DIFERENCIA ENTRE LAS CLASES UV Y DV.
Marisa Gutierrezy Silvia B.Tondato†Conicet, Departamento de Matem´atica, Universidad Nacional de La Plata, Argentina, [email protected], www.conicet.gov.ar, www.unlp.edu.ar
†Departamento de Matem´atica, Universidad Nacional de La Plata, Argentina, [email protected], www.unlp.edu.ar
Resumen: Los grafos cordales, utilizados para modelar problemas en Biolog´ıa, fueron definidos como aquellos que no poseen ciclos inducidos de 4 o m´as v´ertices. En este trabajo se prueba que los grafosUV noDV minimales son los soles impares; utilizando ´arboles cliques y la caracterizaci´on de Monma y Wei. De aqu´ı, se tiene entonces otra forma de obtener la familia de grafos noDV minimales a partir de la familia de los noUV minimales.
Palabras clave: cordales, ´arboles clique
2000 AMS Subject Classification: 21A54 - 55P54
1. INTRODUCCI ´ON
Los grafos cordales fueron definidos como aquellos que no poseen ciclos inducidos de 4 o m´as v´ertices. Gavril [1] prob´o que un grafo es cordal si y s´olo si existe un ´arbol, llamado ´arbol clique, cuyos v´ertices son los cliques del grafo y para cada v´ertice en el grafo, el conjunto de cliques que lo contienen forman un sub´arbol del ´arbol clique. A partir de esta caracterizaci´on fueron definidas distintas subclases de grafos cordales. GrafosUV: si existe un ´arbol clique cuya familia de sub´arboles resultan caminos. Dicho ´arbol se denominaUV-´arbol clique. Grafos DV: si existe un ´arbol clique dirigido cuya familia de sub´arboles resultan caminos. Dicho ´arbol se denominaDV-´arbol clique. De la propia definici´on, todo grafo DV es UV. Tambi´en se sabe que los grafos DV, UV y Cordales son clases hereditarias, por ello admiten una caracterizaci´on por subgrafos prohibidos. Panda [4] encuentra los prohibidos para la claseDV bas´andose en una caracterizaci´on dada por Monma y Wei [3]. La familia de prohibidos para la claseUV fue obtenida de distintas maneras en [2] y en [5]. En este trabajo se prueba que los grafos UV que no sonDV son exactamente los soles impares, proporcionando as´ı una prueba alternativa para los resultados de Panda.
2. PRELIMINARES
En este trabajo los grafos son finitos, no dirigidos, simples, conexos y cordales. Un grafoGes un par (V, E), siendoV su conjunto dev´erticesyE su conjunto dearistas. Dos v´erticesuyvsonadyacentes o vecinos, si existe un arista que los tiene como extremos. DenotamosN(v)al conjunto de vecinosde v y N[v]a{v} ∪N(v). SiVes subconjunto deV,G[V]es elsubgrafo inducidodeG, su conjunto de v´ertices esV y 2 v´ertices son adyacentes si y s´olo si lo son en G. Un subconjuntoC de V es uncliquede Gsi G[C]es un subgrafo completo maximal deG.C(G)es el conjunto de cliquesde G, y para cadav deV, Cv ={C ∈ C(G)|v ∈ C}. Un v´erticease dicesimplicialsi el conjunto formado poray sus vecinos es un clique. Elgrafo de intersecci´on de una familia de conjuntos(Fi)i∈I, es el grafo cuyos v´ertices son los conjuntos de la familia,Fi yFj son adyacentes siempre que su intersecci´on sea no vac´ıa. Elgrafo clique valuadoes el grafo de intersecci´on de la familia de cliques deGdonde cada aristaCiCj est´a valuada por el cardinal de la intersecci´on de los cliquesCiyCj.
Teorema 1 [Gavril, [1]] G es cordal si y s´olo si existe un ´arbol T cuyo conjunto de v´ertices es C(G) y para cada v v´ertice de G,Cvinduce un sub´arbol en T.
Un ´arbol que satisface las condiciones del Teorema 1 es denominado ´arbol clique deG. Se le dice repre-sentaci´on can´onicadeGal par(T,(Cv)v∈V(G)). Se sabe que los ´arboles clique son ´arboles generadores de
peso m´aximo del grafo clique valuado y(Cv)v∈V(G)es una familia Helly y separadora.
Lema 1 ([5]) SeaT un ´arbol clique deG,V0 ={w ∈ V(G)|Cw∩V(T0) = ∅}yT0un sub´arbol de T .
(T0,(Cv∩V(T0)v∈V0)es una representaci´on can´onica deG[V0].
Un cliqueCse diceseparadordeGen componentesHiparai= 1, .., nsiG−Ces no conexo. A los grafosGi=G[Hi∪C]se les diceseparadosdeGporC. SeanGi, Gj dos grafos separados deG porCse dice que: sondisjuntossi para todoC1 ∈C(Gi)y para todoC2 ∈C(Gj),C1∩C2∩C =∅;Gi
dominaaGj si para todoC1∈C(Gi)y para todoC2 ∈C(Gj)oC1∩C2∩C =∅oC1∩C⊇C2∩C; son
antipodalessi existenC1∈C(Gi)yC2 ∈C(Gj)tales queC1∩C∩C2 =∅,C1∩C C2yC2∩CC1.
Monma y Wei caracterizan a los grafosDV a partir de un clique separador C deG, construyendo un grafo auxiliarΠCcuyo conjunto de v´ertices son los separados deGporCsiendo adyacentes si y s´olo si son antipodales.
Teorema 2 [Monma-Wei, [3]] G es DV si y s´olo si cada v´ertice deΠC es DV yΠCes 2-coloreable.
3. ARBOLES CLIQUE.´
En lo que sigue se enuncian propiedades de los ´arboles clique, algunas de las cuales fueron desarrolladas en [5].
Teorema 3 [[5]] Sea T un ´arbol clique de G, AB una arista de T, B’ un v´ertice de T tal queA ∈T[B, B] yA∩B⊂B. EntoncesT = (T− {AB})∪ {BB}es un ´arbol clique de G.
Prueba. ComoT es un ´arbol generador de peso m´aximo entoncesA∩B = A∩B yT tiene el mismo
peso queT. LuegoTes un ´arbol clique deG.
En un ´arbol cliqueT deG, un v´erticevdeGse denominar´aclawdeT siT[Cv]no es un camino enT. Los grafosUV son aquellos para los cuales existe un ´arbol clique sin claw. En un ´arbolT un v´ertice se dice
hojasi su grado es1en otro caso se diceinterno. Se dice que un v´erticeadeGcubre a un v´erticeAdeT, si a∈A. Respectivamenteacubre a una aristaAB, sia∈A∩B. Una arista deT cubierta s´olo por vecinos dease dicea-arista. SiHes una hoja deT,ABes una arista deT tal queB ∈T[A, H], un v´erticevdeG que est´a enBy no enAse diceseparador de B en direcci´on a las hojasdeT.
Corolario 1 [[5]] G es UV y T es un UV ´arbol clique de G, AB una arista de T, B’ una hoja de T tal que
A∈T[B, B]yA∩B ⊂B. EntoncesT = (T− {AB})∪ {BB}es un UV-´arbol clique de G.
Prueba. Por el Teorema 3, sabemos queTes un ´arbol clique. Los ´unicos v´ertices deT que modifican su vecindad enTsonA,B yB. ComoBes hoja deT, enTtiene grado2con lo cual no puede formarse un claw. Tampoco puede formarse un claw centrado enApues el grado deAenTdisminuye en uno y T es un UV-´arbol clique. Si existiera un clawv, deber´a centrarse enBcon lo cual deber´ıan existirC,Cvecinos de BenT tales quev∈C∩C∩B∩B. ComoT es un ´arbol cliquev ∈Aentoncesvser´ıa claw deT que
es unUV-´arbol clique, absurdo.
En lo que sigue siT es un ´arbol clique deGyCes un v´ertice interno deT, es claro queCes un clique separador deG. Se notar´aei = AiBi parai = 1, .., klas aristas deT cubiertas s´olo por elementos deC, siendoAi = C para i = 1, .., l y Bi el extremo de ei m´as lejano a C en T para todoi = 1, .., k. Sea E={e1, .., ek}yTila componente conexa deT −Eque tiene aBiparai= 1, .., k.
Corolario 2 Las componentes conexas de G−C son exactamenteHi = {v ∈ V(G)|Ti ∩Cv = ∅} y Ti∪BiCes un ´arbol clique deG[Hi∪C].
Prueba. Es claro que todo camino enG−Ccorresponde a un camino enT−E y rec´ıprocamente. Luego Hiparai= 1, .., kson las componentes conexas deG−C. SeaT = (T−AiBi)∪BiC, por el Teorema 3, Tes un ´arbol clique deGyTi∪BiCes un sub´arbol deT. Luego por el Lema 1(Ti∪BiC,(Cv∩V(Ti∪ BiC)v∈Hi∪C)es una representaci´on can´onica deG[Hi∪C]
Observar queG[Hi∪C]son separados deGporC.
Por otro lado, en un grafo cordal pueden distinguirse dos tipos de v´ertices simpliciales: esenciales y
no esenciales. Un v´ertice simplicialade un grafo Gse dice esencial siG−N[a]es no conexo, en otro caso se dice no esencial. Un grafo sin simpliciales esenciales se dicecompacto. Un v´erticewdeGse dice
casi simplicialsi w es adyacente a un v´ertice simplicial de Gy |Cw| = 2. Un grafo compacto sin casi simpliciales se dicesupercompacto.
Corolario 3 G es UV, si a es un simplicial esencial de G existe un UV-´arbol clique de G, tal queCaes un v´ertice interno del ´arbol.
Prueba. SeaT un UV-´arbol clique de G. SiCa no es un v´ertice interno deT entonces Ca es una hoja deT. Comoaes simplicial esencial deGentonces existe una aristae= ABdeT no incidente enCatal queeest´a cubierta s´olo por vecinos de a. Luego considerando B = Ca en el Corolario 1, se tiene que T= (T− {AB})∪ {BB}es unUV-´arbol clique deGque tiene aCacomo v´ertice interno. Un grafo es una estrella de k puntas si tiene como conjunto de v´ertices a x1, .., xk, b1, .., bk, siendo {xi, xi+1, bi}un clique parai= 1, ..., k−1,{x1, xk, bk}un clique y{x1, .., xk}un clique.
Teorema 4 [[5]] G es UV supercompacto y T un UV-´arbol clique de G. Si X es un v´ertice de T de grado k adyacente a k-1 hojas de T entonces existen dos hojasCy,Cz, adyacentes a X en T, siendo y, z v´ertices simpliciales de G y un v´ertice v de G tal que Cv = {Cy, Cz, X}. Adem´as G tiene a una estrella como subgrafo inducido.
Prueba. ComoGes supercompacto, todo v´ertice deT adyacente a una hoja tiene grado mayor a2, pues si el grado fuera2,Gtendr´ıa un casi simplicial lo cual es un absurdo. SiXes adyacente akhojas entonces para separarXcon caminos deT, debe existir un v´ertice como se enuncia. SiXes adyacente ak−1hojas y a un v´ertice internoY. SeaCy hoja adyacente aX, como no existen v´ertices casi simpliciales, todo cubridor de XCy est´a en al menos3cliques. Si dicho cubridor estuviera en otra de las hojas, se tiene el v´ertice deseado. Si no, entonces para toda hojaCz, todo cubridor de XCz est´a en Y. Luego X no est´a separado lo cual es un absurdo. De lo anterior, existenCy, Cz hojas incidentes enXyvtal queCv = {Cy, Cz, X}. Como G−N[z]es conexo, entonces existe un v´erticeaque cubreCyXy noCz. Adem´as por serGsupercompacto |Ca|>2. Del mismo modo,G−N[y]es conexo, luego existe un v´erticebque cubreCzXy noCy. Como antes, por serGsupercompacto|Cb|>2. Si|Ca∩Cb|>1entoncesGtiene como subgrafo inducido a una estrella de3puntas. Si en cambio es uno, alguno de los 2 v´ertices, para fijar ideasb, debe cubrir a una hoja Cc siendocsimplicial deG. Nuevamente existe un v´erticedcubriendoXCc y noCz, adem´as|Cd|>2. Se analiza la intersecci´on entreCa,CbyCc. Se tiene que o bienGtiene como subgrafo inducido a una estrella de4puntas o a una estrella de3puntas o se contin´ua el razonamiento de manera recursiva hasta obtener el
resultado.
4. GRAFOS UV NO DV MINIMALES.
Un grafo es unsolsi es una estrella con n´umero impar de puntas. Un grafoGesUV noDV minimalsi Gno esDV pero para todovv´ertice deG,G−vesDV.
Teorema 5 Los soles son grafos UV no DV minimales.
Los siguientes resultados nos permiten probar la rec´ıproca del Teorema 5. Teorema 6 G es UV y no es DV minimal entonces G es compacto.
Prueba. Supongamos queGno es compacto, seaaun simplicial esencial deG. Por el Corolario 3, existe T unUV-´arbol clique deGtal queCaes un v´ertice interno deT y seaB1un v´ertice deT, o sea, un clique deGtal queCa− {a} ⊆B1yB1Caes arista deT.
SeanR1, .., Rl las ramas de T desdeCatal que Ri ∩Rj = {Ca} yli=1Ri = T conei ∈ E(Ri)para i= 1, ..., ly como antesGi los grafos separados porCadeGtales queBi∈C(Gi)parai= 1, .., kyΠCa el grafo definido por Monma y Wei.
Afirmaci´on 1:Si1 ≤i≤lyC(Gj) ⊆V(Ri)entoncesGj ≤Gi. Por la posici´on que ocupan los cliques deGj respecto de los cliques deGienT.
Afirmaci´on 2:Si1≤i≤l,C(Gj)∪C(Gh)⊆V(Ri)h=jentoncesGjno es adyacente aGhenΠCa. Si
fueran adyancentes existir´ıanC1 ∈C(Gj)yC2 ∈C(Gh)tales queC1∩C2∩Ca=∅. Claramente existe v ∈C1∩C2∩Ca, comov ∈Caresultav ∈ B1. Luegov ∈ C1 ∩C2∩Ca∩B1. Por otro ladoj, h = 1 y por la posici´on que ocupanC1, C2, B1 se tiene quev es un claw deT que es unUV-´arbol clique deG,
absurdo.
Afirmaci´on 3:Sil >2entoncesG1 ≥Gi parai= 1. Por la posici´on que ocupan enT los cliques deG1
respecto de los deGi.
Afirmaci´on 4:Sil > 2 entoncesGi no es adyacente aGj parai, j = 1. Si fueran adyacentes usando el mismo razonamiento empleado en la Afirmaci´on 3, existir´ıa un v´ertice claw enT que es unUV-´arbol clique deG, absurdo.
Por las Afirmaciones anteriores se verifica queA={G1}yB =V(ΠCa)− {G1}es una bipartici´on de ΠCa, con lo cualΠCa resulta 2-coloreable. Por la minimalidad deGcomo grafo noDV, cadaGi esDV.
Por el Teorema de Monma y Wei,Gresulta un grafoDV, absurdo.
Teorema 7 G es UV y no es DV minimal entonces G es supercompacto.
Prueba. Por el Teorema 6,Ges compacto. Luego todo simplicialadeGes no esencial por ello el clique que contienea es hoja de todo ´arbol clique. SiGno fuese supercompacto, existir´ıa un v casi simplicial vecino dea, v´ertice simplicial deG, tal queCv ={X, Ca}. SeaT unUV-´arbol clique deG, es claro que Xes un v´ertice interno deT.
Consideramos ahora una separaci´on deGporX. An´alogamente a lo hecho previamente, denotamosei = AiBiparai= 1, .., ka las v-aristas deT tales que para1≤i≤l,Ai =X.
SeanR1, .., Rl las ramas deT desdeX tal que Ri ∩Rj = {X} y li=1Ri = T con ei ∈ E(Ri) para
i= 1, ..., l;Gi los grafos separados porXdeGtales queBi ∈C(Gi)parai= 1, .., ksiendoG1 el grafo
que tiene aCacomo uno de sus cliques yΠX el grafo definido por Monma y Wei.
Afirmaci´on 1:Si1≤i≤lyC(Gj) ⊆V(Ri)entoncesGj ≤Gi. Por la posici´on que ocupan los cliques deGj respecto de los cliques deGienT.
Afirmaci´on 2:Si1≤i≤l,C(Gj)∪C(Gh)⊆V(Ri)h= jentoncesGjno es adyacente aGh. Si fueran adyancentes habr´ıa un claw enT que es unUV-´arbol clique deG, absurdo.
Supongamos queΠX no es bipartido entoncesΠX tiene un ciclo imparGi1, .., Gi2k+1 conk ≥ 1. Por la Afirmaci´on 2, dos v´ertices consecutivos del ciclo no pueden estar en la misma ramaRi. Por otro lado, si Gik est´a en la ramaRj o bienGik =Gj con1 ≤ j ≤lo existeGj ≥ Gik y se tiene entonces un nuevo ciclo obtenido reemplazandoGik porGj que resulta ser un ciclo impar deΠX. Luego por serGij, Gij+1 adyacentes existenxi ∈ Bij ∩Bij+1 ∩X para i = 1, ..,2ky x2k+1 ∈ Bi2k+1 ∩Bi1 ∩X. Observar que v=xipuesvest´a s´olo en2cliques deG,CayX. Sibijson los separadores deBijen direcci´on a las hojas deT, el subgrafo inducido deGpor los v´ertices{x1, .., x2k+1, bi1, .., bi2k+1}es un sol impar que no tiene a ventre sus v´ertices, por ello resulta un subgrafo inducido deG−v. Absurdo puesG−vdebe ser un grafo DV.
Como consecuencia del Teorema 7, se tiene la rec´ıproca del Teorema 5, que nos permite obtener de otra forma la familia de grafos noDV minimales a partir de la familia de los noUV minimales.
Corolario 4 G es UV no es DV minimal entonces G es un sol.
Prueba. Por el Teorema 7Ges supercompacto. Luego por el Teorema 4Gtiene como subgrafo inducido a una estrella. Si toda estrella es par, seaT unUV-´arbol clique de G,X un v´ertice de T sobre el cual se ubican los v´ertices de una estrella par. Se procede como en el Teorema anterior y se prueba que es posible
biparticionarΠX, con lo cualGresultaDV, absurdo.
REFERENCIAS
[1] F. GAVRIL,The intersection graphs of subtrees in trees are exactly the chordal graphs, Journal of Combinatorial Theory (Series B), 16 (1974), pp. 47-56.
[2] B. L ´EVEQUEˆ , F. MAFFRAY, M. PREISSMANN,Characterizing paht graphs by forbidden induced subgraphs, (enviado). [3] C. MONMA, V. WEI,Intersection graphs of paths in a tree, J. Comb. Theory B, 41 (1986), pp. 141-181.
[4] B. S. PANDA,The forbidden subgraph characterization of directed vertex graphs, Discrete Mathematics, 196 (1999), pp. 239-256.
[5] S. B. TONDATO, DIRECTORES: M. GUTIERREZ, J. L. SZWARCFITER,Tesis Doctoral: Grafos Cordales: ´Arboles clique y Representaciones can´onicas, (Junio 2009).
P
ROBLEMA DEL BC
-
COLOREO EN GRAFOS
:
FAMILIAS
POLINOMIALES
G. Argiroffo♭, G. Nasini♭,†y P. Torres♭,†
♭Depto. de Matem´atica, Facultad de Ciencias Exactas, Ingenier´ıa y Agrimensura, Universidad Nacional de Rosario,
Av. Pellegrini 250 Rosario, Argentina,{garua, nasini,ptorres}@fceia.unr.edu.ar
†Consejo Nacional de Investigaciones Cient´ıficas y Tecnol´ogicas (CONICET) Argentina
Resumen: Unk-bc-coloreode un grafo es unk-coloreo tal que si dos v´ertices est´an coloreados con el colori, la distancia entre ellos es al menos i+ 1. El n´umero bc-crom´atico de G,χbc(G), es el m´ınimok tal queGadmite unk-bc-coloreo. Calcularχbc(G)es NP-dif´ıcil. En este trabajo definimos dos tipos nuevos de perfecci´on en grafos, relacionados con cotas inferiores del n´umero bc-crom´atico, caracterizamos sus menores prohibidos y probamos que para estos grafos el c´alculo deχbc(G)resulta polinomial.
Palabras clave: grafos, coloreo, bc-coloreo
2000 AMS Subject Classification: 05C15-05C17
1. INTRODUCCION´
Los problemas de coloreo de grafos constituyen una familia de problemas de la Teor´ıa de Grafos de una gran relevancia tanto te´orica como pr´actica (asignaciones de vuelos, asignaciones de frecuencias, problemas de almacenamiento, entre ellas). Los distintos tipos de coloreos surgen de las restricciones adicionales, propias de la naturaleza de la aplicaci´on, que deben imponerse al problema cl´asico de coloreo. En particular, los problemas de sincronizaci´on de procesos paralelos y de asignaci´on de frecuencias de radio han motivado una variedad de coloreos de grafos (ver, por ejemplo, [3] y [6]).
Unk-coloreo de un grafo G = (V, E) es una funci´on f : V → {1, . . . , k} tal que si f(u) = f(v), entonces(uv) ∈/ E o, equivalentemente, sid(u, v), la distancia entreuyvenG, es al menos2. Eln´umero crom´atico de G, χ(G), se define como el m´ınimo k tal que G tiene unk-coloreo. Calcular χ(G) es un problema NP-dif´ıcil. Si ω(G)es el tama˜no de la m´axima clique enG, es f´acil ver que, para todo grafoG, χ(G)≥w(G).
Recientemente, Goddard et al. [4] introducen elbc-coloreode un grafoG= (V, E)como unk-coloreo
deGtal que si dos v´ertices est´an coloreados con el colori, la distancia entre ellos debe ser al menosi+ 1. An´alogamente, eln´umero bc-crom´aticodeG, que notamosχbc(G), es el m´ınimoktal queGadmite un
k-bc-coloreo. Tambi´en es NP-dif´ıcil calcularχbc(G)(ver [4]). Claramente, todo bc-coloreo deGes un coloreo
y por lo tantoχbc(G)≥χ(G)≥w(G).
Una de las l´ıneas tradicionales de trabajo en el ´area que es la determinaci´on de familias de grafos donde el problema de calcular el n´umero crom´atico resulte polinomial. La familia de los grafos perfectos constituye una de estas familias y su caracterizaci´on a trav´es de subgrafos prohibidos fue un problema abierto por m´as de 40 a˜nos, resolvi´endose en 2002 [2]. Los grafos perfectos son aquellosGpara los cualesχ(G′) =ω(G′)
en todo subgrafo inducido por v´erticesG′deG.
El objetivo de este trabajo es la determinaci´on de familias de grafos donde calcular el n´umero bc-crom´atico resulte polinomial. En este sentido y en analog´ıa con los antedecedentes para el coloreo tradi-cional, definimos dos tipos nuevos de perfecci´on en grafos.
Claramente,ω(G) es tambi´en una cota inferior de χbc(G) y permite la definici´on de los grafosbcω -perfectoscomo aquellos grafos para los cualesχbc(G′) = ω(G′)para todo subgrafo inducido por v´ertices
G′deG. En este caso, todo grafo bcω-perfecto es perfecto y calcularχbc(G)resulta polinomial. El objetivo
es entonces, determinar la complejidad computacional del problema de decidir si un grafo es bcω-perfecto. Para ello, en la Secci´on 2 logramos una caracterizaci´on de los mismos por menores prohibidos que nos permite concluir que el problema de decidir si un grafo es bcω-perfecto es polinomial.
En la Secci´on 3 presentamos una nueva cota inferior del par´ametroχbc(G), que demostramos es m´as
ajustada queω(G). De esta manera, los grafos para los cuales el n´umero bc-crom´atico de todos sus subgrafos inducidos asume esta nueva cota definen una familia mas amplia que la de los grafos bcω-perfectos, donde analizamos la complejidad computacional del problema de calcular χbc(G). Llamamos a estos grafos bc-perfectosy probamos que esta familia coincide con la familia de los co-grafos y que el c´alculo deχbc(G)
resulta polinomial.
2. GRAFOS BCω-PERFECTOS
En esta secci´on caracterizamos los grafosbcω-perfectospor menores prohibidos. Por simplicidad, dire-mos queGes un grafosinH, siGno tiene aHcomo subgrafo inducido por v´ertices. M´as a´un, denotemos por d(G) al di´ametro de un grafo G, es decir la m´axima distancia ente dos de sus v´ertices y α(G) a su
n´umero de estabilidad.
Tal como fue mencionado en la introducci´on, un grafoGesbcω-perfectosiχbc(G′) =ω(G′)para todo
subgrafoG′deG.
Es inmediato verificar que siGes alguno de los grafos en la Figura 1 (P4,C4y2−K3)χbc(G)> ω(G′).
Figura 1: Grafos no bcω-perfectos
Por lo tanto, siGes bcω-perfecto,Ges sinP4,C4 ni2−K3. Veremos que en realidad estos menores
prohibidos caracterizan a los grafos bcω-perfectos. Para ello utilizaremos los siguientes resultados
Lema 1 ([4]) SeaGun grafo. Si para toda clique m´aximaQdeGse verifica que los vecinos deQforman
un conjunto estable, y al menos un v´ertice deQno tiene vecinos enV −Q, entoncesω(G) =χbc(G).
Lema 2 SiGes sinP4,C4ni2−K3, todo subgrafo conexo deGsatisface las condiciones del lema 1.
Por lo tanto,
Teorema 1 Un grafoGes bcω-perfecto si y solo siGes sin2−K3,P4niC4.
Figura 2:2K2
Se sabe que un grafo conexoGes sinP4niC4 si y solo si todo subgrafo conexo deGtiene un v´ertice
universal (ver [1]). Con este resultado, y recordando que un grafoumbrales un grafo sin2K2 (ver Figura
2),P4niC4, obtenemos
Teorema 2 Un grafo G es bcω-perfecto si y solo si cada una de sus componentes conexas es un grafo
Puesto que el problema de reconocer si un grafo es umbral es polinomial (ver [5]), reconocer si un grafo es bcω-perfecto tambi´en resulta polinomial.
Adem´as, como para todo grafoGsinP4resultad(G)≤2, se sabe (ver [4]) queχbc(G) =n+ 1−α(G).
Como los grafos umbral son perfectos, tenemos que el problema de calcular el n´umero bc-crom´atico de los grafos bcω-perfectos es polinomial.
3. GRAFOS BC-PERFECTOS
SeanG = (V, E) un grafo, n = |V|y k ≥ 1 entero. Un conjuntok-estable deGes un subconjunto Sk ⊂ V tal que la distancia entre dos v´ertices distintos deSk es al menosk+ 1. Llamamosn´umero de k-estabilidad deG, y lo denotamos porαk(G)al tama˜no del m´aximo conjuntok-estable deG.
El c’alculo del n´umero bc-crom´atico puede ser formulado como un problema de m´ınimo cubrimiento-empaquetamiento de nodos de Gpor k-estables. A partir del problema dual de la relajaci´on lineal de su formulaci´on como programa lineal0,1, obtenemos el siguiente
Teorema 3 Para todo grafoG, esχbc(G)≥2n−Pnk=1αk(G).
Esto nos induce a definir el siguiente par´ametro de un grafo:
θ(G) = 2n−
n X k=1
αk(G). (1)
Observemos que es posible encontrar grafosGtales queθ(G′)> θ(G)para alg´un subgrafoG′deG. En efecto, es f´acil verificar queθ(P5) = 1yθ(P4) = 2. Por lo tanto, llamando
ωbc(G) = m´ax{θ(G′) : G′subgrafo deG},
obtenemos el siguiente
Teorema 4 Para todo grafoG, es
χbc(G)≥ωbc(G)≥ω(G).
Es f´acil verificar queωbc(C5) = 4 >2 = ω(C5). Por lo tanto,ωbc(G) es una cota inferior deχbc(G)
m´as ajustada que la proporcionada porω(G).
De esta manera, si llamamosbc-perfectoa un grafoG tal queχbc(G′) = wbc(G′) para todo subgrafo
inducido por v´ertices G′ de G, a partir del Teorema 4 resulta que la familia de los grafos bc-perfectos contiene a los bcω-perfectos. En este caso C4 y 2 −K3 resultan ser bc-perfectos y por lo tanto dicha
contenci´on es estricta. Sin embargo,P4no lo es ya queχbc(P4) = 3>2 =ωbc(P4).
Tenemos entonces que siGes bc-perfecto,Ges sinP4 lo cual incluye a los grafos bc-perfectos en la
clase de los co-grafos. Es m´as, podemos probar que
Teorema 5 Ges bc-perfecto si y solo siGes un co-grafo.
Nuevamente, como los co-grafos son perfectos, los grafos bc-perfectos tambi´en lo son y χbc(G) =
n+ 1−α(G). Por lo tanto, los grafos bc-perfectos constituyen una nueva familia donde el c´alculo de su n´umero bc-crom´atico es polinomial.
REFERENCIAS
[1] A. BRANDSTADT, V. B. LE, J. P. SPINRAD,¨ Graph Classes: A Survey, SIAM Monographs of Discrete Mathematics and Applications, 1999.
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