Introducci´
on a la L´
ogica Proposicional
´
Algebra
Araceli Guzm´
an y Guillermo Garro
Facultad de Ciencias UNAM
Semestre 2018-1
L´
ogica Proposicional
Algebra´Referencias b´
asicas
1. Miguel Delgado y Mar´ıa J. M´u˜noz. Lenguaje matem´atico, conjuntos y n´umeros,
2010.
2. Armando O. Rojo,Algebra I, 1978.´
3. Bravo, Rinc´on, Rinc´on,Algebra superior, 2006.´
4. Carmen G´omez,Algebra superior, 2014.´
5. Alvaro P´´ erez Raposo,L´ogica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010.
6. M´ax Fern´andez de Castro y Luis Miguel Villegas,L´ogica Matem´atica I, 2011.
Otras referencias
1. M. O’Leary,A first course in mathematical logic and set theory, 2016.
2. Willard Van Orman Quine,Mathematical Logic, 1981.
3. Enderton, H.B.,A Mathematical Introduction to Logic, 2ed, 2001.
´Indice
Algebra1. ¿Qu´e es la L´ogica Proposicional?
2. Tablas de Valores de Verdad y Conectivos B´asicos 3. Equivalencias L´ogicas y Tautolog´ıas
4. Las reglas b´asicas
5. La Reglas del Reemplazo. Primera Parte 6. Leyes de De Morgan
7. Equivalencias de⇒ 8. Ley del Contrarec´ıproco
9. Leyes del Reemplazo. Segunda Parte 10. Leyes Distributivas
11. Identidad y Dominaci´on 12. Los conectivos⇔yY
¿Qu´
e es la L´
ogica Proposicional?
Lal´ogica proposicional es un sistema formal cuyos elementos m´as simples represen-tanproposiciones, y cuyas constantes l´ogicas, llamadasconectivas l´ogicas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor com-plejidad.
Fuente:Wikipedia,Internet Encyclopedia of Philosophy
Proposiciones
Unaproposici´ones un enunciado del que puede decirse que esverdadero(con valor de verdad V ´o1) ofalso(con valor de verdad F ´o0) pero no ambas cosas. Por ello se dice que la L´ogica Proposicional es binaria (porque solo admite dos valores de verdad). Gereralmente las proposiciones son denotadas con las letrasp,q,r,... o may´usculasP,
Q,R,...
Los conectivos l´
ogicos
L´
ogica Proposicional
Algebra´Conectivos l´
ogicos usuales
CONECTIVO NOMBRE OPERACI ´ON INTERPRETACI ´ON
¬ Negaci´on ¬p
Nop No sucedep No es cierto quep
∧ Conjunci´on p∧q pyq
∨ Disyunci´on p∨q p´oq
Y Disyunci´on excluyente pYq p´oqpero no ambas
⇒ p⇒q
pimplicaq Sipentoncesq
Implicaci´on qsip
(o condicional) ps´olo siq
pes condici´on suficiente paraq qes condici´on necesaria parap
⇔ p⇔q
psi, y s´olo si,q
Doble implicaci´on qes condici´on necesaria y suficiente parap (o bicondicional) pes condici´on necesaria y suficiente paraq
Ejemplo
Consideremos las siguientes proposiciones
p: El viento sopla muy fuerte.
q: Se caen las hojas de los ´arboles.
Tenemos entonces
Operaci´on Significado
¬p El viento no sopla muy fuerte
p∧q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los ´arboles
p∨q El viento sopla o se caen las hojas
pYq El viento sopla pero no se caen las hojas de los ´arboles, o bien
se caen la hojas de los ´arboles pero el viento no sopla muy fuerte.
p⇒q Si el viento sopla muy fuerte, entonces
se caen las hojas de los ´arboles
p⇔q El viento sopla muy fuerte si, y s´olo si,
L´
ogica Proposicional
Algebra´El concepto de Verdad
Elconcepto de verdad no es relevante para la L´ogica Proposicional. Simplemente asumimos que hay objetos (las proposiciones) que pueden ser verdaderas o no. Cualquier cosa que ello signifique.
Otras L´
ogicas: El mito de la verdad universal
El concepto de Verdad tiene mucha importancia en ´areas filos´oficas, lingu´ısticas y para nuestra vida ordinaria y contingente. Hay otras l´ogicas que admiten valores de verdad intermedios cuya finalidad es modelar otros razonamientos complejos, m´as all´a de los modelos binarios.
El objeto de la l´
ogica... m´
as o menos
L´
ogica Proposicional
Algebra´Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:
Para lanegaci´on(que es un conectivounario):
p ¬p
V F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:
p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
Ejercicio 1: Un juego divertido
Asigna un valor de verdad a las proposiciones siguientes y responde la pregunta. 1. Seanpyqlas proposiciones
p:pyqson falsos.
q:Este enunciado es verdadero.
¿Cu´ales son los valores de verdad depyq?
2. Seanp,qyrlas proposiciones
p: qes falsa.
q: psi y s´olo sir.
r: La humanidad lleg´o a la Luna.
¿La humanidad lleg´o a la luna?
3. Seanpyqlas proposiciones
p:pes falsa oqes verdadera.
q:Habr´a una invasi´on extraterrestre ma˜nana.
Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:
Para lanegaci´on(que es un conectivounario):
p ¬p
V F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:
p q p∧q p∨q pYq p⇒q p⇔q
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
Ejercicio 1: Un juego divertido
Asigna un valor de verdad a las proposiciones siguientes y responde la pregunta. 1. Seanpyqlas proposiciones
p:pyqson falsos.
q:Este enunciado es verdadero.
¿Cu´ales son los valores de verdad depyq?
2. Seanp,qyrlas proposiciones
p: qes falsa.
q: psi y s´olo sir.
r: La humanidad lleg´o a la Luna.
¿La humanidad lleg´o a la luna?
3. Seanpyqlas proposiciones
p:pes falsa oqes verdadera.
q:Habr´a una invasi´on extraterrestre ma˜nana.
Una equivalencia esperada
La equivalencia siguiente es siempre V:
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p)) (1)
p q p⇒q q⇒q p⇔q (p⇒q)∧(q⇒p) (p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
V V V V V V V
V F F V F F V
F V V F F F V
F F V V V V V
Confirmamos as´ı que la proposici´on (1) es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones componentes. Diremos quep ⇔q es(l´ogicamente) equivalentea la conjunci´on(p⇒q)∧(q⇒p).
Probar que un bicondicional
p
⇔
q
es
V
es equivalente a probar que
L´
ogica Proposicional
Algebra´Leyes L´
ogicas
Una proposici´on compuesta p (esto es, formada a partir de otras proposiciones, lla-madas componentes, mediante conectivos) cuya tabla de valores de verdad es siempre V independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones componentes, es llamadaTautolog´ıao Ley L´ogica. Las leyes l´ogicas integran los que llamamosL´ogica Formal.
Equivalencias L´
ogicas
En particular, sipyqson proposiciones compuestas tales que
p⇔q
es tautolog´ıa, entonces decimos quepyqsonl´ogicamente equivalenteso para abreviar s´oloequivalentes. Una equivalencia es un caso particular de ley l´ogica.
Negaci´
on del bicondicional
Es tautolog´ıa:
(pYq)⇔ ¬(p⇔q)
p q (pYq) ⇔ ¬(p⇔q) (p⇔q)
V V F V F V
V F V V V F
F V V V V F
F F F V F V
La diferencia sim´etricapYqes equivalente a la negaci´on de la doble implicaci´onp⇔q.
Para probar que una doble implicaci´
on
p
⇔
q
es falsa, debemos probar
que
p
y
q
son excluyentes (i.e. si
p
ocurre entonces
q
no ocurre; o bien, si
L´
ogica Proposicional
Algebra´Modus Ponens
Es tautolog´ıa:
(p∧(p⇒q))⇒q
p q p⇒q p∧(p⇒q) (p∧(p⇒q))⇒q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Deducibilidad
Decimos que una proposici´onqsededuce´oinfierede otra proposici´onp, si el condicional
p⇒qes tautol´ogico. Un condicional tautol´ogico se llama tambi´enregla de inferencia
Una implicaci´
on esperada: Eliminaci´
on del bicondicional
Es tautolog´ıa:
(p⇔q)⇒(p⇒q)
p q (p⇔q) ⇒ (p⇒q)
V V V V V
V F F V F
F V F V V
F F V V V
No obstante, del tercer rengl´on de la tabla anterior, podemos concluir que
(p⇒q)⇒(p⇔q)
no es tautolog´ıa.
L´
ogica Proposicional
Algebra´Transitividad de
⇒
Es tautolog´ıa:
((p⇒q)∧(q⇒r))⇒(p⇒r)
p q r ((p⇒q) ∧ (q⇒r)) ⇒ (p⇒r)
V V V V V V V V
V V F V F F V F
V F V F F V V V
V F F F F V V F
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Tradicionalmente, esta regla de inferencia es conocida comosilogismo hipot´etico.
Ejercicio 2: Transitividad de
⇔
Demuestra con una tabla que la proposici´on
((p⇔q)∧(q⇔r))⇒(p⇔r)
es tambi´en tautol´ogica.
Ejercicio 3: Otras Leyes Transitivas
Demuestra con tablas que las proposiciones
((p⇔q)∧(q⇒r))⇒(p⇒r)
((p⇒q)∧(q⇔r))⇒(p⇒r)
L´
ogica Proposicional
Algebra´Transitividad de
⇒
Es tautolog´ıa:
((p⇒q)∧(q⇒r))⇒(p⇒r)
p q r ((p⇒q) ∧ (q⇒r)) ⇒ (p⇒r)
V V V V V V V V
V V F V F F V F
V F V F F V V V
V F F F F V V F
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Tradicionalmente, esta regla de inferencia es conocida comosilogismo hipot´etico.
Ejercicio 2: Transitividad de
⇔
Demuestra con una tabla que la proposici´on
((p⇔q)∧(q⇔r))⇒(p⇔r)
es tambi´en tautol´ogica.
Demuestra con tablas que las proposiciones
((p⇔q)∧(q⇒r))⇒(p⇒r)
((p⇒q)∧(q⇔r))⇒(p⇒r)
L´
ogica Proposicional
Algebra´Transitividad de
⇒
Es tautolog´ıa:
((p⇒q)∧(q⇒r))⇒(p⇒r)
p q r ((p⇒q) ∧ (q⇒r)) ⇒ (p⇒r)
V V V V V V V V
V V F V F F V F
V F V F F V V V
V F F F F V V F
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Tradicionalmente, esta regla de inferencia es conocida comosilogismo hipot´etico.
Ejercicio 2: Transitividad de
⇔
Demuestra con una tabla que la proposici´on
((p⇔q)∧(q⇔r))⇒(p⇔r)
es tambi´en tautol´ogica.
Ejercicio 3: Otras Leyes Transitivas
Demuestra con tablas que las proposiciones
((p⇔q)∧(q⇒r))⇒(p⇒r)
((p⇒q)∧(q⇔r))⇒(p⇒r)
Convenci´
on notacional para eliminar par´
entesis
Para evitar el uso excesivo de los par´entesis adoptaremos las convenciones notacionales siguientes:
1. La negaci´on es m´as fuerte que cualquier otro conectivo. Es decir, el conectivo
¬ act´ua de inmediato sobre la proposici´on m´as pr´oxima a la derecha antes que
cualquier otro conectivo.
Ejemplo. Las proposiciones
(¬p)⇒q, (¬p)∧q, (¬p)∨(q∧r), (p⇒(¬q))⇔(¬r)
se abrevian simplemente
L´
ogica Proposicional
Algebra´Convenci´
on notacional para eliminar par´
entesis
Para evitar el uso excesivo de los par´entesis adoptaremos las convenciones notacionales siguientes:
2. La conjunci´on, la disyunci´on y la disyunci´on excluyentes son m´as fuertes que la implicaci´on y la doble implicaci´on. Es decir,∧,∨yYact´uan primero que⇒y⇔.
Ejemplo. Las proposiciones
(p∧(¬q))⇒(¬r), (¬(p⇒(¬q)))⇔(rY(¬s))
se abrevian simplemente
Convenci´
on notacional para eliminar par´
entesis
Ejemplos.¿C´omo abreviar las proposiciones que hemos estudiado hasta ahora?
Las proposiciones
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p))
(pYq)⇔ ¬(p⇔q)
(p∧(p⇒q))⇒q
(p⇔q)⇒(p⇒q)
((p⇒q)∧(q⇒r))⇒(p⇒r)
((p⇔q)∧(q⇔r))⇒(p⇔r)
((p⇔q)∧(q⇒r))⇒(p⇒r)
((p⇒q)∧(q⇔r))⇒(p⇒r)
Se abrevian
(p⇔q)⇔(p⇒q)∧(q⇒p)
pYq⇔ ¬(p⇔q)
p∧(p⇒q)⇒q
(p⇔q)⇒(p⇒q)
(p⇒q)∧(q⇒r)⇒(p⇒r)
(p⇔q)∧(q⇔r)⇒(p⇔r)
(p⇔q)∧(q⇒r)⇒(p⇒r)
L´
ogica Proposicional
Algebra´Determinaci´
on de tautolog´ıas: Deducibilidad Transitiva
Supongamos quep,qyrson proposiciones tales quersededucedeq, yqsededuce dep. Entoncesrsededucedep.
En otras palabras, si los condicionales
p⇒q y q⇒r
son tautolog´ıas, entonces el condicional
p⇒r
es tautolog´ıa.
Demostraci´on.
Ya hemos probado que el condicional
(p⇒q)∧(q⇒r)⇒(p⇒q) (2)
es siempre verdadero.
Entonces, dado quep⇒qyq⇒rson verdaderas, se sigue quep⇒qes verdadera,
de otra forma, esto es sip⇒qfuera falso, el condicional (2) ser´ıa tambi´en falso.
Ejercicio 4: Da un argumento an´
alogo
1. Sip⇔qy q⇔rson tautolog´ıas, demuestra quep ⇔res
tautolog´ıa.
2. Sip⇔qy q⇒rson tautolog´ıas, demuestra quep ⇒res
Determinaci´
on de tautolog´ıas: Deducibilidad Transitiva
Supongamos quep,qyrson proposiciones tales quersededucedeq, yqsededuce dep. Entoncesrsededucedep.
En otras palabras, si los condicionales
p⇒q y q⇒r
son tautolog´ıas, entonces el condicional
p⇒r
es tautolog´ıa.
Demostraci´on.
Ya hemos probado que el condicional
(p⇒q)∧(q⇒r)⇒(p⇒q) (2)
es siempre verdadero.
Entonces, dado quep⇒qyq⇒rson verdaderas, se sigue quep⇒qes verdadera,
de otra forma, esto es sip⇒qfuera falso, el condicional (2) ser´ıa tambi´en falso.
Ejercicio 4: Da un argumento an´
alogo
1. Sip⇔qyq ⇔rson tautolog´ıas, demuestra quep ⇔r es
tautolog´ıa.
2. Sip⇔qyq ⇒rson tautolog´ıas, demuestra quep ⇒r es
L´
ogica Proposicional
Algebra´Determinaci´
on de tautolog´ıas: Eliminaci´
on del bicondicional
Sipyqson proposiciones l´ogicamente equivalentes, entonces en particularqse deduce depypse deduce deq.
En otras palabras, si un bicondicional
p⇔q
es tautol´ogico, entonces los condicionales
p⇒q y q⇒p
son tautol´ogicos.
Demostraci´on.
Ya sabemos que la proposici´on compuesta
(p⇔q)⇒(p⇒q) (1)
es siempreV, independientemente de los valores de verdad de las componentespyq.
En particular, sipyqson de hecho proposiciones tales que(p⇔q)esV, se sigue que
L´
ogica Proposicional
Algebra´Ley del Tercero Excluido y Ley de No Contradicci´
on
En particular tenemos las tablas,
Ley del tercero excluido
p ∨ ¬p
V V F
V V F
F V V
F V V
Ley de no contradicci´on
p ∧ ¬p
V F F
V F F
F F V
F F V
Esto es,p∨ ¬pes unatautolog´ıa(es siempre V independientemente de los valores de sus proposiciones componentes).
Involuci´
on
Laley deinvoluci´onafirma quepy la doble negaci´on¬¬pson equivalentes, es decir,
p⇔ ¬¬p
es una proposici´on tautol´ogica:
p ¬p ¬¬p p⇔ ¬¬p
V F V V
F V F V
Otras leyes l´
ogicas evidentes
Son tautolog´ıas:
p⇒p
p ⇒ p
V V V
F V F
p⇔p
p ⇔ p
V V V
L´
ogica Proposicional
Algebra´Otras util´ısimas leyes l´
ogicas con nombre propio
Adici´on
Es tautolog´ıa:
p⇒p∨q
p q p∨q p⇒p∨q
V V V V
V F V V
F V V V
F F F V
Simplificaci´on
Es tautolog´ıa:
p∧q⇒p
p q p∧q p∧q⇒p
V V V V
V F F V
F V F V
Otras util´ısimas leyes l´
ogicas con nombre propio
Idempotencia de∨:
Es tautolog´ıa:
p⇔p∨p
p ⇔ p∨p
V V V
F V F
Idempotencia de∧:
Es tautolog´ıa:
p⇔p∧p
p ⇔ p∧p
V V V
L´
ogica Proposicional
Algebra´Una peque˜
na Ley de Simplificaci´
on-Adici´
on
Es tautolog´ıa:
p∧q⇒p∨r
Demostraci´on.
Los siguientes condicionales son tautol´ogicos
p∧q⇒p – simplificaci´on
⇒p∨r – adici´on
Por transitividad se sigue que
p∧q⇒p∨r
Leyes conmutativas
Conmutatividad de∨:
Es tautolog´ıa:
p∨q⇔q∨p
p q p∨q ⇔ q∨p
V V V V V
V F V V V
F V V V V
F F F V F
Conmutatividad de∧:
Es tautolog´ıa:
p∧q⇔q∧p
p q p∧q ⇔ q∧p
V V V V V
V F F V F
F V F V F
L´
ogica Proposicional
Algebra´Leyes Conmutativas
Conmutatividad de⇔:
Es tautolog´ıa:
(p⇔q)⇔(q⇔p)
p q (p⇔q) ⇔ (q⇔p)
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F V V V
Determinanci´
on de tautolog´ıas
1. Sip∨qes tautolog´ıa entoncesq∨pes tautolog´ıa.
2. Sip∧qes tautolog´ıa entoncesq∧pes tautolog´ıa.
3. Sip⇔qes tautolog´ıa entoncesq⇔pes tautolog´ıa.
Ejercicio 5: Responde y justifica
1. ¿Es⇒conmutativo?
L´
ogica Proposicional
Algebra´Leyes Conmutativas
Conmutatividad de⇔:
Es tautolog´ıa:
(p⇔q)⇔(q⇔p)
p q (p⇔q) ⇔ (q⇔p)
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F V V V
Determinanci´
on de tautolog´ıas
1. Sip∨qes tautolog´ıa entoncesq∨pes tautolog´ıa.
2. Sip∧qes tautolog´ıa entoncesq∧pes tautolog´ıa.
3. Sip⇔qes tautolog´ıa entoncesq⇔pes tautolog´ıa.
1. ¿Es⇒conmutativo?
L´
ogica Proposicional
Algebra´Leyes Conmutativas
Conmutatividad de⇔:
Es tautolog´ıa:
(p⇔q)⇔(q⇔p)
p q (p⇔q) ⇔ (q⇔p)
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F V V V
Determinanci´
on de tautolog´ıas
1. Sip∨qes tautolog´ıa entoncesq∨pes tautolog´ıa.
2. Sip∧qes tautolog´ıa entoncesq∧pes tautolog´ıa.
3. Sip⇔qes tautolog´ıa entoncesq⇔pes tautolog´ıa.
Ejercicio 5: Responde y justifica
1. ¿Es⇒conmutativo?
L´
ogica Proposicional
Algebra´Leyes asociativas
Asociatividad de∨:
Es tautolog´ıa
(p∨q)∨r⇔p∨(q∨r)
p q r p∨q q∨r (p∨q)∨r ⇔ p∨(q∨r)
V V V V V V V V
V V F V V V V V
V F V V V V V V
V F F V F V V V
F V V V V V V V
F V F V V V V V
F F V F V V V V
F F F F F F V F
Asociatividad de∧:
Es tautolog´ıa
L´
ogica Proposicional
Algebra´Leyes asociativas
Asociatividad de∨:
Es tautolog´ıa
(p∨q)∨r⇔p∨(q∨r)
p q r p∨q q∨r (p∨q)∨r ⇔ p∨(q∨r)
V V V V V V V V
V V F V V V V V
V F V V V V V V
V F F V F V V V
F V V V V V V V
F V F V V V V V
F F V F V V V V
F F F F F F V F
Ejercicio 6: Haz una tabla
Asociatividad de∧:
Es tautolog´ıa
L´
ogica Proposicional
Algebra´Convenios: Eliminaci´
on de par´
entesis
Acabamos de probar que las proposiciones
(p∨q)∨r y p∨(q∨r)
son l´ogicamente equivalentes.
Por tanto podemos definir una f´ormula para referirnos a ambas, a saber,
p∨q∨r
An´alogamente, escribimos
p∧q∧r
en lugar de las proposiciones
(p∧q)∧r y p∧(q∧r),
las cuales son l´ogicamente equivalentes.
Vamos a admitir dos nuevos t´erminos, a saber,
p∨q∨r p∧q∧r
para los cuales admitimos que los bicondicionales siguientes son siempre V:
p∨q∨r⇔(p∨q)∨r p∧q∧r⇔(p∧q)∧r
L´
ogica Proposicional
Algebra´Convenios: Eliminaci´
on de par´
entesis
Acabamos de probar que las proposiciones
(p∨q)∨r y p∨(q∨r)
son l´ogicamente equivalentes.
Por tanto podemos definir una f´ormula para referirnos a ambas, a saber,
p∨q∨r
An´alogamente, escribimos
p∧q∧r
en lugar de las proposiciones
(p∧q)∧r y p∧(q∧r),
las cuales son l´ogicamente equivalentes.
En otras palabras...
Vamos a admitir dos nuevos t´erminos, a saber,
p∨q∨r p∧q∧r
para los cuales admitimos que los bicondicionales siguientes son siempre V:
p∨q∨r⇔(p∨q)∨r p∧q∧r⇔(p∧q)∧r
Convenios: Eliminaci´
on de par´
entesis
En general, si tenemos una colecci´on finita den >1proposiciones
p1, p2, ..., pn−1, pn,
entonces definimosrecursivamentela disyunci´on y conjunci´on de tales proposiciones, respectivamente, mediante las f´ormulas siguientes, las cuales admitiremos como ver-daderos en todo caso:
p1∨p2∨ · · · ∨pn⇔(p1∨p2∨ · · · ∨pn−1)∨pn
p1∧p2∧ · · · ∧pn⇔(p1∧p2∧ · · · ∧pn−1)∧pn
Por ejemplo
p1∨p2∨p3⇔(p1∨p2)∨p3
p1∨p2∨p3∨p4⇔(p1∨p2∨p3)∨p4
Reglas del Reemplazo
Supongamos quepybpson dos proposiciones equivalentes, es decir, el bicondicional
p⇔pb
es tautol´ogico.
Entonces las siguientes son tautolog´ıas
¬p ⇔ ¬bp
p∨q ⇔pb∨q
p∧q ⇔pb∧q
Demostraci´on.
L´
ogica Proposicional
Algebra´Ejemplo: Idempotencia
Recordemos las leyes de idempotencia: Son tautolog´ıas:
p⇔p∨p y p⇔p∧p
Entonces
p∨q⇔p∨p∨q y p∧q⇔p∧p∧q
son tautolog´ıas.
Demostraci´on.
Son tautolog´ıas:
p∨q⇔(p∨p)∨q – reemplazamospporp∨p
⇔p∨p∨q – por definici´on dep∨p∨q
Portransitividaddel bicondicional,
p∨q⇔p∨p∨q
es tautolog´ıa.
Ejercicio 7: Ahora repite la prueba para
∧
Prueba que es tautolog´ıa:
p∧q⇔p∧p∧q
Ejercicio 8: Prueba las siguientes Leyes del Reemplazo
Supongamos que p y pbson equivalentes y que q y bq son equivalentes.
Demuestra sin tablas que los siguientes bicondicionales son tautolog´ıas:
p∨q⇔pb∨bq
L´
ogica Proposicional
Algebra´Ejemplo: Idempotencia
Recordemos las leyes de idempotencia: Son tautolog´ıas:
p⇔p∨p y p⇔p∧p
Entonces
p∨q⇔p∨p∨q y p∧q⇔p∧p∧q
son tautolog´ıas.
Demostraci´on.
Son tautolog´ıas:
p∨q⇔(p∨p)∨q – reemplazamospporp∨p
⇔p∨p∨q – por definici´on dep∨p∨q
Portransitividaddel bicondicional,
p∨q⇔p∨p∨q
es tautolog´ıa.
Ejercicio 7: Ahora repite la prueba para
∧
Prueba que es tautolog´ıa:
p∧q⇔p∧p∧q
Supongamos que p y pbson equivalentes y que q y bq son equivalentes.
Demuestra sin tablas que los siguientes bicondicionales son tautolog´ıas:
p∨q⇔pb∨bq
L´
ogica Proposicional
Algebra´Ejemplo: Idempotencia
Recordemos las leyes de idempotencia: Son tautolog´ıas:
p⇔p∨p y p⇔p∧p
Entonces
p∨q⇔p∨p∨q y p∧q⇔p∧p∧q
son tautolog´ıas.
Demostraci´on.
Son tautolog´ıas:
p∨q⇔(p∨p)∨q – reemplazamospporp∨p
⇔p∨p∨q – por definici´on dep∨p∨q
Portransitividaddel bicondicional,
p∨q⇔p∨p∨q
es tautolog´ıa.
Ejercicio 7: Ahora repite la prueba para
∧
Prueba que es tautolog´ıa:
p∧q⇔p∧p∧q
Ejercicio 8: Prueba las siguientes Leyes del Reemplazo
Supongamos que p y bp son equivalentes y que q y qbson equivalentes.
Demuestra sin tablas que los siguientes bicondicionales son tautolog´ıas:
p∨q⇔pb∨bq
L´
ogica Proposicional
Algebra´Ejemplo: Leyes asociativas
Seanp,q,rysproposiciones. Las proposiciones siguientes son equivalentes
p∨q∨r∨s
(p∨q∨r)∨s
((p∨q)∨r)∨s
(p∨(q∨r))∨s
p∨((q∨r)∨s)
p∨(q∨(r∨s))
(p∨q)∨(r∨s)
p∨(q∨r∨s)
p∨(q∨r)∨s
Demostraci´on.
Las equivalencias siguientes son tautolog´ıas:
p∨q∨r∨s⇔(p∨q∨r)∨s – definici´on
⇔((p∨q)∨r)∨s – definici´on, reemplazo
⇔(p∨(q∨r))∨s – ley asociativa de∨, reemplazo
⇔p∨((q∨r)∨s) – ley asociativa de∨
⇔p∨(q∨(r∨s)) – ley asociativa de∨, reemplazo
⇔(p∨q)∨(r∨s) – ley asociativa de∨
Y por otro lado,
p∨(q∨r∨s)⇔p∨((q∨r)∨s) – definici´on, reemplazo
⇔p∨(q∨r)∨s – definici´on
Prueba que las proposiciones siguientes son equivalentes
p∧q∧r∧s
(p∧q∧r)∧s
((p∧q)∧r)∧s
(p∧(q∧r))∧s
p∧((q∧r)∧s)
p∧(q∧(r∧s))
(p∧q)∧(r∧s)
p∧(q∧r∧s)
L´
ogica Proposicional
Algebra´Ejemplo: Leyes asociativas
Seanp,q,rysproposiciones. Las proposiciones siguientes son equivalentes
p∨q∨r∨s
(p∨q∨r)∨s
((p∨q)∨r)∨s
(p∨(q∨r))∨s
p∨((q∨r)∨s)
p∨(q∨(r∨s))
(p∨q)∨(r∨s)
p∨(q∨r∨s)
p∨(q∨r)∨s
Demostraci´on.
Las equivalencias siguientes son tautolog´ıas:
p∨q∨r∨s⇔(p∨q∨r)∨s – definici´on
⇔((p∨q)∨r)∨s – definici´on, reemplazo
⇔(p∨(q∨r))∨s – ley asociativa de∨, reemplazo
⇔p∨((q∨r)∨s) – ley asociativa de∨
⇔p∨(q∨(r∨s)) – ley asociativa de∨, reemplazo
⇔(p∨q)∨(r∨s) – ley asociativa de∨
Y por otro lado,
p∨(q∨r∨s)⇔p∨((q∨r)∨s) – definici´on, reemplazo
⇔p∨(q∨r)∨s – definici´on
Ejercicio 9: Ahora repite la prueba para
∧
Prueba que las proposiciones siguientes son equivalentes
p∧q∧r∧s
(p∧q∧r)∧s
((p∧q)∧r)∧s
(p∧(q∧r))∧s
p∧((q∧r)∧s)
p∧(q∧(r∧s))
(p∧q)∧(r∧s)
p∧(q∧r∧s)
L´
ogica Proposicional
Algebra´Las Leyes de De Morgan
Las proposiciones
¬(p∧q)⇔ ¬p∨ ¬q
¬(p∨q)⇔ ¬p∧ ¬q
(1)
(2)
son equivalencias l´ogicas.
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q p∧q ¬(p∧q) ⇔ ¬p∨ ¬q
V V F F V F V F
V F F V F V V V
F V V F F V V V
F F V V F V V V
Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla. O bien procedemos como sigue:
Son tautolog´ıas,
¬(¬p∧ ¬q)⇔(¬¬p∨ ¬¬q) – De Morgan (1)
⇔(p∨q) – involuci´on y reemplazo
As´ı que portransitividadyconmutatividaddel bicondicional, el siguiente bicondicional es tautol´ogico:
¬(¬p∧ ¬q)⇔(p∨q).
Por lo tanto, los bicondicionales siguientes son tautol´ogicas:
¬(p∨q)⇔ ¬¬(¬p∧ ¬q) – reemplazo
⇔(¬p∧ ¬q) – involuci´on.
Nuevamente portransitividaddel bicondicional, el siguiente bicondicional es tautol´ogico:
¬(p∨q)⇔(¬p∧ ¬q).
Equivalencias de
⇒
Son tautolog´ıas:
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q)
(p⇒q)⇔ ¬p∨q
(1)
(2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒q) ⇔ ¬(p∧ ¬q) p∧ ¬q
V V F V V V F
V F V F V F V
F V F V V V F
F F V V V V F
L´
ogica Proposicional
Algebra´Para la equivalencia (2):
(p⇒q)⇔(¬p∨q)
podemos tambi´en usar una tabla.
O tambi´en podemos proceder como sigue:
Por la primera de las equivalencias de⇒probada en la tabla anterior, la primera ley de De Morgan e involuci´on, las dobles implicaciones que siguen son tautol´ogicas:
(p⇒q)⇔ ¬(p∧ ¬q) – equiv. (1) de⇒
⇔ ¬p∨ ¬¬q – De Morgan(1)
⇔ ¬p∨q – involuci´on.
Esto es,p⇒qy¬p∨qson equivalentes (por transitividad).
¿C´
omo negar
⇒
?
Una consecuencia importante de la primera de estas equivalencias es que proporciona una f´ormula para negar⇒:
Es tautolog´ıa
¬(p⇒q)⇔p∧ ¬q.
Demostraci´on.
Son tautolog´ıas,
¬(p⇒q)⇔ ¬¬(p∧ ¬q) – primera equivalencia de⇒
⇔p∧ ¬q – involuci´on.
Por transitividad,
¬(p⇒q)⇔p∧ ¬q
es tautolog´ıa.
Consecuencias importantes: Ley del contrarec´ıproco
Es tautolog´ıa:
(p⇒q)⇔(¬q⇒ ¬p)
Demostraci´on.
Los bicondicionales siguientes son tautol´ogicos:
p⇒q
⇔ ¬(p∧ ¬q) – equiv. (1) de⇒
⇔ ¬(¬q∧p) – conmutatividad de∧
⇔ ¬(¬q∧ ¬¬p) – involuci´on
⇔ ¬q⇒ ¬p
– equiv. (1) de⇒
Por tanstividad,
(p⇒q)⇔(¬q⇒ ¬p)
es tautolog´ıa.
L´
ogica Proposicional
Algebra´Corolario
Es tautolog´ıa:
(p⇔q)⇔(¬p⇔ ¬q)
Demostraci´on.
Los bicondicionales siguientes son tautol´ogicos
(p⇔q)⇔((p⇒q)∧(q⇒p)) – primera equivalencia de⇔
⇔((¬q⇒ ¬p)∧(¬p⇒ ¬q)) – ley del contra-rec´ıproco
⇔(¬q⇔ ¬p) – primera equivalencia de⇔
⇔(¬p⇔ ¬q) – conmutatividad de⇔.
Por transitividad,
(p⇔q)⇔(¬p⇔ ¬q)
es tautolog´ıa.
L´
ogica Proposicional
Algebra´Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quepybpson proposiciones equivalentes, es decir, el bicondicional
p⇔pb
es tuatol´ogico.
Entonces son tautolog´ıas
(p⇔q)⇔(pb⇔q)
(p⇒q)⇔(pb⇒q)
(q⇒p)⇔(q⇒bp)
Ejercicio 10: Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quep ypbson proposiciones tales que pbsededucedep, es
decir, el condicional
p⇒pb
es tuatol´ogico. Demuestra que
¬pb⇒ ¬p
es tautol´ogico. Interpreta.
¿Es cierto que¬p⇒ ¬pbes tautol´ogico? Justifica.
Ejercicio 11: Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quep ypbson proposiciones tales que pbsededucedep, es
decir, el condicional
p⇒pb
es tuatol´ogico. Demuestra las tautolog´ıas
p∨q⇒pb∨q
p∧q⇒pb∨q
Ejercicio 12: Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quepybpson proposiciones tales quebpsededucedep, es decir, el condicional siguiente es tuatol´ogico:
p⇒p.b
Demuestra que los siguientes condicionales son tautolog´ıas:
(pb⇒q)⇒(p⇒q)
(q⇒p)⇒(q⇒p)b
Interpreta.
¿Es cierto que los condicionales
(p⇒q)⇒(pb⇒q)
(q⇒p)b ⇒(q⇒p)
L´
ogica Proposicional
Algebra´Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quepybpson proposiciones equivalentes, es decir, el bicondicional
p⇔pb
es tuatol´ogico.
Entonces son tautolog´ıas
(p⇔q)⇔(pb⇔q)
(p⇒q)⇔(pb⇒q)
(q⇒p)⇔(q⇒bp)
Ejercicio 10: Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quep ypbson proposiciones tales que pbsededucedep, es
decir, el condicional
p⇒pb
es tuatol´ogico. Demuestra que
¬pb⇒ ¬p
es tautol´ogico. Interpreta.
¿Es cierto que¬p⇒ ¬pbes tautol´ogico? Justifica.
Ejercicio 11: Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quep ypbson proposiciones tales que pbsededucedep, es
decir, el condicional
p⇒pb
es tuatol´ogico. Demuestra las tautolog´ıas
p∨q⇒pb∨q
p∧q⇒pb∨q
Supongamos quepybpson proposiciones tales quebpsededucedep, es decir, el condicional siguiente es tuatol´ogico:
p⇒p.b
Demuestra que los siguientes condicionales son tautolog´ıas:
(pb⇒q)⇒(p⇒q)
(q⇒p)⇒(q⇒p)b
Interpreta.
¿Es cierto que los condicionales
(p⇒q)⇒(pb⇒q)
(q⇒p)b ⇒(q⇒p)
L´
ogica Proposicional
Algebra´Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quepybpson proposiciones equivalentes, es decir, el bicondicional
p⇔pb
es tuatol´ogico.
Entonces son tautolog´ıas
(p⇔q)⇔(pb⇔q)
(p⇒q)⇔(pb⇒q)
(q⇒p)⇔(q⇒bp)
Ejercicio 10: Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quep ypbson proposiciones tales que pbsededucedep, es
decir, el condicional
p⇒pb
es tuatol´ogico. Demuestra que
¬pb⇒ ¬p
es tautol´ogico. Interpreta.
¿Es cierto que¬p⇒ ¬pbes tautol´ogico? Justifica.
Ejercicio 11: Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quep ypbson proposiciones tales que pbsededucedep, es
decir, el condicional
p⇒pb
es tuatol´ogico. Demuestra las tautolog´ıas
p∨q⇒pb∨q
p∧q⇒pb∨q
Ejercicio 12: Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quepybpson proposiciones tales quebpsededucedep, es decir, el condicional siguiente es tuatol´ogico:
p⇒p.b
Demuestra que los siguientes condicionales son tautolog´ıas:
(pb⇒q)⇒(p⇒q)
(q⇒p)⇒(q⇒p)b
Interpreta.
¿Es cierto que los condicionales
(p⇒q)⇒(pb⇒q)
(q⇒p)b ⇒(q⇒p)
L´
ogica Proposicional
Algebra´Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quepybpson proposiciones equivalentes, es decir, el bicondicional
p⇔pb
es tuatol´ogico.
Entonces son tautolog´ıas
(p⇔q)⇔(pb⇔q)
(p⇒q)⇔(pb⇒q)
(q⇒p)⇔(q⇒bp)
Supongamos quep ypbson proposiciones tales que pbsededucedep, es
decir, el condicional
p⇒pb
es tuatol´ogico. Demuestra que
¬pb⇒ ¬p
es tautol´ogico. Interpreta.
¿Es cierto que¬p⇒ ¬pbes tautol´ogico? Justifica.
Ejercicio 11: Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quep ypbson proposiciones tales que pbsededucedep, es
decir, el condicional
p⇒pb
es tuatol´ogico. Demuestra las tautolog´ıas
p∨q⇒pb∨q
p∧q⇒pb∨q
Ejercicio 12: Otras Leyes del Reemplazo
Supongamos quepybpson proposiciones tales quebpsededucedep, es decir, el condicional siguiente es tuatol´ogico:
p⇒p.b
Demuestra que los siguientes condicionales son tautolog´ıas:
(pb⇒q)⇒(p⇒q)
(q⇒p)⇒(q⇒p)b
Interpreta.
¿Es cierto que los condicionales
(p⇒q)⇒(pb⇒q)
(q⇒p)b ⇒(q⇒p)
Leyes distributivas
Son tautolog´ıas:
p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r)
p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
(1)
(2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q r p∧q p∧r q∨r p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)
V V V V V V V V V
V V F V F V V V V
V F V F V V V V V
V F F F F F F V F
F V V F F V F V F
F V F F F V F V F
F F V F F V F V F
L´
ogica Proposicional
Algebra´Leyes distributivas
Son tautolog´ıas:
p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r) p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
(1) (2)
Para (2) procedemos como sigue:
p∨(q∧r)⇔ ¬¬p∨(¬¬q∧ ¬¬r) – involuci´on
⇔ ¬¬p∨ ¬(¬q∨ ¬r) – De Morgan (2)
⇔ ¬(¬p∧(¬q∨ ¬r)) – De Morgan (1)
⇔ ¬((¬p∧ ¬q)∨(¬p∧ ¬r)) – ley distributiva (1)
⇔ ¬(¬(p∨q)∨ ¬(p∨r)) – De Morgan (2)
⇔ ¬¬(p∨q)∧ ¬¬(p∨r) – De Morgan (2)
⇔(p∨q)∧(p∨r) – involuci´on
Por transitividad,
p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
es tautolog´ıa, como quer´ıamos ver.
Leyes distributivas por la derecha
Hay que observar que lo que probamos son leyes distributivas por la
izquierda. Pero es muy f´acil deducir que tambi´en se valen por laderecha,
usando conmutatividad:
(p∨q)∧r⇔r∧(p∨q)
⇔(r∧p)∨(r∧q)
⇔(p∧r)∨(q∧r).
Por transitividad,
(p∧q)∨r⇔(p∨r)∧(q∨r).
es tautolog´ıa.
Ejercicio 13: Prueba el otro caso
Demuestra que es tautolog´ıa
L´
ogica Proposicional
Algebra´Leyes distributivas
Son tautolog´ıas:
p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r) p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
(1) (2)
Para (2) procedemos como sigue:
p∨(q∧r)⇔ ¬¬p∨(¬¬q∧ ¬¬r) – involuci´on
⇔ ¬¬p∨ ¬(¬q∨ ¬r) – De Morgan (2)
⇔ ¬(¬p∧(¬q∨ ¬r)) – De Morgan (1)
⇔ ¬((¬p∧ ¬q)∨(¬p∧ ¬r)) – ley distributiva (1)
⇔ ¬(¬(p∨q)∨ ¬(p∨r)) – De Morgan (2)
⇔ ¬¬(p∨q)∧ ¬¬(p∨r) – De Morgan (2)
⇔(p∨q)∧(p∨r) – involuci´on
Por transitividad,
p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
es tautolog´ıa, como quer´ıamos ver.
Leyes distributivas por la derecha
Hay que observar que lo que probamos son leyes distributivas por la
izquierda. Pero es muy f´acil deducir que tambi´en se valen por laderecha,
usando conmutatividad:
(p∨q)∧r⇔r∧(p∨q)
⇔(r∧p)∨(r∧q)
⇔(p∧r)∨(q∧r).
Por transitividad,
(p∧q)∨r⇔(p∨r)∧(q∨r).
es tautolog´ıa.
Demuestra que es tautolog´ıa
L´
ogica Proposicional
Algebra´Leyes distributivas
Son tautolog´ıas:
p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r) p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
(1) (2)
Para (2) procedemos como sigue:
p∨(q∧r)⇔ ¬¬p∨(¬¬q∧ ¬¬r) – involuci´on
⇔ ¬¬p∨ ¬(¬q∨ ¬r) – De Morgan (2)
⇔ ¬(¬p∧(¬q∨ ¬r)) – De Morgan (1)
⇔ ¬((¬p∧ ¬q)∨(¬p∧ ¬r)) – ley distributiva (1)
⇔ ¬(¬(p∨q)∨ ¬(p∨r)) – De Morgan (2)
⇔ ¬¬(p∨q)∧ ¬¬(p∨r) – De Morgan (2)
⇔(p∨q)∧(p∨r) – involuci´on
Por transitividad,
p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
es tautolog´ıa, como quer´ıamos ver.
Leyes distributivas por la derecha
Hay que observar que lo que probamos son leyes distributivas por la
izquierda. Pero es muy f´acil deducir que tambi´en se valen por laderecha,
usando conmutatividad:
(p∨q)∧r⇔r∧(p∨q)
⇔(r∧p)∨(r∧q)
⇔(p∧r)∨(q∧r).
Por transitividad,
(p∧q)∨r⇔(p∨r)∧(q∨r).
es tautolog´ıa.
Ejercicio 13: Prueba el otro caso
Demuestra que es tautolog´ıa
L´
ogica Proposicional
Algebra´Leyes de identidad
Conjunci´on con una tautolog´ıa:
Es tautolog´ıa
(p∨ ¬p)∧q⇔q
(p ∨ ¬p) ∧ q ⇔ q
V V F V V V V
V V F F F V F
F V V V V V V
F V V F F V F
Disyunci´on con un absurdo:
Es tautolog´ıa:
(p∧ ¬p)∨q⇔q
(p ∧ ¬p) ∨ q ⇔ q
V F F V V V V
V F F F F V F
F F V V V V V
F F V F F V F
Ejercicio 14: Prueba las leyes de dominaci´
on
Conjunci´on con una absurdo:
Es tautolog´ıa
(p∧ ¬p)∧q⇔p∧ ¬p
Disyunci´on con una tautolog´ıa:
Es tautolog´ıa:
Leyes de identidad
Conjunci´on con una tautolog´ıa:
Es tautolog´ıa
(p∨ ¬p)∧q⇔q
(p ∨ ¬p) ∧ q ⇔ q
V V F V V V V
V V F F F V F
F V V V V V V
F V V F F V F
Disyunci´on con un absurdo:
Es tautolog´ıa:
(p∧ ¬p)∨q⇔q
(p ∧ ¬p) ∨ q ⇔ q
V F F V V V V
V F F F F V F
F F V V V V V
F F V F F V F
Ejercicio 14: Prueba las leyes de dominaci´
on
Conjunci´on con una absurdo:
Es tautolog´ıa
(p∧ ¬p)∧q⇔p∧ ¬p
Disyunci´on con una tautolog´ıa:
Es tautolog´ıa:
L´
ogica Proposicional
Algebra´Ejemplo: Primera Ley del Silogismo
Es tuatolog´ıa:
(p⇒q)⇒((r⇒p)⇒(r⇒q))
Demostraci´on.
Las siguientes condicionales son tautol´ogicos:
(p⇒q)⇒ ¬p∨q – equivalencia(2)de⇒
⇒(¬p∨ ¬r)∨q – adici´on
⇒((r∨ ¬r)∧(¬p∨ ¬r))∨q – identidad
⇒((r∧ ¬p)∨ ¬r)∨q – ley distributiva
⇒(r∧ ¬p)∨(¬r∨q) – ley asociativa
⇒ ¬(r⇒p)∨(r⇒q) – negaci´on de⇒, equivalencia(2)de⇒
⇒((r⇒p)⇒(r⇒q)) – equivalencia(2)de⇒
Por transitividad,
(p⇒q)⇒((r⇒p)⇒(r⇒q))
Y una consecuencia sin esfuerzo: Segunda Ley del Silogismo
Es tautolog´ıa
(p⇒q)⇒((q⇒r)⇒(p⇒r))
Demostraci´on.
Los condicionales siguientes son tautol´ogicos
(p⇒q)⇒(¬q⇒ ¬p) – contrarec´ıproco
⇒((¬r⇒ ¬q)⇒(¬r⇒ ¬p)) – 1ra Ley del Silogismo
⇒((q⇒r)⇒(p⇒r)) – contrarec´ıproco
Por transitividad,
(p⇒q)⇒((q⇒r)⇒(p⇒r))
Otra caracterizaci´
on del bicondicional
⇔
Es tautolog´ıa:
(p⇔q)⇔((p∨q)⇒(p∧q))
Demostraci´on.
Los bicondicionales siguientes son tautol´ogicos:
(p⇔q)⇔(p⇒q)∧(q⇒p) – primera equiv. de⇔
⇔(¬p∨q)∧(¬q∨p) – equiv. (2) de⇒
⇔((¬p∨q)∧ ¬q)∨((¬p∨q)∧p)) –∧se distribuye sobre∨
⇔(¬p∧ ¬q)∨(q∧ ¬q)∨(¬p∧p)∨(q∧p) –∨se distribuye sobre∧, ley asociativa de∨
⇔(¬p∧ ¬q)∨(q∧p) –(q∧ ¬q)y(¬p∧p)son absurdos (identidad)
⇔(¬p∧ ¬q)∨(p∧q) – conmutatividad de∧
⇔ ¬(p∨q)∨(p∧q) – De Morgan (1)
L´
ogica Proposicional
Algebra´Una equivalencia inesperada (o quiz´
a no tanto)
Es tautolog´ıa:
(p⇔ ¬q)⇔ ¬(p⇔q)
Demostraci´on.
Los bicondicionales siguientes son tautol´ogicos:
(p⇔ ¬q)⇔(p⇒ ¬q)∧(¬q⇒p) – primera equiv. de⇔
⇔(¬p∨ ¬q)∧(¬¬q∨p) – equiv.(2)de⇒
⇔ ¬(p∧q)∧(q∨p) – De Morgan(1), involuci´on
⇔(p∨q)∧ ¬(p∧q) – conm. de∨y∧
⇔ ¬(p∨q⇒p∧q) – neg. de⇒
¡Sorprendente!
Las iteraciones del bicondicional⇔y la diferencia sim´etricaYson equivalentes.
En otras palabras, la proposici´on siguiente es tautolog´ıa:
((p⇔q)⇔r)⇔((pYq)Yr)
Demostraci´on.
Los bicondicionales siguientes son tautol´ogicos
((p⇔q)⇔r)⇔(¬(p⇔q)⇔ ¬r) –⇔no se altera con las negaci´on de sus componentes
⇔((pYq)⇔ ¬r) –Yes equivalente a la negaci´on de⇔
⇔ ¬((pYq)⇔r) – anterior
Truth Table Tool
Hay algunos sitios que generan tablas de verdad. Algunas de las m´as destacadas son las siguientes:
L´
ogica Proposicional
Algebra´Truth Table Generator
Hay algunos sitios que generan tablas de verdad. Algunas de las m´as detacadas son las siguientes:
L´
ogica Proposicional
Algebra´¿Qu´
e deber´ıamos preguntar?
1. ¿Cu´antos conectivos binarios hay?
2. ¿Hay conectivos “ternarios”? ¿Cu´antos?
3. Todav´ıa m´as, si entendemos por conectivon-ario (connun entero posito arbitrario)
como una funci´on tal que asigna ´unicamente dos valores de verdad an
proposi-ciones, ¿cu´antos conectivosn-arios hay?
Y tales conectivos, ¿sirven de algo?
No podemos contestar en este curso estas y otras preguntas que nos obligar´ıan a
exten-dernos mucho m´as de lo debido. Baste decir que, puede demostrarse que es suficiente
(m´as que suficiente de hecho), estudiar la lista de los pocos conectivos que hemos
