Complemento Para Matematicas 1 Libro Del Profesor_respuestas (5)

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1

OMPLEMENTO

ATEMÁTICAS

para

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C o m p l e m e n t o p a r a M a t e m á t i c a s 1

P a m e l a G o d í n e z Ve l á z q u e z

SEGUNDA EDICIÓN

Cuidado de la edición: Juan Carlos Osorio Paulino Corrección de estilo: Said Victorino Leyva

Diseño de portada: Yazmin Elizabeth Talavera Castillo/ Pablo García Olán Formación: Christopher Carlón Juárez/ Yazmin Elizabeth Talavera Castillo Ilustración: Pablo García Olán

Revisión Técnica: Juan Carlos Osorio Paulino/ María del Rocío Vanegas © Derechos reservados conforme a la ley a favor del titular de los derechos, Ediciones Punto Fijo S.A de C.V., Av. Huitzilíhuitl mz. 24, lt. 27, Colonia Santa Isabel Tola, Del. Gustavo A. Madero, Código Postal 07010, en la Ciudad de México. Tel: 5781-8401 [email protected] http://www.edicionespuntofijo.com edcpuntofijo @edcpuntofijo ISBN 978-607-476-180-1

Las características de esta edición, así como su contenido, son propiedad exclusiva de Ediciones Punto Fijo, S. A. de C. V., no pudiendo la obra comple-ta, o alguna de sus partes, ser reproducida mediante ningún sistema mecánico o electrónico de reproducción, incluyendo el fotocopiado, sin la autorización escrita del titular de los derechos de la obra.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 3476

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3 Presentación

Complemento para Matemáticas 1 es una obra que sirve como recurso o complemento a la

asig-natura oficial de Matemáticas 1; en ella se plantean ejercicios y problemas acordes al Programa

de estudio vigente para que el alumno emplee estrategias y asiente el dominio de técnicas que le

ayudarán a ejercitar su mente. Este material le servirá para que recupere conocimientos previos al

resolver problemas y así refuerce y afirme sus aprendizajes. Asimismo, está pensado para que el

docente unifique el lenguaje de manera gradual con sus alumnos, de tal manera que al construir

una idea, ambos partícipes se dirijan sobre una misma vertiente.

Este libro está redactado en un lenguaje formal, pero sencillo y claro para que el alumno asimile

la información que se describe en la obra. En ella se abordan todos los contenidos, incluso los

cambios curriculares que se han venido presentando en el Programa de estudio de Matemáticas.

En cuanto a la estructura, está compuesto por cinco bloques, en cada uno de éstos aparece un

apartado denominado “Profundiza” en el que se plantea un reto para que el alumno refuerce sus

conocimientos respecto a cada lección. Además, al término de cada bloque se presenta un

con-junto de ejercicios en una sección llamada “Ejercicios de reforzamiento”, que busca la ejercitación

de las técnicas que construye el alumno a lo largo de los contenidos revisados; pero también tiene

como objetivo que el alumno aproveche, junto con su profesor, el tiempo al máximo en la clase,

cumpla con las intenciones didácticas que se formulan para cada actividad y dé continuidad a los

aprendizajes esperados que marca el Programa.

Cabe destacar que la colección de ejercicios incluidos en esta obra fue diseñada con base en el

cálculo de horas destinadas para el estudio de cada contenido matemático, pues se ajusta al plan

de clase que elabora cada profesor y dado que es un compendio con el que el alumno completa

sus estudios, ya que le da la posibilidad de estudiar no sólo en su entorno escolar, sino de mejorar

sus estrategias, técnicas y habilidades en casa.

Finalmente, este material cuenta con una evaluación que ayudará al profesor a observar y

va-lorar en qué situación se encuentra el alumno respecto a los aprendizajes deseados que se

plantearon al inicio de cada contenido y los aprendizajes esperados del Programa oficial de

Ma-temáticas. Asimismo, el libro cuenta con una anexo en el que se describen fórmulas para ayudar

a resolver determinados problemas y concretar el aprendizaje del alumno.

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4

p

Bloque 2

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema: Números y sistemas de numeración Contenido 1: Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema: Números y sistemas de numeración Contenido 2: Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo co-mún divisor y el mínimo coco-mún múltiplo.

66

69 67

Bloque 1

Tema: Números y sistemas de numeración Contenido 1: Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Tema: Números y sistemas de numeración Contenido 2: Representación de núme-ros fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informacio-nes, analizando las convenciones de esta representación.

Tema: Problemas aditivos

Contenido 3: Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema: Patrones y ecuaciones

Contenido 4: Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una re-gla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones gene-rales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Contenido 5: Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.

15 20 30 25 34 41 46 50 54 64

8

9

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos

Contenido 6: Trazo de triángulos y cua-driláteros mediante el uso del juego de geometría.

Contenido 7: Trazo y análisis de las pro-piedades de las alturas, medianas, media-trices y bisecmedia-trices en un triángulo.

Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 8: Resolución de problemas de reparto proporcional.

Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad Contenido 9: Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. Ejercicios de reforzamiento

Evaluación

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5

74 83 77 88 91 95 104 Eje: Sentido numérico y pensamiento

algebraico

Contenido 3: Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos con-textos, empleando los algoritmos conven-cionales.

Tema: Problemas multiplicativos Contenido 4: Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usua-les.

Contenido 5: Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un seg-mento y la bisectriz de un ángulo. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida

Contenido 6: Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regula-res, con apoyo de la construcción y trans-formación de figuras.

Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 7: Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios Ejercicios de reforzamiento

Evaluación

Bloque 3

Tema: Problemas multiplicativos Contenido 1: Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de nú-meros decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema: Problemas multiplicativos Contenido 2: Resolución de problemas que impliquen la división de números deci-males en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Contenido 3: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la re-solución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

Contenido 4: Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informacio-nes (medida de un lado, del ángulo inter-no, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida

Contenido 5: Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

106

110 107 113 128 121

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6 Bloque 4

Tema: Números y sistemas de numera-ción

Contenido 1: Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o deci-males positivos y negativos.

Contenido 2: Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.

Contenido 3: Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferen-cia y el área del círculo (gráfica y

alge-154

159 164 171 167 175 181 184 195 155

Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 6: Formulación de explicacio-nes sobre el efecto de la aplicación suce-siva de factores constantes de proporcio-nalidad en situaciones dadas.

Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad

Contenido 7: Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

Eje: Manejo de la información

Tema: Análisis y representación de datos Contenido 8: Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Ejercicios de reforzamiento Evaluación 135 138 143 152 131

braicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro

Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 4: Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fracciona-rios.

Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 5: Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de propor-cionalidad, en particular en una reproduc-ción a escala.

Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad

Contenido 6: Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.

Tema: Análisis y representación de datos Contenido 7: Lectura de información re-presentada en gráficas de barras y circu-lares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de infor-mación proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

Ejercicios de reforzamiento Evaluación

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7 Bloque 5

Contenido 1: Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

Tema: Problemas multiplicativos

Contenido 2: Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que inter-vienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Tema: Problemas multiplicativos Contenido 3: Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadra-da (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

Contenido 4: Obtención de la regla gene-ral (en lenguaje algebraico) de una suce-sión con progresuce-sión aritmética.

Contenido 5: Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 6: Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple. Ejercicios de reforzamiento Evaluación

197

201 204 219 211 215 226 235 198

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8 BLOQUE 1

Matemático quien fuera miembro de la Escuela Pitagórica, se cree que reveló el secreto de las magnitudes inconmen-surables, dicho de otro modo, se le asocia con el haber probado la existen-cia de los números irra-cionales.

Competencias que se favorecen:

• Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática

• Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente

Aprendizajes esperados:

• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.

• Conoce y utiliza las convenciones para representar números fracciona-rios y decimales en la recta

numérica.

• Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.

Hipaso de Metaponto

Eje Contenido Tema

Sentido numérico y pensamiento algebraico 1 Números y sistemas de numeración 2 3 Problemas aditivos 4 Patrones y ecuaciones 5

Forma, espacio y medida 6 Figuras y cuerpos

7

Manejo de la información 8 Proporcionalidad y funciones

9 Nociones de probabilidad

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9 Tema: Números y sistemas de numeración

1.1 Fracciones

Contenido 1

◊ Las siguientes figuras han sido divididas en partes iguales. Representa la relación que se indica en cada caso: a) b) c) d) Total de partes Partes sombreadas 5 2 denominadornumerador

= = Partes sombreadas = =_{Total de partes}

Total de partes

Partes sombreadas = = Partes sombreadas = =_{Total de partes}

Las fracciones propias son aquellas que se distinguen por ser menores que la unidad, o bien su numerador es menor que su denominador; por ejemplo:

Por otra parte, las fracciones impropias se caracterizan porque su numerador es mayor que su denominador, siendo éstas superiores a la unidad.

8 4 ₁ ₁ 8 10 ₂₁ 6 8 ₂ ₁ 1 6 3 1 6 8 denominadornumerador

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3

(10)

10

Se les llama fracciones decimales a aquellas en que su denominador es una potencia de 10, por ejemplo:

104 106 1 003

◊ Completa los espacios en la tabla considerando que en cada inciso hay una o dos figuras.

Figura o figuras Número de partes

sombreadas Total de partes de una figura Tipo de fracción

a) ₄ ₁₀ _Decimal b) c) d) e) f) DenominadorNumerador 104 10 6 10₆ Impropia

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5 12 8 54 6 9 20 100 Propia Impropia Propia Propia 6 5 9 12 208 10054

(11)

11 1.2 Expresión decimal de una fracción

Para expresar una fracción en un número decimal exacto se requiere obtener el cociente que resulta de la división del numerador entre el denominador:

Existen casos en los que el cociente no es exacto, sino un número decimal periódico puro, o sea, un conjunto de cifras decimales, denominado periodo, que aparecen inmediatamente después del punto decimal y que se repiten de manera indefinida. Si el periodo no empezara justo después del punto decimal, se tendría un número decimal periódico mixto, a cuya parte no periódica se le llama anteperiodo.

La barra horizontal indica que el número se repite de manera indefinida. 0.6 00 90 159 =0.6 ya que 15 9 9 8 ₌_{0.88888 ... 0.8 ya que}₌ 24 25 ₌_{1.0416 ... 1.0416 ya que}₌ 0. 080 060 70 167 =0.4375 ya que 16 7 4375 120 8 80 80 9 80 80 0.8 8 8 8... 8 16 0 10 0 16 0 0 4 0 16 0 16 0 24 2 51.0 416 6 6... 16 0 10 0 16 0 0 4 0 16 0 16 0 24 2 51.0 416 6 6...

◊ Convierte a números decimales las siguientes fracciones y escribe si lo que se obtiene es un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto.

a) c) d) b) 4 5 = 104 = 749 = 8 6 = 1.25 0 10 20 451.25 Decimal exacto 00

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0.4 0.75 40 100 44. 0 0 60 40 860.75 0.1216 Decimal exacto Decimal exacto Decimal periódico mixto ₄₆₀ 160 120 460 0.1216216... 74 9 160 120 16

(12)

12

e) g) a) 0.14 = d) 1.356 = b) 0.85 = e) 1.9 = c) 12.4 = f) 0.165 = h) f) 128 = 45 22 = ₅₄25 = 155 =

1.3 Expresión fraccionaria decimal de un número decimal

Para convertir un número decimal exacto en fracción hay que tomar en cuenta lo siguiente: si el número tiene déci-mos, éste se divide sin punto decimal entre 10; si el número tiene centésidéci-mos, se divide sin punto decimal entre 100; si el número tiene milésimos, se divide sin punto decimal entre 1000, y así sucesivamente.

0.4 ₁₀4 0.75 ₁₀₀75 0.234 ₁₀₀₀234

1.6 ₁₀16 1.33 ₁₀₀133 1.894 ₁₀₀₀1894

= = =

◊ Representa con fracciones decimales los siguientes números decimales.

10014

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0.6 0.3 0.48 0.4629 080 08 80 12 8 080 0.666... 4 0 0 4 0 0 45 2 20.4 8 8... 4 0 0 2 2 0 05 050 50 15 5 050 0.333... Decimal periódico puro Decimal periódico puro Decimal periódico mixto Decimal periódico mixto 250 160 520 340 340 520 54 250.4629629... 160 10 0 1 0 356 10085 10 19 10 124 10 01650 34

(13)

13 1.4 Expresión fraccionaria no decimal de un número decimal

Las fracciones que están representadas en su mínima expresión no pueden simplificarse, por lo tanto, no existe una fracción equivalente con la que se pueda expresar la fracción original de forma más sencilla.

10012 = 506 = 253

◊ Convierte el número decimal en fracción decimal y represéntala en su mínima expresión. a) 0.32 = a) 103 = 20x x=6 b) 507 = 14r r= e) 32 = 14y y= f) d) 48 = 100d d= c) 52 = 10s s= c) 15.8 = e) 0.736 = d) 5.5 = f) 0.256 = b) 1.15 =

Para obtener fracciones equivalentes se multiplica el

nu-merador y el denominador por un mismo número: Algoritmo del producto cruzado.Si los productos cruzados son iguales, entonces las fracciones son equivalentes.

7 4 7 2 4 2 148 = _## = 5 8 20 32 8 20 5 32 160 160 = = = # #

◊ Halla el valor de cada literal para que las fracciones sean equivalentes.

g 729 = 27 g=

Para determinar la fracción que representa a 0.5, se considera que n = 0.555, que es un número decimal periódico puro, se multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo. La expresión quedaría representada de la siguiente forma:

10 5.555

Si a la expresión le restamos 0.555...,nos queda: 10 5.555 ... 0.555 9 5 9 5 0.555 ... 0.5 ₉5 n n n n n n n = = = = = = = = ` -

-Si se desea expresar en fracción un número decimal periódico mixto, por ejemplo, n = 0.83, primero se procede a multi-plicar n por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo, con el fin de obtener un número decimal puro:

10n = 8.3 ... 10032 = 5016 = 258

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10 158 5 79 = 1000736 = 500368 = 250184 = 12592 10 55 2 11 = 1000256 = 500128 = 25064 = 12532 100 115 20 23 = 100 21 216 200 4

(14)

14

La expresión que se obtiene se multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo, y al resul-tado se le resta 10n: 10 10 83.3 ... 100 10 83.3 ... 8.3 90 75 90 75 0.83 ... 0.83 ₉₀75 n n n n n n = = = = = = = : ` -

-1.5 Profundiza

◊ Completa la siguiente tabla.

Número

decimal decimalTipo de Periodo Anteperiodo

Expresión fraccionaria decimal Expresión fraccionaria no decimal Fracción represen-tada en su mínima expresión

0.43 Exacto No tiene No tiene

1.25 2.142857 0.56 1.38 10043 10043 10 34 00 286 6 14 1 14 30 12065 0 50 242 50 588 18 25

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1.142857 3.4 0.484 11.76 Periódico puro Periódico mixto Periódico mixto Periódico puro Exacto 142857 142857 6 541 3 8 No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene No tiene Exacto Exacto Exacto Exacto 0.5416 100 125 1 57 7 8 5 17 5 1 24 2 1 4 3 2 1 50 21 2 2594 7 154 5 20 25 0 2 58 0 2 9 1 5 10056 1 004840 100 1176

(15)

15 Tema: Números y sistemas de numeración

2.1 Fracciones en la recta

2.2 Decimales en la recta

Contenido 2

Las fracciones propias se ubican en la recta numérica entre el intervalo abierto 0 y 1, y las fracciones impropias que-dan representadas por arriba de 1. En ambos casos, el denominador indica el número de partes en las que hay que dividir la unidad. Para el caso de las fracciones decimales hay que seccionar la unidad en décimos.

◊ Representa en las rectas numéricas correspondientes las fracciones que se muestran en cada inciso. a) b) c) d) e) 5 4 y ₄5 9 8 y ₉7 4 7 y ₂₁7 6 10 164 y 125

,

105

,

202 y 114 0 1 ₂ 4 5 5 4 0 1 2 1 0 3 2 0.5 0 1 3 2 1 0

Para el caso de los números decimales hay que seccionar la unidad en décimos.

◊ Representa en las rectas numéricas correspondientes los números decimales que aparecen a continuación.

a) 0.2 y 1.5

2 1

0

0.2 1.5

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9 7 9 8 217 74 164 106 152 202 150 114

(16)

16

b) 0.75 y 0.175 1 0 _0.125 _0.25 c) 0.4 y 1.40 d) 1.75, 1.4 y 0.25 a) b) e) 1.6, 0.8 y 2.1 2 0 2 1.25 1 0 0 1 1 0.5 3 2

2.3 Fracciones y decimales en la recta

◊ Representa en la recta numérica los números fraccionarios y los decimales respectivamente.

3.5, 39 y 2.2 7 49 ,25 y 5.2₅ 4 3 2 1 8 6 5 c) d) e) 5 14 ,3.4,17₄ 5.6, 6.20, 645 y 426 20 114 ,6.40,6.9, 13₃ 5 4 3 2 8 6 5 7 7 5 6 4 2.2 39 3.5

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0.175 0.75 1.40 0.4 0.25 1.4 1.75 0.8 1.6 2.1 5 25 5.2 49₇ 5 14 4 17 3.4 6 42 6.20 5.6 6.9 6.40 20 114 1 33 6 45

(17)

17 2.4 Comparación de fracciones

Dos o más fracciones tienen un común denominador si sus denominadores son iguales. Para obtener fracciones de este tipo, se procede a multiplicar cada fracción por el denominador de las otras.

El mínimo común denominador de las siguientes fracciones es 15, ya que 34 = 1520 y 52 = 156 3 4 3 5 4 5 15 20 5 2 5 3 2 3 156 = = = = # # # # 4 1 4 8 1 8 328 8 3 8 4 3 4 32 12 = = = = # # # #

En los siguientes casos el denominador es 32, pero el mínimo común denominador es 8, porque al simplificar las fracciones obtenidas nos queda que: 328 = 164 = 82 y 3212 = 166 = 83

◊ Determina el común denominador de las siguientes fracciones:

a) a) f) b) g) c) h) d) i) e) j) f) g) h) i) j) b) c) d) e) 3 12 y ₄3 1 y₂1 ₄6 _{1 y 6} 95 13 2 y 4 17 7 _{y 6} 6 5 18 1 7 y 8 21 18 _y 4 6 166 y 21 121 4 325 y 5151 y 3 285 7 1 y6 12 8 1 1 y₂5 6 2 y 8 4 5 6 y 5 7 1 1 y 3 5 8 5 y 127 31 y 4 2 5 2 y 2 7 2 3 2 y 9 21 y 2 114 3 El común denominador es 12.

El mínimo común denominador es 4.

◊ Determina el mínimo común denominador de las siguientes fracciones.

El común denominador es 12.

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El común denominador es 8. El común denominador es 40.

El mínimo común denominador es 16. El común denominador es 21.

El mínimo común denominador es 28. El común denominador es 18.

(18)

18

Obtener el común denominador de dos o más fracciones te ayuda a determinar cuál de ellas tiene un mayor, menor o igual valor.

El común denominador de las siguientes fracciones es 6. 3 5 3 2 5 2 6 10 2 7 2 3 7 3 6 21 = = = = # # # # 2 7 3 5 ya que 21₆ 6 10 ` 2 2

Otra manera de averiguar qué fracción prepondera o no sobre otras es empleando el método de los productos cruzados. 2

7 3

5 porque 7 3 2 5 21 10# # (

2 2 2

◊ Escribe en el espacio el signo <(menor que),>(mayor que) o =(igual que) según corresponda.

◊ Calcula el valor del número natural en las siguientes expresiones.

◊ Resuelve los siguientes problemas. a) a) e) f) g) h) b) c) d) x = x = x = x = x = x = x = x = f) b) g) d) h) i) j) c) e) 4 3 9 2 _4.5 3 7 5 2 6 4 171 0.0625 4 8 1 32 125 73 112 91 9 3 4 12 0.6 0.078 .6 . 1 1 600 7 5 5 65 x 1 1 9 2 18x 276 = = 6 8 3x 59 1 1 4 5 10x 1315 2 2 0.11 ₄x 1 ₇3 0.52 ₇x 2 ₈3 8 1 324 x 16 = = 5 3 _{= =}_x _0.60

a) Considerando que Samuel y Viridiana tienen el mismo número de fichas, y que Viridiana introdujo ₅2 de ellas en una urna y Samuel

208 , ¿cuál de las dos personas colocó menos fichas?

2

4

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2 2 2 = = = 1 1 1 4 5 12 1 3 2 0.6

(19)

19

b) Carmen quiere adquirir una tableta. En un centro comercial tiene que pagar partes del dinero de que dispone, mientras que en una tienda especializada en electrónica tendría que pagar de él. ¿En cuál de las dos opciones es más costoso adquirir el producto?

c) Dos recipientes tienen la misma capacidad de almacenamiento. Si uno de ellos tiene de agua y el otro , ¿cuál de los dos recipientes se encuentra más lleno?

d) Marisol ha dado de vueltas en una pista de atletismo, misma en la que José ha efectuado vueltas. ¿Quién de los dos ha dado más vueltas?

8 6 8 7 129 14 11 8 45 8 55

2.5 Profundiza

◊ En las siguientes rectas se han indicado algunos puntos con las letras A, B y C. Coloca la fracción o decimal que corresponde a cada uno de ellos.

a) A: __________ B: __________ C: __________ b) A: __________ B: __________ C: __________ c) A: __________ B: __________ C: __________ d) A: __________ B: __________ C: __________ 0 1 A 2 B C3 4 0 A 1 B C 2 A 1 0 B 2 C 3 0 A B C 1

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En la tienda especializada en electrónica.

El recipiente que tiene de agua. 14 11 8 6 porque11 8 6 14 88 84# # ( 2 2 2 8 7 8 7 129 porque 7 12 8 9 84 72# # & 2 2 2 8 porque 8 4 55 8 45 _{55 8}_# _#₄₅_& ₄₀ ₃₆₀ 2 2 2

José ha dado más vueltas.

1.5 0.2 0.5 0.9 3.25 3 8 7 2 2 5 1012 208 4 7 4 6

(20)

20 Tema: Problemas aditivos

3.1 Suma y resta de fracciones propias

Contenido 3

El resultado de sumar 41 + 2 es6 14 ,y como24 41 = 246 y 62 = 248 ,entonces 246 + 248 = 2414 . Por tanto, 41 + 62 = + =6 824 2414 . Alsimplificar elresultado tenemos que 2414 = 127 .

Para el caso de la resta, procedemos de la misma manera: 8 6 5 2 40 14 ,ya que ₈6 40 30 y ₅2 40 16 ,y ₄₀30 40 16 40 14 . = = = = -

-En general, 86 - 52 = 30 1640- = 14 ,y alsimplificar elresultado tenemos que40 4014 = 207

.

◊ Localiza en la recta numérica los siguientes números fraccionarios y decimales.

a) c) d) b) 5 4 6 44 x ,

,

0.8, 109 ,1312 1.30 8,11,57 4 5 5 6 7 8 , , 0 1 1 0 2 0 1 0 1 2

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4 5 56 44 8 7 6 5 54 0.8 109 12 13 1.30 75 11 8

(21)

21 3.2 Suma y resta de fracciones mixtas

◊ Representa en su mínima expresión el resultado de las siguientes operaciones.

a) a) b) c) d) e) b) f) c) g) d) h) 6 1 4 2 + = 5 51 2+ 48 = 265 + 164 = 104 8020+ = 18420 = 1092 = 465 2 72 1- 64 = 3 108 -2 53 = 3 43 3+ 25 = 8 3 7 1 + = 8 2 174 =

-

₇1 - ₁1 =₀ 1 108 - 7 =1 127 - 148 = 123 + 94 = 135 + 127 =

Para sumar o restar números fraccionarios mixtos es conveniente que los sumandos o elementos que indican que hay que efectuar una resta sean transformados en fracciones impropias.

4 71 = 7 4 1#7+ = 297

◊ Representa en su mínima expresión el resultado de las siguientes operaciones.

e) f) g) h) 5 83 1+ 71 = 1 1 2 71

-

10 = 1 1 1 123

-

2 =8 10 102

+

2 34 = 24 4 12 24 16 128 64 32 + ₌ ₌ ₌ ₌ 7 16 6 10 42 96 70 42 26 21 13 = = = -

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21 856+ = 5629

136 34 32 1362 681 = = -70 10 7 703 = -110 88 70 11018 559 = = -1 8 1 68 9 96 68 2 841 = = -108 27 48 10875 3625 + ₌ ₌ 10 38 5 13 50 190 130 50 60 25 30 5 6 = = = = - -4 15 2 11 8 30 44 8 74 4 37

+

= + = = 180 1 36 105 80 141 60 47 + ₌ ₌ 8 43 7 8 56 301 64 56 365

+

= + = 7 15 10 11 70 150 77 70 73 = - =

-12 15 18 20 216 270 240 21630 10815 365 = = = = - -10 102 3 10 30 306 100 30 406 15 203 + = + = =

(22)

22 3.3 Problemas aditivos

◊ Realiza las operaciones matemáticas necesarias para resolver cada uno de los planteamientos que a continuación se te presentan, y ubica en la recta numérica el resultado.

a) Pamela pagó por una caja de cereal ₈6 partes del dinero que dispone, y

141 parte lo destinó a comprar un

chocolate, ¿qué parte del dinero invirtió en sus compras?

c) Karina recorrió sobre una pista de ciclismo ₈2 de kilómetro un martes, y para el día siguiente abarcó _{5 3}2 de kilómetro, ¿cuántos kilómetros recorrió en total?

d) Beatriz compró en una ferretería una bolsa con _{1 4}3 de kilogramo de yeso. Si ocupó ₄6 para rellenar un hueco, ¿cuánto yeso le quedó en la bolsa?

b) Nicolás dibujó un cuadrado que mide ₈4 de centímetro por lado, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero?

e) De _{8 12}6 partes de colorante rojo que hay en un recipiente, Regina diluyó sólo ₄3 partes con agua en un pocillo, ¿cuál es la cantidad de colorante que resta en el recipiente?

0 1 0 1 2 5 6 0 1 7 8 8 6 141 = 84 8112+ = 11292 = 5646 = 2823 + 23 28 Invirtió 2823 pesos.

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8 4 8 4 8 4 8 4 8 16 ₂ + + + = = 8 2 5₃2 8 2 3 17 24 6 136 24 142 12 71 5 1211 + = + = + = = = 1 43 - 46 = 47 - 46 = 41 8 126 - 43 = 10212 - 43 = 408 3648- = 37248 =7 43 16 8 11 12 5 1 4 3 4 7 El perímetro es de 2 cm. Recorrió 5 1211 km. Le quedó 14 de kg. Resta 47 3 de colorante.

(23)

23

◊ Resuelve los siguientes problemas.

a) Carlos y Mayte decidieron cooperar con cantidades diferentes de dinero para adquirir una consola de videojuegos. Si ambos disponen de la misma cantidad, y de ésta Carlos aportó ₁₂8 y Mayte ₇2 partes, ¿qué parte del dinero de Carlos o Mayte representaría el total de lo que gastaron?

b) Juan y Ana dividieron dos pliegos de cartulina en cuadrados para construir dos cubos; uno en ₂₆12, y el otro en ₁₅12 partes. ¿Qué fracción de cartulina se utilizó para armar los cuerpos geométricos?

c) Georgina, durante el trayecto a su casa, descansó ₁₅4 y ₈₀24 de hora, ¿qué fracción de hora no descansó?

d) Itzel preparó _{2 4}3 _{de litro de jugo de naranja. Si su hermano se tomó 1 20}5 de litro, ¿cuál es la cantidad de jugo que queda?

e) Pepe ocupa la tercera parte del día en dormir y una cuarta parte en la escuela. ¿Qué parte del día le queda para jugar, comer y hacer tarea?

128 + 72 = 56 2484+ = 8480 = 4042 = 2021 De la cantidad de Carlos o Mayte representarían 2120 partes.

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15 12 390 180 312 390 492 195 246 65 82 1 6517 26 12 + = + = = = = 2 43 1- 205 = 114 - 2025 = 220 10080- = 12080 = 128 = 32 3 1 4 1 12 4 3 127 12 12 127 12 712 125 + = + = = - - =

La parte de hora que descansó: 154 + 8024 = 320 3601200+ = 1200680 = 600340 = 1703 00 = 18550 = 17 .30 La fracción de hora que no descansó: 3300 - 3170 = 31 .03

Se utilizó 1 6517 partes de cartulina.

Quedan 23 de litro de jugo.

(24)

24 3.4 Profundiza

◊ Soluciona los siguientes planteamientos.

a) Existen dos grupos de secundaria que tienen el mismo número de alumnos. En el primer grupo ₁₀2 partes obtuvieron 8 de promedio, ₃1 lograron un 9 y ₁₈7 consiguieron un 10 en la materia de Física. En cambio, en el segundo grupo

124 partes alcanzaron el 8, 93 obtuvieron un 9 y 3311 tuvieron 10. ¿En cuál de los dos grupos hubo más personas

con un promedio superior a 8?

b) Averigua cuál es la suma de los valores que se representan con las letras A, B y C en la recta numérica.

c) Halla el valor de x (valor faltante) en 101 + =x 2 81 para que se cumpla la igualdad.

d) Omar adquirió dos bolsas con clavos, los de la primera bolsa miden 16_{pulgada, ¿qué bolsa tiene los clavos más grandes en pulgadas?} 7 de pulgada, y los de la otra bolsa, 21 de

e) En un laboratorio, al homogeneizar 102 de mililitros de dimeticona, 18 de mililitros de esencia, 3 12 de mililitros 3 de agua destilada y cierto número de alcohol, se obtienen 100 ml de colonia. ¿Qué fracción, expresada en milili-tros, de alcohol se necesita para tener los 100 mililitros de colonia?

A + B + C =

0 A 1 B 2 C 3

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Primer grupo:

Segundo grupo:

En el primer grupo hubo más alumnos que obtuvieron más de 8: 3 1 187 18 2154 5439 1813 . + = + = = 9 3 33 11 297 99 99 297 198 99 66 33 22 3 2 . + = + = = = = 6 1 1₅1 2₈1 6 1 5 6 8 17 30 5 36 8 17 30 41 8 17 240 328 510 240 838 120 419 + + = + + = + + = + = + = = 2 81 - 101 = 178 - 101 = 170 880- = 16280 = 8140 18 13 3 2 . 2 120 419 El valor de x es ₄₀81 .

Se sabe que ₂1 2 ₁₆7 . _{Al operar matemáticamente se tiene que los clavos de la segunda son más grandes por 16}1 de pulgada, ya que: ₂1 - ₁₆7 = 16 14₃₂- = ₃₂2 = ₁₆1 .

102 + 183 + 123 + mililitros de alcohol=100 ml ( 102 + + +6 4 mililitros de alcohol=100 ml 10 10& 2 + mililitros de alcohol = 100 ml

(25)

25 Tema: Patrones y ecuaciones

4.1 Sucesión de números: regla de regularidad y regla general

Contenido 4

La regla de regularidad y la regla general que definen a una sucesión pueden ser expresadas en lenguaje común, por ejemplo, para una sucesión con progresión aritmética las reglas quedan definidas de la siguiente manera:

Regla de regularidad: para obtener el subsecuente término se suma 1 a cada término. Regla general: se multiplica la posición del término por 1 y se le suma 2.

Expresión algebraica: es aquella en la que intervienen números, letras (literales) y signos de operación y en algunos casos signos de agrupamiento.

Término de la

sucesión 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Posición que ocupa el

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Término de la

sucesión 4 6 8 10 12 14 16 18 20

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Término de la

sucesión 3 7 11 15 19 23 27 31 35

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Término de la

sucesión 5 8 11 14 17 20 23 26 29

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

◊ Describe la aplicación de la regla de regularidad y la regla general para cada una de las sucesiones que se presentan. a) b) c) Regla de regularidad: Regla general: Expresión algebraica: Regla de regularidad: Regla general: Expresión algebraica: Regla de regularidad: Regla general: Expresión algebraica:

Para obtener el subsecuente término se suman 2 a cada término. Se multiplica la posición del término por 2 y se suma 2.

2n + 2 n + 2 Expresión algebraica:

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Para obtener el subsecuente término se suman 4 a cada término.

Para obtener el subsecuente término se suman 3 a cada término. 3n + 2

4n − 1

Se multiplica la posición del término por 4 y se resta 1.

(26)

26

Término de la

sucesión 3 6 12 24 48 96 192 384 768

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Término de la

sucesión 1 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Término de la

sucesión 2 4 8 16 32 64 128 256 512

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Término de la

sucesión 2 6 18 54 162 486 1458 4374 13122

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Término de la

sucesión 7 10 13 16 19 22 25 28 31

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 d) a) b) c) Regla de regularidad: Regla general:

Una sucesión con progresión geométrica no varía linealmente, su expresión algebraica es un poco más compleja y por eso aquí sólo analizarás su regla de regularidad.

La regla de regularidad de la siguiente sucesión es: para obtener el subsecuente término se multiplica el término anterior por 2.

◊ Describe la regla de regularidad para cada una de las sucesiones que se presentan.

Regla de regularidad:

Para obtener el subsecuente término se multiplica el término anterior por 4.

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Para obtener el subsecuente término se suma 3 a cada término.

Para obtener el subsecuente término se multiplica el término anterior por 3. Se multiplica la posición del término por 3 y se suma 4.

(27)

27

Término de la

sucesión 1 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Término de la

sucesión 1

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Término de la

sucesión 3

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Término de la

sucesión 1

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Término de la

sucesión 6

término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d)

Regla de regularidad:

4.2 Construcción de sucesiones numéricas

◊ Completa los términos que hacen falta en las siguientes tablas de sucesiones, de acuerdo a la regla general o expresión algebraica que se indica.

a) Regla de regularidad: el número anterior se multiplica por 3 para obtener el siguiente término.

b) Regla general: el valor de la posición se multiplica por 3.

c) Regla de regularidad: el número anterior se multiplica por 2 para obtener el siguiente término.

d) Regla general: el valor de la posición se multiplica por 2 y se le suma 4.

3 9 27 81 243 729 2187 6561

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6 2 8 9 4 10 12 8 12 15 16 14 18 32 16 21 64 18 24 128 20 27 256 22

(28)

28 4.3 Sucesión de figuras

◊ Determina la regla general que define a cada sucesión de figuras con ayuda del análisis sobre su comportamiento matemático que se encuentra en las tablas, debajo de cada sucesión.

a)

b)

c)

Posición de la figura 1 2 3 4 5 6 7 8

Número de círculos de la figura 2 4 6 8 10 12 14 16

Constante aditiva (diferencia del número de círculos entre

dos figuras consecutivas) 2 2 2 2

Número de cuadrados

de la figura 1 3 5 7 9 11 13 15

Constante aditiva (diferencia del número de cuadrados

en-tre dos figuras consecutivas) 2 2 2 2

Número de cuadrados

de la figura 3 4 5 6 7 8 9 10

Constante aditiva (diferencia del número de cuadrados

Regla general:

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Figura 1 Figura 1 Figura 2 Figura 2 Figura 3 Figura 3 Figura 4 Figura 4 Multiplicar la posición de la figura por la constante aditiva 2.

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Multiplicar la posición de la figura por la constante aditiva 2 y restar 1.

(29)

29

d)

Número de segmentos

de la figura 3 5 7 9 11 13 15 17

Constante aditiva (diferencia del número de segmentos

Regla general:

4.4 Profundiza

◊ Completa la siguiente tabla con la información correspondiente.

◊ Completa las siguientes sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas o de figuras Regla de regularidad Regla general

Va de 1 en 1. Multiplicar el lugar del término _{por 1 y sumar 1.}

7, 9, 11, 13, 15… 3, 9, 15, 21, 27… a) 2, , 12, 17, , , 32, 37, ... b) ,14, 28, 56, , , 448, 896, ... c) 5, 8, 11, , , , 23, 26, ... e) 84, , , 69, 64, 59, , 49, ... d) 1, 21 81 161 641 1281

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5

7 22 27

, , , , , , ,...

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Va de 2 en 2.

Va de 4 en 4.

Va de 6 en 6.

Multiplicar el lugar del término por 2 y sumar 5.

Multiplicar el lugar del término por 4 y restar 3.

Multiplicar el lugar del término por 6 y restar 3. 4 1 1 32 7 112 14 17 20 79 74 54 224

(30)

30 Tema: Patrones y ecuaciones

5.1 Descripción de la obtención del perímetro

Contenido 5

◊ Lee cada uno de los planteamientos y responde las preguntas que se hacen al respecto.

a) Se desea cercar con malla ciclónica un terreno cuadrangular que se ocupará para sembrar maíz.

b) Alrededor de una colcha se requiere coser un encaje.

c) Se ha construido un vitral en forma de rombo. Considerando que uno de sus lados mide 20 cm: • ¿Cómo puede obtenerse el número de metros de malla ciclónica necesaria para cercar el terreno?

• Encuentra una forma de determinar la longitud del contorno de cualquier terreno cuadrangular y descríbela a continuación.

• ¿Cómo determinarías el número de metros de encaje necesario para abarcar toda la colcha?

• Encuentra una manera de determinar la longitud del contorno de cualquier colcha rectangular y descríbela enseguida.

• ¿Cómo se puede saber el perímetro del vitral?

d) Gabriel le dice a Mario que una manera de encontrar la longitud del contorno de un rombo es sumando la medida de todos sus lados, Mario responde que esto no puede ser posible, ya que para obtener el perímetro hay que mul-tiplicar el número de lados por la medida. ¿Quién de los dos tiene la razón? Explica tu respuesta.

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Considerando que el terreno tiene cuatro lados iguales, y que se conoce la medida de uno de sus lados, se tiene que efectuar una suma, la cual determinará el número de metros de malla ciclónica necesaria para cercar el terreno.

Para encontrar el perímetro de cualquier terreno cuadrangular, sin importar la medida de sus lados, se debe efectuar una suma o una multiplicación. Para el primer caso, hay que sumar cuatro veces la medida de uno de los lados del cuadrado. Para el caso dos, es necesario multiplicar el número de lados del cuadrado por la medida de cada uno de ellos.

Se debe efectuar una adición de las medidas de todos sus lados, considerando que la colcha rectangular tiene dos pares de lados paralelos, y que un par difiere de la medida del otro.

Una forma de saber el perímetro total de cualquier colcha es sumar todos sus lados, considerando que un par de lados es distinto al otro, en magnitud.

La medida de cada uno de los lados es la misma; es decir, todos sus lados miden 20 cm, y como se requiere saber el perímetro del vitral, se tienen que sumar todas sus longitudes.

Ambos tienen la razón, porque cada uno de los lados del vitral tiene la misma longitud. Eso implica que si se suma cuatro veces la medida del lado del rombo, o se multiplica la longitud de uno de ellos por su número de lados, se obtiene el mismo resultado.

(31)

31

e) Un triángulo equilátero tiene un perímetro de 12 cm.

• ¿Cómo se obtuvo la longitud del contorno del triángulo?

• Inés aprendió que para calcular el perímetro de un triángulo equilátero se debe de sumar la medida de cada uno de los lados. Describe otra manera de encontrar el perímetro de cualquier triángulo equilátero.

5.2 Descripción de la obtención del área

◊ Lee cada uno de los planteamientos y responde las preguntas que se hacen sobre ellos.

a) Cada uno de los cuadrados que forman el tablero de ajedrez que se exhibe en una tienda de juegos de mesa re-presenta 100 centímetros cuadrados de la superficie total:

b) En cada uno de los cuadrados que representan un metro cuadrado de la superficie total, se pretende sembrar un árbol:

• ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene como área el tablero de ajedrez?

• ¿Cómo determinarías el área del cualquier cuadrado?

• ¿En cuántos metros cuadrados se sembraron los árboles?

• ¿Cómo determinarías el área de cualquier rectángulo?

* Puedes consultar la hoja de anexo en este libro.

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Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales por definición, eso significa que cada uno de los lados tiene la misma medida. Considerando lo anterior, se tiene que sumar tres veces la misma longitud para obtener el perímetro del triángulo.

Como los lados que componen al triángulo equilátero son iguales, se puede representar el perímetro multipli-cando el valor de la longitud por el número de lados que éste tiene.

6400 centímetros cuadrados.

Para encontrar el área de un cuadrado, conociéndose la longitud de uno de sus lados, se tiene que multipli-car el valor del lado por el mismo valor, es decir, lado por lado.

En 200 metros cuadrados.

Todo rectángulo tiene una base y una altura, por ello se debe efectuar una multiplicación: el número de metros que tiene de largo por el número de metros que tiene de ancho.

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32

c) Se empleará la superficie sombreada para sembrar frijol y la parte no sombreada para sembrar chícharo:

• ¿Cuántas unidades cuadradas se destinaron para sembrar frijol y cuántos para chícharo?

• ¿Cómo determinarías el área de cualquier triángulo?

5.3 Literales como números generales

El perímetro de una figura representa la suma de las longitudes de sus lados, por lo que la medida del contorno del siguiente cuadrado, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar, se expresa así:

Para expresar el perímetro del siguiente rectángulo de lados a y b se requiere sumar sus longitudes, por lo que: P = lado + lado + lado + lado

P = 4 veces el lado P = 4l

P = lado + lado + lado + lado P = a + b + a + b

P = 2a + 2b

l

b a

◊ Representa el perímetro de las siguientes figuras.

a) b) c a b m n m P = a + b + c P =

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Se destinaron 14 unidades cuadradas para cada una de las semillas.

Se debe efectuar una multiplicación: el número de metros que tiene de largo por el número de metros que tiene de ancho, y el resultado se divide entre dos.