Soluciones Examen de Estadística Ingeniería Superior de Telecomunicación

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Soluciones Examen de Estad´ıstica

Ingenier´ıa Superior de Telecomunicaci´

on

7 de Septiembre, 2005

Cuestiones

2 horas

C1. A partir de los procesos estoc´asticos X(t)e Y(t)incorrelados y de media cero, con funciones de autocorrelaci´onRX(t1, t2)yRY(t1, t2)respectivamente, se forma el procesoZ(t) =X(t) +

Y(t)t.

a) Calcular la funci´on de correlaci´on deZ(t)

La función de autocorrelación de X(t) es RX(t1, t2) = E[X(t1)X(t2)] y análogamente

paraY(t). Adem´as, por tratarse de procesos incorrelados, CXY(t1, t2) = 0 o, de forma

equivalente,E[X(ti)Y(tj)] =µX(ti)µY(tj) = 0. Por tanto,

RZ(t1, t2) = E[Z(t1)Z(t2)] = E[(X(t1) +Y(t1)t1)(X(t2) +Y(t2)t2)] = RX(t1, t2) +

t1t2RY(t1, t2)

b) El proceso formado, ¿es estacionario en sentido d´ebil?

La media es independiente del tiempo porque es nula pero la correlaci´on no depende solamente de la distancia entre dos tiempos considerados. Por tanto, el proceso NO es estacionario en sentido d´ebil

C2. Se dispone de dos urnas. La urna U1 contiene el 70 % de bolas blancas y el 30 % de bolas negras, y la urna U2, el30 %de bolas blancas y el70 % de bolas negras.

Se selecciona una de estas urnas al azar y se toman diez bolas una tras otra con reemplaza-miento. El resultado es : B = ”bnbbbbnbbb”, donde ”b” indica bola blanca y ”n” indica bola negra.

a) ¿ Cu´al es la probabilidad de que esta muestra provenga deU1?

Seleccion de la urna : como hay 2 urnas y se toma al azar : P(U1) =P(U2) =

1 2

El suceso est´a compuesto por la ocurrencia conjunta de 10 sucesos independientes, ya que el resultado de una extracci´on con reemplazamiento no modifica las proba-bilidades de las siguientes. Como

P(b|U1) = 0,7 P(n|U1) = 0,3 se verifica P(B|U1) = P(bnbbbbnbbb|U1) = P(b|U1).P(n|U1).P(b|U1)...P(b|U1) = (P(b|U1)) 8 (P(n|U1)) 2 = 0,78 0,32

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De la misma manera,

P(B|U2) = 0,38 0,72

la probabilidad buscada esP(U1|B).Aplicando elTeorema de Bayes:

P(U1|B) = P(B|U1)P(U1) P(B|U1)P(U1) +P(B|U2)P(U2) = 0,7 8 0,32 1 2 (0,78_{) (0,3}2₎ 1 2 + (0,38_{) (0,7}2₎ 1 2 = 0,994

C3. SeanX, Y dos variables aleatorias continuas, uniformemente distribuidas en el tri´angulo OAB con

O= (0,0) A= (1,0) B = (0,1)

Seaf la funci´on de densidad conjunta deX yY definida por

f(x, y) =      k si (x, y)∈OAB 0 si no

a) Calculark. para quef sea funci´on de densidad

El dominio D = OAB es el tri´angulo formado por las rectas de ecuaciones : x = 0, y= 0, x+y= 1. (x, y)∈D⇔      0≤x≤1 0≤y≤1 0≤x+y≤1 Z Z D f(x, y)dxdy = 1 ⇔ Z 1 0 Z 1−y 0 kdx dy= 1 ⇔ k= 2

b) Calcular las densidades marginales deX e Y.

Para 0≤x≤1, fX(x) = Z 1−x 0 f(x, y)dy = 2(1−x)

se puede deducir por simetr´ıa dexey en el problema que : para 0≤y≤1,

fY (y) = 2(1−y)

c) Calcular las densidades condicionales deX|Y y de Y|X.

Para

(

0≤y <1 0≤x≤1−y

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tenemos

f(x|y) = f(x, y) fY (y)

= 1

1−y

por simetr´ıa dexey en el planteamiento del problema, para

( 0≤x <1 0≤y≤1−x concluimos que f(y|x) = 1 1−x d) ¿SonX e Y independientes ? Tenemos fX(x)fY (y) = 4 (1−x) (1−y) y f(x, y) = 2 por lo tanto f(x, y)6=fX(x)fY (y)

y concluimos queX yY no son independientes.

e) CalcularPr(X+Y <0,5)

SeaE el recinto definido porx+y <0,5. La intersecion deE yDes : D∩E =          0≤x≤1 0≤y≤1 0≤x+y≤1 x+y <0,5 =      0≤x≤0,5 0≤y≤0,5 0≤x+y≤0,5 por lo tanto Pr(X+Y < 0,5) = Z Z D∩E f(x, y)dxdy = Z 0,5 0 Z 0,5−y 0 f(x, y)dx dy = 0,25

C4. La resistencia de ciertos componentes el´ectricos fabricados en un proceso es una v.a. que sigue una distribuci´on Normal de media 36 ohmios y varianza 0.64 ohmios2_{. Dicho componente} se considera defectuoso para montarlo en cualquier sistema cuando su resistencia es de 35 ohmios. Se pide:

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a) Proporci´on de componentes defectuosos P r(X <35) = P r Z < 35√−36 0,64 =P r(Z <−1,25) =P r(Z >1,25) = 1−P r(Z ≤1,25) = 1−0,8944 = 0,1056⇒10,56 %

b) Se toma una muestra aleatoria de 400 componentes, cu´l es la probabilida de que haya al menos 350 componentes no defectuosos?.

Y =N´umero de componenetes no defectuososY ∼B(400,0,8944) Comon >30 ynpq= 37,7>5 aproximamos a una Normal: Y ≈N(400×0,8944,√400×0,8944×0,1056)→N(357,76,6,14) P r(X≥350) ≈ P r Z ≥350−357,76 6,14 = P r(Z≥ −1,26) =P r(Z ≤1,26) = 0,8962

c) Un sistema acopla 2 componentes en serie, calcular la probabilidad de que el sistema funcione.

La probabilidad de que funcione el sistema es la probabilidad de que funcionen los dos componentes, por lo tanto:

P r(Funcione el sistema) = 0,89442_{= 0,7999}

¿Y si se acoplan en paralelo?

La probabilidad de que no funcione el sistema es la probabilidad de que no funcionen ninguno de los dos componentes, por lo tanto:

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Problemas

1h 30’

P1. El tiempo de funcionamiento hasta que se aver´ıa el transmisor de señal de un satélite de telecomunicaciones sigue una distribución exponencial de media 10000 d´ıas. Para que el lanzamiento del satélite y la inversión realizada sea rentable se exige que la duración sea, al menos, de 10 años.

1) Calcular la probabilidad de que un transmisor elegido al azar, resulte rentable.

Si la media de funcionamiento son 10000 d´ıas,λ = 1/10000 = 0,0001 aver´ıas/d´ıa. La probabilidad se puede calcular utilizando una distribución de Poisson con λ ex-presada en aver´ıas/10 años o bien, directamente, con la exponencial asumiendo que todos los años son de 365 d´ıas:

P r(T >3650) =

Z ∞

3650

0,0001e−0,0001xdx=e−0,3645= 0,694

2) Si una instalaci´on industrial fabrica 10 transmisores, ¿cu´al es la probabilidad de que los diez cumplan las especificaciones.

Se trata de una variable, Y= N´umero de transmisores que cumplen las especifi-caciones, que sigue una distribuci´on binomial: Y ∼B(10,0,694). As´ı, se calcula la probabilidad P r(Y = 10) = ₁₀ 10 0,69410(1−0,694)(10−10)= 0,026

3) Cu´al es la probabilidad de que haya al menos una aver´ıa en un a˜no?

X= Número de aver´ıas al d´ıa,X∼P(1/10000) N=Número de aver´ıas al año,Y ∼P(365/10000) P r(N ≥1) = 1−P r(N = 0)1−e−0,0365_{= 0,0358}

4) Mantener un servicio de reparaciones para los transmisores cuesta 1000 euros an-uales, ¿cuánto debe cobrar como m´ınimo dicho servicio por reparación para obtener beneficios en un año (es decir que el beneficio esperado en 1 año sea positivo)?

X= Número de aver´ıas al d´ıa,X∼P(1/10000) N=Número de aver´ıas al año,Y ∼P(365/10000) Beneficio=Tarifa×N−1000

Beneficio Esperado=Tarifa×E[N]−1000 > 0 ⇒ Tarifa> 1000 ×10000/365 = 27397,26 euros/aver´ıa.

P2. Se dispone de una muestra aleatoria simple de tama˜no n de una variable aleatoria X

cuya funci´on de densidad es:

f(x) = 1 2θ

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1) Determinar el estimador m´aximo veros´ımil de θ. l(θ|x1, . . . ,n) = 1 2nθ 3n n Y i=1 x2_ie−θPni=1xi L(θ|x1, . . . ,n) = −nln 2 + 3nlnθ+ 2 n X i=1 lnxi−θ n X i=1 xi dL dθ = 3n θ − n X i=1 xi= 0⇒θˆ= 3n Pn i=1xi

Comprobamos que es m´aximo: d2_L

dθ2 = −

3n

θ2 <0 siempre (en particular para ˆθ)

2) Demostrar que la varianza asint´otica deθˆesV[(ˆθ) = θ₃ˆ2_n.

[ V(ˆθ) = −d 2_L dθ2 −1 ˆ θ = ˆ θ2 3n

3) Calcular un intervalo de confianza asint´otico al nivel de confianza del95 %para para una muestra de tama˜non= 250y P250

i=1xi= 432 ˆ θ ± zα/2 q [ V(ˆθ) ˆ θ = 3×250 432 = 1,736 [ V(ˆθ) = 1,736 2 3×250 = 0,004

Por lo tanto el intervalo de confianza al 95 % es:

1,736 ± 1,96p0,004⇒(1,612,1,860)

4) A la luz del apartado anterior, ¿se podr´ıa rechazar la hip´otesis nula del contraste

H0: θ= 1

H1: θ6= 1 con un nivel de significaci´onα= 0,05?

El valor 1 no est´a dentro del intervalo de confianza, por lo tanto rechazar´ıamos la hip´otesis nula.

5) ¿Cu´al deber´ıa ser el tama˜no de la muestra para reducir la longitud del intervalo anterior a la mitad? L1 = 2×1,96 q [ V(ˆθ) = 2×1,96 ˆ θ √ 3n1 L2 = 2×1,96 ˆ θ √ 3n2 =L1 2 = 1,96 ˆ θ √ 3n1 2√3n1 = √ 3n2n2= 4n1= 1000