Teoremas fundamentales del an
alisis
funcional
3.1
El teorema de Baire y el principio del acotamiento uniforme
Denicion 3.1 SeanXun espacio topologico yAX. Ase llamaralo(odenso en ninguna parte) en X si y solo si A no tiene puntos interiores, es decir int N = ;. A se denomina magro ( o de primera categora), si A se puede escribir como una reunion contable de conjuntos ralos. Un conjunto que no es magro se denomina de segunda categora.
Ejemplo 3.2 a) Si B es abierto y denso, entonces A:=Bc es ralo.
b) Si AR2 es el conjunto de los numeros racionales sobre el ejex, A es ralo. c) Cualquier recta que pase por el origen en R2 es ralo.
Observacion 3.3 Sean(X; d) un espacio metrico yAX. Entonces,
Aes ralo () 8B"(x) 9B"0(x0)B"(x) tal que A\B"0(x0) =;:
Prueba. Ejercicio.
Observacion 3.4 Para un conjunto raloA en un espacio topologico X, el complemento Ac es denso en X, porque en caso contrario existira una vecindad U A, lo cual contradice que A es ralo. Subconjuntos de conjuntos magros son magros. La reunion contable de conjuntos magros es tambien un conjunto magro.
El teorema de Baire dice que un espacio metrico completo es de segunda categora (no es magro). Por medio de las operaciones de reunion y complemento de conjuntos se obtienen muchas versiones de este teorema, el cual tiene muchas aplicaciones en el analisis funcional y en la topologa.
52 Chapter 3. Teoremas fundamentales del an ´alisis funcional
Teorema 3.5 (de Baire) En un espacio metrico completo la interseccion contable de conjuntos abiertos y densos es un conjunto denso.
Prueba. Sea (Ak)k2N una sucesion de conjuntos abiertos y densos del espacio metrico
completo X. Sea B"0(x0) una bola abierta arbitraria de X. El conjunto B"0=2(x0)\A1, es
abierto y no vaco, por tanto existe una bola abierta B"1(x1) con 0 < "1 < "0=2 y B"1(x1)
B"0=2(x0)\A1 B"0(x0). Continuando esta construccion, obtenemos una sucesion de bolas
abiertas con
B"k(xk)B1
2"k 1(xk 1)\Ak B"k 1(xk 1) para todo k2
N ("k < 1
2"k 1). (3.1) Los puntos mediosxk de estas bolas forman una sucesion de Cauchy y debido a la completez de X, existe un x2X tal que xk !x. Sea k2N, l > kse tiene que
B"l(xl)B"k+1(xk+1)B"k=2(xk)
y por tanto
d(xk; x)d(xk; xl) +d(xl; x)
1
2"k+d(xl; x)l!1!
1 2"k.
Asx2B"k(xk) para todo k2N y por consiguiente x2Ak para todok 2N. De esto se sigue
que x 2B"0(x0) y x 2
\
k
Ak. Puesto que B"0(x0) fue elegido de manera arbitraria,
\
k Ak es
denso enX.
Corolario 3.6 Un espacio metrico completo es de segunda categoria (como subconjunto de si mismo).
Prueba. SeafEkgk2N una familia contable de subconjuntos ralos de X. Por la observacion
3.4, los conjuntos Ak :=Ekc son abiertos y densos en X, puesto que la interseccion de los Ak
(segun el teorema de Baire) es densa enX,X 6=
1 [
k=1
Ek. Si fuera cierto queX =[
k
Ek, entonces
X =[
k
Ek =
\
k Ekc
!c
= \
k Ak
!c
y con esoA:=\
k
Ak =; lo cual contradiceA denso.
Corolario 3.7 SeanX un espacio metrico completo yAk una familia contable de subconjuntos cerrados de X. Si [
k
Ak contiene una bola abierta, entonces existe un k0, tal que Ak0 contiene
Prueba. (Indirecta) SeafAkgk una familia contable de subconjuntos cerrados deX tal que
A:=[
k
Ak contiene una bola abierta B y supongamos que los Ak no contienen bolas abiertas.
Entonces los Ak son ralos (y cerrados por hipotesis). De eso y la observacion 3.4 se sigue que
losAck son abiertos y densos en el espacio metrico completoX. El teorema de Baire implica que
Ac=\
k
Ack es denso enX
y por tanto Ac\B 6= ;. Pero, por otro lado B A y por tanto B\Ac = ; lo cual es una
contradiccion.
Como una aplicacion interesante del teorema de Baire se obtiene que:
Proposicion 3.8 Existen funciones continuas en(C([a; b]);kk1) que no son diferenciable en ningun punto de [a; b].
Prueba. Ejercicio.
Porque la reunion de conjuntos magros es magro, debe ser el complemento de un conjunto magro un espacio metrico completono magro.
Ejemplo 3.9 Acotamiento puntual no implica acotamiento uniforme de funciones continuas: Decimos que el conjunto H C([0;1]) esta puntualmente acotado, si para cada x 2 [0;1] existe un Mx>0 tal que ju(x)j Mx 8u2H. Si existe una constante M >0 tal que
kxk1M para todo x2H,
decimos que H esta uniformemente acotado (en este caso jx(t)j M para todo t2[0;1] y todo x 2 H). Veamos que el acotamiento puntial de H no implica su acotamiento uniforme. Seanx0 2(0;1] arbitrario (pero jo) y k2N. Denimos la funcion continua uk por
uk(x) =
8 <
:
0; si 0xx0 2k o xx0,
k; si x=x0 1k,
lineal por tramo en el resto de [0;1]
Este conjunto de funciones es claramente puntualmente pero no uniformemente acotado.
Teniendo en cuenta que el ejemplo anterior se puede combinar para diferentes x0, resulta
interesante la siguiente proposicion.
Proposicion 3.10 Si el conjunto H C([0;1]) es puntualmente acotado, entonces existe un intervalo abiertoI [0;1]sobre el cualH es acotado uniformemente, es decir existe un intervalo I [0;1] y una constanteM >0tal que
54 Chapter 3. Teoremas fundamentales del an ´alisis funcional
Prueba. El conjunto
Ak :=fx2[0;1] :ju(x)j k para todou2Hg
para cada k2N es cerrado debido a la continuidad de las funcionesu, y [
k2N
Ak = [0;1] debido
al acotamiento puntual. Por el corolario 3.7 existe un intervalo abierto I [0;1] con I Ak0
para unk02N.
En el ejemplo anterior se obtiene un resultado mejor si las funciones son tambien lineales.
Teorema 3.11 (El principio del acotamiento uniforme, teorema de Banach-Steinhaus) SeanX un espacio de Banach, Y un espacio normado yH L(X; Y)un conjunto acotado pun-tualmente, esto es, para cadax2X existe una constanteKx>0tal quekT xkY Kx para todo T 2H. Entonces, el conjunto H esta acotado uniformemente:
Existe un K 0 tal que kTkL(X;Y)K para todo T 2H.
Prueba. Sea Ak :=fx2X:kT xkY k para todoT 2Hg para cada k 2 N. Puesto que x7 !T x7 ! kT xkY es una funcion continua para cadaT 2H, es el conjuntofx2X :kT xk kg cerrado. As,
Ak =
\
T2H
fx2X :kT xk kg, k2N,
es cerrado. Ademas, X = [
k
Ak pues H es acotado puntualmente. Por el corolario 3.7 existe
una bola abierta B2(x0)Ak0 para un k02N, y as
kT xk k0 para todox2B2(x0) y todo T 2H. (3.2)
Con esto se obtiene para todo kxk= 1 que
kT xkY = 1
kT(x)kY
= 1
kT(x+x0 x0)kY
1 T 0 B
@x+x0
| {z } 2B2(x0)
1 C A Y + 1
kT(x0)kY
k0
+
k0
,
y en consecuencia
kTkL(X;Y) 2k0
para todoT 2H:
3.2
El principio de la aplicaci
on abierta y el teorema de la gr
aca
cerrada
Recordemos que una aplicacion abierta es una funcion que mapea conjuntos abiertos en conjuntos abiertos.
Teorema 3.12 (Principio de la aplicacion abierta, teorema de operadores invertibles) Sean X; Y espacios de Banach y sea T 2 L(X; Y) sobreyectiva. Entonces T es una aplicacion abierta y en consecuencia su inversa T 12 L(Y; X), siT es biyectiva.
Prueba. Esto es una consecuencia no trivial del teorema de Baire. La prueba se desarrollara en cuatro pasos:
i) Sea Ba := Ba(0). Entonces T(B1) contiene una bola abierta. En efecto; es claro que
[
k
Bk=X. Ahora, comoT es sobreyectiva
Y =T(X) =[
k
T(Bk) =
[
k
T(Bk).
Por el corolario 3.7 existe un l 2 N tal que T (Bl) contiene una bola de radio r. En consecuencia T(B1) contiene una bola radior=l.
ii) El vector nulo es un punto interior deT(B") para cada" >0. Para probar esto utilizaremos
el hecho de que si un conjunto es convexo, entonces su cerradura tambien es convexo.
Pori) existe un y2X y un >0 tal que B(y) T(B1). Ahora, si z 2T(B1), existe una
sucesion (xn) enB1tal queT xn !z. Como ( xn)B1yT( xn) ! z, z2T (B1).
Por tantoB( y)T(B1). Luego, parakxk< se tiene que xy2B(y) y por tal
motivoxy2T(B1). De eso y de la convexidad de T(B1) resulta que
x= 1
2(x y) + 1
2(x+y)2T(B1). En consecuenciaB(0)T (B1) yB"(0)T (B").
iii) 0 es un punto interior deT(B") para cada" >0: Veamos por que:
Sea "0 > 0 arbitrario y ("k)k2N una sucesion de numeros positivo tal que "0 =
P1
k=1"k (por
ejemplo"k := "20k,k2N) y sea ahoraBk :=B"k(0),k 2N0. Segunii)T(Bk) contiene una
bola abiertaVk :=Bk(0), para cadak2N0, donde limk!1k = 0 porque T es continua
y"k !0 cuandok ! 1. Para cualquiery2V0construimos una sucesion (xk)k2N0 como
sigue:
56 Chapter 3. Teoremas fundamentales del an ´alisis funcional
y T x0 2V1=)y T x02T(B1) =) 9x1 2B1 conky T x0 T x1kY < 2. El paso k
de esta construccion es el siguiente:
Existe un xk 2Bk con
y k
X
i=0
T xi
Y
< k+1.
La serie P1k=0xk converge debido a kxkkX < "k y a el ejercicio 3 del captulo 2. De
lo anterior se tiene para x = P1k=0xk que kxkX < 2"0 y y = T x (2 T(B2"0(0))). En
conclusion, para cada"0> 0 existe un0 >0 tal que B0(0) T(B2"0(0)), y con eso se
sigueiii).
iv) SiM X es abierto,T (M) tambien es abierto.
Prueba: Debido aiii) cada punto de T(M) es punto interior. En efecto:
Seay2T(M), existe unx2M tal quey=T x. ComoM es abierto, existeB"(x)M. Puesto
que 0Y es un punto interior de T(B"(0)), existe un >0 tal que B(0)T(B"(0)). De
lo anterior se concluye que
B(y) =y+B(0)
T x+T(B"(0))
=T(x+B"(0))
=T(B"(x)) T(M) ,
es decir,yes un punto interior de T(M).
Corolario 3.13 Sean X; Y espacios de Banach y T 2 L(X; Y) biyectiva. Entonces existen constantes0c1 c2 <1 tales que
c1kxkX kT xkY c2kxkX, 8x2X.
Denicion 3.14 Para conjuntos cualesquiera X; Y yT :X !Y,
G(T) :=f(x; T x) :x2Xg XY
se llama graco de T. Si X y Y son espacios normados (de Banach), entonces XY es un espacio normado (de Banach) a traves de la norma
k(x; y)kXY kxkX+kykY . (3.3)
En algunas aplicaciones, importantes operadores lineales son a menudo no acotados, por ejemplo, ciertos operadores diferenciales en ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Afor-tunadamente muchos de ellos tienen una propiedad que resulta un sustituto para la continuidad. Ellos se llaman operadores lineales cerrados y a continuacion se estudiaran algunas de sus propiedades. Hay una completa teoria sobre ellos que es paralela a la de los operadores lin-eales continuos. El teorema de la graca cerrada nos da una importante relacion entre ellos.
Denicion 3.15 Sean X; Y espacios normados y T : D(T) X !Y una aplicacion lineal con dominioD(T) yD(T) subespacio de X. Decimos que T es un operador lineal cerrado si y solo si el graco de T,
G(T) =f(x; T x) :x2D(T)g,
es un subconjunto cerrado de XY.
Observacion 3.16 a) Debido a que la convergencia enXY es la convergencia por coorde-nadas, se tiene queT es cerrado si y solo si
8(xn)n en D(T) con lim
n!1xn=x2X y nlim!1T xn =y2Y
se cumple que x2D(T) yy=T x:
b) SiT es continua enD(T)y(xn)es una sucesion enD(T)convergente hacia unxenD(T), entonces la sucesion (T xn)n converge enY. Esto no se cumple en general para operadores cerrados, ya que la condicion limn!1T xn = y 2 Y aparece como hipotesis en a) para
poder concluiry=T x.
c) T cerrado ;T acotado.
Contraejemplo: SeanX=C([0;1]),kxk1= max[0;1]jx(t)jparax2X,D(T) :=fx2X :x0 2Xg=
C1([0;1]) yT :D(T)!X una aplicacion denida para cada x2D(T) por
[T x] (t) := dx(t)
dt para cada t2[0;1]:
Entonces T es claramente lineal pero no acotada, porque para n2 N, xn(t) := tn tiene normakxnk1= 1 ykT xnk1=
ntn 1
1=n. Por tanto
kTk= sup
kxk1=1
kT xk1 kT xnk1=npara todo n2N.
58 Chapter 3. Teoremas fundamentales del an ´alisis funcional
Sea (xn)n D(T) con xn ! x y T xn = dtdxn ! y en X. Como x0n
k:k1
! y signica convergencia uniforme en [0;1], tenemos para cada t2[0;1]
Z t
0
y(s)ds=
Z t
0
lim
n!1x 0
n(s)ds
= lim
n!1 Z t
0
x0n(s)ds
= lim
n!1[xn(t) xn(0)]
=x(t) x(0).
Luego,
x(t) =x(0) +
Z t
0
y(s)ds
y con ellox2C1([0;1]) =D(T) y x0= y, esto es, T x=x0: En consecuencia x2D(t) yy=T x, lo cual muestra que el operador T es cerrado.
d) T continuo ; T cerrado.
Contraejemplo: Sea D un subespacio propio de un espacio normado (X;kkX) con D = X y sea I : (D;kkX) ! (X;kkX) la aplicacion Ix = x para todo x 2 D. Entonces I es claramente lineal y continuo (isometra!). Ahora si tomamos un x 2 XnD y (xn) D con xn ! x en X, entonces Ixn = xn ! y = x. Pero x =2D(T) con lo cual I no es cerrado.
Lema 3.17 Sea T : D(T) X ! X lineal y acotado y D(T) un subespacio cerrado en X. Entonces T es cerrado.
Prueba. Sea (xn)n D(T) con xn ! x en X y T xn ! y en Y, entonces x 2 D(T),
porqueD(T) es cerrado. La continuidad deT implica queT x= lim
n!1T xn =y. En consecuencia
T es cerrado.
Observacion 3.18 QueT sea una aplicacion cerrada no implica queT mapee conjuntos cerra-dos en conjuntos cerracerra-dos. Un contraejemplo; se puede construir con la aplicacionT :X !X, X :=C([0;1];kk1), denida para cadax2X por
[T x] (t) =
Z t
0
x()d,t2[0;1].
El siguiente teorema nos dice cuando un operador cerrado es continuo.
Teorema 3.19 (de la graca cerrada) SeanX; Y espacios de Banach y T :D(T)X !
Prueba. XY conk(x; y)kXY =kxk+kykes un espacio de Banach. Por hipotesis el graco deT, G(T), yD(T) son subespacios cerrados enXY y X (resp.). Con eso G(T);kkXY y (D(T);kkX) son tambien espacios de Banach. Sea P1 : G(T) ! D(T) una aplicacion
denida porP1(x; T x) :=xpara cadax2D(T). EntoncesP1 es linear y continua, ya que para
x2D(T)
kP1(x; T x)k=kxk kxk+kT xk=k(x; T x)k
y con eso kP1k 1. Obviamente P1 es inyectiva y sobreyectiva con inversa P1 1 : D(T) !
G(T),P1 1x= (x; T x). Por el teorema 3.12 (de la aplicacion abierta) P1 1 es acotada, es decir, existe un c >0 tal que
P 1xckxk para todox2D(T) ,
lo que prueba la continuidad deT, ya que
kT xk kxk+kT xk=k(x; T x)k=P 1xckxk.
A continuacion resumimos el lema 3.17 y el teorema 3.19 en un teorema.
Teorema 3.20 Sean X; Y espacios de Banach, T : D(T) X ! Y un operador lineal y D(T) un subespacio cerrado (D(T) podra ser todo X). Entonces
T es continuo si y solo si T es cerrado.
Toda aplicacion lineal cerrada se puede transformar en una aplicacion lineal acotada si su dominio es dotado con la norma graca:
Proposicion 3.21 Sean X; Y espacios de Banach y T :D(T)X !Y un aplicacion lineal cerrada con D(T) un subespacio de X. Sea ademas
kxkT :=kxkX+kT xkY para toda x2D(T) (3.4)
la norma graca de T. Entonces
a) (D(T);kkT) es un espacio de Banach.
b) La aplicacion T : (D(T);kkT) !(Y;kkY) es una aplicacion lineal y acotada (continua).
