5 PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES LINEALES Y
5 PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
CUADRÁTICAS
1)
1) Una compañía fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y unUna compañía fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y un costo unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $ 600000, determine el número de costo unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $ 600000, determine el número de unidades que deben ser vendidas para que la
unidades que deben ser vendidas para que la compañía tenga utilidades.compañía tenga utilidades.
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
::Precio
Precio de de venta venta unitario unitario : : $ $ 2020 Costo
Costo unitario unitario : : $ $ 1515 Costo
Costo fijo fijo : : $ $ 600000600000
Sea x el número de
Sea x el número de unidades vendidas.unidades vendidas.
Ingreso
Ingreso : : R R = = 20x20x Costo
Costo total total : : C C = = 15 15 x x + + 600000600000 Utilidad Utilidad : : U U = = RR––CC = 20x = 20x––(15x + 600000)(15x + 600000) U = 5x U = 5x––600000600000 Como U > O Como U > O5x5x––600000 > 0600000 > 0 5x > 600000 5x > 600000 X >120000 X >120000
Luego de la compañía obtiene utilidades si vende como mínimo 120001 unidades. Luego de la compañía obtiene utilidades si vende como mínimo 120001 unidades.
2) A los pintores con frecuencia se les paga por hora o por obra terminada. El salario que reciben pueden afectar su velocidad de trabajo. Por ejemplo, suponga que pueden trabajar por $ 8,50 la hora, o por $ 300 más $ 3,00 por cada hora por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t horas. Si
t ≥ 40, claramente el sueldo por hora es mejor. Si t < 40, para que valores de t el salario
por hora es mejor?
SOLUCIÓN
:Primera modalidad: $ 8,50 por hora Salario = 8,50 t
Segunda modalidad: salario = 300 + 3 (40 - t); t < 40 = 420–3 t
Como 8,50 t > 420–3t 11,50 t > 420
t > 36,5
Luego el salario por hora es mejor para 36,5 < t 40 horas
3) En 1998, una compañía de telefonía de cierto país cobraba $ 0,15 por el primer minuto más $ 0,14 por cada minuto adicional (o parte de un minuto) en su servicio de larga distancia nacional. ¿Cuántos minutos podía una persona hablar por no más de $ 2,000?
SOLUCIÓN
:Sea x el tiempo en minutos.
1er minuto: $ 0,15 Tiempo adicional: Costo adicional: $ 0,14 Como 0,15 + 0,14 (x-1) ≤ 2,00 0,15 + 0,14– 0,14 ≤ 2,00 0,14x ≤ 1,99 x ≤ 14,21
4) Se desea sembrar un terreno en forma de una corona circular. El área del terreno no debe ser menor a 200m2ni mayor a 300m2. ¿cuál es la distancia al centro del círculo a
la que se encuentra cualquier punto del terreno?
SOLUCIÓN
:El área de un círculo de radio R esta dado por A = ∏R2.
Como 200 ≤ A ≤ 300
200 ≤ ∏R2≤ 300
63,7 ≤ R2≤95,5
7,98 ≤ R ≤ 9,77
Luego el punto se encuentra a una distancia: 7,98m ≤ d ≤ 9,77m
5) Un tablero debe cortarse de tal manera que sea un triángulo equilátero. Sabiendo que el lado del triángulo debe estar comprendido entre 60cm y 80 cm, ¿Cuál es el área del triángulo que se puede obtener?
SOLUCIÓN
:Para un triángulo equilátero:
√
Además 60 cm ≤ L ≤ 80 cm 3600 ≤ L2 ≤ 6400 3600√
≤√
L2 ≤√
x 6400 1559≤ A ≤ 27713 EJERCICIOS SOBRE INECUACIONES POLINOMIALES
1) Resolver: x5- 5x4+ 2x3+ 14x2 –3x– 9 ≤0SOLUCION
: Usando Ruffini: 1 -5 2 14 -3 -9 1 1 -4 -2 12 9 1 -4 -2 12 9 0 -1 -1 5 -3 -9 1 -5 3 9 0 3 3 -6 -9 1 -2 -3 0 3 3 3 1 1 0 -1 -1 1 0 Luego: (x-1) (x + 1)2(x-3)2 ≤ 0 Pc: 1; -1; 3 - - + + -1 1 3 cs = <-∞,-1> u <-1,1] u {-1} = <-∞; 1] 2) Resolver: (x2+ x–6) (4x–4–x2)≤0SOLUCIÓN
: (x2+ x–6) (4x–4–x2) ≤ 0 (x + 3) (x–2) (x2– 4x + 4) ≥ 0 (x + 3) (x–2) (x–2)2≥ 0 (x + 3) (x–2)3≥ 0--> (x + 3) (x-2) ≥ 0Pc: -3; 2 + - + -2 3 Cs = <-α;-2] U [3; +α > 3) -3x3–x2+ x–1 < 0 -3x3–x2+ x–1 > 0 3 1 -1 1 -1 -3 2 -1 3 -2 1 0 (x + 1) (3x2–2x + 1) > 0 (-2)2–4(3)(1) = -8 < 0
3x2–2x + 1 > 0
(x + 1) > 0 x > -1 cs = <-1, + α >INECUACIONES RACIONALES
1) Resolver:
SOLUCIÓN
:
Pc: 2/3; - ½ + - + -1/2 2/3 Cs = <-α,-1/2> U [ 2/3; +α > 2) Resolver:
SOLUCIÓN
:
Pc: 0; 5; 7 - + - + -7 0 5 Cs = <-7,0] U [5; +α >3) Resolver:
Pc: -5; 4 + - + -5 4 Cs = <-α,-5> U <4, +α>ECUACIONES EXPONENCIALES
1) Formular una ecuación cuadrática de tal modo que sus raíces son las solución de la ecuación. 5(5x+ 5-x) = 26
SOLUCIÓN
: 5(
+
)= 26
Si m = 5x
(
)
5m2+ 5 = 26 m 5m2–26m + 5 = 0 (5m-1)(m-5) = 0 m = 1/5; m = 5 Si m = 5x
5x=
= 5-1
x = -1 5x= 5
x = 1 Luego: x = {-1; 1}Formulando la ecuación cuadrática:
(x - -1) (x - 1) = 0
(x + 1) ( x - 1) = 0
2) Si 4x–10x + 25x = 10x, x
Calcular el valor de:
SOLUCIÓN:
(22)x–(2 x5)x+ (52)x= (2x5)x 22x–2x. 5x+ 52x–2x. 5x= 0 2x(2x-5x) +5x(5x-2x) = 0 2x(2x-5x) -5x(2x-5x) = 0 (2x–5x) (2x–5x) = 0 (2x-5x)2= 0 2x–5x= 0 2x = 5x x = 0 Luego:
=
E = 13) Evaluar: W = k 2+ k + 7, si se verifica que:
SOLUCIÓN
: 4k+4+ 1 = 8 . 2k . 22 (22)k+4+1 = 32 .2k 22k+8+1 = 32.2k 22k . 28+ 1–32.2k = 0 256 . 22k - 32.2k + 1 = 0 Si m = 2k 256m2–32m + 1 = 0 (16m-1)2= 016m–1 = 0 m = 1/16 Como m = 2k 2k =
2k = 2-4 K = -4 W = k 2+ k + 7 = (-4)2–4 + 7 = 16–3 W = 194) Una esfera tiene un radio igual a la solución de la ecuación: 9x+ 3x+1= 810.
Encontrar el volumen de la esfera, suponiendo que el radio se expresa en metros.
SOLUCIÓN
: (32)x+ 3x. 3 = 810 (3x)2+ 3. 3x–810 = 0 Si m = 3x
m2+ 3 m–810 = 0 (m-27)(m+30)= 0 m = 27; m = -30 Como m = 3x
3x= 27 = 33
3x = -30
Luego: x = 3Para una esfera, el volumen esta dado por:
5) Las dimensiones de un terreno rectangular son las soluciones de la ecuación:
4x+1+ 512 = 9 . 2x+4
Hallar el perímetro del terreno
