Modelado y desarrollo de microcantilevers resonantes para sensores

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(1)MODELADO Y DESARROLLO DE MICROCANTILEVERS RESONANTES PARA SENSORES. MEMORIA PRESENTADA POR MARGARITA SOFÍA NARDUCCI MARÍN PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTORA EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA BELLATERRA, 10 DE SEPTIEMBRE 2010. i.

(2) ii.

(3) El Dr. Eduard Figueras Costa, científico titular del Centro Nacional de Microelectrónica del CSIC,. CERTIFICA:. Que el trabajo “Modelado y desarrollo de microcantilevers resonantes para sensores” que presenta Margarita Sofía Narducci Marín para optar al grado de Doctora en Ingeniería Electrónica ha sido realizado bajo su dirección.. Bellaterra, 10 de Septiembre 2010. Dr. Eduard Figueras Costa. iii.

(4) iv.

(5) A mi familia y a Carlos por su amor, sacrificio y apoyo. v.

(6) vi.

(7) The knack of flying is learning how to throw yourself to the ground and miss. Douglas Adams, Hitchhiker’s Guide to the Galaxy, 1979.. vii.

(8) viii.

(9) AGRADECIMIENTOS Parecía que no iba a acabar nunca, pero pasados los días de incertidumbre esta tesis culmina el trabajo realizado durante estos cinco años. Muchas personas han contribuido de una u otra manera en la realización de esta tesis. En primer lugar quiero agradecer a mi director, el Dr. Eduard Figueras Costa, por el continúo seguimiento, por toda la ayuda prestada, los consejos dados y por todas las correcciones hechas. Gracias también por haberme dado la oportunidad de incorporarme al grupo de sensores de gases, me considero muy afortunada al haber tenido la oportunidad de trabajar con sus miembros. Gracias a todo el personal de sala blanca, de microsistemas, del laboratorio de placas, del laboratorio de encapsulado y al personal de servicios informáticos, porque sin su conocimiento y tiempo este trabajo no habría sido posible. A todo el personal del IMBCNM mil gracias. Gracias a mis compañeros de despacho, por ayudarme con las preguntas sin respuesta, por las bromas y por intentar siempre buscar el mejor ambiente de trabajo. A toda la gente con la que he compartido grandes momentos dentro y fuera de este despacho, a ustedes gracias por las conversaciones absurdas, irreverentes e incoherentes han conseguido de forma inconsciente que me sienta en casa. A mis amigos, gracias por su interés en el avance de este trabajo (por el que siempre preguntaban, sin acabar de entender qué son los cantilevers y para qué sirven), por sus ánimos y por sus consejos en el trozo de vida que nos deja fuera de lo profesional; en definitiva gracias por su amistad. A mi familia porque me lo han dado todo. Una gran parte de este trabajo se la debo a ustedes. Por estar siempre a mi lado, por apoyarme, por comprender que no estoy con ustedes todo el tiempo que me gustaría y por hacer que mis viajes de ida y vuelta no sean tan amargos. Finalmente, a Carlos mi compañero en la vida, a quien no tengo palabras para agradecerle que haya emprendido este camino conmigo.. ix.

(10) x.

(11) RESUMEN Esta tesis está enfocada en el diseño, simulación, fabricación y caracterización de sensores de masa basados en microcantilevers de silicio. Los cantilevers con forma de T son diseñados como estructuras formadas por 3 vigas unidas en su extremo por medio de una masa rectangular extra. Los cantilevers son excitados para alcanzar su resonancia mecánica, en modo flexión perpendicular al sustrato, con un piezoactuador PZT pegado en la parte posterior del sustrato y la frecuencia de resonancia es monitoreada por cuatro piezoresistencias configuradas en un puente de Wheastone. Diversos cantilever son fabricados variando su proceso de fabricación, dimensiones y geometrías, su operación es verificada y su desempeño mecánico y eléctrico evaluado. El desempeño del dispositivo es comparado con los valores obtenidos del modelo analítico y de las simulaciones con ANSYS, obteniendo buena concordancia. Se seleccionan las dos estructuras con los mayores valores de frecuencia de resonancia y factor de calidad. Para el primer cantilever, de 400µm de largo, 300µm ancho y 15µm de espesor, la frecuencia de resonancia, del primer y segundo modo de vibración, se encuentra en 97kHz y 690kHz respectivamente, ambos con un factor de calidad de ~800. Para el segundo cantilever, de 200µm de largo, 150µm ancho y 15µm de espesor, la frecuencia de resonancia fundamental se encuentra en 400kHz con un factor de calidad de ~900. Los dispositivos son caracterizados como sensores de masa al adherir microesferas de poliestireno a la superficie del cantilever y medir los cambios en la frecuencia. Para el primer cantilever, los valores de sensibilidad de masa son: 12,4pg/Hz y 3,1pg/Hz para el primer y el segundo modo respectivamente y 0,8pg/Hz para el segundo cantilever. Además, los cantilevers son caracterizados como sensores de gas al recubrir su superficie con PDMS, exponerlos a vapor de etanol y medir los cambios en la frecuencia. Para la primera y segunda estructura, el valor de sensibilidad al etanol es de 13,2ppm/Hz y 0,6ppm/Hz respectivamente. Estos resultados ilustran el alto potencial para utilizar estas sencillas estructuras como plataforma en aplicaciones sensitivas.. xi.

(12) SUMMARY This work has been focused on the design, simulation, fabrication and characterization of silicon microcantilevers based mass sensors. The T-shape cantilever was designed as a structure formed by 3 cantilevers that are hold together by means of an extra rectangular mass. Cantilevers were driven at their mechanical resonance in flexural mode perpendicular to the substrate by a ceramic-insulated multilayer piezoactuator PZT glued at the backside and the resonance frequency was monitored by reading the signal generated by four piezoresistors in a Wheatstone bridge configuration. Several cantilevers structures have been fabricated with different process, dimensions and geometries, its operation verified and their mechanical and electrical performance evaluated. Device performance was compared with analytical model and simulation predictions obtained using ANSYS achieving good agreement.. Two different structures were selected based on the high resonance frequency and quality factor values. For the first cantilever of 400µm long, 300µm wide and 15µm thick, the fundamental and second resonance frequency in air were 97kHz and 690kHz respectively, both with a quality factor of ~800. And for the second cantilever of 200µm long, 150µm wide, 15µm thick the fundamental resonance frequency in air was 400kHz with a quality factor of ~900. The devices were characterized as mass sensor attaching microspheres of polystyrene to the cantilever’s surface tip and measuring resonance frequency changes. For the first cantilever mass sensitivity values of 12,4pg/Hz and 3,1pg/Hz for the fundamental and second mode respectively were achieved and 0,8pg/Hz for the second cantilever. Also the cantilevers were characterized as gas sensor, covering the cantilever’s surface tip with PDMS, exposing it to ethanol vapor and measuring resonance frequency changes. For the first cantilever ethanol sensitivity values of 13,2ppm/Hz were achieved and 0,6ppm/Hz for the second cantilever. These results show the great potential for high sensitive sensor of this simple device. xii.

(13) TABLA DE CONTENIDO Capítulo 1.. Introducción ______________________________________________ 1. 1.1.. Evolución histórica de los sensores de masa _________________________ 1. 1.2.. Motivación ___________________________________________________ 3. 1.3.. Objetivo, alcances y metodología de trabajo _________________________ 6. 1.4.. Estructura de la memoria ________________________________________ 8. Capítulo 2. 2.1.. Marco teórico ____________________________________________ 11. Fabricación de MEMS _________________________________________ 11. 2.1.1.. Procesos aditivos _________________________________________ 12. 2.1.2.. Litografía _______________________________________________ 15. 2.1.3.. Procesos sustractivos ______________________________________ 16. 2.1.4.. Silicio __________________________________________________ 18. 2.2.. Teoría de resonadores__________________________________________ 19. 2.2.1.. Conceptos _______________________________________________ 19. 2.2.2.. Resonadores mecánicos tipo viga o cantilever___________________ 26. 2.2.3.. Modos de vibración _______________________________________ 31. 2.2.4.. Mecanismos de disipación de energía _________________________ 34. 2.2.5.. Efecto de la temperatura en la frecuencia_______________________ 41. 2.3.. Resonadores como sensores _____________________________________ 42. 2.3.1.. Introducción _____________________________________________ 42. 2.3.2.. Modelado del sensor_______________________________________ 43. 2.3.3.. Estado del arte ___________________________________________ 46. 2.4.. Mecanismos de actuación/detección en chip ________________________ 47. 2.5.. Herramientas de simulación _____________________________________ 50. 2.5.1.. Ansys __________________________________________________ 50. 2.5.2.. Icecrem _________________________________________________ 50. Capítulo 3.. Diseño y modelado ________________________________________ 51. 3.1.. Definición de la geometría ______________________________________ 51. 3.2.. Modelo analítico del cantilever en forma de T_______________________ 63. xiii.

(14) 3.3.. Actuación térmica_____________________________________________ 69. 3.4.. Actuación piezoeléctrica________________________________________ 79. 3.5.. Detección piezoresistiva ________________________________________ 81. 3.6.. Circuitería ___________________________________________________ 91. 3.7.. Encapsulado _________________________________________________ 92. Capítulo 4.. Fabricación ______________________________________________ 95. 4.1.. Proceso de fabricación _________________________________________ 95. 4.2.. RUN3485 __________________________________________________ 104. 4.2.1.. Descripción de las estructuras ______________________________ 104. 4.2.2.. Modificaciones e incidencias _______________________________ 108. 4.3.. RUN3823 __________________________________________________ 108. 4.3.1.. Descripción de las estructuras ______________________________ 108. 4.3.2.. Modificaciones e incidencias _______________________________ 109. 4.4.. RUN4198 y 4371 ____________________________________________ 111. 4.4.1.. Descripción de las estructuras ______________________________ 111. 4.4.2.. Modificaciones e incidencias _______________________________ 112. 4.5.. Encapsulado ________________________________________________ 113. Capítulo 5.. Pruebas y resultados ______________________________________ 115. 5.1.. Caracterización preliminar _____________________________________ 115. 5.2.. Caracterización estática _______________________________________ 118. 5.3.. Caracterización dinámica-mecánica ______________________________ 125. 5.4.. Caracterización dinámica-eléctrica_______________________________ 127. 5.5.. Dependencia de parámetros externos _____________________________ 146. 5.6.. Sensor de masa ______________________________________________ 148. 5.7.. Sensor de gases______________________________________________ 154. Capítulo 6.. Conclusiones y propuesta de líneas de trabajo __________________ 161. Apéndice A: Nomenclatura ____________________________________________ 167 Bibliografía_________________________________________________________ 171. xiv.

(15) Capítulo 1. INTRODUCCIÓN Esta memoria es resultado del trabajo de investigación sobre estructuras micromecanizadas basadas en vigas resonantes y su aplicación como sensores de masa. Dicho proyecto fue formulado en el seno del grupo de sensores de gases del departamento de Micro y Nanosistemas del Instituto de Microelectrónica de Barcelona Centro Nacional de Microelectrónica (IMB-CNM), perteneciente al Consejo Superior de Investigaciones Científicas, CSIC y ha sido supervisado por el Dr. Eduard Figueras Costa. Las actividades del grupo de sensores de gases están enfocadas al diseño y desarrollo de los componentes de un sistema de detección de gases. Esta tesis se ha podido llevar a cabo gracias al soporte económico de los proyectos CROMINA (Development of a gas chromatographic system based on micro and nano technologies MEC TEC-2004-6854-C03) e ISIS (Integration of Intelligent Systems for Security MEC TEC2007-67962-C04-01/MIC).. 1.1. EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LOS SENSORES DE MASA En el contexto de los sistemas microelectromecánicos (MEMS por su nombre en inglés: MicroElectroMechanical System), un sensor es un dispositivo que convierte un fenómeno físico o químico a una magnitud eléctrica. De acuerdo a la naturaleza de dicho fenómeno o señal de entrada los sensores pueden clasificarse en: térmicos, radiativos, eléctricos, magnéticos, químicos y mecánicos. Esta diversidad de tipologías permite el uso de estos dispositivos en numerosas aplicaciones, como por ejemplo: la medida de variables mecánicas (aceleración, inclinación, presión, etc.), en la medida de variables termodinámicas (temperatura, humedad, presión barométrica, etc.), en la detección de masa o detección de sustancias, entre otras. Este trabajo está enfocado en el desarrollo de dispositivos basados en vigas resonantes de silicio para la detección de masa y por lo tanto se procederá a explicar éstos más en detalle [1][2][3].. 1.

(16) Capítulo 1: Introducción. Los primeros sistemas de detección de masa desarrollados, basan su funcionamiento en el efecto piezoeléctrico. En 1880 Pierre y Marie Curie demuestran que los cristales de sal Rochelle o de cuarzo pueden producir electricidad al aplicar presión en ciertas direcciones, y deformación aplicando electricidad. Este fenómeno es el ahora conocido como efecto piezoeléctrico. En 1921 se introducen los osciladores de cristal de cuarzo y en 1934 empieza el dominio de dichos cristales para todo tipo de aplicaciones de control de frecuencia. Desde los inicios del uso de los resonadores de cristal de cuarzo, era común modificar la frecuencia del resonador con un lápiz, haciendo marcas (añadiendo masa) o pasando el borrador (eliminando masa), en la superficie de los electrodos. En 1959, Günter Sauerbrey demuestra que los cambios de frecuencia en el resonador de cuarzo son directamente proporcionales a la cantidad de masa añadida. El trabajo de Sauerbrey es generalmente tomado como el punto de partida hacia las microbalanzas de cuarzo (QMB por su nombre en inglés: Quartz Micro Balances) [4][5]. Una QMB es un tipo de sensor de onda acústica de modo volumen (BAW por su nombre en inglés: Bulk Acoustic Wave), que consiste en un resonador piezoeléctrico con una frecuencia de resonancia sensible a la masa. El cuarzo cristalino tiene excelentes propiedades piezoeléctricas y al mismo tiempo propiedades eléctricas estables. Un QMB típico está formado por un disco delgado de cuarzo cristalino con un electrodo fijado en cada extremo. El resonador es excitado aplicando un voltaje AC a través de los electrodos, cuando la frecuencia de dicha señal AC se acerca a la frecuencia de resonancia del cristal, la amplitud de vibración del disco de cuarzo se incrementa debido a la onda acústica que se propaga con un mínimo de impedancia a través de él. Los QMB operan a frecuencias menores de los 100MHz, con factores de calidad de varios miles en aire, son capaces de detectar pequeñas cantidades de masa, en el orden de los nanogramos y poseen tamaños en la escala milimétrica y micrométrica [6][7][8]. Los QMB también pueden ser utilizados para la detección de sustancias químicas y biológicas (por ejemplo: dióxido de nitrógeno NO2, amoniaco NH3, ADN, bacterias, etc.). Para esto, es necesario depositar una capa activa en el resonador de cuarzo. La capa activa es seleccionada para reaccionar específicamente con ciertos agentes químicos o biológicos. Una vez ligados dichos agentes a la capa activa del resonador, la. 2.

(17) Capítulo 1: Introducción. masa del QMB cambia y con esto la frecuencia de resonancia permitiendo de esta manera la detección. A pesar que los detectores de masa QMB son muy buenos, la sensibilidad alcanzada ha llegado más o menos a su límite debido a las dificultades de fabricar dispositivos de cuarzo por debajo de la escala milimétrica [6]. Durante las últimas tres décadas la investigación para desarrollar nuevos sensores de masa en miniatura ha girado en torno a los resonadores piezoeléctricos de película delgada de modo volumen (FBAR por su nombre en inglés: Thin Film Bulk Wave Acoustic Resonators) y a las estructuras MEMS resonantes en forma de vigas en voladizo o cantilevers por su nombre en inglés. Los FBAR son unas de las actuales tecnologías de fabricación de resonador BAW. Un FBAR consta básicamente de un piezoeléctrico (nitruro de aluminio AlN en lugar de cuarzo) con un electrodo fijado a cada extremo, en donde el resonador está aislado acústicamente del sustrato para reducir el acople electromecánico y aumentar el factor de calidad. Los FBAR alcanzan frecuencias de resonancia entre 1 y 100GHz, con factores de calidad menores de 2000 en aire, son capaces de detectar masas hasta en el rango de los femtogramos y sus dimensiones son considerablemente más pequeñas que el QMB. Los cantilevers son estructuras micromecanizadas, comúnmente fabricadas en silicio, con forma de viga ancladas únicamente por un extremo. Los cantilevers micromecanizados alcanzan frecuencias de resonancia entre unos pocos kHz hasta unos pocos MHz, con factores de calidad menores de 1200 en aire y son capaces de detectar masas en el rango de los picogramos. Utilizando técnicas de nanofabricación, se han construido nanoresonadores mecánicos con forma de cantilevers capaces de detectar en el rango de los zeptogramos. Ambos dispositivos han probado ser aptos candidatos para reemplazar a los QMB [6][7][9][10][11].. 1.2. MOTIVACIÓN La investigación sobre dispositivos detectores de sustancias se encuentra en plena expansión debido a la creciente necesidad en diversos sectores tales como: la seguridad industrial y defensa, el control ambiental, calidad de alimentos, etc., de encontrar nuevos dispositivos que mejoren las prestaciones de los existentes y amplíen el rango de. 3.

(18) Capítulo 1: Introducción. sustancias que puedan ser detectadas. Así por ejemplo, el análisis en continuo del aire con el objetivo de detectar niveles peligrosos de monóxido de carbono CO u otros gases, partículas, o microorganismos, en tiempo real requiere el desarrollo de nuevos dispositivos. La mejora en la seguridad industrial, el control de calidad de procesos y/o producto y la calidad de vida de las personas, son demandas que crecen en la sociedad actual. Estas demandas propician nuevas regulaciones y leyes que implican una mayor necesidad de mejora en el monitoreo de sustancias tóxicas en el medio ambiente [1][2][12][13]. Los métodos comerciales utilizados para la detección cualitativa y cuantitativa de sustancias dependen altamente del analito a detectar y la sensibilidad deseada. Por ejemplo para la detección de dióxido de carbono CO2, dióxido de azufre SO2, amoníaco NH3, etc., en aplicaciones medioambientales, principalmente se utilizan métodos químicos y electroquímicos, cromatografía de gases y espectrometría los cuales son sistemas de detección altamente sofisticados con muy alta resolución y precisión, pero voluminosos, costosos y de complejo servicio. Los nuevos campos de operación requieren sensores miniatura, baratos, moderadamente precisos con bajo consumo de potencia para utilizarlos en dispositivos portátiles con un tiempo de vida razonablemente largo y que cubran el mayor número de campos de aplicación posible [1][2][12][13]. Los sensores micromecanizados están siendo estudiados como una posible opción para estos nuevos campos de operación. Beneficios claves de los MEMS incluyen dimensiones miniatura, peso ligero, bajo consumo de potencia y la capacidad de integrarse con tecnología IC (Integrated Circuit). El principal reto recae en la selectividad, la insuficiente estabilidad a largo plazo y su limitación para aplicaciones especificas. Los tipos de sensores MEMS más estudiados para aplicaciones en la detección de sustancias son los: tipo semiconductor, electroquímico, térmico y resonante. Los primeros están basados en el cambio de conductividad en la superficie del material sensor, debido a la concentración de cargas móviles en el proceso de absorción. Los segundos responden selectivamente a un compuesto químico o ión mediante mecanismos de oxidación-reducción produciendo una señal de voltaje,. 4.

(19) Capítulo 1: Introducción. corriente o conductividad proporcional a su concentración. Los sensores de conductividad térmica (TCD por su nombre en inglés: Thermal Conductivity Detector) basan su funcionamiento en los cambios de conductividad térmica de la corriente de gas ocasionados por la presencia del analito. Finalmente, el principio de detección de los sensores resonantes se basa en que la frecuencia es sensible a la masa del resonador, que incluye su masa y la masa adherida a él. Por lo tanto si se adhiere masa de cierta sustancia al resonador, su frecuencia sufrirá un cambio y con esto permitirá la detección de dicha sustancia. Existe gran cantidad de literatura acerca de dispositivos resonantes y su aplicación como sensores, y esto es gracias a que han demostrado ser altamente sensibles y capaces de detectar muy pequeñas concentraciones de una sustancia. A continuación. se. profundizará. más. sobre. este. último. tipo. de. sensores. [12][14][15][16][17]. El funcionamiento típico de un sistema basado en sensores resonantes es el siguiente: primero, el resonador es excitado a través del actuador que se encarga de convertir energía eléctrica en energía mecánica, para inducir una vibración del resonador hasta alcanzar el estado de resonancia. Una vez en resonancia y debido a la acción de un fenómeno físico (depósito o absorción de masa), el valor de la frecuencia de resonancia varía y dicha variación es detectada a través del transductor que se encarga de convertir la vibración en una señal adecuada para medir, en este caso en frecuencia. A continuación la Figura 1 ilustra el diagrama de bloques básico de un sensor resonante con lazo de retroalimentación [18][19].. Fenómeno físico. Resonador. Transductor. Actuador Figura 1. Diagrama de bloques de un sensor resonante.. 5. Frecuencia de salida.

(20) Capítulo 1: Introducción. Existen diversos tipos de microsensores resonantes, una de las estructuras MEMS más destacadas y ampliamente estudiadas debido a la simplicidad de su estructura son las vigas en voladizo o cantilevers. Los sensores basados en cantilevers de silicio han probado ser altamente precisos, estables y sensibles, algunos estudios han demostrado que un voladizo es capaz de detectar hasta una única célula bacteriana [15][20]. Este notable desempeño es en gran parte debido a las excelentes propiedades mecánicas del silicio (baja densidad, alto módulo de Young, buen comportamiento elástico y dúctil), que hacen de este material capa estructural óptima para un sensor resonante. Además, al ser de silicio abre la puerta a la integración con circuitos electrónicos convencionales, se reducen costos, dimensiones y se facilita su proceso de diseño y fabricación debido al estado de desarrollo de las tecnologías disponibles para el tratamiento del mismo. Por otra parte, una de las desventajas de las estructuras MEMS basadas en silicio, es que presentan un desempeño inestable en condiciones extremas tales como: altas temperaturas y ambientes corrosivos, puesto que las propiedades mecánicas y eléctricas son degradadas [21][22][23][24]. Este trabajo de investigación está motivado por la demanda de sensores MEMS moderadamente precisos con bajo consumo de potencia para aplicaciones de detección de sustancias. La profundización en esta línea de trabajo conlleva potencialmente a la optimización del rendimiento de las estructuras estudiadas, así como el establecimiento de una base sólida para el desarrollo de nuevas aplicaciones.. 1.3. OBJETIVO, ALCANCES Y METODOLOGÍA DE TRABAJO En este contexto, la línea de trabajo en la que se enmarca el presente proyecto se ha concebido con el objetivo general de diseñar y fabricar dispositivos basados en vigas resonantes de silicio que integren los elementos actuadores y transductores para la detección de variaciones de masa del dispositivo. De esta forma, por ejemplo, se tendrá una plataforma para generar nuevos sensores de sustancias al combinarlos con capas activas específicas.. 6.

(21) Capítulo 1: Introducción. Dentro de los objetivos específicos que se pretenden alcanzar, se encuentran:. . Estudiar los procesos tecnológicos e implicaciones del proceso de fabricación, y como limitan e inciden éstos en las características y rendimiento del sistema. En base a esto proponer mejoras que lleven a un mejor rendimiento y a una simplificación del proceso de fabricación.. . Comprender la influencia de la geometría de la estructura en el desempeño del sensor. En base a esto proponer modificaciones en el diseño del cantilever para obtener frecuencias de resonancia y factores de calidad más altos.. . Estudiar los límites de la sensibilidad y umbral detección de este tipo de sensores integrados.. Al plantearse este proyecto, se propusieron los siguientes alcances para el desarrollo del prototipo:. . Desarrollar un modelo matemático del dispositivo avalado con simulaciones FEM.. . Diseñar, construir y optimizar un sistema de detección de sustancias basado en sensores resonantes micromecanizados de silicio.. . Construir una etapa de adaptación y postprocesamiento de la señal sensada (circuitería electrónica).. Las limitaciones que enmarcan el proyecto giran entorno al proceso de fabricación de los dispositivos. Hay que tener en cuenta que el principal objetivo del trabajo no es demostrar que el dispositivo funciona ya que sobre esto existe extensa literatura que lo prueba, sino que se trata de analizar y comprender como influyen los diferentes parámetros, tanto de diseño como de fabricación. Así, si bien en el caso de los parámetros de diseño es posible realizar estructuras con diferentes geometrías que se fabricarán en paralelo y por tanto es posible en un solo proceso de fabricación estudiar esta dependencia, para el caso de parámetros tecnológicos será necesario diferentes procesos de fabricación para poder estudiar su influencia. Esto último supone un primer inconveniente por lo que supone de gasto presupuestario y tiempo.. 7.

(22) Capítulo 1: Introducción. Un segundo inconveniente, también relacionado con la fabricación es el referente a la dispersión de los parámetros tecnológicos. Dicha dispersión es lo que en el fondo acaba por determinar las dimensiones mínimas de la tecnología. En el caso de la sala blanca del IMB-CNM, ésta dispone de una tecnología para CMOS (Complementary MetalOxide Semiconductor) de 2,5µm. En el presente proyecto y con el fin de no apurar la capacidad de la sala blanca y aumentar el rendimiento de fabricación se consideró trabajar con una tecnología de 4µm, que no marcará las dimensiones mínimas a la hora de diseñar dispositivos presentados en este trabajo. Para la consecución de los objetivos y los alcances planteados, se ha propuesto dividir el trabajo en 4 etapas:. . Consulta bibliográfica. Búsqueda, selección y lectura de material bibliográfico relacionado con: tecnologías en uso del IMB-CNM y sensores basados en estructuras resonantes tipo cantilever.. . Simulación y análisis. Partiendo de estructuras previamente fabricadas se realizarán simulaciones y se formulará un modelo mecánico del resonador.. . Caracterización y optimización del diseño. Se realizará la caracterización eléctrica y mecánica de las estructuras previamente fabricadas y en base a estos resultados, proponer alternativas que lleven a mejoras en el rendimiento y a una simplificación del proceso de fabricación.. . Funcionalización, caracterización y análisis del sensor. Esta etapa consiste de: estudio de opciones de capa sensible y su depósito, caracterizar los sensores y analizar resultados.. 1.4. ESTRUCTURA DE LA MEMORIA A continuación en el capítulo 2, se comienza con un resumen de los conceptos más importantes en lo que respecta a la fabricación de MEMS, teoría de resonadores y sensores resonantes, mecanismos de actuación/detección y finalmente se realiza una breve introducción a las herramientas de simulación utilizadas. Seguidamente, el capítulo 3, contiene el diseño, la simulación y el modelado del dispositivo. El capítulo 4. 8.

(23) Capítulo 1: Introducción. explica el proceso de fabricación, los RUNES realizados y las modificaciones e incidencias que tuvieron lugar durante dichos procesos. El capítulo 5 describe la caracterización del resonador y resume los resultados obtenidos. Finalmente en el capítulo 6 se encuentran las conclusiones y líneas de trabajo futuras.. 9.

(24) Capítulo 1: Introducción. 10.

(25) Capítulo 2. MARCO TEÓRICO Con el objetivo de unificar y entender las ideas referentes al contenido de la tesis, el presente capitulo contiene una explicación de los conceptos que serán empleados en su desarrollo. En general trata la terminología y las distintas definiciones necesarias para el tema. Primero se hace una breve introducción a los procesos de fabricación relacionados con los sistemas microelectromecánicos MEMS. Luego se describe el funcionamiento general de un sistema resonante, posteriormente los resonadores mecánicos tipo viga, sus modos de vibración, diferentes mecanismos de disipación de energía, el efecto de la temperatura sobre su desempeño y su aplicación como sensores. A continuación se presentan los diferentes tipos de mecanismos de actuación y detección para sistemas integrados. Y finalmente se realiza una breve introducción a las herramientas de simulación utilizadas en el diseño y modelado del resonador.. 2.1. FABRICACIÓN DE MEMS El término MEMS se refiere a sistemas que integran elementos sensores y/o actuadores, electrónica y cuyas partes tienen unas dimensiones que están dentro del rango de 1mm a 1µm. Los dispositivos MEMS poseen una serie de cualidades destacables: tamaño, peso y consumo de energía pequeños, alta funcionalidad, resolución y robustez. Por todas estas características se tratan de productos de gran interés para la industria. Estructuras MEMS, que integran entre otros: capacitores, microespejos, microcanales, cantilever y diafragmas se han fabricado exitosamente y han sido usadas en la industria en giroscopios, acelerómetros, cabezales de inyección de tinta, sensores de presión, suiches ópticos, displays, plataformas lab-on-chip, etc. [3][6][19][21][25].. 11.

(26) Capítulo 2: Marco teórico. La fabricación de los dispositivos y estructuras MEMS ha adoptado técnicas de la tecnología IC, tales como: los procesos aditivos, la litografía y los procesos sustractivos, que junto con algunas técnicas especificas de micromecanizado tales como: wafer bonding, LIGA (LIthographie Galvansformung Abformung), DRIE (Deep Reactive Ion Etching), etc., permiten crear estructuras tridimensionales. Es aquí donde radica la principal diferencia entre la tecnología IC y los MEMS, mientras que los IC tienden a extenderse en el plano xy y disminuir en el z , en los MEMS las tres dimensiones son comparables. Los procesos aditivos (depósito), litografía y sustractivos (grabado) se ilustran en la Figura 2 [3][26][27][28].. Depósito. Litografía. Grabado. Depósito de resina. Grabado. Depósito de capa Eliminación de la resina Exposición a la luz a través de la máscara. Figura 2. Proceso de depósito, litografía y grabado. Adaptado de [3].. 2.1.1. Procesos aditivos Se denominan procesos aditivos aquellos procesos que añaden material (dióxido de silicio SiO2, nitruro de silicio Si3N4, aluminio, etc.) a la oblea, bien sea de forma. 12.

(27) Capítulo 2: Marco teórico. temporal, como capa sacrificial o definitiva, como capa estructural. Dentro de los procesos aditivos utilizados en este proyecto, se encuentran: la oxidación térmica, el depósito químico en fase de vapor (CVD por su nombre en inglés: Chemical Vapor Deposition), el depósito físico en fase de vapor (PVD por su nombre en inglés: Physical Vapor Deposition) y la implantación iónica [3][27][28][29]. La oxidación térmica, se refiere al crecimiento del dióxido de silicio en obleas de silicio en ambientes húmedos o secos de oxigeno. Se prefiere la oxidación húmeda a la seca para el crecimiento de óxidos gruesos por su tasa de crecimiento mayor, sin embargo ésta produce mayor número de imperfecciones en la interfase del silicio que pueden producir corrientes de fuga. La oxidación térmica es realizada en hornos a temperaturas en el rango de 750ºC a 1200ºC. Esta técnica de depósito presenta una característica, por cada 1µm de óxido crecido, 0,45µm de silicio son consumidos y esto genera un estrés compresivo en la interfase. Además, existe una diferencia entre los valores de los coeficientes de expansión térmica del silicio y el óxido lo que conlleva a añadir más estrés a la interfase una vez ésta regresa a la temperatura ambiente. En la fabricación de cantilevers de silicio, los óxidos delgados hacen que éstos se curven [3][28][30]. Aparte de la oxidación térmica, dos de los métodos más comunes en la formación de capas delgadas en microfabricación son el CVD y el PVD. En un proceso CVD se parte de diferentes gases que al reaccionar entre ellos forman moléculas de la capa que deseamos. En un proceso PVD por lo general se parte de un blanco del material que se quiere depositar y mediante diferentes métodos se consigue evaporar dicho material y depositarlo sobre el sustrato. Existen varias clases de CVD, entre éstos el CVD a baja presión (LPCVD), a presión atmosférica (APCVD) y el activado por plasma (PECVD) [3][28][29]. En este proyecto, se ha utilizado el LPCVD para depositar nitruro de silicio y el óxido internivel. En microfabricación, el nitruro de silicio es comúnmente utilizado como máscara para agentes químicos de grabado tales como el ácido fluorhídrico HF. Un factor limitante es la alta tensión intrínseca el cual está en el orden de 1GPa. Capas con grosores de más de 200nm son propensas a delaminarse o agrietarse. El óxido internivel. 13.

(28) Capítulo 2: Marco teórico. es utilizado como aislante entre capas conductoras, es depositado con LPCVD con BPTEOS (Boron-Phosphorous-Tetra-Ethyl-Ortho-Silicate). El TEOS es un compuesto que a temperatura ambiente se encuentra en fase líquida y su uso está muy generalizado para el depósito del dióxido de silicio, la adición del boro y el fósforo en fase gaseosa mejora significativamente la uniformidad sobre escalones de la capa depositada. Para el LPCVD, la uniformidad, la composición y el estrés de la capa depositada están determinadas por los gases usados, la temperatura de operación y la presión [3][28][30][31]. El dióxido y el nitruro de silicio depositados mediante PECVD son usados como materiales de encapsulado, para la pasivación de dispositivos. El óxido y el nitruro PECVD actúan ambos como aislantes entre capas metalizadas. El nitruro PECVD provee una excelente protección contra los rasguños, sirve como barrera para la humedad y previene difusiones de sodio. Debido a su baja temperatura de deposito, de 300ºC a 350ºC, el nitruro PECVD se puede depositar sin problema sobre la metalización. El nitruro PECVD contiene grandes cantidades de hidrógeno (comparado con el nitruro LPCVD), que se pueden ligar con silicio (Si-H) o nitrógeno (Si-NH). El hidrógeno tiene una importante influencia en la absorción ultravioleta UV, la estabilidad, el estrés mecánico y la conductividad eléctrica. El estrés en las capas de nitruro PECVD es función de la presión, la temperatura, la frecuencia, la potencia y la composición del gas, de esta manera se obtienen rangos de -600MPa (estrés compresivo) a +600MPa (estrés de tensión), si el estrés es compresivo y muy alto puede causar que la oblea se deforme, ahueque y agriete las líneas de aluminio subyacentes. A menudo el estrés cambia dinámicamente cuando la capa es expuesta a la atmósfera, a ciclos de temperatura y a la humedad [3][30]. La técnica PVD más usada para el depósito de capas de metal es el sputtering, y el metal predominantemente usado para las conexiones eléctricas es el aluminio, generalmente se utilizan aleaciones con un pequeño porcentaje de silicio para evitar problemas de formación de picos (spikes) en las tecnologías que no usan siliciuros en los contactos o aleaciones con pequeñas cantidades de cobre que mejoran la resistencia a la electromigración del aluminio. El estrés en las capas de metal es generalmente de. 14.

(29) Capítulo 2: Marco teórico. tensión, su valor depende de la presión en la cámara de sputtering y de la temperatura del sustrato [3][29]. La implantación iónica se encarga de introducir dopantes en el silicio con el objetivo de modificar la conductividad eléctrica del semiconductor. El material sustrato, la oblea de silicio, es bombardeado con un haz de iones cargados y acelerados. Luego de la implantación las obleas de silicio tienen que someterse a un tratamiento térmico, primero para recocer los daños en el cristal causados por el impacto de los iones cargados y segundo para mover los átomos dopantes a espacios sustitutos en el cristal del silicio donde se convertirán en eléctricamente activos. Hay que tener especial cuidado con el daño que se pueda inducir en las superficies de las zonas dopadas especialmente en las zonas que se va a realizar soldadura anódica ya que podrían producirse problemas en la calidad de la soldadura o incluso no llevarse a cabo. La energía y la dosis de implantación determinarán el perfil de dopantes, su concentración y penetración. Una etapa complementaria de algunos procesos aditivos, es el recocido. El recocido se utiliza para mejorar la distribución de las capas y en el caso de las implantaciones, como ya se había mencionado, para activar las impurezas [3][17][28][29].. 2.1.2. Litografía La litografía es la técnica básica para definir la forma de estructuras. Existen varios tipos de litografías: fotolitografía, litografía por microscopio de fuerzas atómicas (AFM por su nombre en inglés: Atomic Force Microscopy), litografía por haz de electrones (EBL por su nombre en inglés: Electron Beam Lithography), litografía por haz focalizado de iones (FIB por su nombre en inglés: Focused Ion Beam), etc. A continuación se detallará la fotolitografía, por ser la utilizada en este trabajo. La fotolitografía utiliza la luz, ultravioleta en este caso, como medio de transparencia. El proceso para definir la geometría es el siguiente: la superficie de la oblea se cubre con una capa fotosensible llamada fotorresina, que al ser expuesta a la luz a través de una máscara patrón en un sistema fotográfico, cambia sus propiedades químicas de forma que se puede eliminar mediante un revelador químico o un reactivo, de modo que el. 15.

(30) Capítulo 2: Marco teórico. patrón de la máscara se transfiera a la superficie de la oblea. Los motivos resultantes son usados como máscara para el grabado de la capa que hay debajo, o para el depósito selectivo de determinadas capas. Actualmente se utilizan dos tipos de fotorresina: positiva y negativa; en la positiva la zona expuesta a la luz es eliminada durante el revelado; por el contrario en la negativa la parte no insolada se elimina con el revelado. Con este tipo de litografía se pueden obtener resoluciones de alrededor de 1µm. Algunos de los aspectos importantes a tener en cuenta en los procesos litográficos son: el diseño de los motivos de alineamiento de las máscaras para realizar la correcta transferencia de patrones y los posibles daños que se pudieran dar en las máscaras durante el proceso de exposición. [3][21][28][29].. 2.1.3. Procesos sustractivos Por proceso sustractivo se entiende la eliminación total o parcial de una capa de forma selectiva con el objetivo de imprimir un diseño dado en dicha capa. El proceso se compone del reactivo: sustancia capaz de atacar la capa, y producto: sustancia obtenida después del proceso. La interacción entre el reactivo y la capa que da lugar al proceso sustractivo se llama reacción de ataque. Existen dos tipos procesos sustractivos: el grabado húmedo y el grabado seco. Ambos métodos pueden ser isótropos, es decir que proveen la misma tasa de grabado en todas las direcciones, o anisótropos, que proveen diferentes tasas de grabado en diferentes direcciones. El criterio de selección de un método u otro depende de: la tasa de grabado del material, la selectividad al material a ser grabado que se refiera a como una capa se graba más rápido que otra bajo las mismas condiciones de grabado y la isotropía/anisotropía del proceso de grabado [3][21][27][29]. En los grabados húmedos el reactivo es líquido y el producto será soluble en medio líquido y el grabado se realiza mediante una reacción química del reactivo con la capa a atacar. El ataque se puede parar por tiempo o al llegar a una capa que se graba a una velocidad mucho más baja que la de la capa a grabar (ataque selectivo). El grabado húmedo es intrínsecamente isótropo, salvo que el material a grabar presentes distintas velocidades de grabado según la dirección, como es el caso del grabado del silicio en el. 16.

(31) Capítulo 2: Marco teórico. hidróxido de potasio KOH. El control vertical del grabado es generalmente mas difícil en los grabados húmedos que en los secos. Esto se debe a que muchos reactivos químicos cambian sus propiedades tras las reacciones de ataque, el paso del tiempo o con variaciones de temperatura. Así en algunas ocasiones no es demasiado exacto controlar la profundidad de grabado con el tiempo de ataque. Por esta razón es frecuente utilizar una capa de una sustancia a la que el ataque sea selectivo para que pare el ataque. Por ejemplo al atacar el silicio, puede utilizarse dióxido de silicio o nitruro de silicio como capas para detener el ataque. Dentro de las dificultades del grabado isótropo se encuentran que la solución grabante es sensible a la agitación y a la temperatura [3][21]. Para el grabado húmedo anisotrópico del silicio, se utiliza regularmente hidróxido de potasio KOH e hidróxido de tetramethylammonium TMAH. Estos grabantes comparten propiedades: la tasa de grabado depende del plano cristalino y selectivamente graban silicio tipo n y ligeramente dopado tipo p en comparación con el silicio altamente dopado tipo p. Esta propiedad se utiliza para crear capas para detener el grabado. La disolución de KOH en agua provoca un grabado del silicio selectivo a los planos cristalinos, en particular en una oblea (100) de silicio, graba más rápido los planos <100> y <110>, en cambio graba más lento los planos <111>. Las condiciones de grabado. estándar. del. IMB-CNM. presentan. un. alto. valor. de. anisotropía. <100>:<111>=400:1 para una solución al 40% en KOH a 75ºC. Por lo tanto, este grabado es un buen candidato en la formación de membranas y voladizos. Esta propiedad es la que determina las paredes inclinadas características con pendientes próximas a los 55º. Para el KOH se puede usar de máscara nitruro de silicio o carburo de silicio. Otra consideración práctica es que el KOH es corrosivo y por lo tanto produce daños en metales tales como el aluminio. La rugosidad de la superficie también dependerá del grabante utilizado, por ejemplo para una solución al 30% en KOH a 70ºC, la rugosidad media de la superficie en el plano <100> es en el orden de los pocos nanómetros después de grabar ∼200µm [3][17][21]. Los grabados secos, son los que no tienen lugar en medio líquido. El grabado seco permite obtener un mayor control de las dimensiones y la anisotropía que las técnicas de grabado húmedo, aunque estas técnicas pueden dañar la superficie: modificando las. 17.

(32) Capítulo 2: Marco teórico. características eléctricas o modificando la estructura cristalina. Las principales técnicas de grabado en seco son el grabado por plasma y el grabado por haz de iones. En este trabajo se detallará únicamente el grabado por plasma [21]. En el grabado por plasma, se produce una descarga del plasma en un gas a baja presión, el cual genera iones libres que reaccionan con el sustrato. La mayoría de grabados secos son una combinación de grabado químico y físico. Los procesos químicos proveen una buena selectividad y perfiles isótropos, pero los físicos tienen baja selectividad e inducen daños debido al bombardeo de iones. Sin embargo los procesos físicos proveen perfiles anisótropos que son extremadamente importantes Un ejemplo de ataque por plasma es el ataque por iones reactivos (RIE por su nombre en inglés: Reactive Ion Etching) [3][21]. El grabado por iones reactivos RIE, es el grabado por plasma más usado, dicho grabado permite la utilización de gases reactivos y no reactivos. En un RIE, los iones reactivos son generados en un plasma y acelerados hacía la superficie a ser grabada. Iones con energías más altas resultan en un grabado más anisotrópico, pero también conlleva a reducir la selectividad del grabado. Tras el ataque en general no es necesario ningún tipo de postproceso, salvo la eliminación de las capas utilizadas como máscaras [21][29]. Las variaciones en el proceso de grabado son la diferencia entre el grabado nominal y el grabado actual y puede ser positivo (over-etch) o negativo (under-etch). Estas variaciones producen cambios en las dimensiones de los componentes a fabricar. Algunas de las razones que pueden causar estas variaciones son: fluctuaciones en la temperatura y la concentración de los reactivos [3][21][29].. 2.1.4. Silicio Existen diversos materiales estructurales utilizados en la fabricación de MEMS, entre éstos se encuentran: silicio, vidrio, cerámicos, polímeros, etc. Sin embargo el material más utilizado es el silicio, esto se debe a que dicho material es económico, está ampliamente caracterizado, es altamente disponible y existen una gran variedad de. 18.

(33) Capítulo 2: Marco teórico. técnicas y herramientas de procesamiento. Dado que todos los sensores tienen como objetivo convertir una señal física en una señal eléctrica, el silicio por sus propiedades eléctricas permite la integración de toda o parte de la circuitería. Todo esto, junto con sus excelentes propiedades mecánicas, hace del silicio un candidato aventajado como material estructural en la fabricación de dispositivos sensores. La Tabla 1 contiene algunas de las principales propiedades del silicio con respecto a otros materiales, se utiliza el acero inoxidable como referencia, debido a su amplio uso en la fabricación de transductores mecánicos tradicionales [3][19][27].. Tabla 1. Propiedades del silicio y otros materiales [3].. Propiedad. Si. Modulo de Young (GPa) Coeficiente de Poisson Densidad (g/cm3) Resistencia del material (GPa) Conductividad térmica a 300ºK (W/m×ºK) Punto de fusión (°K). 160 0,22 2330 7 148 1687. Acero inoxidable 200 0,3 8000 3 20 1773. Al. Cuarzo. 70 0,33 2700 0,17 237 933. 107 0,16 2600 9 1,5 1873. 2.2. TEORÍA DE RESONADORES 2.2.1. Conceptos Un resonador se puede definir como un sistema que al ser excitado por un impulso de señal δ τ = δ (t − τ ) , responde con una señal sinusoidal y(t ) cuya amplitud de vibración es mayor a ciertas frecuencias. Dichas frecuencias son conocidas como frecuencias de resonancia f res . En el caso en que un sistema reciba un único impulso y oscile libremente, recibe el nombre de oscilación libre, de lo contrario cuando el sistema se le aplica una fuerza periódica y de magnitud constante recibe el nombre de oscilación forzada. Si la oscilación libre no es perturbada y no existe disipación de energía, el sistema seguirá vibrando indefinidamente, esto es lo que se conoce como oscilación libre sin amortiguamiento. Sin embargo, la naturaleza está llena de fuentes de amortiguamiento, las cuales restan cada vez más energía al movimiento del sistema. 19.

(34) Capítulo 2: Marco teórico. oscilante, produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilación libre amortiguada [22][31][32][33][34].. δ(t-τ). Resonador. Amplitud. Amplitud. 1 0. -1. τ x Tiempo. 0. 5E- 06. 0,00001 1,5E- 05 0,00002 2,5E-05 0,00003 3,5E-05 0,00004. 1/fres. 2/fres. 3/fres. Tiempo Oscilación libre sin amortiguamiento Oscilación libre con amortiguamiento Figura 3. Respuesta del resonador a un impulso unitario.. El sistema físico ideal que mejor describe un sistema de oscilación libre sin amortiguamiento es el modelo masa-muelle, como el de la Figura 4. Este sistema está definido por una masa efectiva meff , que se refiere a la fracción de la masa total del resonador que está involucrada en su movimiento, que se mueve en la dirección y con pequeñas deflexiones y que está sujeta a un muelle de constante elástica k que genera una fuerza de recuperación proporcional a su elongación. Este modelo sirve para identificar, las dos características esenciales de los movimientos oscilantes: meff una componente inercial, capaz de almacenar energía cinética y k una componente elástica, capaz de almacenar energía potencial elástica. Así el muelle no tiene masa y por tanto no puede contribuir a la energía cinética y la masa no se flexiona ni deforma de modo que no puede contribuir a la energía potencial. Esta es la aproximación que será considerada más adelante para analizar el comportamiento de los cantilevers, que existe una masa efectiva concentrada en el extremo libre de la viga que almacena energía cinética mientras que parte de la estructura actúa de muelle almacenando energía potencial [6][14][19][20][33].. 20.

(35) Capítulo 2: Marco teórico. k. meff. x. y Figura 4. Diagrama del sistema masa-muelle.. El sistema de oscilación libre sin amortiguamiento está descrito por la siguiente ecuación:. meff. d 2 y(t ) ± ky(t ) = 0 dt 2. Ecuación 1. Donde:. y (t ) = El desplazamiento en el eje vertical en función del tiempo m eff = La masa efectiva k = La constante del muelle. La solución general para la Ecuación 1 tiene la forma y(t ) = y 0 sin( 2πft + θ ) . Donde y 0 es la amplitud y θ es la fase. Resolviendo la Ecuación 1, se obtiene el valor de la frecuencia de resonancia:. f res =. 1 2π. k meff. Ecuación 2. El oscilador libre supone que el sistema es capaz de convertir la energía cinética en energía potencial sin que haya pérdidas y esto no es real, pues parte de dicha energía se. 21.

(36) Capítulo 2: Marco teórico. pierde en cada ciclo en distintas formas que se detallarán más adelante (ítem 2.2.4). Todas estas pérdidas de energía, que constituyen el amortiguamiento, se traducen en una disminución de la amplitud de la señal a cada ciclo. En este sentido, ahora se considerará el efecto del amortiguamiento en un sistema que se ha sometido a una fuerza de excitación, para esto el diagrama de la Figura 4 es modificado para incluir los elementos de amortiguación y de excitación [6][20][31][35][36][37].. k. D. meff. x. F(t). y. Figura 5. Diagrama del sistema masa-muelle incluyendo excitación y amortiguamiento.. En este caso el movimiento del sistema se puede describir con la siguiente ecuación:. meff. d 2 y(t ) dy(t ) +D ± ky(t ) = F (t ) 2 dt dt. Ecuación 3. Donde:. D = El coeficiente de la fuerza de amortiguamiento. F (t ) = La fuerza de excitación, que tiene la forma F (t ) = F0 sin( 2πft ) La solución general de estado estacionario para la Ecuación 3 tiene la forma y(t ) = y 0 sin( 2πft + θ ) , insertando ésta en la Ecuación 3, se obtienen expresiones para. la amplitud y la fase respectivamente:. 22.

(37) Capítulo 2: Marco teórico. F0 meff. y0 =.  k  − 4π 2 f m  eff. θ = tan −1. 2.   D 2 + 4π 2   m   eff. Ecuación 4. 2.   f  . 2.  D  f 2π  m   eff  k − 4π 2 f 2 meff. Ecuación 5. La Ecuación 4 alcanza su máximo valor cuando la frecuencia de la fuerza de excitación se acerca a la frecuencia de resonancia de la estructura:. f res =. 1 2π. k D2 − 2 meff 2meff. Ecuación 6. Otro parámetro importante para los osciladores, es el factor de calidad. El factor de calidad Q es un parámetro que mide la relación entre la máxima energía de la vibración almacenada y la energía total disipada por ciclo de oscilación:. Q = 2π. W0 ∆W. Ecuación 7. Donde: W0 = La máxima energía de la vibración almacenada ∆W = Energía total disipada por ciclo de oscilación. La expresión para el factor de calidad para un sistema forzado con amortiguamiento está dada por:. 23.

(38) Capítulo 2: Marco teórico. k meff Q= D meff. Ecuación 8. En la práctica, el factor de calidad se puede extraer de la respuesta en frecuencia. El factor de calidad total también se puede definir como la agudeza de la magnitud de la respuesta en frecuencia, más específicamente se calcula como la frecuencia de resonancia ( f res ) dividida por el ancho de banda de -3dB ( ∆f −3dB ) o punto de media potencia o también se puede calcular de la variación de la fase [20][21][24][38].. Q=. f res f f dθ = 0 = 0 ∆f −3dB f 2− f1 2 df. Ecuación 9. Desplazamiento ´. 1,2 1. 0,8. Ancho de banda de -3dB. 0,6 0,4 0,2 0 f1 f0 f2. Frecuencia Figura 6. Curva de resonancia.. Como se puede observar en la Ecuación 8, el factor de calidad tiene una enorme dependencia con el factor de amortiguamiento. Los efectos del amortiguamiento en la frecuencia y fase se ilustran en la Figura 7.. 24.

(39) Desplazamiento normalizado1. Capítulo 2: Marco teórico. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,99. 0,995. 1. 1,005. 1,01. Frecuencia normalizada a f 0. Fase (Grados). 200 150 100 50 0 0,99. 0,995. 1. 1,005. 1,01. Frecuencia normalizada a f 0 Q=1000. Q=500. Q=250. Q=100. Figura 7. Efecto del amortiguamiento en la frecuencia de resonancia y fase.. Un factor de calidad alto corresponde a un pico de resonancia alto y estrecho. Una curva de resonancia pronunciada, es distinguible fácilmente de la oscilación fuera de resonancia. Para aplicaciones de sensores, el cambio de la frecuencia de resonancia se puede determinar mas precisamente si el resonador posee un factor de calidad alto permitiendo de esta manera una mayor sensibilidad [14].. 25.

(40) Capítulo 2: Marco teórico. 2.2.2. Resonadores mecánicos tipo viga o cantilever Para el presente trabajo se considerará una viga en voladizo como una estructura en forma de barra de largo l , ancho w y grosor h , sujeta por un solo extremo como la que ilustra la Figura 8.. y w l z x h. k. ∆y meff Figura 8. Diagrama de la estructura de un voladizo simple.. Como se había mencionado anteriormente, una viga resonando puede ser equiparada a una masa indeformable meff oscilando con amplitud ∆y ligada a un muelle sin masa y constante de recuperación k. Dicha constante k es un valor que relaciona la transferencia de energía entre el muelle (energía potencial) y la masa efectiva meff (energía cinética), para una distancia conocida. Para un resonador tipo viga oscilando en modo flexión a lo largo del eje y , la constate del muelle se puede calcular empleando la ley de Hook (Ecuación 10), la cual establece que al aplicar una fuerza externa al muelle, éste se elonga generando una fuerza de reacción (recuperación) proporcional a dicha elongación, hasta que ambas fuerzas sean iguales [6][14][19][20][39]:. 26.

(41) Capítulo 2: Marco teórico. Fext = FHook = k ⋅ ∆y ⇒ k =. Fext ∆y. Ecuación 10. Donde: Fext = La fuerza de excitación aplicada a la masa efectiva. ∆y = El desplazamiento (elongación del muelle) en el eje vertical como resultado de la anterior fuerza. Si, de forma equivalente, aplicamos una fuerza Fext en el extremo de una simple viga en voladizo, se curvará. Teniendo en cuenta que la ecuación general de la curva elástica está dada por [6][14][19][20][39]:. d2y Mx = EI dx 2. Ecuación 11. Donde: M x = El momento actuado a través del cantilever. E = El modulo de elasticidad de Young del material I = El momento de inercial del área para una viga uniforme de sección transversal rectangular El momento actuado a través del cantilever está expresado por:. M x = Fext (l − x ). Ecuación 12. El momento de inercial del área para una viga uniforme de sección transversal rectangular está dado por:. 27.

(42) Capítulo 2: Marco teórico. wh3 I= 12. Ecuación 13. Insertando la Ecuación 12 en la Ecuación 11 e integrando dos veces, se obtiene la Ecuación 14 y la Ecuación 15:. dy Fext  x2   lx −  + C1 = dx EI  2 . y=. Fext EI. Ecuación 14.  x2 x3   l −  + C1 x + C 2 2 6  . Ecuación 15. Las condiciones de contorno de una viga en voladizo:. y (0) = 0;. dy ( 0) = 0 dx. Ecuación 16. Teniendo en cuenta las condiciones de la Ecuación 16 en la Ecuación 14 y la Ecuación 15, se obtienen los valores de las constantes C1 = C 2 = 0 , obteniendo:. dy Fext (2lx − x 2 ) = dx 2 EI. Ecuación 17. Fext (3lx 2 − x 3 ) 6 EI. Ecuación 18. y=. Ahora se resuelve la Ecuación 18 para x = l :. 28.

(43) Capítulo 2: Marco teórico. y max. (. ). F Fl 3 3 3 = 3l − l = 6 EI 3EI. Ecuación 19. Reemplazando el momento de inercia de una viga en voladizo Ecuación 13 en la Ecuación 19, y a su vez este valor en la Ecuación 10 se obtiene la expresión para la constante del muelle de un cantilever simple k C :. kC =. Ewh 3 4l 3. Ecuación 20. La masa efectiva, como se había mencionando en el apartado de conceptos del presente capitulo, se refiere a la fracción de masa del resonador que está involucrada en el movimiento, por lo tanto para calcularla se utiliza la ecuación básica de energía cinética [6][14][20][31][40][41][42]:. WK =. 1 meff v 2 2. Ecuación 21. Donde:. v = La velocidad del cuerpo La Ecuación 21 también puede expresarse como:. 2. 1  dy  W K = ∫   ρAdx 2  dt . Ecuación 22. Donde:. ρ = La densidad del material A = El área de la sección transversal de la viga, w × h. 29.

(44) Capítulo 2: Marco teórico. Para determinar el valor de. dy , se empieza dividiendo la Ecuación 18 entre la Ecuación dt. 19:. y y max. =. 3lx 2 − x 3 2l 2. Ecuación 23. Rescribiendo la Ecuación 23, se obtiene:. y = y max. 3lx 2 − x 3 2l 2. Ecuación 24. Derivando la Ecuación 24 con respecto al tiempo:. dy dy max 3lx 2 − x 3 = dt dt 2l 2. Ecuación 25. Reemplazando la Ecuación 25 en la Ecuación 22 y aplicando los límites de integración:. 2. 2  3lx 2 − x 3  1 dy max   ρwhdx WK = ∫ 2 dt  2l 2  0 l. Ecuación 26. Resolviendo la Ecuación 26:. WK =. 2 1  33  dy ρwhl  max  2  140  dt. Ecuación 27. La Ecuación 27 tiene la misma forma que la ecuación general de energía cinética Ecuación 21, por lo tanto la masa efectiva de un cantilever simple es la cantidad contenida entre paréntesis:. 30.

(45) Capítulo 2: Marco teórico. mCeff =. 33 33 ρwhl = m 140 140. Ecuación 28. Donde: m = La masa total de la viga, ρwhl. Haciendo uso de la Ecuación 2, y reemplazando en ella la Ecuación 20 y la Ecuación 28, se obtiene la frecuencia de resonancia de un cantilever simple oscilando en el primer modo de flexión.. f res =. 3,5 2πl 2. EI ρA. Ecuación 29. 2.2.3. Modos de vibración Para determinar los modos de vibración del cantilever, se hace uso de la teoría de EulerBernoulli. Para una estructura isotrópica, homogénea y uniforme, el desplazamiento vertical libre y ( x, t ) o ecuación de movimiento de la viga sin amortiguamiento, obedece a la siguiente ecuación diferencial Ecuación 30, que es formulada aplicando la segunda ley de Newton a cada sección transversal de la viga y asumiendo pequeños desplazamientos [6][14][20][31][39][43][44]:. ρA. ∂ 2 y ( x, t ) ∂ 2 ∂ 2 y ( x, t ) + EI =0 ∂t 2 ∂x 2 ∂x 2. Ecuación 30. Para hallar la solución a la ecuación de movimiento y determinar la frecuencia de resonancia de la viga, se aplica el método de las transformadas de Fourier a la Ecuación 30, obteniendo una solución del tipo:. (. ). (. ). (. ). (. Y ( x , ω ) = C1 sin xζ ω + C 2 cos xζ ω + C 3 sinh xζ ω + C 4 cosh xζ ω. 31. ). Ecuación 31.

(46) Capítulo 2: Marco teórico. Donde:. ω = 2πf ζ =4. ρA EI. C1 , C2 , C3 , C4 , son constantes reales, que se determinan con las condiciones de contorno. Para una viga en voladizo, cuyo lado anclado ( x = 0) no tiene ningún desplazamiento y cuyo lado libre ( x = l ) no está sometido a ningún momento de flexión, las condiciones de contorno están dadas por las siguientes ecuaciones:. Y (0, ω ) = 0;. dY d 2Y d 3Y l (0, ω ) = 0; ( , ω ) = 0 ; (l , ω ) = 0 dx dx 2 dx 3. Ecuación 32. De las dos primeras condiciones de contorno, se obtiene: C2 = C4 y C1 = −C3 , reduciendo la Ecuación 31 a:. (. ). (. ). 2 + 2 cos lζ ω cosh lζ ω =0 sin lζ ω − sinh lζ ω. (. ). (. ). Ecuación 33. (. ). (. ). Para encontrar una solución no trivial, se hace cos lζ ω cosh lζ ω = −1 . Esta ecuación no tiene solución analítica, pero puede resolverse por método numéricos usando la siguiente substitución:. β = lζ ω. Ecuación 34. Denominando β i a los valores que cumplen la condición cos(β i )cosh (β i ) = −1 , se obtiene:. 32.

(47) Capítulo 2: Marco teórico. ωi =. β i2 l. 2. EI ρA. Ecuación 35. Los valores de β i2 para una viga en voladizo, se encuentran en la Tabla 2. Donde i se refiere a la i -ésima solución y ω i es la frecuencia de resonancia angular correspondiente al i -ésimo modo de vibración [14][20][45].. Tabla 2. Solución de la ecuación de movimiento para una viga en voladizo.. i. β. 2 i. 0 3,516. 1 22,034. 2 61,701. n ((2n − 1)π 2)2 , para n>2. Reemplazando el momento de inercia y despejando f res _ i , se obtiene:. f res _ i =. β i2 h 2 2π 12 l. E. Ecuación 36. ρ. Todo sistema mecánico posee los llamados modos de vibración. Cuando un modo normal de vibración es excitado, todas las partes del sistema oscilan a la misma frecuencia. La amplitud de vibración varía a través de la viga como se ilustra en la Figura 9 para cada uno de los tres primeros modos (Ecuación 31). En el modo 1, todos los puntos de la viga se mueven con excepción del anclaje. En el modo 2 hay un punto estacionario o nodo aparte del anclaje (en x / l = 0 ,784 ). En el modo 3 hay dos nodos y así sucesivamente.. 33.

(48) Capítulo 2: Marco teórico. Magnitud normalizadas. 1. Modo 1 0. Modo 2 Modo 3. -1 0,00. 0,20. 0,40. 0,60. 0,80. 1,00. x/l. Figura 9. Modos de vibración normalizados para una viga simple en voladizo.. 2.2.4. Mecanismos de disipación de energía En esta sección se describirán algunos de los principales mecanismos de disipación de energía para vigas en voladizo. El análisis de estos mecanismos es de suma importancia para dispositivos resonantes con alto Q . Por el principio de conservación de la energía, si la amplitud del desplazamiento del resonador disminuye, la energía está siendo disipada por dichos mecanismos. De esta manera el factor de calidad total se determina por la contribución individual de cada uno de los factores de calidad de los diferentes mecanismos de disipación de energía (Ecuación 37), por lo tanto el Q de un microresonador puede mejorarse minimizando las diferentes pérdidas de energía [14][20][24][46].. 1 1 =∑ Q n Qn. Ecuación 37. Esta relación nos indica que el factor de calidad total estará limitado por el factor de calidad más bajo. Existen varios tipos de mecanismos de disipación de energía, este trabajo se explican los tres más relevantes: Amortiguamiento por radiación en el. 34.

(49) Capítulo 2: Marco teórico. anclaje, amortiguamiento del aire y amortiguamiento por disipación termoelástica [8][10][24][47][48][49][50].. 2.2.4.1 Amortiguamiento por radiación en el soporte El amortiguamiento por radiación en el anclaje se origina por el hecho que la energía puede ser disipada por el resonador a la estructura de soporte a causa de posibles deformaciones locales y deslizamientos. Una aproximación para calcular el factor de calidad por amortiguamiento en el soporte en una viga resonando en el primer modo de vibración, es la siguiente [51][52]:. l Qanclaje ≈ 2 ,17  h. 3. Ecuación 38. Cuando la razón entre la longitud y al grosor de la viga es alrededor de l h ≈ 50 , el factor de calidad debido a las perdidas en el soporte será > 2 ,5 × 10 5 . Este valor es dos órdenes de magnitud mayor que los valores experimentalmente medidos. Por lo tanto se puede concluir que este tipo de perdidas no limita el factor de calidad de los cantilever resonando en el primer modo de vibración. Las pérdidas por radiación en el soporte son dominantes para resonadores con una razón l h < 10 (ver Figura 10) [24][52].. Es posible incrementar la rigidez del soporte, pero las perdidas de energía se reducen optimizando el diseño. Olkhovets et al [53] demostraron que una columna doble con un soporte flexible mejora el factor de calidad en aproximadamente 30% comparado con un cantilever simple.. 35.

(50) Capítulo 2: Marco teórico. 300000. Factor de calidad. 250000 200000 150000 100000 50000 0 10. 20. 30. 40. 50. l/h Figura 10. Amortiguamiento por radiación en el soporte: Factor de calidad vs. l/h.. 2.2.4.2 Amortiguamiento del aire El amortiguamiento por aire se da por la transferencia de energía mecánica entre la estructura en movimiento y el gas circundante. Las pérdidas por amortiguamiento del aire se pueden dividir en tres regiones: intrínseca, molecular y viscosa. En la región intrínseca la presión del aire es tan baja que el amortiguamiento debido a la fricción del aire no es una fuente significante de pérdidas de energía. En esta región el factor de calidad y la frecuencia de resonancia son independientes de la presión del aire [11][14][47][49][53][54]. En la segunda región, la región molecular o la región Knudsen el amortiguamiento es causado por colisiones independientes de las moléculas de aire con la superficie del resonador. y. el. factor. de. calidad. está. dado. por. la. siguiente. ecuación. [11][14][47][49][54][55]: Qaire =. ω 0 hρ 9πTR g P. Ecuación 39. 32 M m. Donde:. P = La presión del gas. 36.

(51) Capítulo 2: Marco teórico. R g = La constante de los gases. R g = 8,314 J / mol×º K. T = La temperatura. T = 300º K M m = El peso molecular del gas. Para M m _ aire ≈ 0 ,029 Kg / mol. En la tercera región, que abarca la presiones cercanas a la atmosférica (101kPa) y superiores, el gas actúa como un fluido viscoso. Asumiendo que el aire es incomprensible (es decir que la velocidad de la viga vibrante es siempre mucho menor que la velocidad del sonido en el medio) y que el número de Reynolds es pequeño (es decir que no hay turbulencias), la fuerza en la superficie puede calcularse usando la ecuación de Navier-Stokes. El cantilever será aproximado a una columna de esferas vibrando. independientemente. que. tendrán. un. factor. de. calidad. igual. a. [11][14][47][49][54][55]:. Qaire =. ρwhl    r 6πνr 1 + ν   πρ a f 0 .       . ω0 Ecuación 40. Donde:. ν = La viscosidad del aire. ν = 0 ,000018kg /( m × s ) a 300ºK r = El radio de la esfera, que puede aproximarse a r =. wl. π. ρ a = La densidad del aire La densidad del aire se calcula con la fórmula CIPM-1981/91 del comité internacional de pesos y medidas [56]. Por ejemplo, a presión atmosférica ρ a = 1,16 Kg / m 3 . La Figura 11 ilustra la variación del factor de calidad de un cantilever simple de dimensiones l = 400µm , w = 64µm y h = 15µm con respecto a la presión atmosférica.. 37.