entre el intervalo [a, b] y el intervalo [c, d]

31. Probar que el intervalo real [0,1] es coordinable con el intervalo (0,1). 32. Hallar una biyecci´on entre los n´umeros reales y el intervalo real (1,1).

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