Modelado y Simulacion de un Sistema de Vasos Sanguineos

VASOS SANGU´INEOS.

DIEGO ARMANDO ROBAYO DIAZ

CAMILO ANDRES ORTIZ MENDOZA

CALDAS

FACULTAD INGENIER´IA

INGENIER´IA ELECTR ´

ONICA

MODELADO Y SIMULACI ´

ON DE UN SISTEMA DE

VASOS SANGU´INEOS.

DIEGO ARMANDO ROBAYO DIAZ

20071005024

CAMILO ANDRES ORTIZ MENDOZA

20082005008

Trabajo de grado presentado para optar al T´ıtulo de

Ingeniero Electr´onico

Directora: MsC (c), Luz Helena Camargo Casallas

L´ınea de Investigaci´on: Rehabilitaci´on en salud Grupo de Investigaci´on:

Ingenier´ıa y Nanotecnolog´ıa para la Vida (INVID)

Bogota D.C., Colombia

Le agradecemos a nuestra directora Luz Helena Camargo por acompa˜narnos en este proyecto y estar siempre atenta y disponible para atendernos.

Este trabajo est´a dedicado a nuestros padres por el eterno apoyo, por la inmensa paciencia, por alentarnos a alcanzar nuestros objetivos, por ense˜narnos a ser buenas personas y profesionales ´ıntegros.

A nuestros profesores en la universidad les agradecemos por dejarnos parte de su conocimiento.

El estudio del flujo de la sangre es fundamental para conocer los efectos de obstrucciones, la entrega de droga o cualquier aspecto que se relacione con el flujo sangu´ıneo. La importancia del estudio de la sangre radica en los distintos comportamientos que tiene la sangre en todo el sistema, el acercamiento de una simulaci´on al comportamiento de la sangre facilita la compren-si´on de aplicaciones como la interacci´on del fluido sobre una estructura ajena al cuerpo, como lo son las nano part´ıculas, lo que mejorar´ıa la eficacia de los medicamentos al momento de in-gresar al cuerpo y atacar las part´ıculas virales. Conocer el comportamiento de la sangre permite el desarrollo de t´ecnicas como la dielectroforesis la cual consiste en ejercer una fuerza sobre una part´ıcula diel´ectrica que es sometida a un campo el´ectrico no uniforme, esta t´ecnica tiene aplicaci´on en el campo de biosensores, diagnostico, manipulaci´on y filtrado de part´ıculas.

The study of blood flow is essential to know the effects of obstructions, delivering drugs or anything that is related to blood flow. The importance of the study of blood lies in the different behaviors that has the blood throughout the system, the approach of a simulation to know the behavior of the blood, facilitates the comprehension about applications as the interaction of the fluid on an external structure to the body as are nano particles, which would achieve improve the effectiveness of drugs when entering the body and attack the viral particles. Knowing the behavior of the blood improve the development of techniques as dielectrophoresis which is to exert a force on a dielectric particle is subjected to a non uniform electric field, this technique has application in the field of biosensors, diagnostic, manipulation and filtering particles.

Agradecimientos II

Resumen III

Lista de figuras VII

Lista de tablas VIII

Lista de simbolos y abreviaturas 1

1. Introducci´on 2

1.1. Objetivo general . . . 5

1.1.1. Objetivos espec´ıficos . . . 5

2. Composici´on y funciones de la sangre 6 2.1. Caracter´ısticas de los vasos sangu´ıneos. . . 7

2.1.1. Arterias . . . 12

2.1.2. Venas . . . 14

2.1.3. Capilares . . . 16

3. Caracter´ısticas del modelo para este estudio 17 3.1. Flujo sangu´ıneo . . . 17

3.1.1. Modelo Poiseuille . . . 18

3.1.2. Modelo Bernoulli . . . 20

3.1.3. Viscosidad de la sangre . . . 21

3.1.4. Fuerza de deformaci´on . . . 24

3.1.5. Fuerza de presi´on . . . 25

3.1.6. Par´ametros f´ısicos . . . 27

3.1.7. Momentos de flujo laminar y flujo Browniano . . . 27

3.1.8. N´umero de Reynolds . . . 28

3.1.10. N´umero Mach . . . 31

3.1.11. Par´ametro de Lam´e . . . 32

4. Metodolog´ıa 33 4.1. Par´ametros. . . 34

4.1.1. Selecci´on del software . . . 34

4.2. Geometr´ıa . . . 36

4.3. Materiales . . . 38

4.4. F´ısica y mallado . . . 38

4.5. Instrucciones de modelado . . . 39

4.6. F´ısicas utilizadas . . . 40

5. Resultados 49 5.1. Arteria . . . 49

5.2. Vena . . . 51

5.3. Capilar . . . 53

5.4. Modelo completo . . . 55

2.1.1. Estructura general de una arteria [5]. . . 9

2.1.2. Presi´on y velocidad de la sangre a trav´es de los vasos sangu´ıneos [5]. . . 11

2.1.3. Arteriolas y v´enulas interconectadas por vasos capilares [5]. . . 12

3.1.1. Perfil de velocidad en un flujo laminar. . . 18

3.1.2. Flujo a trav´es de un tubo [7]. . . 20

3.1.3. Perfil de flujo parab´olico [12].. . . 29

3.1.4. Perfil de flujo turbulento [12]. . . 30

4.0.1. Metodolog´ıa. . . 33

4.5.1. Elecci´on de f´ısicas. . . 40

4.6.1. Variables dependientes. . . 41

4.6.2. Variables dependientes. . . 42

4.6.3. Selecci´on de unidades. . . 42

4.6.4. Figuras geom´etricas elegibles. . . 43

4.6.5. Par´ametros f´ısicos. . . 44

4.6.6. Par´ametros l´ogicos. . . 44

4.6.7. Materiales disponibles en el software. . . 45

4.6.8. Ajustes de malla. . . 47

4.6.9. Representaci´on de la malla. . . 48

4.6.10. Aproximaci´on del modelo completo. . . 48

5.1.1. Representaci´on te´orica [a] y simulada [b] de las capas de una arteria. . . 50

5.1.2. Simulaci´on de los niveles de velocidad y presi´on en una arteria. . . 51

5.2.1. Representaci´on te´orica [a] y simulada [b] de las capas de una vena. . . 52

5.2.2. Simulaci´on de los niveles de velocidad y presi´on en una vena. . . 53

5.3.1. Representaci´on te´orica [a] y simulada [b] de las capas de un capilar. . . 54

5.3.2. Simulaci´on de los niveles de velocidad y presi´on de un capilar. . . 55

5.4.1. Curva de nivel de velocidad del modelo completo. . . 56

2.1.1. Caracter´ısticas de la aorta, arterias y arteriolas [6]. . . 13

2.1.2. Caracter´ısticas de las v´enulas, venas y la vena cava [6]. . . 16

2.1.3. Caracter´ısticas de los capilares [6]. . . 16

3.1.1. Caracter´ısticas de los vasos sangu´ıneos [6]. . . 27

4.1.1. Valores del di´ametro del vaso sangu´ıneo y el espesor de la pared. . . 35

4.1.2. Comparaci´on entre algunos softwares disponibles en el mercado. . . 37

4.6.1. Par´ametros de la sangre. . . 45

4.6.2. Par´ametros de las paredes de los vasos. . . 46

4.6.3. Par´ametros de elasticidad de los vasos . . . 46

S´ımbolo T´ermino Unidad SI Definici´on

u Velocidad m/s

ρ Densidad de la sangre _mkg3 1060

P Presi´on P a

µ Viscosidad din´amica de la sangre P a.s 3,2x10−3

v Viscosidad cinem´atica m_s2 µ_p

F Fuerza viscosa N F =µA_dxdv

Fd Fuerza de desplazamiento N Fd=πr2

(P1−_P2)

γ Tasa de deformaci´on s−1 u

h

h Distancia desde la pared del vaso m

Re N´umero de Reynolds Duρ_µ

M N´umero Mach u_c

Introducci´on

El sistema cardiovascular est´a formado por el coraz´on y los vasos sangu´ıneos. La funci´on de este

es dar un suministro continuo de nutrientes y ox´ıgeno a todos los ´organos y tejidos del cuerpo.

Existen dos clases de circulaci´on: circulaci´on sist´emica y la circulaci´on pulmonar. La circulaci´on

sist´emica consiste en llevar la sangre oxigenada a todo el cuerpo, por medio de las arterias,

mientras que la circulaci´on pulmonar recoge la sangre desoxigenada que entra al coraz´on y es

llevada a los pulmones, la sangre es oxigenada y es enviada de nuevo al coraz´on, para depositarla

en la aur´ıcula izquierda, luego la sangre es bombeada al ventr´ıculo izquierdo, terminando el

proceso e iniciando la circulaci´on sist´emica [1].

La sangre se compone de plasma y distintos elementos celulares, los elementos celulares

com-ponen un 45 % del volumen, mientras que el plasma ocupa el 55 % aproximadamente [1]. El plasma carece de c´elulas, siendo compuesta por agua en su mayor´ıa y un peque˜no porcentaje de

prote´ınas, grasa, vitaminas, oxigeno, di´oxido de carbono y nitr´ogeno entre otras.

La densidad de la sangre es un poco mayor a la del agua, entre un rango de 1.05 a 1.07, su

visco-sidad viene dada por valores entre 3.5 y 5 [2]. Sin embargo la viscosidad depende ampliamente de la temperatura ambiente. Esto quiere decir que al aumentar la temperatura la viscosidad de la

La descripci´on correcta de la circulaci´on de la sangre, as´ı como sus propiedades fueron

pro-ducidas por el medico ingl´es William Harvey (1578 - 1657). Lo cual conducir´ıa a una nueva

concepci´on acerca de las propiedades que tiene el sistema circulatorio.

Para modelar un flujo existen diferentes acercamientos, Bernoulli lo modelo como un fluido

ideal, en el cual no se tiene en cuenta la resistencia del medio al movimiento del fluido,

lue-go est´an los flujos newtonianos los cuales tienen en cuenta la resistencia al movimiento, pero

consideran la viscosidad constante en el tiempo.

TXY =µdvx

dy (1.1)

TXY Es la tensi´on tangencial ejercida en un punto del fluido sobre una superficie s´olida en

contacto con el mismoµ, donde µes la viscosidad para un fluido newtoniano, la cual depende

solo de la temperatura. dvx

dy es el gradiente de velocidad perpendicular a la direcci´on al plano en

el que se calcula la tensi´on tangencial.

La sangre es un fluido no newtoniano, quiere decir que la viscosidad de la sangre depende de

la presi´on y el di´ametro del medio conductor. La resistencia al flujo crece en el ´area pr´oxima a

las paredes del medio de conducci´on mientras que en el ´area central la velocidad es m´axima.

Este fen´omeno de la sangre puede ser explicado debido al alineamiento de las part´ıculas que

conforman la sangre a medida que aumenta la velocidad.

Este comportamiento de la sangre se conoce como flujo laminar, el cual se comporta de la

siguiente manera. Dentro de un vaso sangu´ıneo una capa muy peque˜na de sangre que tiene

contacto con la pared del vaso est´a detenida, la siguiente capa tiene una velocidad peque˜na y

por cada capa que se acerque al centro la velocidad va aumentando. Este comportamiento tiene

l´ımites de velocidad, la consecuencia de alcanzar estos l´ımites es que la sangre se comporta

de un modo turbulento. Este comportamiento puede ser ocasionado por la obstrucci´on de una

El flujo sangu´ıneo en arterias de gran tama˜no presenta un comportamiento de pulsos, debido a

la contracci´on card´ıaca, la velocidad de propagaci´on de la onda depende de la presi´on arterial,

del radio de la arteria por la que se propaga y del espesor de su pared. En las extremidades de los

vasos capilares el flujo sangu´ıneo tiene un comportamiento estacionario, esto quiere decir que

el flujo se vuelve constante debido a un amortiguamiento del pulso en las zonas de los capilares,

esto ocasionado por su bajo di´ametro.

Por lo tanto hay distintas velocidades de la sangre en el sistema circulatorio. La velocidad en

la aorta es mayor, en las venas es menor, mientras que la velocidad m´ınima se registra en los

capilares. Luego de pasar la sangre por los capilares, la velocidad de la sangre vuelve a aumentar.

La viscosidad de la sangre depende del di´ametro de los vasos, la presi´on y el volumen de la

sangre, ya que la sangre est´a conformada por distintas part´ıculas como los eritrocitos, es decir,

1.1.

Objetivo general

Modelar y simular el comportamiento de un sistema de vasos sangu´ıneos en condiciones de

normalidad, mediante el uso elementos finitos.

1.1.1.

Objetivos espec´ıficos

Los objetivos espec´ıficos que contribuir´an a desarrollar elobjetivo generaldel trabajo son los

siguientes:

Establecer los distintos par´ametros f´ısicos que corresponden a las arterias, capilares y

ve-nas, para lograr un estudio aproximado al comportamiento real de estos vasos sangu´ıneos.

Describir el proceso de la simulaci´on del software COMSOL, como herramienta empleada

en la simulaci´on de comportamientos f´ısicos de hidrodin´amica.

Modelar el comportamiento de cada vaso sangu´ıneo para obtener un sistema.

Simular el sistema propuesto con las f´ısicas disponibles del software obtenido por la

uni-versidad.

Verificar las caracter´ısticas del sistema obtenidas por la simulaci´on, mostrando una

Composici´on y funciones de la sangre

La sangre circula por el cuerpo humano a trav´es del sistema circulatorio, llevando con ella los

nutrientes y el ox´ıgeno. Los componentes de las c´elulas en suspensi´on en la sangre consisten

principalmente de los eritrocitos (c´elulas rojas de la sangre), los leucocitos (gl´obulos blancos)

que mejoran la inmunidad contra las enfermedades; y los trombocitos (plaquetas) que

proporcio-nan el mecanismo de coagulaci´on de la sangre. La proporci´on de sangre ocupada por las c´elulas

rojas es aproximadamente de 45 %. Los gl´obulos blancos y las plaquetas presentan una porci´on

muy peque˜na de la sangre y por lo tanto se incluye a menudo en este porcentaje. La proporci´on

restante, aproximadamente el 55 %, est´a compuesta de plasma [1].

El hematocrito es una medida de las proporciones de la sangre que son celular o l´ıquido (plasma).

Por ejemplo un hematocrito normal es de aproximadamente 48 % para los hombres y 38 % para

las mujeres. Esto representa el porcentaje de sangre en volumen que contienen c´elulas rojas de

la sangre [2].

El plasma se compone predominantemente de agua (hasta 93 % en volumen), prote´ınas, glucosa,

iones minerales, hormonas y di´oxido de carbono. Sirve como una forma de reserva de prote´ına

en el cuerpo, mantiene el nivel de electrolito por ´osmosis intravascular y previene la infecci´on o

enfermedades de la sangre. El plasma sangu´ıneo tiene una densidad de1025kg/m3_.

Los eritrocitos (gl´obulos rojos) transportan ox´ıgeno en la sangre y tienen una vida ´util de

de aproximadamente65,700g/mol, da a la sangre su color rojo, tambi´en facilita la oxigenaci´on

de la sangre, el transporte de ox´ıgeno y gases respiratorios.

Los leucocitos (gl´obulos blancos) protegen el cuerpo contra la infecci´on y sustancias no

bio-compatibles. Las c´elulas se fabrican en la m´edula ´osea (c´elulas madre hematopoy´eticas) y tiene

una vida ´util de aproximadamente 3 d´ıas. Se distribuyen por el cuerpo humano y existen tanto

en la circulaci´on como en el sistema linf´atico.

Los Trombocitos (plaquetas) son fragmentos de c´elulas a escala micro de aproximadamente

2µm de di´ametro y tienen una vida ´util de aproximadamente 7 d´ıas. Las plaquetas son hilos

de fibras que permiten la coagulaci´on de la sangre. Tener baja cantidad de plaquetas es una

condici´on conocida como trombocitopenia, esto da como resultados un sangrado excesivo. Por

otro lado, la alta cantidad de plaquetas puede causar trombocitosis, esta anomal´ıa puede

repre-sentar alta coagulaci´on y por lo tanto mayor probabilidad de bloqueos en los vasos sangu´ıneos,

aumentando el riesgo de accidentes cerebrovasculares [3].

2.1.

Caracter´ısticas de los vasos sangu´ıneos.

Los vasos sangu´ıneos se clasifican en arterias, venas y capilares, los cuales se diferencian por el

di´ametro de su conducto, los m´as grandes son las arterias las cuales tienen la funci´on de llevar la

sangre oxigenada desde el coraz´on al resto de los ´organos, las venas tienen la funci´on de llevar la

sangre a los pulmones para ser oxigenada, el camino de las venas empieza recogiendo la sangre

desoxigenada de los ´organos, la sangre se desoxigena debido al largo camino recorrido, en este

viaje por el cuerpo la sangre entrega ox´ıgeno a los diferentes ´organos del cuerpo y al mismo

tiempo recoge impurezas, por ello requiere empezar el proceso de limpieza y oxigenaci´on de

nuevo. Por ´ultimo los capilares que son los m´as peque˜nos tienen la funci´on de llevar el ox´ıgeno

a los distintos tejidos y ´organos.

Las arterias y las venas se caracterizan por tener tres capas, siendo las capas de las venas m´as

delgadas que las de las arterias, en cambio los vasos capilares solo est´an formados por una

puede alcanzar unos 25 mil´ımetros en algunos adultos, las venas var´ıan tambi´en en tama˜no

dependiendo de lo cerca que est´en del coraz´on, variando de venas peque˜nas con un di´ametro de

0.1 a 1 mil´ımetro, mientras que las m´as grandes alcanzan un di´ametro de 1 a 10 mil´ımetros. Los

vasos capilares como se mencionaba anteriormente son los m´as finos alcanzando un grosor de 8

a 12 micr´ometros [4].

Los vasos sangu´ıneos son los encargados de llevar la sangre a cada uno de los tejidos y ´organos

del cuerpo humano. Hay cinco clases de vasos sangu´ıneos en el sistema cardiovascular: arterias,

arteriolas, capilares, v´enulas y venas. Las arterias son vasos el´asticos fuertes, capaces de llevar

la sangre enviada desde el coraz´on a alta presi´on. Se subdividen en tubos m´as delgados llamados

arteriolas que son ramificaciones m´as finas.

La pared de una arteria se compone de tres capas (Figura2.1.1), La t´unica interna compuesta de una capa de epitelio escamoso conocido como endotelio. La cual se forma de una membrana

de tejido conectivo con muchas fibras el´asticas de col´ageno. El endotelio ayuda a prevenir la

coagulaci´on de la sangre y regula el flujo sangu´ıneo. Adem´as de liberar ´oxido n´ıtrico para relajar

el m´usculo liso del vaso. Las paredes de las venas son similares pero no id´enticas a las paredes

arteriales.

La t´unica media, la cual constituye la mayor parte de la pared arterial, contiene fibras de m´usculo

liso y una capa de tejido conectivo el´astico grueso, por ´ultimo, esta la t´unica externa que es la

m´as delgada, en su mayor´ıa formada por tejido conectivo, con fibras irregulares que se unen a

los tejidos circundantes. Los m´usculos lisos de las arterias y arteriolas est´an inervados por el

sistema nervioso, las fibras vasomotoras reciben impulsos de contraerse y reducir el di´ametro

de los vasos sangu´ıneos. Cuando son inhibidas, las fibras musculares se relajan y aumentan el

di´ametro del vaso. Los cambios en los di´ametros de las arterias y arteriolas, afectan en gran

Figura2.1.1: Estructura general de una arteria [5].

Las arteriolas m´as grandes tambi´en tienen tres capas en sus paredes, cuando las arteriolas se

hacen m´as delgadas conducen a los vasos capilares. Las paredes de las arteriolas muy finas, s´olo

tienen un revestimiento endotelial y algunas fibras musculares lisas con una peque˜na cantidad

de tejido conectivo circundante.

Los vasos sangu´ıneos de menor di´ametro son los capilares, estos conectan las arteriolas m´as

peque˜nas con las v´enulas m´as peque˜nas. Las paredes de los capilares tambi´en se componen

de endotelio y forman la capa semipermeable a trav´es de la cual las sustancias de la sangre se

intercambian con sustancias en los fluidos tisulares alrededor de las c´elulas del cuerpo.

Las paredes capilares tienen ranuras delgadas donde las c´elulas endoteliales se superponen.

Es-tas hendiduras tienen diferentes tama˜nos, que afectan la permeabilidad. Los capilares de los

m´usculos tienen aberturas m´as peque˜nas que los de las gl´andulas, los ri˜nones y el intestino

delgado. Los tejidos con mayores tasas metab´olicas tienen muchos m´as capilares que los que

tienen tasas metab´olicas m´as lentas. Algunos capilares pasan directamente de las arteriolas a las

distribuci´on de sangre a trav´es de los capilares, basados en las demandas de las c´elulas, estos

esf´ınteres se contraen o se relajan para que la sangre pueda seguir v´ıas espec´ıficas para satisfacer

las necesidades celulares de tejido [4].

Gases, subproductos metab´olicos y los nutrientes se intercambian entre los capilares y el fluido

del tejido alrededor de las c´elulas del cuerpo. Las paredes capilares permiten la difusi´on de

la sangre con altos niveles de ox´ıgeno y nutrientes. Tambi´en permiten que los altos niveles

de di´oxido de carbono y otros desechos se muevan desde los tejidos hacia los capilares. Las

prote´ınas plasm´aticas por lo general no se pueden mover a trav´es de las paredes de los capilares

debido a su gran tama˜no, por lo que permanecen en la sangre. La presi´on arterial se genera

cuando las paredes capilares se contraen proporcionando fuerza para la filtraci´on a trav´es de la

presi´on hidrost´atica [5].

La presi´on arterial es m´as fuerte cuando la sangre sale del coraz´on y se debilita a medida que se

aleja debido al contacto entre la sangre y las paredes de los vasos. Por lo tanto, la presi´on arterial

es m´as alta en las arterias, menos en las arteriolas, y la m´as baja en los capilares (Figura2.1.2). Las v´enulas son vasos microsc´opicos que unen los capilares y las venas, las venas transportan

la sangre de vuelta a las aur´ıculas. Las paredes de las venas son similares a las de las arterias

pero sin desarrollar las capas medias. Debido a que tienen paredes m´as delgadas que son menos

el´asticas que las de las arterias, sus l´umenes tienen un di´ametro mayor.

Muchas venas tienen v´alvulas (Figura2.1.3) que se proyectan hacia dentro de sus revestimientos. Estas v´alvulas tienen a menudo dos estructuras que cierran, si la sangre comienza a acumularse

en la vena. Es decir que ayudan a devolver la sangre al coraz´on, abri´endose si el flujo sangu´ıneo

va hacia el coraz´on, pero cerr´andose si se invierte. A diferencia de las arterias, las venas no tienen

suficiente presi´on de las contracciones del coraz´on para mantener la sangre en movimiento a

trav´es de ellos. Para mantener el flujo de la sangre, las venas se basan en el movimiento de los

m´usculos esquel´eticos cercanos, as´ı como la apertura y cierre de las v´alvulas dentro de ellas. Por

lo tanto, una importante diferencia estructural entre las venas y las arterias es que las arterias no

tienen v´alvulas [4].

Figura2.1.2: Presi´on y velocidad de la sangre a trav´es de los vasos sangu´ıneos [5].

durante una hemorragia arterial. Las constricciones venosas resultantes ayudan a mantener la

presi´on arterial mediante la devoluci´on de m´as sangre al coraz´on, lo que garantiza un flujo de

Figura2.1.3: Arteriolas y v´enulas interconectadas por vasos capilares [5].

2.1.1.

Arterias

Las arterias son las encargadas de llevar la sangre oxigenada al resto del cuerpo, en lo que se

conoce como circulaci´on sist´emica, el fluido debe viajar a todos los capilares del cuerpo, debido

a la extensi´on del sistema, la sangre no alcanza a llevar la sangre oxigenada en un solo pulso

del coraz´on, ya que el flujo no es continuo, por esta raz´on la sangre recoge impurezas al pasar

por los distintos capilares, disminuyendo de esta forma la oxigenaci´on de la sangre, por ello el

proceso debe reiniciar enviando la sangre desoxigenada de nuevo al coraz´on, por medio de las

venas.

La arteria de mayor di´ametro en el cuerpo es la aorta, se extiende hacia arriba desde el ventr´ıculo

izquierdo arque´andose sobre el coraz´on a la izquierda, descendiendo por el anterior izquierdo

de la columna vertebral. La primera porci´on de la aorta se llama la aorta ascendente. Inicia en la

v´alvula a´ortica del ventr´ıculo izquierdo. Las arterias coronarias derecha e izquierda se originan

en el seno a´ortico. Este origen se produce en la base de la aorta ascendente, ligeramente superior

Las curvas del arco a´ortico a trav´es de la superficie superior del coraz´on, conectan la aorta

ascendente con la aorta descendente. Tres arterias se originan a lo largo del arco a´ortico. Ellas

entregan sangre a la cabeza, el cuello, los hombros y extremidades superiores.

El tronco braquiocef´alico asciende s´olo por una corta distancia antes de ramificarse para formar

la subclavia derecha y la arteria car´otida derecha com´un. La aorta descendente es contin´ua con

el arco a´ortico. El diafragma divide la aorta descendente en aorta tor´acica superior y una aorta

abdominal inferior. Las ramas de la aorta tor´acica incluyen los bronquios, peric´ardico, es´ofago,

mediastino, y las arterias intercostales.

La aorta abdominal, comienza inmediatamente inferior al diafragma, esta es una continuaci´on

de la aorta tor´acica. Se lleva sangre a los ´organos y estructuras abdominop´elvicas. Las ramas

de la aorta abdominop´elvicas incluyen las siguientes: cel´ıaca, fr´enico, mesent´erica superior,

suprarrenal, renal, gonadal, mesent´erica inferior, lumbar, sacra media, y las arterias lila comunes.

Las arterias de la subclavia y car´otida com´un suministran sangre al cuello, la cabeza y el cerebro.

Las principales divisiones de estas arterias son las arterias vertebrales y tirocervical. Las arterias

vertebrales van hacia arriba a trav´es de las v´ertebras cervicales al cr´aneo suministrando sangre a

las v´ertebras, sus ligamentos y sus m´usculos. Se unen en la cavidad craneal para formar la arteria

basilar, que se ramifica a la protuberancia, el mesenc´efalo y el cerebelo. En ´ultima instancia, se

divide en las dos arterias cerebrales posteriores [5].

Tabla2.1.1: Caracter´ısticas de la aorta, arterias y arteriolas [6].

Vaso Cantidad de

vasos

Di´ametro (cm)

´

Area (cm2_{) Espesor de la}

pared (cm)

Velocidad (cm/seg)

Aorta 1 2.5 4.5 0.2 48

Arterias 159 0.4 20 0.1 45

Arteriolas 5.7x107

5x10−3 _{400 2}x10−3 ₅

en cada vaso.

2.1.2.

Venas

Las venas y las v´enulas llevan la sangre desoxigenada al coraz´on, debido a las impurezas y a la

falta de ox´ıgeno que tiene la sangre, el proceso se debe iniciar nuevamente, llevando la sangre a

la aur´ıcula derecha del coraz´on, empezando de esta manera la circulaci´on pulmonar.

Los vasos del sistema venoso son m´as dif´ıciles de seguir que las del sistema arterial. Se conectan

en redes irregulares, con muchos vasos sin nombre uni´endose para formar venas m´as grandes.

Las venas m´as grandes generalmente paralelas a las ubicaciones de las arterias tienen nombres

similares. Las venas de todas las partes del cuerpo adem´as de las de los pulmones y el coraz´on

convergen en la vena cava superior y la vena cava inferior, lo que lleva a la aur´ıcula derecha [5].

Las venas yugulares externas descienden a cada lado del cuello y se vac´ıan en la vena subclavia

derecha y la vena subclavia izquierda. Las venas yugulares internas descienden a trav´es del

cuello para unirse a las venas subclavias, formando venas braquiocef´alicas en cada lado, por

encima de las clav´ıculas. A continuaci´on, se unen para formar la vena cava superior.

Las venas profundas y superficiales drenan las extremidades superiores y los hombros. Las venas

superficiales se conectan a trav´es de redes complejas justo debajo de la piel y se comunican con

los vasos m´as profundos. La vena bas´ılica asciende a unirse a la vena braquial, la fusi´on forma la

vena axilar. La vena cef´alica asciende para desembocar en la vena axilar, y m´as tarde se convierte

en la vena subclavia.

Las venas ´acigos y braquiocef´alica drenan el abdomen y las paredes tor´acicas. La vena ´acigos

asciende a trav´es del mediastino para unirse a la vena cava superior. Sus afluentes incluyen

las venas intercostales posteriores, hemi´acigos superiores, y hemi´acigos inferiores. Las venas

La mayor´ıa de las venas llevan la sangre directamente a las aur´ıculas del coraz´on, a excepci´on

de las venas que drenan las v´ısceras abdominales. Se originan en el est´omago, los intestinos, el

p´ancreas y el bazo para llevar la sangre a trav´es de una vena porta hep´atica en el h´ıgado. Esta

v´ıa se llama el sistema porta hep´atica e Incluye las venas g´astricas izquierda y derecha, la vena

mesent´erica superior y la vena espl´enica.

El h´ıgado ayuda a regular las concentraciones en sangre de ´acidos l´ıpidos y amino´acidos

absor-bidos. Los modifica en c´elulas utilizables, que se oxidan o los cambia en formas que se pueden

almacenar. La sangre venosa del portal hep´atico por lo general contiene bacterias de capilares

intestinales. Grandes c´elulas de Kupffer en el h´ıgado fagocitan los microorganismos antes de

que puedan salir del h´ıgado. Esta sangre entonces viaja a trav´es de vasos fusionados en las venas

hep´aticas, que desembocan en la vena cava inferior [5].

Las venas que drenan la sangre desde las extremidades inferiores tambi´en se subdividen, como

los de las extremidades superiores, en grupos superficiales y profundos. La vena tibial anterior

y la vena tibial posterior se funden a partir de la vena popl´ıtea, continuando hacia arriba como

la vena femoral y la vena il´ıaca externa.

Las venas safena de la pierna se comunican entre s´ı, as´ı como las venas profundas de la pierna

y el muslo, permitiendo que la sangre regrese al coraz´on desde las extremidades inferiores por

varias v´ıas. En la pelvis, los vasos transportan la sangre desde el sistema reproductor, urinario y

´organos del sistema digestivo, a trav´es de las venas il´ıacas internas. Estas se unen con las venas

il´ıacas externas para formar las venas il´ıacas comunes y finalmente, la vena cava inferior. La

gran vena safena recorre toda la longitud de la pierna y se considera la vena m´as larga en el

Tabla2.1.2: Caracter´ısticas de las v´enulas, venas y la vena cava [6].

Vaso Cantidad de

vasos

Di´ametro (cm)

´

Area (cm2_{) Espesor de la}

pared (cm)

Velocidad (cm/seg)

V´enulas 1.3x109

2x10−3 4000 2.10x10−4 0.2

Venas 200 0.5 40 0.05 10

Vena cava 1 3 18 0.15 38

2.1.3.

Capilares

Los capilares cumplen la importante funci´on de llevar la sangre oxigenada a todos los rincones

de la piel, su tama˜no es menor debido al espacio que deben abarcar, ya que el intercambio de

sustancias se debe dar en todos los ´organos y tejidos.

Tabla2.1.3: Caracter´ısticas de los capilares [6].

Vaso Cantidad de

vasos

Di´ametro (cm)

´

Area (cm2_{) Espesor de la}

pared (cm)

Velocidad (cm/seg)

Capilares 1.6x1010

8x10−4 4500 1x10−4 0.1

Publicaciones

Como resultado de esta tesis, el siguientes papers se ha sometido a revisi´on.

1. Ortiz, C, Robayo, D y Camargo, L. H. Modelado y Simulaci´on de un Sistema de Vasos

san-gu´ıneos presentado al XII Congreso Internacional de Electr´onica, Telecomunicaciones y Control

Caracter´ısticas del modelo para este

estudio

Las caracter´ısticas m´as importantes para este modelo incluyen el flujo sangu´ıneo, los modelos

matem´aticos Poiseuille y Bernoulli, la viscosidad de la sangre, la fuerza de deformaci´on, la

fuerza de presi´on, el n´umero de Reynolds, los flujos laminares y turbulentos y la din´amica de

fluidos Navier-Stokes.

3.1.

Flujo sangu´ıneo

El flujo sangu´ıneo debe ser estudiado seg´un la forma del conducto que transporte la sangre, esto

quiere decir que los par´ametros como la viscosidad, la velocidad o la presi´on no son iguales para

todo el sistema.

La sangre es un fluido heterog´eneo que contiene c´elulas sangu´ıneas que cambian de forma y

movimiento dentro del plasma durante los cambios de velocidad. Esto conduce a un cambio

en la viscosidad de la sangre llev´andolo a un comportamiento de un fluido no newtoniano.

En la mayor´ıa de los estudios hemodin´amicos, se supone la viscosidad de la sangre

constan-te(3,2x10−3P a.s)[3].

din´amica µ tiene unidades de Newton segundos por metro cuadrado [N sm2_{]. La viscosidad}

cinem´aticaves la relaci´on de la viscosidad din´amica a la densidad del fluidov =µ/ρque tiene

unidades de metros cuadrados por segundo [m2_s−1].

La densidad de la sangre es aproximadamente1060kg/m3

a37o_{Cy relaciona el volumen de los}

gl´obulos rojos en la sangre. Comparativamente la densidad del agua es de998kg/m3

a20o_{C y}

la densidad del aire es1,22kg/m3

a presi´on atmosf´erica y temperatura est´andar.

En general la densidad de un fluido cambia con la temperatura y la presi´on, pero esto es

t´ıpica-mente peque˜no para l´ıquidos, por lo tanto a menudo se supone constante a pesar de cualquier

variaci´on en la temperatura y la presi´on. Para ejemplificar esto, considerando compresibilidad

de un fluido, el cual es el cambio fraccional en el volumen(m3₎

por unidad de incremento de la

presi´on o la temperatura. Un cambio de volumen va a alterar su densidad; sin embargo, para un

l´ıquido est´andar implica un cambio de0,001m3

por1kP ade cambio de presi´on y0,00001m3

por 1 o_{C de variaci´on de la temperatura [3]. Tales cambios peque˜nos de volumen tienen un}

efecto peque˜no en la densidad de todo el conjunto.

3.1.1.

Modelo Poiseuille

Cuando un fluido se mueve en un tubo capilar bajo flujo laminar o viscoso, la distribuci´on de la

velocidad del fluido es parab´olica, con una velocidad m´axima en el eje del tubo y una velocidad

m´ınima en la pared (Figura3.1.1).

Figura3.1.1: Perfil de velocidad en un flujo laminar.

En este sistema, el flujo puede ser visualizado como una serie de superficies parab´olicas

F =µAdv

dx (3.1)

Por lo tanto, la fuerza viscosa sobre un tubo o cilindro de radiores:

Fv =µ(2πrL) dv

dx (3.2)

La fuerza de desplazamiento sobre este mismo tubo es la presi´on diferencial que act´ua sobre el

´area:

Fd=πr2(P1−_{P2) (3.3)}

Si el fluido no se acelera, la suma de la fuerza desplazante y de retardo viscoso ser´a igual a cero:

µ(2πrL)dv

dr +πr 2

(P1−_{P2) = 0 (3.4)}

Si despejandodv, e integrando la ecuaci´on resulta:

dv=−(P1−P2)rdr

2µL (3.5)

v =−(P1−P2)r

2

4µL +C1 (3.6)

La constante de integraci´onC1, puede ser evaluada considerandov = 0ar =ro. Con lo que se

obtiene la siguiente expresi´on para la velocidad:

v =−(r

2 0 −r

2

)(P1−_P2)

4µL (3.7)

Esta expresi´on da la velocidad de cualquier superficie cil´ındrica, indicando que la velocidad

3.1.2.

Modelo Bernoulli

El fluido hidr´aulico en un sistema contiene energ´ıa en dos formas, energ´ıa cin´etica y energ´ıa

potencial. Bernoulli demostr´o que en un sistema con flujos constantes, la energ´ıa es transformada

cada vez que se modifica el ´area transversal del tubo.

El principio de Bernoulli dice que la suma de energ´ıas potencial y cin´etica, en los diferentes

puntos del sistema, es constante, si el flujo es constante. Cuando el di´ametro de un tubo se

modifica, la velocidad tambi´en se modifica.

Mientras que la ecuaci´on de Bernoulli se basa en ideas de validez universal como la conservaci´on

de la energ´ıa, la energ´ıa cin´etica y la energ´ıa potencial, su aplicaci´on se limita a los casos de

flujo constante ideal. Para el flujo a trav´es de un tubo, tal flujo puede ser visualizado como flujo

laminar (Figura3.1.2), la energ´ıa cin´etica de ese flujo en cualquier punto del fluido puede ser modelada y calculada a partir de:

P1+1 2ρv

2

1 +pgh1 =P2+

1 2ρv

2

2 +pgh2 (3.8)

Si bien la conservaci´on de la energ´ıa siempre se aplica, esta forma de an´alisis de energ´ıa no

describe la forma en que la energ´ıa se distribuye bajo condiciones transitorias.

3.1.3.

Viscosidad de la sangre

La viscosidad de la sangre es un par´ametro importante, debido a su variabilidad, ya que depende

de diferentes factores, tales como el conteo de c´elulas rojas, c´elulas blancas, plaquetas, prote´ınas,

etc. Adem´as de su dependencia de la temperatura, mencionada en el cap´ıtulo anterior.

En general, la viscosidad de la sangre es una funci´on de la viscosidad del plasma (que es

relativa-mente constante) y la viscosidad de los elementos formados (no constante). Cuando la velocidad

es constante, la sangre se comporta como un fluido newtoniano ya que las c´elulas de la sangre

no lo hacen deformar. Pero este no es el caso de grandes cambios de velocidad donde las c´elulas

de la sangre se deforman y se mueven diferente al aproximarse a las paredes de los vasos, los

cuales influyen en su viscosidad. La viscosidad de la sangre est´a influenciada principalmente por

las c´elulas rojas de la sangre y en menor medida, por el di´ametro del vaso sangu´ıneo, velocidad

de cizallamiento y la temperatura.

Los gl´obulos rojos ocupan el 99,7 % de todos los elementos y son un factor determinante de

la diferencia entre la viscosidad del plasma y la viscosidad sangu´ınea. Los vol´umenes

restan-tes contienen c´elulas blancas de la sangre y plaquetas que contribuyen 0,16 % y 0,12 % de los

elementos totales respectivamente [5]. El porcentaje de sangre total ocupado por los elementos formados se llama hematocrito. Como los gl´obulos rojos ocupan casi la totalidad de los

elemen-tos formados, el hematocrito es com´unmente conocido como el volumen de gl´obulos rojos. En

los varones adultos el hematocrito promedio tiene un valor de 46 (rango: 40-54), mientras que

para las mujeres es de 42 (rango: 37-47) [3].

La viscosidad del plasma esµ= 1,2x10−3kg.m−1s−1 y esto aumenta cuando las c´elulas rojas

son consideradas. El tama˜no, la forma y la flexibilidad de los gl´obulos rojos son los factores

que influyen en la viscosidad. La viscosidad de la sangre entera en el hematocrito de 45 % es

de aproximadamente µ = 3,2x10−3 kg.m−1s−1_{. Un cambio en el hematocrito significa que}

viscosidad; una unidad de aumento en el hematocrito puede causar hasta un 4 % de aumento de

la viscosidad sangu´ınea [6].

Cuando se expone al aumento de la deformaci´on, la viscosidad disminuye. La tasa de

deforma-ci´on de un fluido que fluye entre el centro de un vaso sangu´ıneo y su paredes se define por

γ = u

h (3.9)

Dondeγes la tasa de deformaci´on medida en segundos rec´ıprocos;ues la velocidad del fluido y

hes la distancia desde la pared del vaso. El aumento de velocidades de deformaci´on se produce

cuando hay altas velocidades en los vasos. Esto causa que las c´elulas rojas de la sangre, para

avanzar hacia el centro de los vasos y orientarse en la direcci´on del fluido, tengan que reducir su

viscosidad. Para velocidades bajas, la viscosidad es m´as alta y las c´elulas rojas de la sangre se

distribuyen m´as uniformemente a trav´es del vaso. Para velocidades extremadamente bajas, los

gl´obulos rojos pueden aumentar, lo que incrementa la viscosidad de forma dram´atica.

La sangre fluye continuamente a trav´es de la red de vasos en el sistema cardiovascular. Estos

vasos var´ıan en tama˜no de los vasos m´as peque˜nos en la red capilar a las grandes c´amaras del

coraz´on. La viscosidad tambi´en se ve influida por el di´ametro del vaso debido a las fuerzas de

deformaci´on causadas por sus paredes. En estos di´ametros de los vasos, los efectos sobre las

c´elulas rojas de la sangre no son significativos y la viscosidad se mantiene relativamente

cons-tante. Por lo tanto la sangre puede ser considerada como un fluido homog´eneo con propiedades

newtonianas en las arterias m´as grandes.

Cuando el di´ametro del vaso est´a en el orden de micras, hay una r´apida disminuci´on de la

viscosidad a medida que disminuye el di´ametro del vaso de 1000 micras hasta 10 micras. En

estos vasos peque˜nos, las c´elulas rojas de la sangre se mueven hacia el centro del vaso, dejando

el plasma cerca de las paredes. Esto reduce la viscosidad de la sangre, este efecto se llama el

“efecto Fahraeus-Lindqvist“y se extiende hasta los vasos con di´ametros de aproximadamente 7

micras. En los vasos m´as peque˜nos el di´ametro interior es aproximadamente del mismo tama˜no

viscosidad, el di´ametro del vaso es tan peque˜no que se aproxima al m´ınimo te´orico de di´ametro

de una c´elula sangu´ınea de2,7µm.

Como todos los fluidos, la viscosidad es dependiente de la temperatura. Una disminuci´on de1o_C

en la temperatura produce aproximadamente 2 % de incremento en la viscosidad de la sangre.

Para regiones fr´ıas del cuerpo como los dedos, la viscosidad de la sangre es m´as alta que la

viscosidad de la sangre que se registra en el cerebro.

La representaci´on de la sangre como un fluido no newtoniano puede ser lograda usando la

vis-cosidad aparente de la sangre

µ=keT0/T

Sn−1 _(3.10)

Dondek = 0,00622 [kgsn−2

/m] es el ´ındice de consistencia, n = 0,7es el ´ındice de la ley de

potencia. T[K]y T0[K] son las temperaturas local y de referencia, respectivamente yS es la

tasa de deformaci´on [3].

Los niveles de hematocrito y su correspondiente viscosidad pueden dar muestras del estado de

salud de un paciente. Los niveles anormalmente altos de hematocrito de 60-70 % se

denomi-nan policitemia, donde existe un mayor contenido de ox´ıgeno y aumento de la viscosidad. Esto

conduce a un aumento de la resistencia al flujo de sangre, forzando al coraz´on a trabajar m´as

duro y puede poner en peligro la perfusi´on de ´organos. Del mismo modo los atletas que realizan

dopaje de sangre por la inyecci´on de gl´obulos rojos empaquetados o productos il´ıcitos como la

eritropoyetina (EPO), buscan aumentar su hematocrito y as´ı aumentar el suministro de ox´ıgeno.

Esto eleva la viscosidad de la sangre y aumenta la carga de trabajo del coraz´on. Por el contrario

hematocrito mayor a 39 % conduce a la anemia que produce la disminuci´on de ox´ıgeno y la

dis-minuci´on de la viscosidad. Algunas causas comunes incluyen trauma que conduce a la p´erdida

de sangre, trastornos de la m´edula ´osea, deshidrataci´on, enfermedades pulmonares y el abuso de

ciertas drogas.

El aumento de la viscosidad se ha relacionado como el principal factor de riesgo cardiovascular,

sangre. Cuando el flujo sangu´ıneo se ralentiza, la viscosidad aumenta como resultado de m´as

adherencias de c´elula a c´elula y prote´ına a c´elula. Las c´elulas sangu´ıneas comienzan a unirse,

formando grupos que espesan la sangre, potenciando la coagulaci´on de los vasos. Dado que la

viscosidad describe el espesor o la viscosidad de un fluido, tambi´en describe la resistencia de la

sangre a fluir. Esto conduce a una medida de la fuerza con la que el coraz´on tiene que trabajar

para la entrega de la sangre al cuerpo, una medida clave del rendimiento cardiovascular.

El flujo de sangre a trav´es de la red cardiovascular de los vasos es esencialmente una forma de

flujo interno, ya que el fluido es limitado por la pared. Dentro de esta clase de flujo, existen una

serie de propiedades de flujo incluyendo la velocidad, la presi´on y la tensi´on de deformaci´on.

Adem´as, el flujo de sangre puede ser estable o inestable, laminar o turbulento, o arterias en

forma lineal o curvada.

3.1.4.

Fuerza de deformaci´on

A diferencia de los s´olidos, un fluido no puede resistir una fuerza aplicada y en su lugar reacciona

mediante la deformaci´on continua bajo la acci´on de la fuerza, mientras que su viscosidad trata

de resistir la deformaci´on. Cuando la sangre se mueve a trav´es de la arteria, una deformaci´on

resultante se produce debido a las part´ıculas de fluido que se mueven una sobre otra a diferentes

velocidades, provocando un efecto de fricci´on similar. Si su velocidad es la misma y todas las

part´ıculas del fluido se mueven juntas, entonces no hay tensi´on de deformaci´on.

La velocidad del fluido es igual a cero en la superficie de la pared, pero aumenta la velocidad

cuando se distancia de la pared. Cada capa de fluido se mueve m´as r´apido que la de abajo,

creando fricci´on entre ellos. Esta fricci´on act´ua como una fuerza de resistencia al movimiento,

la cual es la viscosidad.

Las observaciones experimentales realizadas por Sir Isaac Newton mostraron que fluidos bajo

flujos laminares, la fuerza de corte es proporcional a la velocidadu, y al ´areaAe inversamente

F =µAu

y (3.11)

Donde el factor de proporcionalidadµes la viscosidad din´amica. Por lo tanto los l´ıquidos que

se comportan de acuerdo con la ecuaci´on 3.11 se conocen como fluidos newtonianos. Antes se observ´o que para el flujo de sangre en las arterias grandes, su comportamiento es de hecho

newtoniano. La relaci´onu/yes el cambio de velocidad promedio sobre la distancia y en t´erminos

diferenciales esto est´a escrito como una derivada,du/dyque representa la velocidad del fluido

en la direcci´on perpendicular al elemento de fluido. Adem´as el estr´es se define como una fuerza

por unidad de ´area, por lo tanto el esfuerzo cortante, denotado,τ se define como:

τ = F

A =µ du

dy (3.12)

La ecuaci´on3.12 se conoce como ley de la viscosidad de Newton. A veces se utiliza un signo negativo de manera queτ =−_{µdu/dy, si el sistema de coordenadas utiliza el punto de origen}

como cero en el centro de la tuber´ıa, lo cual corrige la ecuaci´on para permitir un esfuerzo de

corte positivo para un gradiente de velocidad que es consecuentemente negativo [3].

3.1.5.

Fuerza de presi´on

La presi´on en el fluido es un tipo de estr´es similar al esfuerzo cortante, pero la fuerza act´ua hacia

el interior y perpendicular a la superficie de un cuerpo de fluido. Se define como una fuerza por

unidad de superficie con unidad est´andar de Pascal, que es un Newton por metro cuadrado. Los

valores de presi´on en la hemodin´amica se presentan normalmente como presi´on manom´etrica

que es un valor relativo a la presi´on atmosf´erica local.

Esto significa que la presi´on manom´etrica es cero cuando su presi´on es igual a la atmosf´erica.

La presi´on se define como una fuerza por unidad de ´area y si se tiene en cuenta la fuerza de

Px = Fx

Ax = Fx

dydz (3.13)

lo cual da

Fx =Px(dy, dz) (3.14)

El cambio dePxaPx+∆xes basado en la tasa de cambio deP en la direcci´onxmultiplicada por

la distancia, donde la tasa de cambio toma lugar. Esto est´a dado por

Px+∆x =Px+ dp

dxdx (3.15)

Entonces:

Fx =Px(dy, dz) (3.16)

Fx+∆x = (Px+ dp

dxdx)(dy, dz) (3.17)

La presi´on neta en la direcci´onxes.

Fx+∆x−Fx = (Px+ dp

dxdx)(dy, dz)−Px(dy, dz) (3.18)

Esto significa que la fuerza de presi´on neta por unidad de volumen es igual al gradiente de

presi´on, lo cual sugiere que el gradiente de presi´on crea una fuerza neta para producir el flujo de

3.1.6.

Par´ametros f´ısicos

La Tabla3.1.1ilustra los valores de la cantidad de vasos sangu´ıneos, el di´ametro, el espesor de las paredes, el ´area, y tambi´en la velocidad promedio en la que viaja la sangre en de cada uno de

los vasos sangu´ıneos.

Tabla3.1.1: Caracter´ısticas de los vasos sangu´ıneos [6].

Vaso Cantidad de

vasos

Di´ametro (cm)

´

Area (cm2

) Espesor de la pared (cm)

Velocidad (cm/seg)

Aorta 1 2.5 4.5 0.2 48

Arterias 159 0.4 20 0.1 45

Arteriolas 5.7x10−7 5x10−3 400 2x10−3 5

Capilares 1.6x1010

8x10−4 4500 1x10−4 0.1

V´enulas 1.3x109

2x10−3 4000 2x10−4 0.2

Venas 200 0.5 40 0.05 10

Vena cava 1 3 18 0.15 38

3.1.7.

Momentos de flujo laminar y flujo Browniano

Suponiendo que el fluido se compone de grupos individuales de part´ıculas de fluido en

movi-miento, deslizante, y mezcladas. Si el fluido se mueve lo suficientemente lento sin mucha

mez-cla entre part´ıculas de fluido, entonces el flujo se considera laminar. Si es intenso y la mezmez-cla es

ca´otica entre las part´ıculas de fluido, entonces el flujo se considera turbulento.

Para el flujo en las tuber´ıas el n´umero de Reynolds adimensional (Re), se utiliza para ayudar

a establecer este r´egimen de flujo. El n´umero de Reynolds es una proporci´on de la fuerza de

inercia, producido por el flujo en movimiento, a la viscosidad del fluido.

Re= f uerzadeinercia

f uerzaviscosa = ρuDh

µ (3.19)

Donde ρ es la densidad, Dh es el di´ametro hidr´aulico, u es la velocidad del fluido, y µ es la

mover y deformarse libremente mientras que la viscosidad act´ua para mantener el fluido junto,

resistiendo cualquier deformaci´on. La fuerza de inercia es atribuida a los vasos sangu´ıneos m´as

grandes, densidad de fluido o alta velocidad de flujo (ρuDh), que conduce a un mayor

movimien-to de fluidos y los flujos de alta energ´ıa que son turbulenmovimien-tos. Una viscosidad mayor sostendr´a el

l´ıquido junto, evitando una deformaci´on significativa, lo que lleva a un comportamiento de flujo

laminar, si se asumen las arterias como cilindros circulares, que tienen un di´ametroDh[3].

El rango de n´umeros de Reynolds para clasificar si un flujo es laminar o turbulento tambi´en

dependen de las perturbaciones y rugosidad que est´an presentes en el vaso y el flujo [3]. Por ejemplo, la presencia de paredes ´asperas en los vasos o una estenosis pueden perturbar el orden

y patr´on de flujo regular de un flujo de otra forma laminar, y desencadenar el flujo turbulento en

condici´on de n´umeros de Reynolds no esperados.

La inercia del flujo del fluido domina, lo que permite el transporte de part´ıculas de fluido a trav´es

de muchas capas y regiones. La presencia de turbulencia aumenta la difusi´on de la energ´ıa,

mezclado, disoluci´on, y la transferencia de calor. Muchos flujos que se encuentran en la pr´actica

son turbulentos tales como el humo de un cigarrillo que comienza como un flujo laminar y luego

hace una transici´on a la turbulencia a medida que avanza.

3.1.8.

N ´umero de Reynolds

Los diferentes reg´ımenes de flujo y la asignaci´on de valores num´ericos de cada uno fueron

reportados por primera vez por Osborne Reynolds en 1883. Reynolds observ´o que el tipo de flujo

adquirido por un l´ıquido que fluye dentro de una tuber´ıa depende de la velocidad del l´ıquido, el

di´ametro de la tuber´ıa y de algunas propiedades f´ısicas [10].

As´ı, el n´umero de Reynolds es un n´umero adimensional que relaciona las propiedades f´ısicas

del fluido, su velocidad y la ge´ometra del ducto por el que fluye y est´a dado por:

Re= Dhuρ

µ (3.20)

un ducto circular, se emplea el di´ametro equivalente (De) definido como:

De= 4Areatrasnversaldelf lujo

P erimetroM ojado (3.21)

Generalmente cuando el n´umero de Reynolds se encuentra por debajo de 2000 se sabe que el

flujo es laminar, el intervalo entre 2000 y 4000 se considera como flujo de transici´on y para

valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento [10].

Las caracter´ısticas fundamentales del flujo laminar (Figura 3.1.3) son el paralelismo entre los distintos filamentos que componen la corriente y el retorno a esta situaci´on, a´un despu´es de

ocurrida cualquier perturbaci´on del r´egimen de velocidades [11].

Figura3.1.3: Perfil de flujo parab´olico [12].

En cambio, si las perturbaciones consiguen mantenerse, el flujo se denomina turbulento (Figura

3.1.4). Para velocidades medias relativamente importantes el flujo se caracteriza por un entre-mezclado de las part´ıculas fluidas con un intenso intercambio de masa y no pudi´endose definir

filamentos como en el caso del movimiento laminar. El r´egimen turbulento se caracteriza por su

elevada inestabilidad, es decir la variaci´on instant´anea de velocidades y el intercambio de masa

Figura3.1.4: Perfil de flujo turbulento [12].

3.1.9.

Din´amica de fluidos Navier Stokes

La ecuaci´on de Navier-Stokes lleva el nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes.

Esta ecuaci´on proporciona un modelo matem´atico del movimiento de un fluido. Es una ecuaci´on

fundamental en la din´amica de fluidos. Esta ecuaci´on puede ser vista como una aplicaci´on de la

segunda ley de Newton,F = maque establece que la fuerza es el producto de la masa de un

objeto por su aceleraci´on [13].

En esta ecuaci´on equivalente, se evidencia el uso de la densidad y el esfuerzo de corte. La

densidad es la medida de la masa de un objeto por unidad de volumen, mientras que la tensi´on

de corte se define como el componente de la tensi´on coplanar con la secci´on transversal del

material.

ρ[du

dt +u.∇u] =∇.σ+f (3.22)

Dondeρdenota la densidad del fluido y es equivalente a la masa,du/dt+u.∇_{ues la aceleraci´on,}

ues la velocidad y∇_{.σ+f es la fuerza total, siendo}∇_{.σla tensi´on de corte y siendof todas}

las otras fuerzas. Tambi´en se escriben como:

ρ[du

dt +u.∇u] =∇p+µ∇ 2

u+f (3.23)

dividiendo por ρ y restando u.∇_{u, se obtiene la forma tradicional de la ecuaci´on de}

Navier-Stokes:

du

dt =−(u.∇).u−

1

ρ∇p+γ∇ 2

u+f (3.24)

Y se compone de:

En primer lugar−_(u.∇_{).uque es la divergencia de la velocidad, es decir, es la forma en la que}

la divergencia afecta a la velocidad. En segundo lugar, esta−1

ρ∇pEsto se puede interpretar en

c´omo las part´ıculas se mueven a partir de cambios en la presi´on, espec´ıficamente, la tendencia a

moverse lejos de las zonas de presi´on m´as alta.

Para un flujo turbulento la ecuaci´on pasa a ser como nos indica la ecuaci´on3.25.

p[du

dt +u.∇u] =−∇p+∇[µ[∇u+ (∇u) T_]− 2

3µ(∇u)I] +f (3.25)

dondeI es la matriz identidad del tensor, yT es el tensor de tensi´on de Cauchy.

3.1.10.

N ´umero Mach

El n´umero Mach es una relaci´on entre la velocidad del flujo local(u)y la velocidad del sonido

dentro del fluido(c)[14].

M = u

c (3.26)

Hay diferentes reg´ımenes de flujos teniendo en cuenta el numero Mach.

Subs´onicoM <0,7

trans´onico0,7< M <1,2

supers´onico1,2< M <5

Para flujos con n´umero de Mach menores a 0.3 se considera un flujo incomprensible, esto es

importante conocerlo debido a la incomprensibilidad de la sangre y en la elecci´on de la f´ısica

adecuada para este estudio.

3.1.11.

Par´ametro de Lam´e

Los par´ametros de Lam´e son dos constantes el´asticas que caracterizan por completo el

com-portamiento el´astico lineal de un material con resultados invariantes, respecto a la direcci´on de

estudio. Estos dos par´ametros se designan como:

λla cual es una constante que describe el comportamiento el´astico de los materiales.

µesta constante caracteriza la resistencia al movimiento de los planos de una superficie al

deslizarse por otra.

La ecuaci´on constitutiva de un material el´astico lineal homog´eneo e is´otropo, viene dada en 3D

por la expresi´on:

σ = 2µ+λe (3.27)

dondeσ es la tensi´on,el tensor de deformaci´on y ees la suma de deformaciones principales

Metodolog´ıa

Para ilustrar el funcionamiento del flujo sangu´ıneo, el modelo examina un flujo incompresible

que pasa a lo largo de cilindros y conos con las caracter´ısticas de los vasos sangu´ıneos, con un

perfil de velocidad de entrada sim´etrica.

Figura4.0.1: Metodolog´ıa.

El tiempo de simulaci´on necesaria para un patr´on de flujo peri´odico es dif´ıcil de conocer. Un

indicador clave es el n´umero de Reynolds, que se basa en el di´ametro del cilindro. Para valores

bajos (por debajo de 100) el flujo es constante. En esta simulaci´on, el n´umero de Reynolds var´ıa

Antes de calcular las fuerzas variables en el tiempo del modelo, se puede validar el m´etodo

de la computaci´on en un menor n´umero de Reynolds utilizando el solucionador no lineal. Esto

ahorra tiempo ya que puede encontrar y corregir errores simples antes de la de simulaci´on final

dependiente del tiempo, lo que requiere un tiempo considerable.

4.1.

Par´ametros

A partir de los datos recopilados en la investigaci´on se realiz´o la Tabla4.1.1, donde se exponen los valores del di´ametro y el espesor de las paredes de los vasos sangu´ıneos encontrados en

las distintas fuentes, para definir los valores del modelo se realiz´o el promedio de los datos

expuestos en la tabla y adem´as un redondeo a cero en decimales menores o iguales a cinco y al

siguiente entero en caso contrario, con la excepci´on del espesor en las venas.

4.1.1.

Selecci´on del software

Se buscaron diferentes programas, la Tabla4.1.2muestra una comparaci´on de algunos softwares disponibles. Ac´a se puede observar que la mayor´ıa de los software de simulaci´on para ingenier´ıa

requieren de licencia, algunos que tienen versi´on libre, no cuentan con soporte total por parte de

la compa˜n´ıa creadora, como es el caso de simFlow cfd, adem´as Comsol cuenta con m´ultiples

m´odulos haci´endolo uno de los softwares mas potente junto con el software Fluent de ANSYS

INC, la investigaci´on mostr´o una variada documentaci´on sobre proyectos llevados a cabo en

Cap ´ıtulo 4. Metodolo g ´ıa

Referencias P. Le-Master Michael

[16]

M. Pic-ken Chris-topher

[17]

J.R. Levick.

[18]

Calvo Plaza F. J[6]

Usados

en la

simula-ci´on

Di´ametro Espesor Di´ametro Espesor Di´ametro Espesor Di´ametro Espesor Di´ametro Espesor

Arterias muscula-res

6 mm 1 mm 4 mm 1 mm 4 mm 1 mm 4 mm 1 mm 4 mm 1mm

Arteriolas 37µm 6µm 30µm 6µm 30µm 30µm 50µm 20µm 36µm 15µm

Capilares 9µm 1µm 8µm 0.5µm 6µm 1µm 8µm 1µm 8µm 1µm

V´enulas 20µm 1µm 20µm 1µm 30µm 3µm 20µm 2µm 22µm 2µm

Venas 5 mm 0.5 mm 5 mm 0.5 mm 5 mm 0.5 mm 5 mm 0.5 mm 5 mm 0.5 mm

4.2.

Geometr´ıa

La geometr´ıa en COMSOL se define como, la figura geom´etrica que se ocupar´a como modelo

para realizar la simulaci´on. La secci´on de geometr´ıa se divide en dos (Figura4.6.3), los ajustes contienen un apartado que permite modificar unidades longitudinales y angulares de la

geo-metr´ıa. El otro es avanzado, tiene la opci´on de agregar una geometr´ıa realizada en otro sofware

o simplemente otro ejemplo que se haya realizado en Comsol Multiphysics [18]. El programa tiene la opci´on de formar una geometr´ıa en diferentes dimensiones, 1D, 2D o 3D.

En este caso los modelos son tridimensionales, fueron realizados en el mismo programa con el

uso de cilindros, conos y esferas unidos con funciones booleanas donde a partir de un objeto

solido se construye una forma nueva en la figura. El volumen de la geometr´ıa resultante se crea

a partir de la operaci´on que se realice con las otras geometr´ıas involucradas.

Los vasos sangu´ıneos est´an representados por cilindros del di´ametro correspondiente a cada

vaso, junto con las capas necesarias, para visualizar los resultados de velocidad y presi´on. Al

modelo tridimensional con el uso de la funci´on booleana de substracci´on se le resta un cubo con

las mismas dimensiones de ancho y largo, pero con una altura igual a la mitad del di´ametro del

modelo completo, esto con el fin de visualizar la m´axima velocidad del flujo sangu´ıneo que se

Tabla4.1.2: Comparaci´on entre algunos softwares disponibles en el mercado.

Software Licencia Soporte Lenguaje Funcionalidad Muestra Resultados simFlow

cfd

libre y comer-cial

atizar ltd OpenFOAM C++

Flujo de fluidos si [20]

Flujos turbulentos Transferencia de calor Cavitaci´on

Reacciones qu´ımicas. Ace+ comercial ESI

Group

OpenFOAM C++

Fabricaci´on de chips no [21]

Procesamiento de plasma Micro bombas , V´alvulas electrocin´etica

BioReactions

Celdas de combustible reformadores

Gesti´on t´ermica Fluent Comercial ANSYS

INC

Modelado de turbulencias no [22]

Transferencia de calor y radiaci´on

Flujo multifase reaccionando Flujo Ac´ustica

Interacci´on fluido - estruc-tura

Coventor Ware

Comercial Coventor F´ısicas en fabricaci´on de mems como:

no [23]

Mec´anico, El´ectrico,

Piezo- el´ectrico , Fluido

Efectos de embalaje. Comsol

Mul-tiphysics

Comercial Comsol Secuencia de coman-dos

Sistemas basados en no [19] [24] [25][26][27]

El´ectricos: AC/DC RF MEMS Mec´anicos:

Transferencia de calor Estructuras mec´anicas Fatiga

4.3.

Materiales

En el software existe una librer´ıa de materiales que se encuentra en los diferentes m´odulos de

Comsol Multiphisycs en la secci´on de materiales. Tambi´en tiene la opci´on de agregar un material

nuevo siempre y cuando el usuario defina las caracter´ısticas del mismo. En este apartado se

rea-lizan ajustes en el material, por cada material que se agregue al modelo aparece una subcarpeta

en Model Builder con su nombre correspondiente [18].

Se eligen las partes del modelo que estar´an constituidas por el material seleccionado por el

usuario, es decir, adicionar el material a la figura completa o simplemente alg´un fragmento de

ella.

En este modelo se usan dos an´alisis, el de din´amica de fluidos donde se simula el flujo laminar,

turbulento y el mec´anico relacionado con la interacci´on de estructuras, debido a esto se

requie-ren de dos materiales, la sangre y las paredes vasculares. Estos materiales no se encuentran en

el programa Comsol por lo tanto se determinan a partir de las caracter´ısticas de los materiales

reales, para la sangre se definen dos propiedades la viscosidad din´amica de0,005 N s/m2

y la

densidad de1060kg/m3_{, este material es asignado al cilindro con menor di´ametro que}

represen-ta la sangre, y en el caso de las paredes solo esrepresen-tablece la caracter´ıstica de densidad de960kg/m3

y se asigna a los cilindros restantes.

4.4.

F´ısica y mallado

Para ilustrar el funcionamiento del flujo sangu´ıneo, el modelo examina un flujo incompresible

que pasa a lo largo de cilindros y conos con las caracter´ısticas de los vasos sangu´ıneos, con un

perfil de velocidad de entrada sim´etrica.

El tiempo de simulaci´on necesaria para un patr´on de flujo peri´odico es dif´ıcil de conocer. Un

indicador clave es el n´umero de Reynolds, que se basa en el di´ametro del cilindro. Para valores

bajos (por debajo de 100) el flujo es constante. En esta simulaci´on, el n´umero de Reynolds var´ıa

Antes de calcular las fuerzas variables en el tiempo del modelo, se puede validar el m´etodo

de la computaci´on en un menor n´umero de Reynolds utilizando el solucionador no lineal. Esto

ahorra tiempo ya que puede encontrar y corregir errores simples antes de la simulaci´on final

dependiente del tiempo, lo que requiere un tiempo considerable.

La elecci´on de la t´ecnica de mallado depende en primer lugar de la dimensi´on del plano para la

geometr´ıa, as´ı mismo la malla se adapta a la configuraci´on f´ısica del modelo (ver Figura4.6.8). En el apartado del tama˜no del elemento se muestra una lista con los diferentes tama˜nos de malla.

En caso de que se quiera modificar alguna medida se utiliza la opci´on personalizada, donde se

define que la malla es gruesa y controlada por las f´ısicas. Esto debido al gasto computacional

que requiere una malla m´as fina.

El elemento finito usado en esta simulaci´on fue el tetraedro libre, este elemento trae una

restric-ci´on de tama˜no, por lo tanto las dimensiones de la geometr´ıa deben ser adecuadas para no causar

errores en la simulaci´on, el tama˜no del elemento seleccionado para la vena y la arteria fue de

0,2mm, mientras que para el capilar se seleccion´o0,2µm.

4.5.

Instrucciones de modelado

A continuaci´on se mostrara el m´etodo con el cual se construy´o el modelo, primero se crea un

modelo nuevo, lo siguiente a elegir es la dimensi´on del espacio, para este proyecto se eligi´o

una dimensi´on 3D, despu´es el programa pide la elecci´on de las f´ısicas que se requieren para

la construcci´on del modelo. Este proyecto requiri´o de tres f´ısicas, las cuales se describir´an a

Figura4.5.1: Elecci´on de f´ısicas.

4.6.

F´ısicas utilizadas

La interfaz de flujo turbulento k - ω se utiliza para la simulaci´on de flujos monof´asicos con

altos n´umeros de Reynolds. La interfaz f´ısica es adecuada para flujos incompresibles y los flujos

compresibles a bajo n´umero de Mach (t´ıpicamente menos de 0,3).

Las ecuaciones resueltas para la interfaz de flujo turbulento k –ω, son las ecuaciones de Navier

- Stokes para la conservaci´on del momento y de la ecuaci´on de continuidad para la conservaci´on

de la masa. El flujo cerca de las paredes se modela utilizando funciones de pared.

La interfaz k-ωde flujo turbulento se puede utilizar para el an´alisis estacionario y dependiente

del tiempo [19].

La interfaz de flujo laminar se utiliza para calcular los campos de velocidad y presi´on para el flujo

de un fluido de fase ´unica en el r´egimen de flujo laminar. Un flujo laminar se mantendr´a siempre

que el n´umero de Reynolds sea inferior a un cierto valor cr´ıtico. En n´umeros de Reynolds m´as

altos, los trastornos tienen una tendencia a crecer y la transici´on puede causar turbulencia. Este

donde el n´umero de Reynolds cr´ıtico se sabe que es aproximadamente 2.000 [19].

La interfaz f´ısica soporta flujos incompresibles y flujo compresible en n´umeros de Mach bajos

(t´ıpicamente menos de 0,3). Tambi´en es compatible con los fluidos no newtonianos.

Las ecuaciones que resuelve la interfaz de flujo laminar son las ecuaciones de Navier-Stokes

para la conservaci´on del momento y de la ecuaci´on de continuidad para la conservaci´on de la

masa.

La interfaz de flujo laminar se puede utilizar para el an´alisis estacionario y dependiente del

tiempo. Tenga en cuenta que para n´umeros de Reynolds m´as altos, un flujo se convierte en

estudios dependientes y tridimensionales [19].

La interfaz mec´anica de s´olidos est´a destinada para el an´alisis estructural general de 3D , 2D,

o los organismos con simetr´ıa axial. En 2D, se puede utilizar el estr´es de planos o hip´otesis

de deformaci´on plana. La interfaz mec´anica de s´olidos se basa en la resoluci´on de ecuaciones

de Navier y los resultados, tales como desplazamientos y las tensiones pueden ser computados.

Al elegir las f´ısicas, el programa dar´a una descripci´on de las letras utilizadas para nombrar las

variables dependientes (Figura4.6.1).

Figura4.6.1: Variables dependientes.

Luego de la elecci´on de las f´ısicas se debe adicionar el estudio que se requiera. Para el flujo

turbulento y laminar, las opciones de estudios son dos, el estacionario y el temporal, mientras

Figura4.6.2: Variables dependientes.

La siguiente fase es la geometr´ıa, la construcci´on se dividi´o en cuatro fases, las cuales consisten

en la creaci´on de modelos por separado de la vena, arteria y el capilar. A continuaci´on se unir´ıan

y se comparar´ıan los resultados del modelo completo con el separado. La primera elecci´on en

este apartado es el sistema de unidades o la opci´on de importar la geometr´ıa de un software

distinto. Debido a los datos encontrados en la Tabla4.1.1, las unidades de longitud cambian seg´un el vaso construido.

Figura4.6.3: Selecci´on de unidades.

utilizadas para este proyecto, luego vienen las figuras m´as primitivas que dan la opci´on de crear

un modelo m´as complejo.

Figura4.6.4: Figuras geom´etricas elegibles.

Al agregar una figura geom´etrica, Comsol te da la opci´on de configurar sus par´ametros f´ısicos

como el tipo de objeto, solido o hueco, tama˜no, forma, la posici´on de la estructura en el espacio,

Figura4.6.5: Par´ametros f´ısicos.

Luego de agregar dos estructuras viene la opci´on de unir, la cual est´a en el apartado de booleanos

y particiones, esta opci´on es importante debido a su caracter´ıstica de unir, restar o intersectar dos

modelos.