Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matem´ aticas
Grupo de Semilleros de Matem´ aticas (Sem´ atica)
Operativas Taller 2
2012 − 1
N´ umeros reales
Julius Wilhelm Richard Dedekind(6 de octubre de 1831 - 12 de febrero de 1916), matem´atico alem´an que se destac´o por sus importantes aportes en el ´algebra abstracta, la teor´ıa de n´umeros y en la fundamentaci´on rigurosa de los n´umeros reales.
En 1848 ingresa al Colegium Carolinum, donde su padre trabajaba, obtie- niendo una s´olida formaci´on en matem´aticas. En 1850 ingresa a la Uni- versidad de Gotinga, enfocando su trabajo en la teor´ıa de n´umeros y se convierte en el ´ultimo estudiante de Gauss, recibiendo su t´ıtulo de doctor en 1852.
En 1858 se vincula como profesor a la Escuela Polit´ecnica Federal de Z´urich e introduce el concepto de “cortadura de Dedekind”, que fundamenta el concepto de n´umero real a partir de los n´umeros racionales.
Una de sus contribuciones principales fue publicada en 1872, en un art´ıculo en el que carac- teriz´o los n´umeros reales como un cuerpo ordenado y completo. El trabajo de Dedekind sobre n´umeros naturales fue tambi´en de vital importancia en la fundamentaci´on de la teor´ıa de con- juntos, junto con Frege y Cantor, proporcionando un caracter de rigurosidad de los llamados Axiomas de Peano (publicados por Peano un a˜no m´as tarde).
Objetivo general
Emplear con habilidad las propiedades b´asicas de los n´umeros reales para enfrentar diversas situaciones problema propias de la aritm´etica.
Objetivos espec´ıficos
1. Efectuar con destreza operaciones aritm´eticas entre n´umeros fraccionarios.
2. Manipular potencias con exponentes con diversas clases de exponentes.
Grupo de Semilleros de Matem´aticas - Sem´atica, Universidad de Antioquia. Esta obra es distribuida bajo una licenciaCreative Commons Atribuci´on - No comercial 2.5 Colombia.
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1. Sistemas num´ ericos
Los n´umeros reales son utilizados en una gran variedad de problemas matem´aticos para re- presentar cantidades discretas y continuas como distancias, tiempos, velocidades, aceleraciones, temperaturas, etc. Dependiendo de las cantidades que deseemos medir, podemos encontrar los siguientes sistemas num´ericos:
1.1. N´ umeros naturales
Los n´umeros naturales son 1, 2, 3, . . . Surgen de la necesidad de contar o enumerar objetos, sirven para designar el n´umero de elementos de algunos conjuntos y constituyen el fundamento a la aritm´etica. El conjunto de los n´umeros naturales se denota con el s´ımbolo N:
N= {1, 2, 3, . . .} y N0= {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}
El cero (0) representa el n´umero de elementos del conjunto vac´ıo y muchos autores no lo consideran un n´umero entero.
b b b b b b b b
0 1 2 3 n n + 1
1.2. N´ umeros enteros
Los n´umeros enteros est´an formados por los n´umeros naturales 1, 2, 3, . . . y por sus inversos aditivos −1, −2, −3, . . . El conjunto de los n´umeros naturales se denota por el s´ımbolo (Z):
Z= {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
A diferencia de lo que ocurre en N, la resta de dos n´umeros enteros siempre es un n´umero entero.
Observemos que el conjunto de los n´umeros naturales es un subconjunto del conjunto de lo n´umeros enteros, en s´ımbolos: N ⊂ Z.
b b b b b b b b b b b b b
−n −3 −2 −1 0 1 2 3 n
Los n´umeros enteros se clasifican en enteros positivos (Z+) y en enteros negativos (Z−):
Z+= {1, 2, 3, . . .} = N y Z−= {. . . , −3, −2, −1}
y Z = Z+∪ Z−∪ {0}.
1.3. N´ umeros racionales
(Q): representan el cociente de dos enteros, el t´ermino “racional” hace referencia a “raz´on”,
“proporci´on” o “fracci´on”:
Q=n m
n : m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0o
Todo entero n se puede escribir como el n´umero racional n/1 y en consecuencia Z ⊂ Q.
b b b b b b b b
−
1
−1 4 0 1
2 1 7
4 2 3
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Los n´umeros racionales admiten una representaci´on decimal finita o infinita pero peri´odica:
9
4 = 2.25 y 177
55 = 3.2181818 . . . = 3.218
1.4. N´ umeros irracionales
(Q∗): los n´umeros que no son racionales se denominan n´umeros irracionales. Ejemplos de n´ume- ros irracionales son el n´umero e (base del logaritmo natural), π (la raz´on entre la circunferencia de un c´ırculo y su di´ametro) y√
2 (la diagonal de un cuadrado de lado 1) entre otros. Las represen- taciones decimales de estos n´umeros son siempre infinitas y no repetitivas:
1. π = 3.1415926535897 . . . 2. √
2 = 1.4142135623731 . . .
3. e = 2.71828183 . . . 4. 4.12122122212222 . . .
b b b b b b b b
0 1 √2 2 e 3 π 4
√ 2
2. N´ umeros reales
El conjunto de los n´umeros reales est´a constituido por todos los n´umeros racionales e irracio- nales. As´ı,
R= Q ∪ Q∗ y N⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Los n´umeros reales los podemos considerar como “puntos” sobre una recta infinita: a cada punto de la recta le corresponde uno y s´olo un n´umero real y rec´ıprocamente, a cada n´umero real le corresponde un punto de la recta.
b b b b b b b b
0 1 3 2 R
2 e 3 π 4
2.1. Axiomas de campo
En R existen dos operaciones llamadas suma (+) y producto (·) que satisfacen las siguientes propiedades:
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Propiedad 2.1(Axiomas de campo). .
1. Para cada par de n´umeros reales a y b, la suma a + b es un n´umero real.
2. La suma es conmutativa: a + b = b + a
3. La suma es asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c
4. Existe un n´umero real denotado por 0 (neutro aditivo) que satisface a + 0 = a
5. Para cada n´umero real a, existe un ´unico elemento denotado por −a (inverso aditivo) que satisface a + (−a) = 0.
6. Para cada par de n´umeros reales a y b, el producto a · b es un n´umero real.
7. La producto es conmutativa: a · b = b · a 8. La producto es asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c
9. 1 es el neutro multiplicativo y satisface 1 · a = a para todo a ∈ R.
10. Si a 6= 0, a−1 es el inverso multiplicativo y satisface a · a−1 = 1 para todo a ∈ R.
11. La producto es distributiva sobre la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c y (a + b) · c = a · c + b · c
Observaci´on 1 (Sobre axiomas de campo). .
1. A la propiedad (2.1) se le denomina axiomas de campo de los n´umeros reales.
2. Los axiomas (1)-(5) hacen referencia a las propiedades que satisface la operaci´on suma 3. Los axiomas (6)-(10) hacen referencia a las propiedades que satisface la operaci´on producto 4. El axioma (11) (propiedad distributiva), relaciona las propiedades de la suma con el producto.
5. Si a 6= 0, su inverso multiplicativo a−1 se denota por a−1=a1. 6. En lugar de escribir a · b, se acostumbra escribir ab.
7. En lugar de escribir a + (−b), se acostumbra escribir a − b.
Ejemplo 2.1. Por la propiedad distribuitiva,
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Proposici´on 2.2. Para todo a, b ∈ R se cumple que:
1. a · 0 = 0
2. si ab = 0, entonces a = 0 ´o b = 0.
El inverso aditivo de todo n´umero real satisface las siguientes propiedades:
Proposici´on 2.3(Ley de los signos). Para todo a, b ∈ R se cumple que:
1. (−1)a = −a 2. −(−a) = a
3. (−a)b = a(−b) = −(ab) 4. (−a)(−b) = ab
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El inverso multiplicativo o rec´ıproco a−1= 1a de un n´umero real a 6= 0 se caracteriza por ser el
´
unico n´umero que satisface
a · a−1= a 1 a
= 1.
Por ejemplo, 45−1
= 54 porque 45· 54 = 1 y en general
m n
−1
= 1
m/n= n m
2.2. Axiomas de orden
La representaci´on geom´etrica de los n´umeros reales como puntos sobre una recta
a b R
nos permite establecer de manera “informal” un orden en R: si “a est´a a la izquierda de b”, se dice que a es menor que b y se escribe a < b. De manera an´aloga, “si a est´a a la derecha de b”, se dice que a es mayor que b y se escribe a > b.
Esta idea intuitiva de ser “mayor que” (>) o “menor que” (<) se puede presentar formalmente:
Propiedad 2.4 (Axiomas de orden). Existe en R una relaci´on de orden < tal que para todo a, b, c ∈ R se cumple que:
1. Una y s´olo una de las siguientes situaciones se presenta: a = b ´o a < b ´o a > b.
2. a < b =⇒ a + c < b + c.
3. a > 0 y b > 0 =⇒ ab > 0.
4. a > b y b > c =⇒ a > c.
Observaci´on 2 (Sobre axiomas de orden). . 1. a > b significa lo mismo que b < a.
2. Un n´umero real x se dice que es positivo si x > 0 y negativo si x < 0.
3. El n´umero cero no es positivo ni negativo.
4. Los n´umeros positivos est´an ubicados a la “derecha” del cero y los negativos a la “izquierda”.
5. El conjunto formado por todos los n´umeros positivos se donota con el s´ımbolo R+. 6. El conjunto formado por todos los n´umeros negativos se donota con el s´ımbolo R−. 7. Del axioma (1) se infiere que todo n´umero real es positivo, negativo o cero.
8. El axioma (3) nos dice que el producto de n´umeros positivos es positivo.
9. Cuando tengamos que a < b y b < c escribiremos a < b < c.
A partir s´olo de los axiomas de orden se pueden demostrar formalmente enunciados intuitiva- mente evidentes como por ejemplo que 1 > 0. Otros enunciados que se pueden demostrar son:
Teorema 2.5. Para todo a, b, c ∈ R se cumple que:
1. a < b y c > 0 =⇒ ac < bc.
2. a < b y c < 0 =⇒ ac > bc.
3. a 6= 0 =⇒ a2> 0.
4. a < b y c < d =⇒ a + c < b + d.
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De la propiedad (3) del teorema anterior (2.5), se deduce que NO existe un n´umero real x tal que x2= −1. Existen n´umeros que satisfacen esta propiedad, no son n´umeros reales y se denominan n´umeros complejos. El conjunto de los n´umeros complejos se denotada por C y tanto su definici´on como sus propiedades ser´an estudiadas m´as adelante.
Teorema 2.6. Si a, b ∈ R y a < b, entonces −b < −a.
Teorema 2.7. Si a, b ∈ R y ab > 0, entonces una de las siguientes condiciones se cumple:
1. a > 0 y b > 0. 2. a < 0 y b < 0.
El s´ımbolo a ≤ b indica que a < b ´o a = b. Por ejemplo 1 ≤ 3 porque 1 < 3 mientras que π ≤ π porque π = π. De manera similar se define la relaci´on “≥”. La relaci´on ≤ satisface las siguientes propiedades:
Propiedad 2.8. Para todo a, b, c ∈ R se cumple que:
1. Propiedad reflexiva: a ≤ a.
2. Propiedad antisim´etrica: a ≤ b y b ≤ a =⇒ a = b.
3. Propiedad transitiva: a ≤ b y b ≤ c =⇒ a ≤ c.
3. Desigualdades
3.1. Intervalos
Es muy com´un en el d´ıa a d´ıa encontrarse con cantidades que oscilan entre ciertos valores;
diversos son los fen´omenos que no poseen una soluci´on num´erica exacta (´unica), lo cual nos lleva a la necesidad de limitar a cierto rango las posibles soluciones, basdos en estas necesidades recurrimos a la noci´on de intervalo, la cual se presenta a seguir.
Definici´on 3.1 (Intervalos). Sean a, b ∈ R con a ≤ b.
1. (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
2. [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
3. [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
4. (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
5. (a, ∞) = {x ∈ R : a < x}
6. [a, ∞) = {x ∈ R : a ≤ x}
7. (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}
8. (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
3.2. Valor absoluto
Definici´on 3.2 (Valor absoluto). El valor absoluto de un n´umero real x se define como
|x| =
x, si x ≥ 0
−x, si x < 0
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Ejemplo 3.1. |−5| = −(−5) = 5, |5| = 5.
Observaci´on 3. Note que por definici´on el valor absoluto de x siempre ser´a mayor o igual que cero, y nunca negativo. Desde un punto de vista geom´etrico, el valor absoluto de un n´umero real x corresponde a la distancia a lo largo de la recta num´erica real desde x hasta el n´umero cero.
Gr´aficamente es lo siguiente
R
|
−5
| 5
|
5 unidades 5 unidades |
|
|−5| 0 |5|
|
El valor absoluto de la diferencia de dos n´umeros reales es la distancia entre ellos. Gr´aficamente es lo siguiente
R
|y − x|
| x
| y
De este modo, la distancia entre los puntos −2 y 4 es |4 − (−2)| = 6.
Propiedad 3.1(valor absoluto). Para todo x, y ∈ R:
1. |x| ≥ 0
2. |x| = 0 si, y s´olo si x = 0
3. |x · y| = |x| · |y|
4. |x|2= x2
5. |x + y| = |x| + |y|
6. |x − y| = |y − x|
Otra propiedad muy importante del valor absoluto es la siguiente:
Propiedad 3.2(valor absoluto). Para todo a, b ∈ R con b > 0:
1. |a| < b si, y s´olo si −b < a < b 2. |a| > b si, y s´olo si a < −b ´o a > b
Ejemplo 3.2. .
1. Si x > 3, entonces |x − 3| = x − 3, pues x − 3 > 0; pero si x < 3, entonces |x − 3| = −(x − 3), pues x − 3 < 0.
2. |3 + 2| = |5| = 5 = |3| + |2|, sin embargo |3 + (−2)| = |1| = 1 ≤ 5 = |3| + |−2| . En cada caso se cumple |x + y| ≤ |x| + |y| .
3.
−1
2
=|−1||2| =12 = 1
2
.
4. Exponentes y radicales
Definici´on 4.1. Para todo a ∈ R y todo entero positivo n, 1. an= a · a · · · a
| {z }
n veces
. 2. a0= 1, si a 6= 0. 3. a−n= a1n.
Ejemplo 4.1. .
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1. 24= 2 × 2 × 2 × 2 = 16 2. 43= 4 × 4 × 4 = 64
3. 62= 6 × 6 = 36 4. 3−2= 312 = 3×31 = 19 Observaci´on 4. .
1. Se denomina potencia al producto que resulta al multiplicar una cantidad o expresi´on por s´ı misma una o varias veces. Por ejemplo, 16 es potencia de 2 porque 24= 16.
2. La operaci´on cuya finalidad es hallar las potencias de un n´umero se denomina potenciaci´on o elevaci´on a potencias.
3. a2se lee “a elevado al cuadrado”, a3se lee “a elevado al cubo”, an se lee “a elevado a la n”.
4. En la expresi´on an= b, a es la base, n es el exponente y b es la potencia.
Propiedad 4.1(Leyes de los exponentes). Para todo a, b ∈ R y m, n ∈ Z, 1. aman = am+n
2. (am)n= amn
3. (ab)n = anbn 4. abn
=abnn, b 6= 0.
5. aamn = am−n, a 6= 0 6. aamn = an−m1 , a 6= 0
Ejemplo 4.2. .
1. a−2· a5= a−2+5= a3, con a 6= 0.
2. b−45
= b−4·5= b−20= 1
b20, con b 6= 0.
3. (3x)2= 32· x2= 9x2, con x 6= 0.
4. z−3
z−5 = z−3−(−5)= z2, con z 6= 0.
La operaci´on inversa a la potenciaci´on se denomina radicaci´on. La radicaci´on nos permite calcular la base de una potencia, conociendo el exponente y la potencia.
Por ejemplo, la operaci´on inversa de elevar al cuadrado un n´umero se denomina encontrar una ra´ız cuadrada del n´umero. Las ra´ıces cuadradas de 25 son 5 y −5 porque 52= 25 y (−5)2= 25.
El s´ımbolo√
se utiliza para designar la ra´ız cuadrada no negativa. As´ı,√
25 = 5, √ 36 = 6, etc. En general, definimos la ra´ız n-´esima como se indica a continuaci´on:
Definici´on 4.2 (Ra´ız n-´esima). Si n es un n´umero natural y a un n´umero real, definimos √n a de la siguiente forma:
Si a = 0, entonces √n a = 0
Si a > 0, entonces √na = b, si, y s´olo si, bn= a y b > 0.
Si a < 0 y n es impar, entonces √na = b, si, y s´olo si, bn= a y b < 0.
Si a < 0 y n es par, entonces √n
a no es un n´umero real.
Ejemplo 4.3. . 1. √5
32 = 2, porque 25= 32 y 2 > 0.
2. √
−8 = −2, porque (−2)3= −8 y −2 < 0.
3. √
−9 no es un n´umero real.
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Propiedad 4.2(Propiedades de la ra´ız n-´esima). Para todo a ∈ R y n ∈ N, 1. (√n
a)n= a si √n
a es un n´umero real 2. √n
an= a si a ≥ 0
3. √n
an= a si a < 0 y n es impar 4. √n
an= |a| si a < 0 y n es par
Observaci´on 5. . 1. Afirmar que√
x2= x para todo n´umero real x es falso.
2. √
x2= |x| para todo n´umero real x.
Ejemplo 4.4. . 1. p3
(−5)3= −5 2. p
(−5)2= | − 5| = 5 3. √ 52= 5
Propiedad 4.3(Propiedades de la radicaci´on). Para todo a, b ∈ R y m, n ∈ N, 1. √n
ab = √n a√n
b 2. r an
b =
√n
a
√n
b 3. m
q
√n
a = mn√ a
Ejemplo 4.5. . 1. p
x2y =√
x2√y = |x|√y 2. p4
x6y3=p4
x4x2y3=√4 x4p4
x2y3
4.1. Exponentes racionales
Definici´on 4.3 (Exponentes racionales). Para todo a ∈ R y todo par de enteros positivos m y n, con n ≥ 2 para el cual √n
a existe, definimos:
1. a1/n= √n
a. 2. am/n= √n
am= (√n
a)m. 3. a−m/n= am/n1 .
Ejemplo 4.6. .
32 243
2/5
= 5
r32 243
!2
=
5 s 2
3
5
2
= 2 3
2
=4 9
5. Ejercicios
[Problemas (1)-(9)] Realiza las operaciones indicadas.
1. 1 5+2
7 − 6 35 2. 3
9×1 4 × 6
11 3. 4
7÷1 4 4. 2
3÷1 5 ×3
4 5. 72/3/2/6/1/2
6.
2 7+215
1 7
7. 718
3 4+116 8. 718
3 4+116 9.
1 5+23
÷ 34−16
6 7×14
+ 14×146
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10. El triple de la sexta parte del doble de 27 es:
a) 9 b) 18
c) 27 d ) 36
11. Las 2/3 partes de una tuber´ıa de 150 m. de longitud se encuentran da˜nadas. La longi- tud en metros de tuber´ıa da˜nada es:
a) 75 b) 100
c) 150 d ) 225
12. Vend´ı una bicicleta por los 3/4 de los 6/5 de lo que me cost´o originalmente.
¿Qu´e fracci´on del costo original gan´e o perd´ı en la venta?
a) Gan´e 1/10.
b) Perd´ı 9/10
c) Gan´e 3/10 d ) Perd´ı 1/10 [Problemas (13)-(16)] Sea x < 0 y y > 0, deter- mine el signo del n´umero real.
13. xy
14. x y + x 15. x − y xy 16. y(x − y)
Reescriba la expresi´on sin utilizar valor ab- soluto y simplifique el resultado:
17. 3 + | − 3|
18. −3
| − 3|
19. |√
5 − 5/2|
20. |π − 4|
21. |x + 3| si x < −3 22. |x + 7| si x ≥ −7 23. |m − n| si m < n 24. | − z2− 1|
Utilice desigualdades para describir el in- tervalo (o intervalos) de n´umeros reales.
25. .
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
26. .
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
27. .
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
28. [−1, 1) 29. (−∞, 3]
30. (0, ∞)
Exprese el n´umero en la forma a/b con a y b enteros:
31. 3−2 2−3 = 32. −24+ 3−1=
33.
−3 2
4
− 2−4 =
34. 5−2 2−3
35. 64−3/2+ 643/2=
36. (−0.008)2/3=
Resuelva lo siguiente:
37. 42(3 × 22− 3 × 23) =
38. 6 − (4 − (2 − 7 − (52− 5) + 6)) = 39. 5(4 − (5(3 − 42) + 4(3 − 7))) =
40. 2 − (2 − (42− (8 + 5) − 1) + 23(1 − 4)) = 41. Multiplicar y simplificar: (√
2 − 3)(√ 2 + 5) 42. Racionalice 1
√5 −√ 2
En los siguientes enunciados utiliza una de las palabras: “Siempre”, “A veces” o
“Nunca” para indicar si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca.
43. √nxy = x1/ny1/n 44. √nx + y=x1/n+y1/n
45. 0x= 1
46. √
x2= x
47. √3
x3= x
48. √6
x3= x2
49. √
x4+ 9 = x2+ 3
50. x0= 1
51. x = x−1
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6. Peque˜ nos retos
1. Completar la siguiente tabla usando ∈ o /∈ seg´un el n´umero pertenezca o no al con- junto dado
N Z Q I R C
−8
−3/11
−7 + i
√−25
√3
−64 5, 75 121/11 π
2. Exprese el enunciado como desigualdad:
i) y es no negativo ii) d est´a entre 4 y 2
iii) El negativo de z no es mayor que 3 iv) El cociente de p y q es a lo sumo 7
v) El valor absoluto de x es menor que 4
vi) w es mayor o igual que −4
3. Reescriba la expresi´on sin utilizar el s´ımbolo de valor absoluto y simplifique el resultado
i) x2+ 4
ii)
−x2− 1 4. Demuestre que −15
−10= 3 2.
5. Encuentre el valor de:
a) 3√ 45 −√
20 + 7√ 5 b) 5√3
81 − 7√3
192 + 4√3 648 c) √4
a + b√4 a − b d ) 5√3
2 × 2√ 5 e) 5√3
−54 − 2√3
−16 + 4√3 686 f ) 3√4
162 − 7√4 32 +√4
1250 g) 23√4
6 ·√3 3 h) 5√
20 −√
45 + 2√ 80 i) 15√
5 × 12√3 2 ×√6
80 ×√3 5 j ) 2q
3 2+ 3q
2 3−
2 3
3
q1 5÷q3
25 4
1 2
√6 −√ 24
6. Si x y = 5
2, encuentre el valor de 2x − 3y 3y − x . 7. Escriba en orden creciente los siguientes
racionales:
i) 7 9, 5
11, 13 18, 3
32 y 1 36. ii) 2
3, 5 8, 4
3, y 1 2. 8. Si a
b = 1 4 y x
y = 2
3, encuentre el valor de ax − 3by
4ax + 2by .
Referencias
[1] Notas de clase y talleres desarrollados por profesores de Departamento de Matem´ati- cas de la Universidad de Antioquia para el curso ´Algebra y trigonometr´ıa (CNM-108):
http://ciencias.udea.edu.co/algebraytrigo/
[2] E.W. Swokowski, J.A. Cole, ´Algebra y Trigonometr´ıa con Geometr´ıa Anal´ıtica, und´ecima edici´on, editorial Thomson, 2006.
[3] M. Sullivan., ´Algebra y Trigonometr´ıa, s´eptima edici´on, editorial Pearson, 2006.
[4] F.D. Demana, B.K. Waits, G.D. Foley, D. Kennedy, Prec´alculo, s´eptima edici´on, editorial Pearson, 2006.
