2 MODELO DE INTERFASE LINEAL ELÁSTICO

(1)

7

2 M

ODELO DE INTERFASE LINEAL ELÁSTICO

FRÁGIL

(LEBIM)

l comportamiento de la interfase ha sido modelado como una distribución de muelles que conectan la matriz con la fibra. Este comportamiento ha sido utilizado en muchas ocasiones [9,13, 21] para modelar capas de adhesivos de pequeño espesor. En los artículos este comportamiento para adhesivos ha sido llamado como “weak interfase”, “imperfect interfase” o “elastic interfase”. Su extrapolación para modelar el comportamiento de una interfase fue llevada por el Grupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales de la Universidad de Sevilla, concretamente por Luis Távara y colaboradores [36] y denominaron este modelo de interfase como “Linear Elastic Brittle Interfase Model” (LEBIM). Una de las ventajas de este modelo es que modela de una forma sencilla la propagación de la rotura a través de la interfase, si lo comparamos con otros modelos de interfase más complejos como son los modelos cohesivos. Otra característica que tiene este modelo, si lo comparamos con los modelos cohesivos es que su comportamiento es frágil a diferencia de los modelos cohesivos.

En este capítulo se describirá en primer lugar el comportamiento lineal de la interfase, y en segundo lugar el criterio de fallo de la interfase.

2.1 Comportamiento de la interfase

La interfase no dañada se puede modelar como una distribución continua de muelles, al ser este modelo muy utilizado en el modelado de capas finas de adhesivos, se describirá en primer lugar este modelo para el caso de una capa muy fina de adhesivo y posteriormente particularizaremos para el caso de la interfase.

En primer lugar deberemos de relacionar las propiedades de los muelles que modelan el adhesivo, con las propiedades elásticas de este. Siendo las propiedades elásticas del adhesivo sin dañar: Módulo de Young El, coeficiente de Poisson νl, parámetro de Lamé λl, modulo a cortadura μl.

Propiedades elásticas Módulo de Young l

E

Coeficiente de Poisson l



Parámetro de Lame l



Módulo a cortadura l



Tabla 2-1 Nomenclatura de las propiedades de la interfase.

E

(2)

Modelo de interfase lineal elástico frágil (LEBIM) 8

Teniendo en cuenta que lo que estamos buscando es una relación entre la tensión normal y el desplazamiento relativo normal (σ-δn), y entre las tensiones tangenciales y los desplazamientos relativos asociados a esta tensión (τ-δt), buscaremos obtener los valores de las rigideces de los muelles (kn,kt).

Para obtener esta relación consideraremos una porción prismatica de adhesivo, de sección Lxw y altura h, bajo las acciones de tanto tensiones normales y tangenciales. En la Figura 2-1 podemos ver un esquema de lo descrito anteriormente, donde σ= σ11 y τ= σ12.

Figura 2-1 Porción de un material con el comportamiento LEBIM ante unas tensiones normales (a) y ante unas tensiones tangenciales (b).

La relación existente entre tensiones y deformaciones puede ser expresada como:

11 11 11 12 12 12

donde

2 donde

2

n l t l

E

h











 





(2.1)

Donde δn y δt son los desplazamientos relativos normales y tangenciales entre la superficie superior e inferior del adhesivo. Por lo que utilizando estas expresiones es fácil obtener las leyes constitutivas del modelo de muelles distribuidos en la zona del adhesivo.

,

donde

l n n n

E

k

h









(2.2)

,

donde

l t t t

k

h











(2.3)

Si el cubo de adhesivo mostrado anteriormente esta libre (es decir sin unir dos o más cuerpos) y se somete a una carga de tracción o compresión en la dirección 1, es lógico que este sea libre de expandirse en las direcciones 2 y 3 por efecto Poisson. Sin embargo cuando consideramos una capa de adhesivo de pequeño espesor uniendo dos sólidos elásticos, y cuya rigidez es menor que la rigidez total de cada uno de los sólidos, el comportamiento mecánico del adhesivo cambia. Esto es debido a que se puedo considerar que la condición de contorno entre el adhesivo y un sólido elástico impide los desplazamientos en las direcciones 2 y 3, por los que las deformaciones ε22 y ε33 son nulas. Por lo que, si consideramos un caso de deformación plana, la relación entre las tensiones normales y tangenciales pueden expresarse como:





_

_

11 11 11

'

2

1 '

l l

E



 













(2.4)

(3)

9 Donde

E

'

_l



E

_l



1 



_l2



y



'

_l





_l



1 



_l



. Teniendo en cuenta las ecuaciones (2.4) el valor de kn puede ser expresado como:



2











1 2 ' 1 1 2 1 ' l l l l l n l l l E E k h h h



 



        (2.5)

En el caso del valor de

k

_t, este sigue siendo el mismo que en (2.3), ya que no existe efecto asociado a las tensiones tangenciales. De las ecuaciones (2.5) y (2.3) se observa que la relación entre kn/kt es:





2 1

2

1 '

1 2

l n l t l l l

k



 













(2.6)

Lo que implica que la relación entre estos valores estará entre 2 ≤ kn/kt ≤∞. También se puede considerar la inversa de la relación anterior, y de esta forma obtener una relación de valores de rigideces acotado.





1 2

2 1

t l n l

k









(2.7)

Donde ahora el conjunto de valores de la relación es 0 ≤ kt/kn <0.5, en la gráfica de la Figura 2-2 podemos observar la relación entre kt/kn y νl.

Figura 2-2 Relación entre kt/kn y νl.

Ahora pasaremos a explicar las particularidades de este modelo en el caso de una interfase fibra-matriz. Si suponemos una fibra perfectamente circular, la interfase con este modelo sería una distribución continua de muelles cuya dirección 1 coincidiría en este caso con la dirección radial de la fibra, y la dirección 2 será la dirección acimutal. Por lo que el análisis de la rigideces de los muelles es igual a la realizada para el caso de una capa fina de adhesivo pero teniendo en cuenta que la rigidez en la dirección radial es igual a la obtenida anteriormente en la dirección normal. Y que la rigidez tangencial en ambos casos tiene la misma expresión.

(4)

2.2 Criterio de fallo de la interfase

En este criterio de fallo la rotura de la interfase es modelada como una caída abrupta de las tensiones. Las ecuaciones que describen el comportamiento de la interfase sin dañar y la interfase dañada son:

 





 





 

_{ }

 

_{ }

 

( ) y Interfase no dañada ( ) 0 0 Interfase rota 0 0 n n n nc G t t t tc G n n n n x k x x x x k x x x x x k x x x





 





 









        _      _  _    (2.8)

Donde σ(x) y τ(x) son las tensiones normales y tangenciales respectivamente, δn y δt son los desplazamientos normales y tangenciales entre puntos opuestos de la interfase, cuando la interfase está rota estos desplazamientos son iguales a la apertura entre los labios de la grieta. kt y kn son las rigideces normal y tangencial de la distribución de muelles.

Un hecho a resaltar es que todas las variables críticas son función del ángulo de mixticidad del modo de fractura ψG en el punto de la interfase. Por lo que se podría obtener diferentes valores de estas variables criticas dependiendo del punto de la interfase en que nos encontremos. Esta variable, ψG, será descrita más adelante. El comportamiento descrito en las ecuaciones (2.8) es que cuando el desplazamiento en “un muelle” alcanza cualquiera de los desplazamientos críticos, la rigidez tangencial de este muelle pasa a ser cero, y por lo tanto el valor de la tensión tangencial también.

Si ahora analizamos el comportamiento en la dirección normal, si las tensiones son de tracción, el comportamiento es equivalente al tangencial descrito anteriormente. En cambio si a “un muelle roto” de la interfase se le somete a compresión estando ya roto este sigue teniendo rigidez, es decir, se está utilizando una condición de contacto sin rozamiento (tipo penalti). El uso de esta condición de contacto está basada en la idea de que una vez rota la interfase, parece razonable pensar que esta se puede comprimir con la misma rigidez en la dirección radial (normal si es una capa de adhesivo) que antes de la rotura.

Este modelo representa una aproximación simple a la realidad, ya que muchos materiales presentan una rama ablandamiento o “softening branch” en la ley de comportamiento, una vez alcanzada las tensiones máximas. Este comportamiento puede afectar a la energía disipada en la rotura. Pero el parámetro que realmente es importante en estos tipos de modelos es la energía crítica de rotura. Así diferentes modelos cohesivos pueden dar un resultado muy parecidos comparándolos entre sí o con este modelo (LEBIM) si utilizan el mismo valor de energía necesaria para que se produzca el crecimiento de la grieta. Si bien la explicación de por qué ocurre esto, traspasa el objetivo de este proyecto, uno de los motivos es que la energía almacenada en zonas con comportamiento no lineal (una vez superado la tensión máxima) es pequeña comparada con la energía almacenada en las zonas de comportamiento lineal.

El criterio de fallo está basado en el ERR (Energy Relase Rate o índice de liberación de energía en español). Para el caso de una interfase lineal, el ERR se define como la energía de deformación elástica almacenada por unidad de longitud en los labios de la grieta. Por lo que la ERR en modo mixto de la interfase se puede definir como [22]:

2

n t

I II

G G





G



 



(2.9)

Que puede ser reescrita utilizando sólo las tensiones o el desplazamiento relativo de las superficies.

2 2 2 2

2

n n t t n t

k

G

k















(2.10)

(5)

11

Figura 2-3 Comportamiento (a) normal y (b) tangencial cuando la interfase no se encuentra dañada en el modelo LEBIM. Comportamiento (c) normal y (d) tangencial del modelo cuando la interfase se encuentra

dañada.

Debemos tener en cuenta que la definición de la ERR en modo I, es sólo válida para tensiones de tracción, si la interfase está sometida sólo a tensiones de compresión la GI almacenada se considerará cero. A continuación se definirá el ángulo de mixticidad, en primer lugar partiremos de la ecuación (2.9):



_{1 tan}

2



_tan

2 II I II I G G I

G

G G

G















(2.11)

Podemos ver que si aplicamos la definición de GI, para tensiones de compresión implica que ψG=90º. Esta expresión (2.11) puede reescribirse como:

2 2 1 n tan 1 t tan I II I I u t n k k G G G G G k



 k



       _  _ _  _     (2.12) Donde

tan

t u n

y















(2.13)

(6)

tan t tan tan n tan

G u G n t k k y k k 











(2.14)

Se puede observar que una rotura de la interfase en modo I puro implica un valor del ángulo de mixticidad de 0º, es decir,



_G

 

0º



_





_u



0º

. Y que la propagación de la grieta en modo II implica un valor de 90º. En este modelo, el criterio seguido para que la grieta se propague es que G sea mayor o igual que su valor crítico, Gc:

C

G G



(2.15)

Se ha observado en varios experimentos la dependencia de Gc respecto al modo mixto al que está sometido el material [3, 10], lo que hace que el ángulo de mixticidad tengo una gran relevancia al describir la rotura de la interfase. Para expresar el valor crítico de Gc en función de la mixticidad en la fractura usaremos la expresión propuesta por [15], que se considera adecuada para un gran número de sistemas de dos materiales









2

1 tan

1

c Ic G

G



G



_





 



_

(2.16) Donde 2 2 2 2 2 nc c nc c _n Ic n k G k



 



   (2.17)

Es la energía crítica a fractura en el modo I. λ es un parámetro de sensibilidad al modo de fractura, cuyo valor suele rondar 0.2 ≤λ≤ 0.3, estos valores hacen que haya una dependencia moderada con el modo de fractura. La tensión normal que provoca la rotura del “muelle” de la interfase se representada por



cy el

desplazamiento normal en ese momento es representado por



nc, aplicando la definición del ángulo de

mixticidad se puede expresar estos parámetros como



c





_c

 

0º

y



nc





_nc

 

0º

Figura 2-4 Evolución del incide de liberación de energía crítico, Gc, en función de ψG y de diferentes valores

de λ

Como podemos observar en la Figura 2-4, si λ=0 la interfase nunca romperá en modo dos puro, debido a la existencia de una asíntota para ψG=90º. Un comportamiento más realista se consigue acotando el valor de este

(7)

13 fácil que aparezca cuanto mayor es el valor de λ.

Con las expresiones anteriores podemos expresar la tensión crítica en función del ángulo de mixticidad, quedando como:

 

_{1 tan}

2



₁



_cos

 

c

 

G c c G G G nc G n

y

k

 









_



 



_



 



(2.18)

También podemos obtener la tensión tangencial crítica para el modo mixto de forma similar, utilizando



_c y

ψG:

 

t

_{1 tan}

2



₁



_sin

 

c

 

G c c G G G tc G n t

k

y

k

 









_



 



_



 



(2.19)

A continuación obtendremos la gráfica donde podremos ver el lugar donde se produce el fallo de la interfase, donde hemos considerado una relación de kn/kt =4. Las tensión normal y tangencial han sido normalizada por la tensión critica en el modo I, σc. Una de las conclusiones que pueden sacar de esta gráfica es que si a la interfase se le somete a tensiones normales de compresión hace que aumente la resistencia de esta al modo II.

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