MA 2112 1 Límites pdf

Texto completo

(1)1 Universidad Simón Bolívar. Matemáticas V (MA-2112). [email protected] ; @ChristianLaya Preparaduría nº 1 Funciones a varias variables y límites en un punto 1. Determine, grafique y halle las curvas de nivel de la función:. Solución: Para que la función tenga sentido se debe cumplir que:. Graficamos la región:. El conjunto de nivel vendrá dado por:. En tal caso, para distintos valores de “c” se obtiene:. Matemáticas V (MA-2112).

(2) 2 Graficamos:. Límites en un punto Para comprender el concepto de límite de una función real de dos variables reales, podemos pensar en valores de que se acercan cada vez más a un número L, cuando el par tiende a . La diferencia que existe con respecto al límite de una función real de una sola variable es que, en este caso, puede aproximarse a a través de infinitas trayectorias diferentes. (a) Ordinario: el número L, se dice que es el límite de la función en (sin importar que tan pequeño sea), existe otro número tal que cuando se cumple que . En tal caso, se escribe:. En la expresión cualquiera de coordenadas. , si para todo. , representa la distancia entre un punto y el punto. , esto es:. Luego, los puntos que satisfacen son los interiores al círculo de radio , excepto , por no estar incluidos los extremos de la desigualdad.. y centro. La diferencia de ordenadas anterior, puede ser representada como la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son y . En cuyo caso podemos plantear lo siguiente:. Es decir:. Matemáticas V (MA-2112).

(3) 3. Debemos observar que la definición del límite es independiente de la trayectoria de aproximación, esto indica que si distintos caminos conducen a valores diferentes de un límite L, entonces el límite no existe. (b) Direccional: cuando la trayectoria de aproximación a un punto es una recta pasa por ese punto, al límite de en , se llama límite radial o direccional. (c) A lo largo de una curva: si C es una curva que pasa por el punto se llama límite a lo largo de la curva C.. que. , al límite de. en. (d) Iterados: se define como límite iterado al límite:. Si al calcular estos límites por separado resultan diferentes, al límite de. en. no existe.. Nota importante: si los límites iterados son diferentes, entonces, el límite no existe. El recíproco es falso, es decir, el hecho de que los límites iterados existan y sean iguales no garantiza que el límite en dicho punto exista. Propiedades de los límites: en general, las propiedades de los límites a una sola variable se extrapolan a los límites de varias variables. Observación: los límites cuando polares, es decir:. pueden ser resueltos mediante el uso de coordenadas. De lo que se obtiene:. Es decir, si. entonces. . Si la expresión final depende de. entonces el límite no existe.. 2. Halle el siguiente límite:. Solución: Hay varias formas de resolver el límite: . Límites iterados: planteamos los límites iterados:. Matemáticas V (MA-2112).

(4) 4 Los límites iterados son iguales, sin embargos, sólo podemos concluir algo si son diferentes (que el límite no existe), como son iguales, no podemos concluir nada. . Límites direccionales: nos aproximamos al origen mediante la recta que pasa por el (0,0):. El límite depende de la pendiente (trayectoria) y, por ende, no existe. . Trayectorias: nos aproximamos al límite mediante la utilización de una trayectoria que pase por el origen, en este caso, e :. Los límites son distintos, es decir, el límite depende de la trayectoria que se tome y, por ende, no existe. 3. Halle el siguiente límite:. Solución: Tomamos como trayectoria una recta genérica que pase por el (0,0):. :. Hallamos un valor probable, por ende, debemos probar por definición que existe un delta que dependa de un épsilon y así aseguramos que el límite exista. Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Adicionalmente, sabemos que:. Ahora bien, tenemos que:. Matemáticas V (MA-2112).

(5) 5. Sabemos que:. Entonces:. Así, si tomamos. , podemos concluir que:. Siempre que. y, por lo tanto, hemos probado que el límite existe y vale 0.. 4. Calcule el siguiente límite:. Solución: Partiremos de una aproximación al punto (0,0) a través de rectas de diferentes pendientes: se puede hacer con parábolas).. (también. Lo cual es un valor probable. Probemos con la definición: Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Adicionalmente, sabemos que:. Matemáticas V (MA-2112).

(6) 6 Ahora bien:. Adicionalmente sabemos que:. Y obtenemos que:. Entonces, si tomamos. queda probado que el límite existe y vale 0.. También podemos hacer. y, en consecuencia,. y se tiene:. Tomando. demostramos la existencia del límite y que es igual a cero.. 5. Halle el siguiente límite:. Solución: El límite tiene dos formas de ser visto: . Sustitución simple: si sustituimos en el límite e vemos que de forma inmediata éste da uno. Como fue hecho por manipulación algebraica no es necesario probarlo mediante la definición.. . Límites direccionales: nos aproximamos al (0,0) mediante rectas genéricas de la forma. :. Es un valor probable. Verificamos mediante la definición: Para todo. existe un. tal que:. Matemáticas V (MA-2112).

(7) 7. Sin embargo:. Adicionalmente, sabemos que:. Entonces:. Encontramos un. que depende directamente de un número épsilon, por ende, el límite existe y vale uno.. 6. Halle el siguiente límite:. Solución: Nos aproximamos al (0,0) mediante rectas:. Es un valor probable. Probamos mediante la definición: Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Adicionalmente, sabemos que:. Matemáticas V (MA-2112).

(8) 8. Ahora bien:. Sabemos que:. Entonces:. Así, basta tomar. para que el límite exista y valga 0. Ejercicios propuestos. 7. Demuestre que:. Solución: Por definición, dado. , existe. , tal que. Siempre que:. Podemos ver la desigualdad anterior, como la distancia entre un punto. y el punto. Lo que por desigualdad triangular nos permite escribir:. Ahora bien, tenemos que:. Matemáticas V (MA-2112).

(9) 9 De hecho:. Así, si tomamos. , podemos concluir que. siempre que:. Y, por lo tanto, hemos demostrado que:. 8. Demuestre, haciendo uso de la definición, que:. Solución: Queremos demostrar que para cualquier valor de existe un tal que que . De la relación anterior se obtiene que. siempre y. .. Ahora bien, tenemos dos formas de acotar. Primera:. Sabemos que:. Necesitamos acotar , entonces si partimos de la relación anterior y ahora sumamos dos unidades a cada miembro de la desigualdad, tendremos:. Pero sabemos que. y por ende –. . Sustituyendo en la expresión anterior:. Finalmente:. Si hacemos. se tiene que. . Entonces, si tomamos. tal que. el límite existe y vale. uno.. Matemáticas V (MA-2112).

(10) 10 Segunda:. Si hacemos. se tiene que. . Entonces, si tomamos. tal que. el límite existe y vale. uno. 9. Demuestre, haciendo uso de la definición, que:. Solución: Queremos demostrar que para todo. existe un. , tal que:. Sin embargo:. Lo que nos permite obtener que. Ahora, podemos factorizar. y. . Ahora bien:. de dos maneras distintas:. La primera:. La segunda:. Cualquiera de las dos es válida.. Ahora, sabemos que:. Matemáticas V (MA-2112).

(11) 11. Entonces:. Si hacemos. , entonces,. y, por ende:. Es decir, tomando. queda demostrada la existencia del límite planteado y que su valor. es igual a -18. 10. Halle el siguiente límite:. Solución: Resolvemos por límites direccionales mediante la trayectoria. :. Ahora, sabemos que:. Sabemos que:. Lo cual es un valor probable. Procedemos a probar mediante la definición: Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Ahora, sabemos que:. Matemáticas V (MA-2112).

(12) 12 Adicionalmente, sabemos que:. Seguidamente:. Así, si tomamos. queda probado que el límite existe y vale 0.. 11. Sea la función definida, por:. Si. . Calcule:    . Límites iterados en (0,0). Límites direccionales en (0,0). Límites en a lo largo de las parábolas del tipo Demuestre la existencia del límite de en (0,0).. y de las del tipo. .. Solución: Límites iterados en el origen:. Límites direccionales en el origen: nos aproximamos al (0,0) mediante una recta, para ello escogemos como trayectoria que representa una recta que pasa por el origen con pendiente m:. Independiente del valor de m. Si. :. Independiente del valor de a. Si. :. Matemáticas V (MA-2112).

(13) 13 Independiente del valor de b. Obtuvimos de distintas formas un valor probable del límite. Demostremos la existencia del límite de Para todo. existe un. en (0,0):. tal que:. Sin embargo:. Adicionalmente, sabemos que:. Ahora bien:. Sabemos que:. Y obtenemos que:. Basta tomar. , el límite existirá y valdrá 0.. 12. Halle el siguiente límite:. Solución: Utilizamos coordenadas polares: Para todo. existe un. e tal que. . Recordemos que: , pero:. Matemáticas V (MA-2112).

(14) 14. Si. entonces. .. Tenemos entonces:. Se agradece la notificación de errores Christian Laya. Matemáticas V (MA-2112).

(15)