DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE UNA PROPORCIÓN
En el análisis de una característica o atributo, se emplea la proporción de éxito y no el mismo número de éxitos como en la distribución binomial.
Se conoce que la definición de proporción de éxitos es:
Ahora en vez de expresar la variable en términos de éxito (x) nos referiremos al número de atributos en la muestra (a) y lo dividimos por el tamaño de la muestra.
Simbología
Total de elementos que presentan la característica investigada en la población Proporción de elementos que presenta la característica investigada en la población.
Proporción de elementos que no presentan la característica estudiada.
=PQ
Error estándar de la proporción
Variable: Supongamos que se tiene una población de 500 personas para analizar su peso en kilogramos
, por lo tanto
y se tendrá que:
Ya se conoce como se procede en el cálculo de la y de en la variable X; ahora, observe como se calcula un atributo
Atributo: Se considera que se desea investigar la proporción de mujeres en 500 personas de una población; para ello se cuenta el número de mujeres observadas.
Equivale a
(Media proporcional) equivalente a
Ahora si se requiere .Reemplazando se tiene que: Lo cual queda demostrado.
Variante Estadística.
En muchos casos, podemos utilizar la distribución normal para evaluar la distribución muestral de proporciones, siendo:
Varianza de una proporción en la población Desviación proporcional en la población Varianza proporcional de la muestra
Desviación típica poblacional en la muestra Error estándar en una población
Ejercicios
1. Se ha determinado que el 65% de los estudiantes universitarios de Medellin prefieren los cuadernos marca profesional. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 100 universitarios de dicha ciudad, encontremos que:
a) como máximo el 68% sean usuarios de este tipo de cuaderno?
b) Exactamente 66% sean usuarios (utilizar medio punto de porcentaje para los límites)
100 %
65 =
= n
p
a) P(p<68%) =?
( )( )
0,002275 0,63 03, 0
100 2275 , 0
03 , 0
100 35 , 0 65 , 0
65 , 0 68 ,
0 − = = =
= − =
n PQ
P p Z
(
0,2357)
63,
0 A
Z = →
7357 , 0 2357 , 0 5000 ,
0 + =
=
P
b) P(65,5%<p<66,5%) =?
(
ya que P(p=66) =0)
31 , 0 0477 , 0
015 , 0 002275 , 0
65 , 0 665 ,
0 − = =
= − =
n PQ
P p Z
11 , 0 0477 , 0
005 , 0 002275 , 0
65 , 0 655 ,
0 − = =
= − =
n PQ
P p Z
(
0,1217)
31,
0 A
Z = → ; Z =0,11 → A
(
0,0438)
0779 , 0 0438 , 0 1217 ,
0 − =
=
P
2. Un fabricante de desodorantes recibe cada semana lotes de 10.000 válvulas para tarros rociadores. Para aceptar o rechazar dichos lotes, selecciona al azar 400 válvulas de cada lote; si el 2% o más resultan defectuosas, se rechaza el lote. En caso contrario se acepta el lote. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que contenga el 1% de las válvulas defectuosas?
( ) ?
400 01
,
0 = 0,02 =
= n Pp>
P
( )
2,01 40099 , 0 01 , 0
01 , 0 02 ,
0 − =
= − =
n PQ
P p Z
(
0,4778)
01,
2 A
Z = →
0222 , 0 4778 , 0 5000 ,
0 − =
=
P
P(p>0,02)= 2,22%
Con corrección.
Si se quiere obtener una buena aproximación a la distribución normal, debe hacerse la corrección en la variable discreta, siendo igual a , Si se va a obtener un área hacia la derecha, se restará este factor de corrección; en el caso de que sea a la izquierda, se sumará ese factor al valor de p.
3. se ha encontrado que el 4% de las piezas producidas por cierta maquina son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad, al seleccionar 400 piezas, que el 5% o más sean defectuosas?
Fórmula general: Fórmula corregida:
n PQ
P p Z = −
n PQ
P n p Z
−
−
= 2
1
( )
0,00125 8001 400 2
1 = =
(
)
( )( )
0,0097 0,9000875 , 0 000096 , 0
00875 , 0
400 96 , 0 04 , 0
04 , 0 00125 , 0 05 ,
0 − − = = =
=
Z
(
0,3159)
90,
0 A
Z = →
1841 , 0 3159 , 0 5000 ,
0 − =
=
P
P(p≥0,05)=18,41%
4. Para elegir presidente de un sindicato, un candidato obtuvo el 46% de los votos. Determinar la probabilidad de que entre 200, elegidos al azar, de un total de 1.000 afiliados, se obtenga la mayoría de votos para dicho candidato.
( ) ?
400 46
,
0 = 0,50 =
= n Pp>
P
a) Sin corregir:
( ) ( )
0,0352 1,14 040 , 0200 54 , 0 46 , 0
46 , 0 50 ,
0 − = =
= − =
n PQ
P p Z
(
0,3729)
14,
1 A
Z = →
1271 , 0 3729 , 0 5000 ,
0 − =
=
P
P(p>0,50)=12,71%
b) Corregido:
(
)
( ) ( )
1,06200 54 , 0 46 , 0
46 , 0 0025 , 0 50 , 0 2
1
= −
− =
−
− =
n PQ
P n p Z
(
0,3554)
06,
1 A
Z = →
% 46 , 14 1446 , 0 3554 , 0 5000 ,
0 − = =
=
P
5. Hallar la probabilidad de que en 200 lanzamientos de una moneda, el número de caras esté comprendido entre 40% y 60%
a) Planteamiento mediante la Distribución binomial
(80≤ ≤120)=? n =200 p=0,50 q=0,50
P x
( ) ( )
200( ) ( )
120 80 120120 80 200
80 0,5 0,5 ... C 0,5 0,5 C
P= +
b) Distribución normal
(79,5< <120,5) =? =np=200
( )
0,5 =100P x µ
( )( )
0,5 0,5 50 7,07200 = =
= = npq
σ
9 , 2 07 , 7
5 , 20 07
, 7
100 5 , 79
− = − = − = − = Xσ µ
Z
9 , 2 07 , 7
5 , 20 07
, 7
100 5 , 120 07
,
7 = =
− =
− = X µ
Z
(
0,4981)
9,
2 A
Z =− → ; Z =2,9 → A
(
0,4981)
(79,5<x<120,5) =0,4981+0,4981=0,9962=99,62%
P
P(79,5≤x≤120,5)=99,62%
c) Distribución de proporciones (corregido)
( ) ? 200 50
,
0 0,4 0,6 = =
= P < < n
P p
(
)
( )( )
0,03535 2,90 1025 , 0 200 5 , 0 5 , 0 50 , 0 0025 , 0 4 , 0 2 1 − = − = − − = − − = n PQ P n p Z(
)
( )( )
0,03535 2,90 1025 , 0 200 5 , 0 5 , 0 5 , 0 0025 , 0 6 , 0 2 1 = = − + = − − = n PQ P n p Z(
0,4981)
90,
2 A
Z =− →
(
0,4981)
90,
2 A
Z = →
9962 , 0 4981 , 0 4981 ,
0 + =
=
P
(0,40<p<0,60) =99,62%
P
d) Sin corrección:
( )( )
0,00125 2,83 10 , 0 200 5 , 0 5 , 0 5 , 0 4 ,0 − = − =−
= − = n PQ P p Z
( ) ( )
0,00125 2,83 10 , 0 200 5 , 0 5 , 0 5 , 0 6 ,0 − = =
= − = n PQ P p Z
(
0,4977)
83,
2 A
Z = →
9954 , 0 4977 , 0 4977 ,
0 + =
=
P
P(0,4≤p≤0,6) =99,54% Ejercicios para resolver
1. Se sabe que el 25% de los estudiantes de un colegio usan anteojos. ¿Cuál es la probabilidad de que 8 o menos usen anteojos en una muestra de 36 estudiantes?
2. Un nuevo tratamiento con rayo láser asegura su eficiencia en el 90% de los casos. Si se selecciona una muestra de 40 enfermos, ¿ que probabilidad hay de que se presente una diferencia mayor del 8% en cuanto a su eficiencia?
3. Según datos anteriores, se sabe que la efectividad de una vacuna es del 90%. ¿Cuál es la probabilidad de que al vacunar a 64 personas la proporción sea mayor del 95%?
4. Se ha demostrado, por reclamos que se han hecho, que el20% de las encomiendas llegan averiadas, al utilizar una campaña de transporte intermunicipal. ¿cuál es la probabilidad al enviar 100 encomiendas, de que la proporción sea menor del 25%?
