Señales y Sistemas I
Transformada de Fourier
Antonio Bonafonte
Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones
Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)
<antonio.bonafonte@upc.edu>
con la colaboración de Asunción Moreno
Índice general
2. Transformada de Fourier 1
2.1. Series y Transformada de Fourier . . . 1
2.1.1. Autofunciones de los S.L.I. . . 2
2.1.2. Series de Fourier . . . 4
2.1.3. Transformada de Fourier . . . 10
2.1.4. Representación de la Transformada de Fourier. . . 15
2.1.5. Aplicación a S.L.I. . . 17
2.2. Convergencia de la transformada de Fourier . . . 18
2.2.1. Convergencia puntual . . . 19
2.2.2. Convergencia cuadrática . . . 20
2.3. Generalización de la transformada de Fourier . . . 20
2.4. Propiedades . . . 22
Linealidad . . . 22
Simetrías: paridad . . . 22
Hermicidad . . . 23
Convolución . . . 25
Dualidad . . . 28
Retardo . . . 30
Producto . . . 31
Modulación . . . 32
Escalado . . . 34
Derivación . . . 35
Multiplicación port . . . 37
Integración . . . 38
Teorema de Parseval . . . 39
2.5. Transformada de Fourier de señales periódicas. . . 42
2.5.1. De series de Fourier a transformada de Fourier. . . 42
2.5.2. De la transformada de Fourier a las series de Fourier. . . 44
2.5.3. Fórmula de Poisson . . . 47
2.6. Muestreo . . . 49
2.6.1. Muestreo ideal . . . 50
2.6.2. Interpolación en el muestreo ideal . . . 52
2.6.3. Muestreo real . . . 54
2.7. Limitación en tiempo y en frecuencia . . . 56
2.7.1. Limitación en banda: efecto en las discontinuidades . . . 56
2.7.2. Enventanado . . . 62
2.8. Resumen de Transformadas de Fourier y Propiedades . . . 63
Capítulo 2
Transformada de Fourier
En el tema I, vimos que, como cualquier señal x(t)puede ponerse como combinación lineal de funcionesδ(t)yδ(t−t0), el conocimiento deh(t) =T[δ(t)]caracteriza a cualquier sistema lineal e
invariante. Sin embargo, la funciónδ(t), desde el punto de vista experimental, no es muy práctica: no es fácil generar una señal (asociada a una magnitud física) tal que su duración tienda a cero y su amplitud a infinito. Además, muchos sistemas sólo se comportan como lineales e invariantes para un rango limitado de amplitudes.
Vamos a estudiar ahora la respuesta de un S.L.I. a una función exponencial compleja est, (s complejo) y en particular la respuesta a las exponenciales imaginarias (ej2πf t). Veremos en este
tema, de la mano de las series y transformadas de Fourier, como la mayoría de las señales de interés pueden representarse como combinaciones lineales de exponenciales complejas. Por tanto, la respuesta de un S.L.I. a las exponenciales complejas nos servirá para conocer la respuesta a cualquiera de estas señales. Podríamos utilizar funciones senoidales, en vez de exponenciales complejas, pero estas últimas simplifican el tratamiento matemático.
Aunque estamos introduciendo la transformada de Fourier para caracterizar los S.L.I., esta es sólo una de las motivaciones. La transformada de Fourier nos permitirá analizar las señales desde un punto de vista distinto, facilitando la comprensión de muchos procedimientos utilizados en telecomunicaciones, tales como la modulación, la multiplexación, o la representación digital de las señales.
Además, la transformada de Fourier nos proporcionará las primeras herramientas para lasíntesis de sistemas: en el tema 1, aprendimos a analizar sistemas, por ejemplo, determinar la respuesta de S.L.I. a entradas, mediante la convolución. Sin embargo, no podemosdeconvolucionar, es decir, buscar la respuesta impulsional que ha de tener un sistema para que transforme una entrada en una salida.
2.1.
Series y Transformada de Fourier
En este apartado se definirán las series y la transformada de Fourier. En primer lugar, en el apartado 2.1.1 veremos cuál es la respuesta de un sistema lineal e invariante a la exponencial complejaej2πf0t y, a partir del resultado, la respuesta a funciones como el cos(2πf
0t), que son
combinanción lineal de exponenciales complejas, para distintos valores de f0.
En el apartado 2.1.2 veremos como las series de Fourier permiten expresar señales periódicas
como combinación lineal de exponenciales complejas. Y en el apartado 2.1.3 veremos como la transformada de Fourier permite representar mediante exponenciales complejas señales no periódicas.1.
Finalmente, en el apartado2.1.5, se utilizan estos resultados para estudiar la salida de una señal, periódica o no, expresada mediante combinación lineal de exponenciales complejas, a través de un sistema lineal e invariante.
2.1.1.
Autofunciones de los S.L.I.
Dada una transformación linealA, definida en un espacio vectorialV:
A:V −→V
se dice que un vectorxes unvector propioo autovector si se cumple que
Ax=λx (2.1)
λse denomina valor propio o autovalor. Frecuentemente losautovectores forman una base del espacio vectorial y por tanto, el conocimiento de los autovectores y autovalores permite conocer el resultado de la transformación lineal para cualquier vector del espacio vectorial.
La convolución es una transformación lineal en el espacio vectorial de las funciones. Las exponenciales complejasest sonautofunciones de la ecuación de convolución. Es decir, si en un
sistema lineal e invariante entrax(t) =est, la salida es proporcional a la entrada,y(t) =αx(t).
En efecto,
est∗h(t) =
Z ∞
−∞
es(t−τ)h(τ)dτ =est
Z ∞
−∞
e−sτh(τ)dτ
| {z }
HLB(s)
(2.2)
Fijémosnos que la integral es una constante, en el sentido que no depende del tiempo. Para una exponencial concreta de entrada, es decir, para un valor concreto de s, la integral es una constante, un número. La salida del sistema lineal invariante es, efectivamente,x(t)afectado por esa constante.
AHLB(s)se le llama transformada de Laplace bidireccional. En el caso que el sistema sea causal,
(h(t) = 0parat <0), tendríamos HL(s) =R0∞e−sth(t)dt, que se conoce como transformada de
Laplace.
En particular, sis=j2πf0t, la entrada es una exponencial imaginaria,ej2πf0t, y la salida será:
ej2πf0t∗h(t) =ej2πf0t
Z ∞
−∞
e−j2πf0th(t)dt
| {z }
H(f0)
(2.3)
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 3
H(f)es una función compleja de variable real (el resultado de la integral es un número complejo y f es real) y se conoce como la transformada de Fourier deh(t). En general, la transformada de Fourier dex(t), que llamaremosX(f)se define como
X(f) =F {x(t)}=
Z ∞
−∞
x(t)e−j2πf tdt (2.4)
Respuesta a una señal senoidal
Ahora que ya sabemos como afecta a una exponencial imaginaria el paso por un sistema lineal e invariante, podemos ver cual es el efecto de cualquier señal que sea combinación lineal de exponenciales imaginarias.
Estudiemos primero un caso concreto, en el que la señal sea una senoidal. Sea un sistema lineal e invariante caracterizado por su respuesta impulsionalh(t), y seaH(f)la transformada de Fourier deh(t). A el sistema se le aplica una señal senoidalx(t) = cos(2πf0t).
Expresemosx(t)como combinación lineal de exponenciales imaginarias:
x(t) = cos(2πf0t) =
1 2e
j2πf0t+1
2e
−j2πf0t
x(t)es combinación lineal de dos exponenciales imaginariasej2πf ty la salida será la combinación
lineal de las mismas exponenciales afectadas, por la constanteH(f):
y(t) =1 2H(f0)e
j2πf0t+1
2H(−f0)e
−j2πf0t
Asumiendo queh(t)es real,H(f0)yH(−f0)están relacionados por la propiedad de lahermicidad
de la transformada de Fourier:H(−f0) =H∗(f0). En efecto:
H∗(f0) =
µZ ∞
−∞
h(t)e−j2πf0tdt
¶∗
=
Z ∞
−∞
h∗(t)¡e−j2πf0t¢∗dt={h(t) =h∗(t) por ser real}
=
Z ∞
−∞
h(t)ej2πf0tdt=
Z ∞
−∞
h(t)e−j2π(−f0)tdt=H(−f
0)
Por lo que
H(f0) =|H(f0)|ej∠H(f0)
y la salida,y(t), es
y(t) =1
2|H(f0)|e
j∠H(f0)ej2πf0t+1
2|H(f0)|e
−j∠H(f0)e−j2πf0t
=|H(f0)|
µ1
2e
j(2πf0t+∠H(f0))+1
2e
−j(2πf0t+∠H(f0)) ¶
=|H(f0)|cos(2πf0t+∠H(f0))
Se puede observar que cuando en cualquier sistema lineal e invariante entra una señal senoidal, la salida es una señal senoidal, de lamismafrecuencia. El sistema lo único que hace es amplificar o atenuar su amplitud y añadir una componente de fase, es decir, un retardo.
Si la señal de entrada tuviera una cierta fase xˆ(t) = cos(2πf0t+φ), podemos expresar la fase
como un retardo y, dada la invarianza del sistema, aplicar ese retardo a la salida. Es decir:
ˆ
x(t) = cos(2πf0t+φ) = cos
µ
2πf0(t+
φ
2πf0
)
¶
=x(t+t0)
siendot0=2πfφ0. Por tanto, la salidayˆ(t)seráy(t+t0):
ˆ
y(t) =y(t+t0) =|H(f0)|cos(2πf0(t+t0) +∠H(f0))
ˆ
y(t) =|H(f0)|cos(2πf0t+φ+∠H(f0))
La figura2.1 ilustra el paso de exponencial compleja, imaginaria o una función senoidal por un sistema lineal e invariante.
x1(t) =est
x2(t) =ej2πf0t
x3(t) =cos(2πf0t+φ)
h(t)
S.L.I.
y1(t) =HLB(s)est y2(t) =H(f0)ej2πf0t
y3(t) =|H(f0)|cos(2πf0t+φ+∠H(f0))
Figura 2.1: Efecto de un sistema lineal e invariante sobre funciones exponenciales y senoidales
2.1.2.
Series de Fourier
En este apartado veremos como las series de Fourier permiten expresar señales periódicas como combinación lineal de exponenciales complejas.
Sea x(t)una señal periódica, con periodo T0 = 1/f0. Bajo ciertas condiciones de convergencia
x(t)puede representarse como combinación lineal de exponenciales complejas:
x(t) =
∞ X
k=−∞
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 5
El término k = 0, c0, es una constante e indica la componente continua, el valor medio de la
señal.
Los términos k = ±n, c−ne−j2πnf0t+cnej2πnf0t, son periódicos, de frecuencia nf0 y periodo
T0/n. Af0, se le denomina frecuencia fundamental de la señal.
Otras representaciones
Si x(t) es real, imponiendo en la ecuación (2.5) que x(t) =x∗(t), puede verse que c
k=c∗−k
(ejercicio). Entonces, el término ny el término−npueden agruparse. Escribiendocn =|cn|ejφn
y por tantoc−n =|cn|e−jφn
|cn|e−j(2πnf0t+φn)+|cn|ej(2πnf0t+φn)
= 2|cn|cos(2πnf0t+φn)
= 2|cn|cosφn·cos(2πnf0t)−2|cn|sinφn·sin(2πnf0t)
≡ancos(2πnf0t) +bnsin(2πnf0t)
Por tanto, las series de Fourier pueden expresarse también como suma de senos y cosenos, de frecuenciasarmónicas, es decir, múltiplos de la frecuencia fundamental,f0.
x(t) =a0+
∞ X
k=1
akcos(2πkf0t) +
∞ X
k=1
bksin(2πkf0t) (2.6)
con la siguiente relación entre coeficientes:
a0=c0
ak= 2|cn|cosφn bk= 2|cn|sinφn
(2.7)
Puede observarse que six(t)es par, forzosamente los coeficientesbk deberán ser nulos. Y six(t)
es impar, se anularán los coeficientesak, incluyendoa0.
Cálculo de los coeficientes
Asumiendo que para una señalx(t)periódica, la expresión de la serie de Fourier es correcta, ¿cómo podemos calcular los coeficientes ck? Como veremos las exponenciales complejas de armónicos
distintos son ortogonales. Por ello, mediante el producto escalar de una exponencial compleja con x(t), podremos determinar la contribución (coeficiente) de esa exponencial:
Definiendo el producto escalar de señales periódicas, con periodoT0= 1/f0como
< x(t), y(t)>= 1
T0
Z
<T0>
entonces,
< x(t), ej2πmf0t>= 1 T0
Z
<T0>
x(t)e−j2πmf0tdt
= 1
T0
Z
<T0>
à ∞
X
k=−∞
ckej2πkf0t !
e−j2πmf0tdt
=
∞ X
k=−∞
ck
1
T0
Z
<T0>
ej2πkf0te−j2πmf0tdt
=
∞ X
k=−∞
ck< ej2πkf0t, ej2πmf0t>
(2.9)
Como hemos adelantado, los distintos fasores son ortogonales. Sik=m, el producto escalar vale
1:
< ej2πkf0t, ej2πkf0t>= 1 T0
Z
<T0>
ej2πkf0te−j2πkf0tdt= 1 T0
Z
<T0>
dt= 1
Y sik6=m, el producto escalar se anula, ya que integramos una exponencial compleja (es decir, un seno más un coseno), de periodo submúltiplo deT0, en un intervaloT0. En cada periodo el
seno y el coseno tienen área nula. Veámoslo analíticamente, llamandor=k−m,
< ej2πkf0t, ej2πmf0t>= 1 T0
Z
<T0>
ej2π(k−m)f0tdt= 1 T0
Z
<T0>
ej2πrf0tdt
= 1
T0
ej2πrf0t¯¯T0/2 −T0/2 j2πrf0
= 1
T0
ej2πrf0T0/2−e−j2πrf0T0/2 j2πrf0
= 1
T0
sin(πr)
πrf0
= sinc(r)
que se anula si r6= 0. Nótese que aunque hemos integrado entre ±T0/2, el mismo resultado se
obtiene con cualquier intervalo de longitudT0.
Continuando con la resolución de la expresión (2.9), todos los términos del sumatorio son nulos, salvo cuandok=m, en cuyo caso valeT0, por tanto,
< x(t), ej2πmf0t>=. . .
=
∞ X
k=−∞
ck< ej2πkf0t, ej2πmf0t>
=· · ·+ 0 + 0 +cm+ 0 +· · ·=cm
(2.10)
Por tanto,
cm= 1 T0
Z
<T0>
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 7
El intervalo de integración, de duraciónT0, puede elegirse arbitrariamente según convenga.
E 2.1.1 (R)Determine el desarrollo en serie de Fourier (DSF) de un tren de pulsos rectangulares de anchura
T1 y periodoT0 (T1< T0):
x(t) =
∞ X
k=−∞
Π
„t
−kT0 T1
«
¥Solución:Al ser una señal periódica de periodoT0, se puede expresar mediante desarrollo en serie de Fourier,
x(t) =
∞ X
k=−∞
ckej2πkt/T0
El valor de los coeficientes es:
cm= 1
T0 Z
<T0>
x(t)e−j2πmf0tdt
La expresión queda más sencilla si elegimos como intervalo de integración entre±T0/2pues así, sólo queda una parte de la integral no nula:
cm=
1
T0
Z T0/2
−T0/2
Π
„ t T1
«
e−j2πmf0tdt= 1
T0
Z T1/2
−T1/2
e−j2πmf0tdt
(Ejercicio: calcule los coeficientes eligiendo como intervalo de integración[t0, t0+T0], cont0∈
(0, T1).) Sim= 0,
co=
1
T0
Z T1/2
−T1/2
dt=T1
T0
y sim6= 0,
cm= 1
T0 ·
1
−j2πmf0 “
e−j2πmf0T1/2−e−j2πmf0T1/2”
= 1
T0 ·
1
πmf0sin(πmf0T1) =
T1
T0 ·
1
πmf0T1sin(πmT1/T0) =
T1
T0sinc(mT1/T0)
Expresión que, de hecho, es también válida paraco.
Por tanto,x(t)se expresa como combinación de exponenciales complejas, donde la exponencial
mtiene frecuenciam/T0 =mf0, y la constante escm = TT10sinc
“
mT1
T0
”
. Dependiendo de la relación entreT0 yT1 se toman unos u otros valores de lasinc(.).
Como comprobación, ¿cuál es el desarrollo en serie de Fourier dex(t)siT1=T0? Justifique el resultado.
La figura2.2muestra los coeficientes de la serie de Fourier para el casoT0= 2T1.
2T1 4T1 6T1
−2T1
−4T1
−6T1
t
x(t)
T1
2 4 6
−2
−4
−6
m
cm= 12sinc¡m2¢
b
c bc bc
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c bc bc
Figura 2.2: Coeficientes de Fourier de tren de pulsos
0
−1
−2
−3
−4 0 1 2 3 4
m
f
0 f0 2f0 3f0 4f0
−f0
−2f0
−3f0
−4f0
En esta representación se indica, de manera explícita la frecuencia de la señal periódica (frecuencia del primer coeficiente) y las frecuencias de los distintos componentes, facilitando la interpretación física de la señal sin necesidad de multiplicar los índiceskpor la frecuencia fundamental,f0, de la señal.
La figura2.3muestra el resultado de la serie Fourier,PN
k=−Nckej2πkf0, en función deN. Se
puede demostrar que la energía de la señal error,e(t), definida como
e(t) =x(t)−
N
X
k=−N
ckej2πkf0
tiende a cero según crece el valor deN.
2T1
−2T1
t
x(t)
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 9
¥
E 2.1.2 (R) Encuentre el desarrollo en serie de Fourier de un tren de deltas de Dirac, separadasT0:
x(t) =
∞ X
k=−∞
δ(t−kT0)
¥Solución:La señal puede expresarse como desarrollo en serie de Fourier,
x(t) =
∞ X
k=−∞
ckej2πkt/T0
con coeficientesck,
ck=
1
T0
Z T0/2
−T0/2
δ(t)e−j2πkf0tdt
Por las propiedades deδ(t), la integral es el valor de la función en el origen,
ck=
1
T0e
−j2πkf0t|
t=0=
1
T0
En este caso, todas las constantesck tienen el mismo valor; el desarrollo en serie buscado es:
x(t) =
∞ X
k=−∞
δ(t−kT0) = 1
T0 ∞ X
k=−∞
ej2πkt/T0
La figura2.4ilustra este resultado. Observese que hemos preferido etiquetar el eje abcisas con valores frecuenciales: el primer coeficiente,k= 1, lo hemos dibujado en un eje frecuencial, de la frecuencia de la exponencial compleja a la que multiplicac1, que es 1
T0.
t
x(t)
u u u u u u u
T0
1
f
DSF
b
c bc bc bc bc
1
T0
1
T0
Figura 2.4: Coeficientes del Desarrollo en Serie de Fourier (DSF) de un tren de deltas
Nótese que hemos preferido utilizar frecuencias (en vez de índice) para mostrar los coeficientes de la serie de Fourier, facilitando deducir algunas observaciones interesantes. En particular, cuanto más espaciadas en tiempo están las deltas, más cercanas han de ser las frecuencias de las exponenciales complejas.
E 2.1.3 Calcule el desarrollo en serie de Fourier de |cos(2πf0t)|. Expréselo como suma de exponenciales complejas y también como suma de funciones senoidales.
E 2.1.4Seax(t)el tren de pulsos triangulares que se muestra en la figura:
2T0 4T0 6T0
−2T0 −4T0
−6T0
t
x(t)
Calcule su desarrollo en serie de Fourier y demuestre que puede expresarse como
x(t) = 1
2+ 4
π2
∞ X
k=1
1 (2k−1)2cos
„
2π(2k−1)t
T «
2.1.3.
Transformada de Fourier
Las señales no periódicas también pueden ponerse como combinación lineal de exponenciales complejas. Por ejemplo, consideremos un pulso rectangular,Π³T11´. Es como el ejemplo del tren de pulsos (figura2.2), pero con la separación entre pulsos,T0→ ∞, es decir, conf0→0.
La figura2.5representa el resultado obtenido para la serie de Fourier del tren de pulsos (ejercicio E2.1.1) para distintos valores deT0.
Como puede observarse, cuanto mayor es T0 (pulsos más separados), más próximas están las
frecuencias de las exponenciales complejas (kf0). Y los coeficientes de estas exponenciales,ck= T1f0sinc(kT1f0) se calculan a partir de valores próximos de la función sinc. En el límite, el
sumatorio se transforma en integral, sumando un continuo de frecuencias. Por tanto, para señales no periódicas:
x(t) =
Z ∞
−∞
X(f)ej2πf tdf (2.12)
Si comparamos con las series de Fourier, ecuación (2.5), hemos cambiado la frecuencia kf0 por
f, y su constante de proporcionalidad,ck, que multiplicaba a ej2πkf0t, por una constante que
hemos llamadoX(f), que multiplica a la exponencialej2πf t
Calculo de X(f)
Para ver el valor de X(f), procederemos análogamente a lo que hemos visto con las series, buscando el producto escalar con una exponencial compleja de una frecuencia determinada,fr.
Ahora, al ser señales no periódicas, definidas enR, el producto escalar se define como
< x(t), y(t)>=
Z ∞
−∞
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 11 f DSF b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c 1
2T1
1
T1
0,5
T0= 2T1
f
DSF
b
c bc bc bc bc bc
b
c
b
c bc bc
b c b c b c b c b
c bc bc
b c b c b c b c b
c bc bc bc
b
c bc bc bc bc bc
1
5T1
1
T1
0,2 T0= 5T1
f
DSF
b
c bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
b
c bc bc bc cb bc bc bc bc
b
c bc
b
c bc
b
c bc
b
c bc bc bc bc bc bc
b c b c b c b c b c b c b c b
c bc
b
c bc bc bc cb bc bc bc bc
b
c bc bc bc cb bc bc bc bc
1
10T1
1
T1
0,1 T0= 10T1
El producto escalar dex(t)por una exponencial compleja es:
< x(t), ej2πfrt>=
Z ∞
t=−∞
x(t)e−j2πfrtdt
=
Z ∞
t=−∞
µZ ∞
f=−∞
X(f)ej2πf tdf ¶
e−j2πfrtdt
(2.14)
Por linealidad de las integrales, si éstas convergen podemos cambiar el orden de la integración:
< x(t), ej2πfrt>=
Z ∞
f=−∞
X(f)
µZ ∞
t=−∞
ej2π(f−fr)tdt
¶
df (2.15)
Análogamente a lo que ocurría antes con las series, la integral interna se anula salvo quef =fr,
en cuyo caso la integral tiende a infinito (Rt∞=−∞dt).
De hecho, en el ejercicio E2.1.9veremos que esa integral se comporta como una delta de Dirac:
Z ∞
t=−∞
ej2πfstdt=δ(f
s) (2.16)
Por tanto, sustituyendoδ(f−fr)en la expresión anterior,
Z ∞
t=−∞
x(t)e−j2πfrtdt=
Z ∞
f=−∞
X(f)δ(f−fr)df=X(fr) (2.17)
Por tantoX(f)puede calcularse mediante el producto escalar dex(t)y una exponencial compleja de frecuenciaf:
X(f) =
Z ∞
t=−∞
x(t)e−j2πf tdt (2.18)
Esta expresión coincide con la que en la ecuación (2.4) ya habíamos llamado transformada de Fourier, a partir del estudio de exponenciales complejas a través de S.L.I.
El par formado por una señal y su transformada de Fourier se suele representar mediante una flecha, x(t) ←→ X(f). También se denota medianteF la transformada de Fourier y mediante F−1 su inversa:X(f) =F {x(t)},x(t) =F−1{X(f)}
E 2.1.5 (R) Calculad la transformada de Fourier de un pulso:
Π
„ t T
«
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 13
¥Solución:
F
Π
„ t T
«ff
=
Z ∞
t=−∞
Π
„ t T
«
e−j2πf tdt
=
Z T /2
t=−T /2
e−j2πf tdt
=e
−j2πf T /2−ej2πf T /2
−j2πf =
sinπT f
πf =Tsinc(T f)
En particular, siT = 1:
Π(t)←→sinc(f) (2.20)
La figura2.6ilustra esta transformada.
t
x(t)
T
2
1
f
X(f)
1
T T
Figura 2.6: Transformada de Fourier de un pulso rectangular
¥
E 2.1.6 (R) Comprobar la transformada de Fourier de una exponencial decreciente, real, y causal:
e−αtu(t)←→ α+1j2πf (2.21)
¥Solución:
X(f) =
Z ∞
t=−∞
e−αtu(t)e−j2πf tdt=
=
Z ∞
t=0
e−(α+j2πf)tdt=
=−
e−(α+j2πf)t˛˛
˛ ∞
t=0
α+j2πf =
= 1
α+j2πf
¥
¥Solución:Para calcular esta transformada de Fourier necesitaremos utilizar
Z ∞
−∞
sinc(β)dβ= 1 (2.22)
Esta expresión se demostró en los apuntes del tema 1, al estudiar funciones cuyo limite esδ(t).
X(f) =
Z∞
t=−∞
1
πte
−j2πf tdt
=
Z∞
t=−∞
1
πtcos(2πf t)dt−j
Z ∞
t=−∞
1
πtsin(2πf t)dt
La primera de las integrales es nula, ya que se integra, en un intervalo par, una función impar (ya que1/tes impar y multiplica acos(2πf t)que es par). Por tanto,
X(f) =−j
Z ∞
t=−∞
1
πtsin(2πf t)dt
=−j
Z ∞
t=−∞
2fsinc(2f t)dt
Aplicamos ahora el cambio de variable, 2f t → β. Fijémonos que los límites de la integral dependen delsignodef. En efecto, sif >0, entonces
X(f) =−j
Z ∞
−∞
sinc(β)dβ=−j
Pero sif <0:
X(f) =−j
Z ∞
−∞
sinc(β)dβ=j
Por tanto,
1
πt ←→ −jsgn(f) (2.23)
Análogamente podemos calcular la señal x(t) cuya transformada de Fourier es X(f) = 1
jπf,
obteniendo el siguiente par transformado:
sgn(t)←→ jπf1 (2.24)
¥
E 2.1.8 (R)Calcular la transformada de Fourier de unagausiana,x(t) =e−πt2
Nota:
Z ∞
−∞
1
√
2πe
−x2
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 15
¥Solución:
X(f) =
Z ∞
−∞
e−πt2e−j2πf tdt=
Z ∞
−∞
e−π(t2+j2f t)dt
=
Z ∞
−∞
e−π((t+jf)2−(jf)2)dt=
Z ∞
−∞
e−π(t+jf)2e−πf2dt=e−πf2
Z ∞
−∞
e−(√πt+j√πf)2dt
Aplicando el cambio de variable√πt+j√πf= √x
2,
X(f) =e−πf2
Z ∞
−∞
e−x
2 2 √dx
2π
Como el valor de la integral es la unidad,
e−πt2 ←→e−πf2 (2.25)
¥
E 2.1.9 (R) Demostrar queδ(f) =R∞
−∞e
j2πf tdt
¥Solución:
Z ∞
t=−∞
ej2πf tdt= l´ım
a→∞
Z a2
t=−a
2
ej2πf tdt=
= l´ım
a→∞
ej2πf t|a2
−a
2
j2πf =
= l´ım
a→∞
ejπf a−e−jπf a
j2πf =
= l´ım
a→∞
sin(πf a)
πf =
= l´ım
a→∞asinc(af)
En los apuntes del tema I vimos que la funciónδ(.)puede expresarse como límite de funciones, en particular, de la funciónsinc(.). Por tanto,
Z ∞
t=−∞
ej2πf tdt=δ(f)
¥
2.1.4.
Representación de la Transformada de Fourier.
A partir de la expresión de la transformada de Fourier dex(t),
X(f) =
Z ∞
−∞
puede observarse que X(f) es en general una función compleja, ya que consiste en una suma de números complejos; es decir, para cada valor de f,X(f)es un número complejo. Veáse por ejemplo la transformada de Fourier de la exponencial causal (ejercicio E2.1.6).
Para representar X(f)en función de la frecuencia f podría utilizarse la representación de las partes real e imaginaria de X(f). No obstante, habitualmente proporciona más información representar el módulo,|X(f)|y la fase, ∠X(f).
E 2.1.10 (R) Representad el módulo y fase de la transformada de Fourier deΠ(t).
¥Solución:
ComoX(f) = sinc(f)es real, el módulo es el valor absoluto. En cuanto a la fase, si el número es positivo la fase esφ= 0y si es negativa, la fase esφ=π.
f |X(f)|
1
T T
f
∠X(f)
1
T π
Figura 2.7: Módulo y fase de la transformada de Fourier de un pulso rectangular
¥
E 2.1.11 (R)Representad el módulo y fase de la transformada de Fourier dee−αtu(t).
¥Solución:
Tal y como se vió en el ejercicio E2.1.6,
e−αtu(t)←→ α+1j2πf
Si dibujamos el complejoα+j2πf, podemos ver que para
f = 0, el modulo vale α y la fase φ = 0. Según crece la frecuencia, el módulo crece hacia infinito, y la fase hacia
φ= π
2. Un punto característico es cuando2πf=α, es decir,
f= α
2π, ya que en esa frecuencia el módulo valeα
√
2, y la fase φ= π4. Y si suponemos que la frecuencia es negativa, el vector quedaría reflejado respecto el eje de abscisas: el módulo parafes el mismo que para−f, y la fase cambiaría el signo.
φ
α
2πf
Como este complejo está en el denominador, el módulo va deαhasta cero. En cuanto a la fase, para frecuencias positivas varía desde0hasta−π/2. La figura muestra la representación de la transformada de Fourier.
2.1. SERIES Y TRANSFORMADA DE FOURIER 17
f |X(f)|
α
2π
1
α
1 √
2α f
∠X(f)
α
2π
−π
4
π
2
Figura 2.8: Módulo y fase de la transformada de Fourier de una exponencial decreciente, real y causal
2.1.5.
Aplicación a S.L.I.
En el apartado 2.1.1habíamos visto que la salida de un S.L.I,h(t), a una exponencial compleja x(t) =ej2πf0t esy(t) =H(f
0)ej2πf0t, siendo H(f)la transformada de Fourier de h(t). En este
apartado vamos a estudiar la salida a señales, periódicas o no, que hemos visto que pueden expresarse como combinación lineal de exponenciales complejas.
Señales periódicas
Si la entrada es una señal periódica, utilizando el desarrollo en serie de Fourier,
x(t) =
∞ X
k=−∞
ckej2πkf0t
aplicando linealidad, la salida será:
y(t) =
∞ X
k=−∞
ck ¡
h(t)⋆ ej2πkf0t¢= ∞ X
k=−∞
ckH(kf0)ej2πkf0t (2.26)
Vemos que la expresión de la señal de salida,y(t), responde a un desarrollo en serie de Fourier, con coeficientes ckH(kf0). Es periódica y con el mismo periodo que la entrada,1/f0.
Los S.L.I. no añaden componentes frecuenciales; en todo caso, pueden eliminarlos (siH(kf0) = 0).
Señales no periódicas
Si la señal x(t)no es periódica podemos expresarla como:
x(t) =
Z ∞
f=−∞
La salida al pasar por un sistema lineal,h(t),
y(t) =h(t)∗
·Z ∞
f=−∞
X(f)ej2πf tdf ¸
=
Z ∞
f=−∞
X(f)¡h(t)∗ej2πf t¢df
=
Z ∞
f=−∞
X(f)H(f)ej2πf tdf
En esta expresión hemos obtenido y(t) expresada como combinación lineal de exponenciales complejas. Por tanto, X(f)H(f) es su transformada de Fourier. Ésta es una propiedad fundamental de la transformada de Fourier:
x(t)∗h(t)←→X(f)H(f) (2.27)
A la salida de un sistema lineal e invariante no pueden aparecer componentes frecuenciales que no existan a su entrada. AH(f)se le llama respuesta frecuencial del sistema.
E 2.1.12 (R)Transformada de∆(t).
¥ Solución: Como∆(t) = Π(t)∗Π(t), utilizando la propiedad de la convolución (ecuación
(2.27)), y sabiendo el par transformadoΠ(t)←→sinc(t)(ejemplo E2.1.5), tenemos
∆(t) = Π(t)∗Π(t)←→sinc(t)·sinc(t) = sinc2(t) (2.28)
t
x(t)
1 1
f
X(f)
1 1
Figura 2.9: Transformada de Fourier de pulso triangular
¥
2.2.
Convergencia de la transformada de Fourier
El estudio análisis de la convergencia de series y transformadas de Fourier queda fuera del alcance de estos apuntes. No obstante, es conveniente conocer unas nociones, por ejemplo para no intentar calcular la transformada de Fourier de una señal que no existe.
2.2. CONVERGENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 19
X(f) =
Z ∞
−∞
x(t)e−j2πf tdt
Ahora bien, X(f) no existe para cualquier x(t). Por ejemplo, si x(t) = e−t ni siquiera existe X(0):
X(0) =
Z ∞
−∞
e−tdt→ ∞
También indicamos que a partir de la transformada de Fourier podemos recuperar la señal x(t)
mediante lo que se conoce como transformada inversa (ecuación (2.4)):
x(t) =
Z ∞
−∞
X(f)ej2πf tdf
Ahora bien, ¿qué significa precisamente el signo de igualdad?
El objetivo de esta sección es enunciar las condiciones de existencia deX(f)y la condiciones de convergencia. Para ello, definiremosxa(t),
xa(t) =
Z ∞
−∞
X(f)ej2πf tdf
y veremos su relación con x(t).
2.2.1.
Convergencia puntual
Si x(t)es absolutamente integrable, es decir, R−∞∞ |x(t)|dt <∞, entonces
1. ExisteX(f)
En efecto,
|X(f)|=
¯ ¯ ¯ ¯
Z ∞
−∞
x(t)e−j2πf tdt ¯ ¯ ¯ ¯
≤
Z ∞
−∞|
x(t)||e−j2πf t|dt=
Z ∞
−∞|
x(t)|dt <∞
2. xa(t)coincide conx(t)en todo punto en que la función sea continua yde variación acotada
xa(t) =
Z ∞
f=−∞
X(f)ej2πf tdf =
=
Z ∞
f=−∞
µZ ∞
τ=−∞
x(τ)e−j2πf τdτ ¶
ej2πf tdf =
=
Z ∞
τ=−∞
x(τ)
µZ ∞
f=−∞
ej2πf(t−τ)df ¶
Habíamos visto (ejercicio E2.1.9) queRx∞=−∞ej2πxydx=δ(y). Por tanto, tomandox=f
ey=t−τ
xa(t) =
Z ∞
τ=−∞
x(τ)δ(t−τ)dτ
Por las propiedades de la funciónδ(.), esa integral esx(t)siempre que x(τ)sea continua y de variación acotada en el entorno det, para poder aplicar el teorema del valor medio. Una señal devariación acotada es aquella que en cualquier intevalo finito tiene un número de discontinuidades, máximos y mínimos finito. Por ejemplo, la funcióncos(1/t) no es de variación acotada porque el número de máximos en el entorno del origen no es finito.
E 2.2.1Dibuje la funciónx(t) = cos(1/t). Justifique que no podemos calcularR∞
−∞cos(1/t)δ(t)dt.
2.2.2.
Convergencia cuadrática
Sólo enunciaremos las condiciones. Si x(t) es de energía finita, es decir, R−∞∞ |x(t)|2dt < ∞,
entonces
1. ExisteX(f)
2. El error cuadrático cometido al aproximarx(t)porxa(t)es nulo. Es decir,
Z ∞
−∞|
x(t)−xa(t)|2dt= 0
Nótese que estas condiciones son suficientes para la convergencia. Puede haber otras funciones (como 1
t) que no cumplan estas condiciones pero que la transformada de Fourier converja.
2.3.
Generalización de la transformada de Fourier
Podemos extender el concepto de la transformada de Fourier a otras señales si aceptamos la funciónδ(.)en la transformada de Fourier.
Por ejemplo, siX(f) =δ(f),
x(t) =
Z ∞
f=−∞
δ(f)ej2πf tdf =ej2π0t= 1
Por tanto,
1←→δ(f) (2.29)
2.3. GENERALIZACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 21
δ(f) =
Z ∞
t=−∞
ej2πf tdt
Notad que six(t) = 1, no podemos calcular mediante integración directa ni siquieraX(0),
X(0) =
Z ∞
−∞
1e−j2π0tdt=
Z ∞
−∞
dt→ ∞
pero podremos hablar de la transformada de Fourier de la constante si admitimos δ(f) en su transformada.
Para este tipo de funciones, que no son absolutamente integrables ni cuadrado integrables, no es fácil la resolución directa de integral de la transformada de Fourier. Para su cálculo habitualmente utilizaremos propiedades de la transformada de Fourier y transformadas conocidas, o deberemos recurrir a límites.
E 2.3.1 (R) ¿Qué señalx(t), tiene como transformadaX(f) =δ(f−fs)? ¥Solución:
x(t) =
Z ∞
f=−∞
δ(f−fs)ej2πf tdf=ej2πfst
ej2πfst←→δ(f−f
s) (2.30)
¥
E 2.3.2 (R) ¿Qué señalx(t), tiene como transformadaX(f) = 1
2δ(f−fs) +
1
2δ(f+fs)?
¥Solución:
x(t) =
Z ∞
f=−∞
1
2(δ(f−fs) +δ(f+fs))e
j2πf tdf=1
2e
j2πfst+1
2e
−j2πfst= cos(2πf
st)
cos(2πfst)←→ 1
2δ(f−fs) + 1
2δ(f+fs) (2.31)
¥
E 2.3.3 (R)Transformada del escalónu(t) ¥Solución:
La función escalón no es absoluto integrable ni cuadrado integrable. Sin embargo podemos relacionarla con la funciónsgn(.), para la que vimos (ejercicio E2.1.7, ecuación(2.24)):
Utilizando que
u(t) = 1
2(1 + sgn(t))
Tenemos:
Z ∞
−∞ „
1
2(1 + sgn(t))
«
e−j2πf tdt= 1
2
Z∞
−∞
e−j2πf tdt+1
2
Z∞
−∞
sgn(t)e−j2πf tdt
Por tanto,
u(t)←→ δ(2f)+ 1
j2πf (2.32)
¥
2.4.
Propiedades
En este apartado vamos a presentar algunas de las propiedades más importantes de la transformada de Fourier.
Propiedad 1 (Linealidad)
αx(t) +βy(t)←→αX(f) +βY(f)
Esta propiedad se deriva directamente de la linealidad de la integral:
F {αx(t) +βy(t)}=
Z ∞
−∞
(αx(t) +βy(t))e−j2πf tdt
=α
Z ∞
−∞
x(t)e−j2πf tdt+β
Z ∞
−∞
y(t)e−j2πf tdt
Propiedad 2 (Simetrías)
Propiedad 2.1 (Paridad)
x(t)par ⇐⇒ X(f)par x(t)impar ⇐⇒ X(f)impar
Para demostrarlo expresemosX(−f)y veámos la relación conX(f):
X(f) =
Z ∞
−∞
x(t)e−j2πf tdt
X(−f) =
Z ∞
−∞
x(t)e−j2π(−f)tdt={t=−τ}=
Z −∞
∞
x(−τ)e−j2πf τ(−dτ)
=
Z ∞
−∞
2.4. PROPIEDADES 23
Si x(t)es par,X(f)también lo es:
X(−f) =
Z ∞
−∞
x(−τ)e−j2πf τdτ =
Z ∞
−∞
x(τ)e−j2πf τdτ =X(f)
Y si esx(t)es impar, también lo esX(f):
X(−f) =
Z ∞
−∞
x(−τ)e−j2πf τdτ =
Z ∞
−∞−
x(τ)e−j2πf τdτ =−X(f)
Propiedad 2.2 (Hermicidad)
x(t)real ⇐⇒ X(f)hermítica, es decirX(f) =X∗(−f)
O expresado de otra forma,
x(t)real ⇐⇒ |X(f)|par y∠X(f)impar
En efecto, si X(f) =X∗(−f), tomando el módulo en ambos lados de la ecuación:
|X(f)|=|X∗(−f)|
=|X(−f)|
por lo que, efectivamente, el módulo es par. En cuanto a la fase, partiendo de la misma igualdad,
∠X(f) =∠X∗(−f) =−∠X(−f)
por lo que la fase es impar. Véase por ejemplo el módulo y fase de una exponencial real, decreciente y causal, representando en la figura2.8.
Para demostrar la hermicidad de la transformada de Fourier de señales reales, veamos primero un resultado que tiene su propia utilidad. Seax(t)una señal no necesariamente real. Entonces,
x∗(t)←→X∗(−f)
En efecto,
X∗(−f) =
µZ ∞
−∞
x(t)e−j2π(−f)tdt
¶∗
=
µZ ∞
−∞
x(t)ej2πf tdt
¶∗
Como el conjugado de una suma (la integral) es la suma de conjugados,
X∗(−f) =
Z ∞
−∞ ¡
y dado que el conjugado de un producto es el producto de conjugados,
X∗(−f) =
Z ∞
−∞
x∗(t)e−j2πf tdt
Si comparamos la parte derecha de la expresión con la definición de la transformada de Fourier vemos que estamos calculando la transformada de Fourier dex∗(t). Y el valor de dicha transformada esX∗(−f).
A partir de este resultado es inmediato demostrar la propiedad de la hermicidad. Six(t)es real,
x(t) =x∗(t)
F {x(t}=F {x∗(t)} X(f) =X∗(−f)
Debido a la simetría que presenta la transformada de Fourier de señales reales, habitualmente sólo se representan los valores positivos del módulo y de la fase de X(f), y esto tanto en gráficas impresas, como en instrumentación (analizadores de espectro) o software de análisis (en particular, el programa que acompaña a “Senyals i Sistemes analògics: una introducció pràctica”). X(f)paraf <0no es que sea nulo, sino que puede obtenerse a partir de los valores paraf >0.
Un caso particular es cuando la tranformada de Fourier es real. Por ejemplo, en el ejercicio E2.1.10se representaba el módulo y fase deF©Π(t
T)
ª
=Tsinc(T f):
f |X(f)|
1
T T
f
∠X(f)
π
1
T f1 f2
En la gráfica, no parece que la fase sea impar. Pero en realidad, sí lo es debido a que en un número complejo, la fase tiene una ambiguedad de2kπ, es decir|c|ej(φ+2kπ)=|c|ejφ
En particular, para las frecuenciasf1 yf2 indicadas en la figura:
∠X(f1) = 0que es igual a −∠X(−f1) = 0.
∠X(f2) =πmientras que−∠X(−f2) =−π. Pero los valores de fase±πson equivalentes:
2.4. PROPIEDADES 25
Comprobamos que al serΠ¡t T ¢
real, podríamos expresar la fase (utilizando la ambiguedad2kπ) como una función impar, tal y como se ilustra en la figura.
f
∠X(f)
1
T π
−π
Propiedad 2.3 (Paridad para señales reales) Si x(t) es real y par, X(f) es real y (propiedad 2.1) par. Six(t)es real e impar,X(f)es imaginaria y (propiedad2.1), impar.
Consideremos el primer caso, x(t)real y par.
X(f) =X∗(−f) por serx(t)real X(f) =X(−f) por serx(t)par
Por tanto,
X∗(−f) =X(−f) o lo que es lo mismo,X∗(f) =X(f)
Los únicos números complejos que son iguales a sus conjugados son los números reales;X(f)ha de ser real.
La demostración del segundo caso, x(t) impar, es similar. De las propiedades de paridad y hermicidad tenemos que, six(t)es real e impar,X∗(f) =−X(f). La igualdad sólo se cumple si X(f)es imaginaria.
Propiedad 3 (Convolución)
x(t)∗h(t)←→X(f)·H(f)
Esta propiedad, que ya fue demostrada en el apartado2.1.5, ecuación (2.27), es muy importante en el análisis y síntesis de sistemas lineales e invariantes.
Comox(t)∗h(t)puede interpretarse como la salida del sistemah(t)al ser excitado por la señal x(t), la propiedad nos dice que six(t)la representamos como combinación lineal de exponenciales complejas de distinta frecuencia, entonces un sistema lineal e invariante, amplifica o atenua la contribución de cada componente frecuencial. Un sistema lineal e invariante puede eliminar una componente frecuencial en f0 ya que H(f0) puede ser 0, pero no puede crear una componente
frecuencial en f0 si X(f0) es nula. Nótese que esta multiplicación es compleja, por lo que de
hecho supone un cambio de amplitud y fase de los componentes senoidales.
E 2.4.1 (R)
¥ Solución: Para expresar x(t) como combinación lineal de cos(.), realizaremos un desarrollo muy similar al que se hizo en el apartado2.1.2 con las series de Fourier.
x(t) =
Z ∞
−∞
X(f)ej2πf tdf
=
Z 0
−∞
X(f)ej2πf tdf+
Z ∞
0
X(f)ej2πf tdf
Haciendo un cambio de variable en la primera integral,f→ −fˆ,
x(t) =−
Z 0
∞
X(−fˆ)e−j2πf tˆdfˆ+
Z ∞
0
X(f)ej2πf tdf
=
Z ∞
0
X(−fˆ)e−j2πf tˆdfˆ+
Z ∞
0
X(f)ej2πf tdf
=
Z ∞
0 “
X(−f)e−j2πf t+X(f)ej2πf t”df
ExpresandoX(f)yX(−f)en forma polar, e imponiendo las propiedades de simetría del módulo y fase deX(f)para señales reales:
x(t) =
Z ∞
0 “
|X(−f)|ej∠X(−f)e−j2πf t+|X(f)|ej∠X(f)ej2πf t”df
=
Z ∞
0 “
|X(f)|e−j∠X(f)e−j2πf t+|X(f)|ej∠X(f)ej2πf t”df
=
Z ∞
0 |
X(f)|“e−j(2πf t+∠X(f))+ej(2πf t+∠X(f))”df
=
Z ∞
0
2|X(f)|cos`
2πf t+∠X(f)´ df
Esta es una forma que quizá sea más intuitiva (aunque raramente utilizada) de la transformada de Fourier, donde se ve que una señal real se puede expresar como combinación lineal de cosenos, con las amplitudes y fases adecuadas.
En cuanto a la saliday(t), tendrá la misma forma:
y(t) =
Z ∞
0
2|Y(f)|cos`
2πf t+∠Y(f)´ df
=
Z ∞
0
2|X(f)·H(f)|cos“2πf t+∠`
X(f)·H(f)´”
df
=
Z ∞
0
2|X(f)| · |H(f)|cos`
2πf t+∠X(f) +∠H(f)´ df
Como vemos, el paso por el S.L.I. produce un cambio de amplitud y fase de las componentes frecuenciales.
¥
Además, la propiedad de convolución nos permite determinar como queremos que sea un sistema, H(f), a la vista de la entrada y de la salida.
H(f) = Y(f)
2.4. PROPIEDADES 27
Un caso de particular interés es el filtrado, objeto de estudio del tema 3. Un filtro selectivo en frecuencia puede utilizarse para separar de una señal la parte que nos interesa de la que no, siempre que las dos partes no sesolapen frecuencialmente.
Por ejemplo, supongamos que tenemos una señalz(t)cuya transformada de Fourier se muestra en la figura 2.10. Esta señal contiene la señalutil o deseada, m(t), y otra señal que interferente o no deseada,i(t). ¿Qué sistema debemos diseñar para obtenerm(t)?
?
z(t) =m(t) +i(t) y(t) =m(t)
f B
Z(f)
M(f) I(f)
B
Y(f)
M(f)
Figura 2.10: La propiedad de la convolución permite diseñar sistemas conociendo la entrada y la salida deseada.
Cómo en la salida no aparecen nuevas frecuencias, podemos utilizar un sistema lineal e invariante, h(t). Dado que la salida queremosy(t) =z(t)∗h(t) =m(t), impondremos queH(f) = 1 en las frecuencias de la señal de interés,M(f)6= 0. En las frecuencias de lainterferencia, impondremos H(f) = 0. En el resto de frecuencias, como Z(f) es nulo, la salida Y(f) será nula sea cuál sea el valor de H(f). Un criterio razonable es imponer que H(f) sea también nulo en esas frecuencias: nuestro sistema está diseñado para obtenerm(t)pero podría ocurrir que aparezcan nuevas interferencias.
Por tanto, elegimos como sistemaH(f) = Π³2fB´
H(f)
z(t) m(t)
f B
H(f)
los filtros ideales no son realizables con ninguna tecnología, por lo que deberemos conformarnos con aproximaciones al filtro ideal.B es la frecuencia de corte, es decir, la frecuencia que separa entre las frecuencias que deja pasar el filtro (banda de paso) y las frecuencias que se eliminan (banda atenuada).
Propiedad 4 (Dualidad)
x(t)←→X(f) ⇐⇒ X(t)←→x(−f)
La motivación de esta propiedad viene de la similitud de la fórmula de la Transformada de Fourier y de la Transformada Inversa de Fourier:
X(f) =
Z ∞
−∞
x(t)e−j2πf tdt x(t) =
Z ∞
−∞
X(f)ej2πf tdf
Por ello, si sabemos la transformada de Fourier de x(t), podríamos utilizarlo para calcular la transformada inversa de esa misma función, evaluada enf, es decir,x(f).
Antes de demostrar la propiedad, veamos un ejemplo.
E 2.4.2 (R)Calcular la transformada de Fourier desinc(t) ¥Solución:
La transformada de Fourier de unasinc(.)es:
F {sinc(t)}=
Z ∞
−∞
sinc(t)e−j2πf tdt
Sabemos queΠ(t)←→sinc(f)(ejercicio E2.1.5), es decir,
Π(t) =
Z ∞
−∞
sinc(f)ej2πf tdf
Si af le llamamosty atle llamamosf, nos queda,
Π(f) =
Z ∞
−∞
sinc(t)ej2πf tdt
y para obtener exactamente la integral que buscamos, evaluamos el pulso en−f:
Π(−f) =
Z ∞
−∞
sinc(t)ej2π(−f)tdt=
Z ∞
−∞
sinc(t)e−j2πf tdt
En este caso, comoΠ(.)es par,
sinc(t)←→Π(f) (2.34)
2.4. PROPIEDADES 29
¥
La demostración de la propiedad de dualidad no es más que una generalización del ejercicio E2.4.2.
Queremos saber cuál es la transformada de Fourier deX(t):
Z ∞
−∞
X(t)e−j2πf tdt
sabiendo queF {x(t)}=X(f):
x(t) =
Z ∞
−∞
X(f)ej2πf tdf
Intercambiando los nombres detyf, tenemos:
x(f) =
Z ∞
−∞
X(t)ej2πf tdt
Y evaluando la expresión anterior en−f,
x(−f) =
Z ∞
−∞
X(t)e−j2πf tdt
La expresión anterior dice que la transformada de Fourier deX(t)esx(−f), tal como queriamos demostrar.
E 2.4.3 (R) Sabiendo que 1
πt ←→ −jsgn(f)¿Cuál es la transformada de Fourier desgn(t)? ¥Solución:
Aplicando la propiedad de dualidad,
−jsgn(t)←→ π(1 −f)
Y por linealidad de la Transformada de Fourier, podemos multiplicar ambos lados por la constante
j:
sgn(t)←→ −πfj (2.35)
¥
¥Solución:
X(t) =x(−f)
δ(t−t0)←→e−2jπt0f (2.36)
Hemos aplicado la propiedad de dualidad, y además, a la constante f0 le hemos llamado, arbitrariamentet0, para que las unidades sean homogeneas.
Como caso particular, sit0= 1,
δ(t)←→1 (2.37)
¥
La propiedad de la dualidad puede utilizarse no sólo para obtener nuevos pares transformados a partir de pares conocidos, sino también para obtener, a partir de propiedades conocidas, propiedadesduales, tal como veremos al demostrar las propiededades del producto (propiedad6) y de la modulación (propiedad7)
Propiedad 5 (Retardo)
x(t−t0)←→e−j2πt0fX(f)
La propiedad dice que, si retardamos una señal, su transformada de Fourier es la misma salvo un término de fase lineal. Es decir, el módulo de la transformada de Fourier de la señal retardada es:
|e−j2πt0fX(f)|=|X(f)|
y su fase:
∠(e−j2πt0fX(f)) =−2πt
0f+∠X(f)
Como vemos, la fase de la transformada de la señal retardada es la de la señal sin retardar, añadiendo un termino lineal conf. Si es un retardo (t0>0) la pendiente es negativa. Si la señal
se adelantase, la pendiente de la fase que se añade sería positiva.
La demostracióndirecta es sencilla. Consiste en aplicar la fórmula de la transformada de Fourier sobre la señal de la cuál buscamos las transformada, en este casox(t−t0):
F {x(t−t0)}=
Z ∞
−∞
x(t−t0)e−j2πf tdt={(t−t0)→τ}
=
Z ∞
−∞
x(τ)e−j2πf(τ+t0)dτ
=e−j2πf t0
Z ∞
−∞
2.4. PROPIEDADES 31
Muchas de las propiedades de la transformada de Fourier pueden demostrarse por un método indirecto, que en ocasiones resulta más conveniente. Consiste en expresarx(t)en función de su transformada de Fourier, manipularx(t)para tener la señal de la que buscamos su transformada, e identificar su transformada de Fourier. Veamos la aplicación a esta misma propiedad:
Partimos de la expresión de x(t)en función deX(f):
x(t) =
Z ∞
−∞
X(f)ej2πf tdf
Por tanto, la expresión para x(t−t0)es:
x(t−t0) =
Z ∞
−∞
X(f)ej2πf(t−t0)df =
Z ∞
−∞
X(f)e−j2πf t0ej2πf tdf
Esta ecuación expresa una señal temporal,x(t−t0), como combinación lineal de las exponenciales
complejas ej2πf t. Las constantes que multiplican a esas exponenciales son su transformada de
Fourier. Es decir:
x(t−t0)
| {z }
y(t)
=
Z ∞
−∞
X(f)e−j2πf t0
| {z }
Y(f)
ej2πf tdf
E 2.4.5 (R)A partir de la propiedad del retardo (propiedad5), demuestre que un sistema que retarde la señal es lineal e invariante.
¥Solución:
Consideremos una señal x(t) que pasa por un sistema retardador. Hemos visto que la transformada de Fourier de la salida es X(f)e−j2πf t0, por tanto, es el producto de la
transformada de la entrada con otra función. Y eso equivale a una convolución en el tiempo, que es la operación que realizan los S.L.I.
En particular, comoY(f) =X(f)e−j2πf t0, calculando la transformada inversa,
y(t) =x(t)∗ F−1ne−j2πf t0o
La salida se encuentra mediante la convolución de la entrada con otra función, que llamamos respuesta impulsional del sistema lineal e invariante. En este caso, aplicando el par transformado de la ecuación2.36, se obtiene
h(t) =F−1ne−j2πf t0o=δ(t
−t0)
tal y como corresponde a un retardador.
Observando la representación frecuencial de la entrada/salida, podemos saber si es o no un sistema lineal e invariante.
¥
Propiedad 6 (Producto)
Para demostrarlo partimos de la propiedad de la convolución,
y1(t)∗y2(t)←→Y1(−f)·Y2(f)
y aplicamos la propiedad de dualidad:
Y1(t)·Y2(t)←→y1(−f)∗y2(−f)
Ahora bien, ésta no es una forma práctica de indicar una propiedad. Desearíamos expresar la transformada del producto en función de las transformadas de los factores; aquí se nos indica la transformada de un producto en función de lastransformadas inversas de los factores. Para simplificarlo, llamemosx1(t) =Y1(t)yx2(t) =Y2(t).
De nuevo, por la propiedad de dualidad, podemos buscar la transformadas dex1(t)ex2(t):
X1(f) =F {x1(t)}=F {Y1(t)}=y1(−f)
X2(f) =F {x2(t)}=F {Y2(t)}=y2(−f)
Por lo que la expresión del producto queda:
x1(t)·x2(t)←→X1(f)∗X2(f)
Propiedad 7 (Modulación)
Una operación muy frecuente en esquemas comunicaciones es la multiplicación de una señal (que contiene la información) por una señal senoidal, que se denomina portadora. La transformada de Fourier permite interpretar el resultado y entender los sistemas que se utilizan para recuperar la información.
Propiedad 7.1 (Modulación: exponencial compleja)
x(t)ej2πf0t←→X(f−f
0)
Puede verse que esta propiedad esdual a la propiedad del retardo.
E 2.4.6 (R)Demostrar la propiedad de la modulación por una exponencial compleja.
¥Solución:Partimos de la propiedad del retardo,
x(t−t0)←→e−j2πt0fX(f)
Aplicando la propiedad de dualidad a la propiedad anterior, y llamandoαa la constantet0 para que la notación no sea inconsistente, tenemos:
2.4. PROPIEDADES 33
Como ocurre siempre que aplicamos la propiedad de dualidad a una propiedad de la transformada de Fourier, el resultado que hemos obtenido no es fácil de verbalizar. Es más conveniente llamar aX(t)como una función auxiliar, por ejemploy(t)y expresar la nueva propiedad en función de
y(t)y de su transformadaY(f). Nuevamente por dualidad,
Y(f) =F {y(t)}=F {X(t)}=x(−f)
Por tanto,x(−f−α) =x(−(f+α)) =Y(f+α), y la expresión de la modulación es:
e−j2παty(t)←→Y(f+α)
Como vemos, α debe tener dimensiones frecuenciales. La forma habitual de enunciar esta propiedad se obtiene sustituyendo α por −f0 (y utilizando de nuevo x(t) para referirnos a una señal genérica):
ej2πf0tx(t)←→X(f−f0) (2.38)
¥
E 2.4.7 (R)Utilice la propiedad anterior para determinarF˘
ej2πf0t¯
.
¥Solución:
Simplemente debemos tomarx(t) = 1, y recordar que, según la ecuación(2.29), su transformada esX(f) =δ(f). Por tanto,
ej2πf0t←→δ(f−f0)
¥
E 2.4.8 (R)Demostrar los siguientes pares transformados:
cos(2πf0t)←→ 12δ(f−f0) +1
2δ(f+f0)
sin(2πf0t)←→ 21jδ(f−f0)−21jδ(f+f0)
(2.39)
¥Solución:
Basta con representar el seno o el coseno en función de exponenciales complejas, y aplicar linealidad. Por ejemplo, para el segundo par:
F {sin(2πf0t)}=F
ej2πf0t−e−j2πf0t
2j
ff
= 1
2jδ(f−f0)−
1
2jδ(f+f0)
¥
E 2.4.9Calcule la transformada decos(2πf0t+φ).
Propiedad 7.2 (Modulación por una función senoidal)
x(t) cos(2πf0t)←→
1
2X(f −f0) + 1
2X(f+f0)
x(t) sin(2πf0t)←→
1
2jX(f −f0)−
1
2jX(f+f0)
La demostración puede hacerse a partir de la propiedad de la modulación por una exponencial compleja ecuación (2.38)), expresando el seno o coseno en función de exponenciales complejas, y aplicando linealidad; o bien aplicando la propiedad de la transformada del producto:
F {x(t) cos(2πf0t)}=X(f)∗
µ
1
2δ(f−f0) + 1
2δ(f +f0)
¶
= 1
2X(f−f0) + 1
2X(f+f0)
La propiedad de la modulación permitetrasladar una señal en frecuencia lo que tiene múltiples aplicaciones en telecomunicaciones. Una de ellas tiene que ver con la eficiencia de la transmisión via radio. En efecto, para una transmisión eficiente, el tamaño de las antenas,L, debe serL > λ/10, dondeλes la longitud de onda, relacionada con la frecuencia a través de la velocidad de propagación:
L > λ
10 =
c
10f ≈
3·107
f metros
Teniendo en cuenta que en el audio losgraves son componentes frecuenciales de menos de50Hz, la longitud de la antena debería ser mayor que ¡¡600Km!!. Lo que hacen todos los sistemas de transmisión radioelectrica de audio es modular la señal para trasladar sus componentes frecuenciales a frecuencias mucho más altas. Por ejemplo, en transmisión de radio mediante AM (amplitud modulada), las señales se trasladan en torno a 500KHz por lo que el tamaño de las antenas han de ser
En los sistemas de telefonía móvil, como GSM, el codificador es muy complejo: la señal de voz sedigitaliza y se utilizan modelos bastantes sofisticados de la señal para poder reducir los bits a transmitir. En cualquier caso, finalmente, esta señal digital se transmite como una señal analógica con frecuencias en torno a los2GHz = 2·109con lo que bastan antenas de unos pocos
centimetros.
Propiedad 8 (Escalado)
x(at)←→ 1 |a|X
µf
a ¶
En efecto,
F {x(at)}=
Z ∞
−∞
x(at)e−j2πf tdt={at→τ}=. . .
2.4. PROPIEDADES 35
F {x(at)}= 1
a
Z −∞
∞
x(τ)e−j2πf τa dτ
=−a1
Z ∞
−∞
x(τ)e−j2πf τa dτ
= 1
|a|
Z ∞
−∞
x(τ)e−j2πf τa dτ = 1 |a|X
µf
a ¶
Puede verse que esta expresión también es válida para a > 0, donde el cambio de variable no invierte el intervalo de integración.
Esta propiedad indica que si una señal la comprimimos en el tiempo, la expandimos en frecuencia y viceversa. Supongamos por ejemplo una señal senoidal. Al comprimirla en el tiempo, el periodo dura menos, y su frecuencia fundamental es mayor.
Se corresponde también con la percepción que nos produce escuchar un disco de vinilo o un casete a distintas velocidades de reprodución: si la velocidad es lenta, la voz o música se vuelve grave, con componentes de baja frecuencia. Y si escuchamos el casete rebobinandose a doble velocidad, el sonido se vuelve agudo.
E 2.4.10Calcular y representar la transformada de Fourier deΠ(t/T)·cos(2πf0t). Suponer quef0>>1/T.
E 2.4.11 A partir de la transformada de Fourier de la exponencial causal y de la propiedad del escalado, demuestre que
e−α|t|←→ α2+ 42απ2f2 (2.40)
Represente el módulo y fase de la transformada de Fourier.
Propiedad 9 (Derivación)
dx(t)
dt ←→j2πf X(f)
En efecto,
dx(t)
dt = d dt
µZ ∞
−∞
X(f)ej2πf tdf ¶
La derivada de una suma es la suma de las derivadas, por lo que (si la integral converge):
dx(t)
dt =
Z ∞
−∞ d dt
¡
X(f)ej2πf t¢df
=
Z ∞
−∞ X(f)
µ d dte
j2πf t
¶ df
=
Z ∞
−∞
Comparando con la expresión de la transformada inversa de Fourier, vemos que
dx(t)
dt ←→j2πf X(f)
Vemos que un derivador es un sistema lineal e invariante, ya que en el dominio frecuencia la salida se multiplica porH(f) =j2πf.
E 2.4.12 (R)Compruebe en el dominio frecuencial que la derivada elimina la continua.
¥ Solución: Como es bien sabido, al derivar eliminamos los valores constantes. Si definimos
y(t) =x(t) +C,
dy(t)
dt =
d(x(t) +c)
dt =
dx(t)
dt
Tomando transformada de Fourier:
F
dy(t)
dt ff
=j2πf Y(f)
Comoy(t) =x(t) +C←→Y(f) =X(f) +Cδ(f),
F
dy(t)
dt ff
=j2πf X(f) +j2πf Cδ(f)
Dado queψ(f)δ(f) =ψ(0)δ(f), en la expresión anteriorj2πf Cδ(f) = 0. Por tanto,
F
dy(t)
dt ff
=j2πf X(f) =F
dx(t)
dt ff
¥
E 2.4.13 (R) Seax(t)una señal continua, conn−1derivadas continuas y con su enésima derivada discontinua. Demuestre que el comportamiento asintótico de la transformada de Fourier es:
l´ım
f→∞|X(f)| ∝
1
fn+1 (2.41)
¥Solución:Six(t)tiene transformada de Fourier, esta tiene que ser decreciente en frecuencia, o a lo sumo tender a una constante, que indica que enx(t)hay unaδ(.). Si fuera creciente, no convergería y no podríamos relacionarx(t) =R∞
−∞X(f)e
j2πf tdf
Su derivada es continua y por el mismo motivo, su comportamiento asintótico ha de ser decreciente o a lo sumo, tender a una constante.
dx(t)
dt ←→j2πf X(f)
2.4. PROPIEDADES 37
dnx(t)
dtn ←→(j2πf)
nX(f)
Como la derivada enésima es discontinua, en la derivada de ordenn+ 1 aparece una función
δ(t−t0), sientot0 el instante de la discontinuidad:
dn+1x(t)
dtn+1 =αδ(t−t0) +r(t)
La transformada es:
dn+1x(t)
dtn+1 ←→αe
j2πf t0+R(f) = (j2πf)n+1X(f)
Como vemos, el módulo de esta transformada tiende a una constante, cuandof→ ∞, por tanto
l´ım
f→∞
˛ ˛ ˛
˛F
dn+1x(t)
dtn+1
ff˛ ˛ ˛ ˛
= l´ım
f→∞|2πf|
n+1
|X(f)|=K
Despejando:
|X(f)| l´ım
f→∞∝
1
fn+1
Puede comprobarse como las funciones discontinuas, comoΠ(t),e−αtu(t),u(t), etc., decrecen
en el infinito comoα
f. Las funciones continuas, pero con derivada discontinua, como∆(t),e−
α|t|
etc., decaen como α
f2..
¥
E 2.4.14Utilice el resultado del ejercicio anterior (2.4.13) para estudiar el comportamiento asintótico de los coeficientes de la serie de Fourier de una señal periódica, en función de la continuidad de la señal básica y sus derivadas.
Propiedad 10 (Multiplicación port)
tx(t)←→ 2jπdfdX(f)
Esta es la propiedad dual a la derivación. En efecto a partir de
dx(t)
dt ←→j2πf X(f)
aplicando la propiedad de dualidad obtenemos,
j2πtX(t)←→ dxdf(f)
¯ ¯ ¯ ¯
−f
Llamandoy(t) =X(t)y sabiendo (por dualidad) que
Y(f) =F {y(t)}=F {X(t)}=x(−f),
tenemos:
j2πty(t)←→ −dYdf(f)
Finalmente, dividiendo ambos lados porj2π, y recuperando el nombre genéricox(t),
tx(t)←→ 2jπ·dXdf(f)
Propiedad 11 (Integración)
Z t
−∞
x(τ)dτ ←→ X2(0)δ(f) +X(f)
j2πf
La integración y(t) = R−∞t x(τ)dτ, también puede interpretarse como un sistema lineal e invariante, tal y como vimos en el tema 1. Su respuesta impulsional, h(t) = R−∞t δ(τ)dτ, es nula, sit <0o la unidad, si t >0, dependiendo de que el intervalo de integración incluya o no el origen. Es decir,h(t) = u(t). Por tanto,
y(t) =
Z t
−∞
x(τ)dτ =x(t)∗u(t)
Y(f) =X(f)· F {u(t)}=X(f)·
µ1
2δ(f) + 1
j2πf ¶
= X(f) 2 δ(f) +
X(f)
j2πf
= X(0) 2 δ(f) +
X(f)
j2πf
E 2.4.15 (R)Seax(t) = Π(t). Definimosy(t) =Rt
−∞x(τ)dτ yz(t) =
dy(t)
dt .
Dibujex(t),y(t)yz(t)y calcule sus transformadas de Fourier.
¥Solución:
La integral es nula hasta−0,5, crece con pendiente1hasta0,5, y es constante parat >0,5. La figura2.11muestra la gráfica dey(t).
En cuanto az(t), parat <−1
2 o parat > 1
2,y(t)tiene pendiente nula, por lo quez(t)es nula.
Y en el intervalo−1
2 < t <
1
2, la pendiente es constante, de valor 1. Por tantoz(t) =x(t).
En cuanto a las transformadas:
2.4. PROPIEDADES 39
t
x(t) = Π(t)
1 2
−12
1
t
y(t) =R−t1 2x(τ)dτ
1 2
−12
1
t
z(t) =dydt(t)
1 2
−12
1
Figura 2.11: Resultado de aplicar a un pulso primero un integrador y a continuación un derivador.
Aplicando la propiedad de la integración (propiedad11):
Y(f) =X(0)
2 δ(f) +
X(f)
j2πf =
1 2δ(f) +
sinc(f)
j2πf
Para obtenerZ(f), aplicamos la propiedad de la derivación (propiedad9)
Z(f) =j2πf Y(f) =jπf δ(f) + sinc(f)
Dado quejπf δ(f) = 0,
Z(f) = sinc(f) =X(f)
¥
Propiedad 12 (Teorema de Parseval) El producto escalar en el dominio temporal coincide con el del dominio transformado:
< x(t), y(t)>=< X(f), Y(f)>
Z ∞
−∞
x(t)y∗(t)dt=
Z ∞
−∞
X(f)Y∗(f)df
En efecto,
Z ∞
−∞
x(t)y∗(t)dt=
Z ∞
t=−∞
µZ ∞
f=−∞
X(f)ej2πf tdf ¶
y∗(t)dt
