Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

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(1)8. Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. . ACTIVIDADES Respuesta abierta. Por ejemplo: . Respuesta abierta. Por ejemplo: . . . f(x)  x2 decrece en (∞, 0) y crece en (0, ∞). a) f(x)  (x  1)2 En este caso se trata de una traslación de la función original una unidad a la derecha, el intervalo de decrecimiento en este caso será (∞, 1) y el de crecimiento (1, ∞). . . . 337 .

(2) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. b) f(x)  (x  2)2 En este caso se trata de una traslación de la función original dos unidades a la izquierda, por lo que el intervalo de decrecimiento será (∞, 2) y el de crecimiento, (2, ∞). c) f(x)  x2  1 Esta función es el resultado de trasladar una unidad hacia arriba la función original, por lo que el intervalo de decrecimiento en este caso será (∞, 0) y el de crecimiento será (0, ∞). d) f(x)  x2  3 En este caso, como en el apartado anterior, se produce una traslación en vertical de tres unidades hacia abajo, con lo que el intervalo de decrecimiento en este caso será (∞, 0) y el de crecimiento será (0, ∞). a) La derivada es f ´( x ) = 4 x + 4 y 4 x + 4 = 0  x = -1 . Vemos que 4 x + 4 < 0  x Î (-¥, - 1) → En este intervalo la función decrece. 4 x + 4 > 0  x Î (-1, + ¥) → En este intervalo la función crece. . b) La derivada es f ´( x ) = -2 x + 6 y -2 x + 6 = 0  x = 3 . Vemos que: -2 x + 6 > 0  x Î (-¥, 3) → En este intervalo la función crece. -2 x + 6 < 0  x Î (3, + ¥) → En este intervalo la función decrece. . a) Su derivada es f ´( x ) = 3 x - 6 x = 3 x ( x - 2) , que se anula en x  0 y x  2. 2. Es creciente a la izquierda de 0 y decreciente a la derecha → Máximo en (0, 0). Es decreciente a la izquierda de 2 y creciente a la derecha → Mínimo en (2, 4). b) Su derivada es f ´( x ) = 6 x 2 - 6 x - 36 = 6( x - 3)( x + 2) y se anula en x  3 y x  2. Es creciente a la izquierda de 2 y decreciente a la derecha → Máximo en (2, 45). Es decreciente a la izquierda de 3 y creciente a la derecha → Mínimo en (0, 80). . a) Su primera derivada es f ´( x ) = 4 x 3 - 8 x = 4 x ( x 2 - 2) = 4 x ( x - 2 )( x + 2 ) , que es igual a 0 en x  0, x   2 y x = 2 . . Su segunda derivada es f ´´( x ) = 12 x 2 - 8 = 4(3 x - 2) . Para x  - 2 : f ´´(- 2 ) = 4(3(- 2 ) - 2) = 4(6 - 2) = 16 > 0 → Mínimo en x  - 2 . 2. Para x  2 : f ´´( 2 ) = 4(3( 2 ) - 2) = 4(6 - 2) = 16 > 0 → Mínimo en x  2 . 2. Para x  0: f ´´(0) = 4(3(0)2 - 2) = 4(0 - 2) = -8 < 0 → Máximo en x  0. . 338 . .

(3) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. b) Su primera derivada es f ´( x ) = 3 x 2 + 6 x = 3 x ( x - 2) , que es igual a 0 en x  0 y x  2. Su segunda derivada es f ´´( x ) = 6 x + 6 = 6( x -1) . Para x  0: f ´´(0) = 6(0 -1) =-6 < 0 → Máximo en x  0. Para x  2: f ´´(2) = 6(2 -1) = 6 > 0 → Mínimo en x  2. c) Su primera derivada es f ´( x ) = 2 x + 9 , que es igual a 0 en x =. -9 . 2. Su segunda derivada es f ´´( x ) = 2 . Para x  . æ- 9 ö -9 -9 : f ´´ççç ÷÷÷= 2 > 0 → Mínimo en x  . è 2 ø 2 2. d) Su primera derivada es f ´( x ) = 6 x 2 + 18 x - 4 que se anula para x =. -9 + 105 -9 - 105 y x = . 6 6. Su segunda derivada es f ´´( x ) = 12 x + 18 . Para x =. æ -9 + 105 ö÷ -9 + 105 ÷÷ > 0 → Mínimo en x = -9 + 105 . : f ´´ççç è ø÷ 6 6 6. . æ -9 - 105 ö÷ -9 - 105 ÷÷ < 0 → Máximo en x = -9 - 105 . Para x = : f ´´ççç ÷ø è 6 6 6. . x + 2x x ( x + 2) 2 x ( x + 1) - x 2x + 2x - x . = = = ( x + 1)2 ( x + 1)2 ( x + 1)2 ( x + 1)2 2. Su primera derivada es f ´( x ) =. 2. 2. 2. Vemos que es una función racional cuyo denominador es siempre positivo, así que estudiamos el signo del numerador. x ( x + 2) > 0  x Î (-¥, - 2) È (0, +¥) . Por tanto, en estos intervalos la función es creciente. x( x + 2) < 0  x Î (-2, 0) . Por tanto, en este intervalo la función es decreciente. . Para calcular los valores de x tales que f ´( x ) = 0 , hacemos . x ( x + 2) =0 ( x + 1)2. , que es equivalente en este caso a calcular . x( x + 2) = 0 . Esta ecuación se cumple en x  0 y x  2. . Su segunda derivada es: f ´´( x ) =. (2 x + 2)( x + 1)2 - 2 x ( x + 2)( x + 1) (2 x + 2)( x + 1) - 2 x ( x + 2) 2 = = ( x + 1)4 ( x + 1)3 ( x + 1)3. Para x  0: f ´´(0) =. 2 = 2 > 0 → Mínimo en x  0. (0 + 1)3. Para x  2: f ´´(-2) =. 2 = -2 < 0 → Máximo en x  2. (-2 + 1)3. . . . 339 .

(4) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. . a) Analizamos el signo de f ´´(x): f ´(x)  21x2  2x  1 . . f ´´(x)  42x  2 . Buscamos los puntos donde f ´´(x) se anula, que son los posibles puntos de inflexión: f ´´(x)  42x  2  0 → x =. 1 21. Analizamos el signo de f ´´(x) a la izquierda y a la derecha de Para x <. 1 : f ´´(0)  2  0 → f(x) es convexa. 21. Para x >. 1 : f ´´(1)  26  0 → f(x) es cóncava. 21. 1 : 21. b) Analizamos el signo de f ´´(x): 2x. f ´( x ) =. . ( x 2 + 1). 2. . . f ´´( x ) =. 2 (1 - 3 x 2 ). ( x 2 + 1). 3. . Buscamos los puntos donde f ´´(x) se anula, que son los posibles puntos de inflexión: f ´´( x ) =. 2 (1 - 3 x 2 ). ( x + 1). 3. 2. = 0 → x = . 3 3. Analizamos el signo de f ´´(x) en x < Para x < Para Para . 3 3 3 3 , - < x < y < x : 3 3 3 3. 3 : f ´´(2)  0 → f(x) es convexa. 3. 3 3 : f ´´(0)  0 → f(x) es cóncava. <x< 3 3. 3 < x : f ´´(2)  0 → f(x) es cóncava. 3. . . a) f ´(x)  2x  1 . . . . . . . f ´´(x)  2 . f ´´(x)  0 para todo valor de x, por tanto es siembre convexa. . . . 340 . .

(5) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. b) f ´(x)  1  10x . . . . . 8. f ´´(x)  10 . f ´´(x)  0 para todo valor de x, por tanto es siembre convexa. . Respuesta abierta. Por ejemplo: . Respuesta abierta. Por ejemplo: . Respuesta abierta. Por ejemplo: . . 341 .

(6) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. Respuesta abierta. Por ejemplo: . . Respuesta abierta. Por ejemplo: . . No existe una función cóncava en (∞, 1) y convexa en (1, ∞) con un punto de inflexión en x  1; el punto de inflexión debería estar en x  1. . . 342 . .

(7) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. Respuesta abierta. Por ejemplo: . Respuesta abierta. Por ejemplo: . a) . . . . . . . . . . b) . a) . . . . . . . . . . b) . . . . 343 .

(8) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. a) ▪ Asíntotas verticales: El denominador se anula en x  2: lim x 2. 3x = ¥  f tiene una asíntota vertical en x  2. x -2. ▪ Asíntotas horizontales: Como grado(3x)  grado(x  2) → Existe asíntota horizontal en y  k, donde k = xlim ¥. 3x = 3  y  3. x -2. ▪ Asíntotas oblicuas: No existe asíntota oblicua porque grado(3x)  grado(x  2)  1. b) ▪ Asíntotas verticales: El denominador se anula en x  1: x2 = ¥  f tiene una asíntota vertical en x  1. x 1 x - 1. lim. lim. x -1. 2. x2 = ¥  f tiene una asíntota vertical en x  1. x -1 2. ▪ Asíntotas horizontales: Como grado(x2)  grado(x2  1) → Existe asíntota horizontal en y  k, donde k = xlim ¥ ▪ Asíntotas oblícuas: No existe asíntota oblicua porque grado(x2)  grado(x2  1)  1. . 2. a) m = xlim ¥. 2. f (x) x x = lim = lim 2 = 1 m = 1 x ¥ x ( x + 1) x ¥ x + x x. é x2 ù é x2 - x2 - x ù ú = lim - x = - 1  n = - 1 n = lim [f ( x ) - mx ] = lim ê - x ú = lim ê ú x ¥ ê x ¥ x ¥ ê x + 1 x + 1 ûú x ¥ x + 1 ë û ë. Por lo tanto la asíntota oblicua es y  x  1. f (x) b) m = xlim = lim ¥ x x ¥. x+. x 2 2 - x = lim 3 x - x = lim 3 - x = 1  m = 1 x ¥ x x (2 - x ) x ¥ 2 - x. é ù é x ù x ú = -1  n = -1 - x ú = lim ê n = lim [f ( x ) - mx ] = lim ê x + x ¥ x ¥ ê x ¥ ú êë 2 - x úû 2- x ë û. Por tanto, la asíntota oblicua es y  x  1. . . 344 . . x2 = 1 → y  1. x -1 2.

(9) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. . . . SABER HACER . Analizamos el dominio de f(x) para saber dónde puede haber discontinuidades: Dom f =  - {0} . Analizamos el signo de f ´(x): ìï2 x + 2 si x < -2 ï f ´( x ) = ïí 2 ïïsi x ³ -2 3 ïîï x. Tenemos que ver dónde se anula f ´(x). Para ello analizamos dónde se anulan cada una de las partes que la componen: ü 2 x + 2 = 0  x = –1ï ï ï → En x  1 f ´(x) no toma el valor de la primera función. Por tanto, f ´(x) nunca se anula. ý 2 ï - 3 ¹0 ï ï x þ. Analizamos el signo de f ´(x) si x  2, -2 £ x < 0 y x  0: Para x  2: f ´(3)  0 → f(x) es decreciente. Para -2 £ x < 0 : f ´(1)  0 → f(x) es creciente. Para x  0: f ´(1)  0 → f(x) es decreciente. . 345 .

(10) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. Para empezar, si se entiende que la empresa gana 30 € por cada unidad, el ingreso vendrá dado por f(x)  30x, mientras que el gasto será g(x). Por lo tanto, el beneficio será b( x ) = f ( x ) - g ( x ) = 30 x - 100 - 5 x - x 2 = 25 x - x 2 - 100 . Primero se calcula b´( x ) = 25- 2 x y se observa que el candidato a máximo o mínimo es x = Se calcula ahora b´´( x) =-2 y se ve entonces que x = Como . 25 . 2. 25 es un máximo. 2. 25 = 1,25 no es un número entero, se mira el valor de b(12) y b(13) y, siendo el beneficio b(12)  (13)  56, 2. se concluye que para maximizar el beneficio se deben fabricar 12 o 13 unidades. Se calcula la derivada de la función f ´( x ) = 2 x + a y se impone la condición de que f ´(2)  0: 2 ⋅ 2 + a = 0  a = -4 , así que el candidato será a  4. . Se comprueba que es un mínimo mirando que la segunda derivada es positiva: f ´´( x ) = 2  f ´´(2) = 2 > 0 . Con a  4, x  2 es un mínimo. . Se sabe que la derivada de la función es una recta con pendiente 3, por lo que será de la forma f ´( x ) = 3 x + n . La función será de la forma f ( x ) = ax 2 + bx + c , pues su derivada es f ´( x ) = 2ax + b . 3 2. Se tiene entonces que 2a = 3  a = , y b = n , por lo que las funciones que cumplan las condiciones del 3 2. enunciado tendrán como ecuación: f ( x ) = x 2 + nx + c con n, cÎ  Una parábola tendrá como ecuación f ( x ) = ax + bx + c , y como pasa por el (0, 1), al sustituir, se obtiene c  1. 2. Al ser el punto (3, 8) el vértice de la parábola: ▪ Es un punto de ella → a32 + b3 + 1 = -8 ▪ Será un máximo o un mínimo global → f ´(3)  0 → 6 a + b = 0 . ü 9 a + 3b = -1 üï a32 + b3 + 1 = -8ï ï ï ý ý  9 a - 18 a = -9  a = 1, b = -6 b = -6 aï 6a + b = 0 ï ï ï þ þ. Por tanto, f ( x ) = x 2 - 6 x + 1 . . . 346 . .

(11) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. . 2. f ´(x)  3x  2x  1 . . Analizamos el dominio de f(x) para saber dónde puede haber discontinuidades: Dom f =  - {0} ïìï2 x + 2 si x < -2 f ´( x ) = ïí 2 ïïsi x ³ -2 3 ïïî x. . . ïìï2 f ´´( x ) = ïí 6 ïï 4 ïïî x. si x < -2 si x ³ -2. . Tenemos que ver dónde se anula f ´´(x). En este caso, f ´´( x ) ¹ 0 para cualquier x, por tanto, analizamos el signo de f ´´(x) si x  2, -2 £ x < 0 y x  0: Para x  2: f ´´  0 → f(x) es cóncava. Para -2 £ x < 0 : f ´´(1)  0 → f(x) es cóncava. Para x  0: f ´(1)  0 → f(x) es cóncava. . En x  1 la función es cóncava. En x  1 la función tiene un punto de inflexión. En x  2 la función es convexa. . . . 347 .

(12) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. 2- x = -1  f tiene una asíntota horizontal en y =-1 . x2 -1 2. lim. x ¥. Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota por la derecha, se dan valores muy grandes a x, y se estudia su valor: Para x  1 000: f (1000) =. 2 - (1000)2 2 - 1000 000 -999 998 = = = -0,999998 > -1 (1000)2 - 1 1000 000 - 1 999 999. Por la derecha, la gráfica está situada por encima de la asíntota. Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota por la izquierda, se dan valores muy pequeños a x, y se estudia su valor: Para x  1 000: f (-1 000) =. 2 - (-1 000)2 -999 998 = = -0,999998 > -1 (-1000)2 - 1 999 999. Por la izquierda, la gráfica está situada por encima de la asíntota. 3. x 1 1 =    f tiene una asíntota horizontal en y = . 2 2x3 + 3x2 + 2 2. lim. x ¥. Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota por la derecha, se dan valores muy grandes a x, y se estudia su valor: Para x  1 000: f (1000) =. (1000)3 1000 000 000 1 = = 0,49925... < 2(1000) + 3(1000)2 + 2 2003 000 002 2 3. Por la derecha, la gráfica está situada por debajo de la asíntota. Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota por la izquierda, se dan valores muy pequeños a x, y se estudia su valor: Para x  1 000: f (-1000) =. (-1000)3 1000 000 000 1 = = 0,5007... > 3 2 2(-1000) + 3(-1000) + 2 1996 999 998 2. Por la izquierda, la gráfica está situada por encima de la asíntota. Las asíntotas verticales aparecen cuando el denominador vale 0. En este caso: x 2 - 4 = ( x + 2)( x - 2) = 0  x = 2 lim. x2. lim. x +1 =¥ x2 - 4. x -2. Tiene una asíntota vertical en x  2. . x +1 = ¥  Tiene una asíntota vertical en x  2. x2 - 4. Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  2 por la izquierda, se dan valores muy cercanos a 2 por la izquierda a x, y se estudia su valor: Para x  2,01: f (-2,01) =. -2,01 + 1 < 0  lim - f ( x ) = -¥ x -2 (-2,01)2 - 4. Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  2 por la derecha, se dan valores muy cercanos a 2por la derecha a x, y se estudia su valor: . 348 .

(13) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. Para x  1,99: f (-1,99) =. 8. -1,99 + 1 > 0  lim + f ( x ) = +¥ x -2 (-1,99)2 - 4. Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  2 por la izquierda, se dan valores muy cercanos a 2por la izquierda a x, y se estudia su valor: Para x  1,99: f (1,99) =. 1,99 + 1 < 0  lim- f ( x ) = -¥ x 2 (1,99)2 - 4. . Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  2 por la derecha, se dan valores muy cercanos a 2 por la derecha a x, y se estudia su valor: Para x  2,01: f (2,01) =. 2,01 + 1 > 0  lim+ f ( x ) = +¥ x 2 (2,01)2 - 4. . Las asíntotas verticales aparecen cuando el denominador vale 0. En este caso: x 2 - x - 6 = ( x + 2)( x - 3) = 0  x = -2, x = 3 → Tiene dos asíntotas verticales. lim. x -2. lim. x 3. 3x - 2 = ¥  Tiene asíntota vertical en x  2. x2 - x - 6 3x - 2 =¥ x2 - x - 6. Tiene asíntota vertical en x  3. . Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  2 por la izquierda, se dan valores muy cercanos a 2 por la izquierda a x, y se estudia su valor: Para x  2,01: f (-2,01) =. 3(-2,01) - 2 < 0  lim - f ( x ) = -¥ x -2 (-2,01)2 + 2,01- 6. . Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  2 por la derecha, se dan valores muy cercanos a 2 por la derecha a x, y se estudia su valor: Para x  1,99: f (-1,99) =. 3(-1,99) - 2 > 0  lim + f ( x ) = +¥ x -2 (-1,99)2 + 1,99 - 6. Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  3 por la izquierda, se dan valores muy cercanos a 3 por la izquierda a x, y se estudia su valor: Para x  2,99: f (2,99) =. 3(2,99) - 2 < 0  lim- f ( x ) = -¥ x 3 (2,99)2 - 2,99 - 6. . Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  3 por la derecha, se dan valores muy cercanos a 3 por la derecha a x, y se estudia su valor: Para x  3,01: f (3,01) =. 3(3,01) - 2 > 0  lim+ f ( x ) = +¥ x3 (3,01)2 - 3,01- 6 . . ACTIVIDADES FINALES . . 349 .

(14) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. 9 4. f '(-2) = > 0  La función es creciente en x  2. . .    a) f ´( x ) = cos x  f ´(p) = cos p = -1 < 0  La función decrece en x = p . b) f ´( x ) = cos x + 1 + tg 2 x  f ´(0) = cos 0 + 1 + tg 2 0 = 2 > 0  La función crece en x  0. c) f ´( x ) =. ( x 2 - 1) cos x - 2 x ( sen x + 1) æç p ÷ö p  f ´çç ÷÷ < 0  La función decrece en x = 2 2 è 2ø 2 x 1 ( ) . d) f ( x ) = sen2 x + cos 2 x = 1 "x Î   Función constante en todo su dominio y no crece ni decrece en x  0. . a) f ´( x ) = 2 x - 4  f ´( x ) = 0 cuando x  2. En (∞, 2) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (2, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. Por tanto, x  2 es un mínimo. b) f ´( x ) =-2 x  f ´( x ) = 0 cuando x  0. En (∞, 0) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. En (0, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. Por tanto, x  0 es un máximo. . . 350 . .

(15) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. c) f ´( x ) = 4 x - 8  f ´( x ) = 0 cuando x  2. En (∞, 2) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (2, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. Por tanto, x  2 es un mínimo. 3 2. d) f ´( x ) = -3 - 2 x  f ´( x ) = 0 cuando x = - . æ 3ö En ççç-¥, - ÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. è 2ø æ 3. ö. En ççç- , + ¥÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. è 2 ø 3 2. Por tanto, x = - es un máximo. e) f ´( x ) = 2 x - 6  f ´( x ) = 0 cuando x  3. En (∞, 3) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (3, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. Por tanto, x  3 es un mínimo. 1 3. f) f ´( x ) = 6 x - 2  f ´( x ) = 0 cuando x = . æ 1ö En ççç-¥, ÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. è 3ø æ1. ö. En ççç , + ¥÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. è3 ø 1 3. Por tanto, x = es un mínimo. . a) f ´( x ) = 3 x - 12 x + 9  f ´( x ) = 0 cuando x  1 y x  3. Divide el dominio en 3 intervalos. 2. En (∞, 1) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. En (1, 3) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (3, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. En x  1 tiene un máximo y en x  3 un mínimo. b) f ´( x ) = 3 x 2 - 6 x - 9  f ´( x ) = 0 cuando x  1 y x  3. Divide el dominio en 3 intervalos. En (∞, 1) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. En (1, 3) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (3, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. En x  1 tiene un máximo y en x  3 un mínimo. . . . 351 .

(16) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. c) f ´( x ) = 3 x 2 - 3  f ´( x ) = 0 cuando x = 1 . En (∞, 1) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. En (1, 1) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (1, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. En x  1 tiene un máximo y en x  1 un mínimo. d) f ´( x ) = 6 x 2 + 6 x - 36  f ´( x ) = 0 cuando x  2 y x  3. En (∞, 3) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. En (3, 2) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (2, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. En x  3 tiene un máximo, y en x  2 un mínimo. e) f ´( x ) = 6 x 2 + 6 x + 6 > 0  f ´( x ) > 0 "x Î  La función es creciente en todo su dominio y no tiene máximos ni mínimos. . a) f ´( x ) = 4 x - 4  f ´( x ) = 0 cuando x  1. 3. En (∞, 1) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (1, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. 1 2. 2 3. b) f ´( x ) = 36 x 3 - 6 x 2 - 12 x  f ´( x ) = 0 cuando x  0, x = - y x = . æ 1ö En ççç-¥, - ÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. è 2ø æ 1. ö. En ççç- , 0÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. è 2 ø æ. 2ö. En ççç0, ÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. è 3ø æ2. ö. En ççç , + ¥÷÷÷ es creciente en este intervalo. è3 ø c) f ´( x ) = 3 x 3 - 3 x 2 - 6 x  f ´( x ) = 0 cuando x  0, x  1 y x  2. En (∞, 1) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (1, 0) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. En (0, 2) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (2, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. d) f ´( x ) = 4 x ( x + 1)( x - 1)  f ´( x ) = 0 cuando x  0, x  1 y x  1. En (∞, 1) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (1, 0) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. En (0, 1) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (1, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. . 352 . .

(17) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. a) f ´( x ) = 3 x  f ´( x ) = 0 cuando x  0. 2. En (∞, 0) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. En (0, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. b) f ´( x ) = 4 x 3  f ´( x ) = 0 cuando x  0. En (∞, 0) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo. En (0, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. c) f ´( x ) =. 1 2 x. . En (∞, 0) la función no está definida. En (0, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. . p 4. a) f ´( x ) = 6 cos 2 x  f ´( x ) = 0 cuando x = + æp è4. En los intervalos ççç + k p,. kp , k Î 2. . . ö 3p + k p÷÷÷ , k Î , f ´(x)  0 → f(x) es decreciente. ø 4 . æ 3p ö 5p + k p, + k p÷÷÷ , k Î , f ´(x)  0 → f(x) es decreciente. è4 ø 4. En los intervalos ççç b) f ´( x ) = 2. x +1. . ln 2 > 0 "x Î  . Por tanto, la función es creciente en toda la recta real. c) f ´( x ) = 2e2 x -1 > 0 "x Î  Por tanto, la función es creciente en toda la recta real. d) f ´( x ) = -ln 4 ⋅ 4- x < 0 "x Î  Por tanto, la función es decreciente en toda la recta real. . a) Dom f ( x ) = (0, + ¥) f ´( x ) =. . 1 > 0 en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre creciente. x . . 353 .

(18) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. b) x 2 + 1 > 0 "x Î   Dom f ( x ) =  f ´( x ) =. 2x  f ´( x ) = 0  x = 0 x2 + 1. . f(x) decrece en (∞, 0) porque f ´(1)  1  0 y crece en (0, ∞) porque f ´(1)  1  0. c) x 3 + 1 > 0  x > -1  Dom f ( x ) = (-¥, - 1) f ´( x ) =. 3x2 > 0 en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre creciente. ( x + 1)ln 2 3. d) Dom f ( x ) = (0, + ¥) f ´( x ) = -. e) . 1 < 0 en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre decreciente. x log 2. 1 > 0 "x Î   Dom f ( x ) =  x2 +1 f ´( x ) =. -2 x  f ´( x ) = 0  x = 0 x2 + 1. . En (-¥, 0 ) f ´( x ) > 0  La función es creciente. En (0, + ¥) f ´(x) < 0  La función es decreciente. f(x) tiene un máximo en x  0. æ x - 1 ö÷ æ 1 ö÷ ÷ = lnççç ÷ è x 2 - 1ø÷ è x + 1ø÷. f) f ( x ) = lnççç f ´( x ) = -. . . 1 > 0  x > -1  Dom f ( x ) = (-1, + ¥) x +1. 1 < 0 en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre decreciente. x +1 . . si x £ 1 ìïïf creciente si x £ 1 ïì1 í ïîï-2 si x > 1 ïîïf decreciente si x > 1. a) f ´( x ) = ïí. si x < 0 ï ïìf ´( x ) > 0 ïì2 í ï ï6 x + 5 si x ³ 0 ï ïf ´( x ) > 0 î î. si x < 0. b) f ´( x ) = ïí. ì ï3 x 2 ïïî x. c) f ´( x ) = ïí. si x £ 0 si x > 0. ìf ´( x ) > 0 ï ï í ïîf ´( x ) > 0 ï. si x ³ 0. si x £ 0 si x > 0.  f crece "x Î  .  f crece "x Î  . ìf ´( x ) < 0 ï. si x < - 1  f decrece ïü. ïï ï ï îf ´( x ) < 0. si 2 < x  f decrece. ï  f tiene un mínimo en x = - 1 ï ì d) f ´( x ) = íïï2 x + 2 si x £ 2  íïïf ´( x ) > 0 si - 1 < x £ 2  f creceïþýï ïîï- 3. si x > 2. . . 354 . .

(19) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. a) f ´( x ) =. 2x  f ´( x ) = 0 cuando x  0. ( x 2 + 1)2. Como el denominador es siempre positivo, solo comprobamos el signo del numerador, por lo que: f ´( x ) = f ´( x ) =. 2x < 0  x Î (-¥, 0)  ( x 2 + 1)2. . En este intervalo f(x) decrece. . 2x > 0  x Î (0, + ¥ )  En este intervalo f(x) crece. ( x 2 + 1)2. b) Dom f ( x ) =  - {-3}   . . f ´( x ) =. 1 > 0 en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre creciente. ( x + 3)2 . c) Dom f ( x ) =  - {-1}   . . f ´( x ) =. 2 >0 ( x + 1)2. d) Dom f ( x ) =  - {2} . . f ´( x ) = -. . en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre creciente. . 2 < 0 en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre decreciente. ( x - 2)2 . . . æ ì ì ïì 2ö ïï-3 x - 2 si x < - 2 ïï-3 si x < - 2 ïïf ( x ) decrece en çç-¥, - ÷÷÷. ï ï ï èç ï ï 3ø 3 3 ï ï ï a) f ( x ) = í  f ´( x ) = í í ï ïï æ 2 ö 2 2 ïï ïï3 x + 2 çç- , + ¥÷÷. ³ > si x 3 si x ï ï f ( x ) crece en ï ïîï çè 3 ø÷ 3 3 ïïî ï î. En x  1 crece y en x  4 decrece. ì x - 3 si x > 3 ì1 ìf ( x ) crece en (3, + ¥ ). si x > 3 ï ï ï  f ´( x ) = ï ï í í ï ï ï £ < x x x 3 si 3 1 si 3 ï ï ïf ( x ) decrece en (-¥, 3). î î î. b) f ( x ) = ïí. En x  0 decrece y en x  5 crece. ì x - 3 si x > 3 ì1 ìf ( x ) crece en (3, + ¥ ). si x > 3 ï ï ï  f ´( x ) = ï ï í í ï ï ï £ < x x x 3 si 3 1 si 3 ï ï ïf ( x ) decrece en (-¥, 3). î î î. c) f ( x ) = ïí. En x  1 decrece y en x  2 decrece. ïìï-3 x - 2 ïï d) f ( x ) = ïí 2 ïï 3 x + 2 ïîïï 2. 2 ïìï-3 ïï 3 2  f ´( x ) = ïí ïï 3 2 si x ³ ïîïï 2 3. si x < -. æ 2ö 2 ïìï ïf ( x ) decrece en çççè-¥, - ÷÷÷ø. 3 3 ïï í æ 2 ö 2 ïï ÷ ç si x > ïf ( x ) crece en çç- , + ¥÷÷. è 3 ø 3 ïïî. si x < -. En x  2 crece y en x  0 crece. . 355 .

(20) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. ì x 2 - 3 si x £ - 3 ì2 x ï ï ï ï ï ï ï 2 a) f ( x ) = íï3 - x si - 3 < x < 3  f ´( x ) = ïíï-2 x ï ï 2 ï ï ï ï ï x - 3 si 3 £ x ï2 x î î. si x £ - 3 si - 3 < x < 3 si 3 £ x. En x  3: f ´(3)  6  0 → f(x) decrece. En x  1: f ´(1)  2  0 → f(x) crece. En x  4: f ´(4)  8  0 → f(x) crece. ì ïìï x 2 - 3 x si x £ 0 ï2 x - 3 si x £ 0 ï ïï ï 2 b) f ( x ) = íï3 x - x si 0 < x < 3  f ´( x ) = íï3 - 2 x si 0 < x < 3 ï ïï 2 ï ïî x - 3 x si 3 £ x ïï î2 x - 3 si 3 £ x. En x  2: f ´(2)  7  0 → f(x) decrece. En x  2: f ´(2)  1  0 → f(x) decrece. En x  6: f ´(6)  9  0 → f(x) crece. ì x +7 ì 1 ï ï ï ï si x < -7 si x < -7 ì ïïïïïf ( x ) decrece en (-¥, - 7). 4 4 ï  f ´( x ) = ï ï c) f ( x ) = í í í ïï x + 7 ïï 1 îïïf ( x ) crece en (-7, + ¥). ³ > x x si 7 si 7 ï ï ï ï ï 4 ï4 î î. En x  10 decrece, en x  5 y x  1 crece. . æ ö÷ ïì 1- 21 úù êé 1 + 21 ïï x 2 - x - 5 Èê si x Î ççç-¥, , + ¥÷÷ ï ú ÷ ï 2 úû êë 2 èç ø a) f ( x ) = x 2 - x - 5 = ïí ïï æ ö ïï- x 2 + x + 5 si x Î çç 1- 21 , 1 + 21÷÷÷ çç 2 2 ÷ø è ïïïî ì ì ï ï ï2 x - 1 > 0 si x > 1 ïï æ ö÷ ï ï 1- 21ö÷÷ æç 1 + 21 ï 2 ç ï 2x -1 si x Î çç-¥, , + ¥÷÷  ï í ÷Èç ïï è ø ï 1 2 ø èç 2 ï ï ï 2 x - 1 < 0 si x < ï ï ï ï 2 ï î ï f ´( x ) = í ï ì ï ï ï-2 x + 1 > 0 si x < 1 ïï ï æ 1- 21 1 + 21ö÷ ï 2 ï ïï-2 x + 1 si x Î ççç , ÷÷  í ï ç ï 1 2 ÷ø ïï è 2 ïï ïï-2 x + 1 < 0 si x > ï 2 ï î ï î æ. Por lo que la función decrece en ççç-¥, èç. 356 . æ 1- 21 1ö÷ æ 1 + 21 1- 21ö÷÷ æç 1 1 + 21ö÷÷ ÷ö ç , ÷÷ È ççç , + ¥÷÷ . ÷ È çç , ÷ y crece en çç ÷ ÷ ÷ ÷ø 2 ø èç 2 2 ø 2 ø èç 2 èç 2.

(21) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. ïìï 1 1 ïïï x b) f ( x ) = = í x ïï 1 ïïîï x. ïìï 1 ïï 2 x  f ´( x ) = ïí ïï 1 si x ³ 0 ïï- 2 îï x. si x < 0. 8. si x < 0. ïìf ´( x ) > 0 si x < 0  ïí ïf ´( x ) < 0 si x > 0 si x > 0 îï. Por tanto, la función crece en el intervalo (∞, 0) y decrece en el intervalo (0, ∞). ìï x 2 - 1 ïï ì x ï ï ïï x 2 + 1 2 - 2 si x < 0 ï ) ï ïï( x + x 1 =ï  = f x ´( ) c) f ( x ) = 2 í í ïï 1- x 2 x + 1 ïï x si x ³ 0 ï 2 ï 2 ï ï 2 ïx +1 ï î ïïî( x + 1). si x < 0. ïì f ´( x ) < 0 en x Î (-1, 0 )È (1, + ¥)  ïí ïï f ´( x ) > 0 en x Î(-¥, - 1) È (0, 1) î si x > 0. La función decrece en (-1, 0) È (1, + ¥) y crece en (-¥, - 1) È (0, 1) . ïì- - x d) f ( x ) = - x = ïí ïïîï- x. ìï 1 ïï ïï 2 - x  f ´( x ) =í 1 si x ³ 0 ïï ïïïïî 2 x si x < 0. si x < 0. ìf ´( x ) < 0 si x > 0 ï ï í ïf ´( x ) > 0 si x < 0 î si x > 0 ï. La función crece en el intervalo (∞, 0) y decrece en (0, ∞). ì 1 ï ï ï ì < £ x x ln si 0 1 ï ï x  f ´( x ) = ï e) f ( x ) = ln x = ïí í ïî ï 1 si x > 1 ïln x ï ï ï ïx î. si 0 < x < 1 si x > 1. ïìf ´( x ) < 0 si 0 < x < 1  ïí ïïf ´( x ) > 0 si x > 1 î. La función decrece en el intervalo (0, 1) y crece en (1, ∞). ìï ïï- 1 ìln(1- x ) si x < 0 ï ï 1- x ï  f ´( x ) = ïí f) f ( x ) = ln( x + 1) = í ï ïï 1 ïln( x + 1) si x ³ 0 î ïï ïî x + 1. si x < 0 si x > 0. ïìf ´( x ) < 0 si (-¥, 0 )  ïí ïï f ´( x ) > 0 si (0, + ¥) î. La función decrece en el intervalo (∞, 0) y crece en el intervalo (0, ∞). . a) f ´( x ) =. x ( x - 2)  f ´( x ) = 0 ( x - 1)2. f ´´( x ) =. b) f ´( x ) =. . ì ïEn x = 0  f ´´(0 ) = -2 < 0 ìï ï x = 0 máximo 2 ï í í 3 ïïEn x = 2  f ´´(2) = 2 > 0 ï ( x - 1) ï î x = 2 mínimo î. x (4 - x )  f ´( x ) = 0 (2 - x )2. f ´´( x ) =. cuando x  0 y x  2. . cuando x  0 y x  4. . ì ïEn x = 0  f ´´(0 ) = 1 > 0 ïì x = 0 mínimo 8 ï ï í í 3 ï ï =  = < x f En 4 ´´ 4 1 0 (2 - x ) ( ) ï ï î x = 2 máximo î. . 357 .

(22) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. c) f ´( x ) =. 8. ( x + 3)( x - 3)  f '( x ) = 0 cuando x = 3 . x2. ì 2 ï ï ïEn x = -3  f ´´(-3) = - < 0 ïì x = -3 máximo 18 ï 3 ï f ´´( x ) = 3  í ï í ï 2 x ï ï x = 3 mínimo îï En 3 ´´ 3 0 x =  f = > ( ) ï ï 3 ï î. d) f ´( x ) =. x 2 ( x 2 + 12)  f ´( x ) = 0 cuando x  0. ( x 2 + 4)2. f ´´( x ) = -. 8 x ( x 2 - 12)  En x = 0 f ´´(0) = 0 ( x 2 + 4)3. No podemos concluir mediante este método si es un máximo o un mínimo. e) f ´( x ) =. x ( x + 2)  f ´( x ) = 0 cuando x  0 y x  2. ( x + 1)2. f ´´( x ) =. ìEn x = 0  f ´´(0 ) = 2 > 0 ìï x = 0 mínimo ï 2 ï ï í í ïïEn x = -2  f ´´(-2) = -2 < 0 îïï x = 2 máximo ( x + 1)3 î. f) f ´( x ) = f ´´( x ) =. 8( x 2 - 1)  f ´( x ) = 0 cuando x = 1 . ( x 2 + 1)2. ï x = -1 mínimo 16 x ( x 2 - 3) ìïïEn x = -1  f ´´(-1) = 4 > 0 ìï í í ïïEn x = 1  f ´´(1) = -4 < 0 ï ( x 2 + 1)3 ï î x = 1 máximo î. . a) f ´( x ) = 3 > 0  f ´( x ) ¹ 0 "x Î   No existe máximo ni mínimo en esta función. 1 2. b) f ´( x ) = - < 0  f ´( x ) ¹ 0 " x Î   No existe máximo ni mínimo en esta función. c) f ´( x ) = 6 x 2 - 6 = 6( x 2 - 1)  f ´( x ) = 0 cuando x 2 - 1 = 0  x = 1 ìf ´´(-1) = - 12 < 0 ïìï x = - 1 máximo ï f ´´( x ) = 12 x  ïí í ïîïf ´´(1) = 12 > 0 ïîï x = 1 mínimo. . d) f ´( x ) = 4 x - 12 = 4( x - 3)  f ´( x ) = 0 cuando 4( x - 3) = 0  x = 3 f ´´( x ) = 4  f ´´(3) = 4 > 0  x = 3 mínimo . e) f ´( x ) = 8 x 3 - 8 x = 8 x ( x 2 - 1)  f ´( x ) = 0 cuando 8 x ( x 2 - 1) = 0  x = 0 y x = 1 ì ì f ´´(0) = -8 < 0 x = 0 máximo ï ï ï ï ï ï ï = >  f ´´( x ) = 8(3 x 2 - 1)  ï f ´´( 1) 16 0 í í x = -1 mínimo ï ï ï ï ïf ´´(1) = 16 > 0 ï x = 1 mínimo ï ï î î. 3 2. f) f ´( x ) = 4 x 3 - 6 x 2 = 2 x 2 (2 x - 3)  f ´( x ) = 0 para x = 0 y x = . ìïf ´´(0) = 0 ïïì x = 0 no se puede decidir con este método. ïï  ïí f ´´( x ) = 12 x ( x - 1)  í æ 3 ö 3 ï f ´´ççç ÷÷÷ = 9 > 0 ïï x = mínimo ï ïïî 2 ïîï è 2 ø. . 358 .

(23) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. Como el vértice es un máximo o un mínimo, tiene que cumplir la ecuación f(x)  0. Además, y por tanto en el vértice, al igualar ambas ecuaciones, se obtiene: 0 = 2 ax + b  x = -. b 2a. æ -b ÷ö b2 , con lo que ya se puede dar una expresión algebraica para el ÷÷ = c è 2a ø 4a. , y al sustituir, f ççç. vértice de una parábola: æ b b 2 ÷ö ç ÷ ççè- 2 a , c - 4 a ÷ø en función de los parámetros a, b y c. . 2ö æ b çç- , c - b ÷÷ = (-1, 8) y 5  a02  b0  c → c  5, por lo que: ÷ çè 2a 4a ø. . b ïü b = 2a üïï b = 2aüïï b = 2aüïï =- 1ïï 2a ïïý  ïý  ïý  2 ïý  b = 6ïïýü 2 2 (2 ) 4 b a a 2 ï -5 b = -8ïï = 3 ïï = 3 ïï a = 3ïþï -5 = -8ïïï 4a 4a 4a þïï þïï þïï 4a ïþ -. . Si la tangente a la curva es horizontal en el vértice, significa que la primera derivada (pendiente de la tangente en ese punto) es igual a cero. a) f ´( x ) = 0  6 x - 6 = 0  x = 1 f ´´( x ) = 6  f ´´(1) = 6 > 0  x = 1 mínimo . b) f ´( x ) = 0  -4 x + 6 = 0  x =. 3 2. æ3ö 3 f ´´( x ) = -4  f ´´ççç ÷÷÷ = -4 < 0  x = máximo è2ø 2. c) f ´( x ) = 0  2 x + 2 = 0  x = -1 f ´´( x ) = 2  f ´´(-1) = 2 > 0  x = -1 mínimo . d) f ´( x ) = 0  -2 x + 4 = 0  x = 2 . f ´´( x ) = -2  f ´´(2) = -2 < 0  x = 2 máximo. e) f ´( x ) = 0  6 x + 1 = 0  x =. -1 6. . æ -1ö -1 f ´´( x ) = 6  f ´´ççç ÷÷÷ = 6 > 0  x = mínimo è6ø 6. f) f ´( x ) = 0  x + 2 = 0  x = -2. . f ´´( x ) = 1  f ´´(-2) = 1 > 0  x = -2 mínimo . 359 .

(24) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. Al sustituir en la función, se tiene que 5 = 1 + a1 + b = 1 + a + b  4 = a + b , y puesto que se tiene mínimo en (1, 5), se sigue que f ´( x ) = 3 x 2 + a  f ´(1) = 0  0 = 3 + a  a = -3 , y se obtiene: 3. ü ìb = 7 a+b=4 ï ï ï ýï í a = -3ï ï ï ï a = -3 þ î. Es imposible que en x  0 la derivada de esa función tenga tangente horizontal, ya que f ´( x ) = 3 ax + 2bx + 1 y f ´(0)  1, con lo que se concluye que no existe una función con esas características. 2. Pasa por (2, 6)  6 = a(2) + b(2) + c  6 = 8 a + 2b + c 3. Pasa por (1, 2)  2 = a(1)3 + b(1) + c  2 = a + b + c Como además en (1, 2) tiene un mínimo, se obliga a que: f ´( x ) = 3 ax 2 + b  f ´(1) = 3 a + b = 0 . Con lo que se tienen tres ecuaciones y tres incógnitas: ü 8 a + 2b + c = 6 ü ìa = 1 8 a + 2 b + c = 6ï ï ï ïï ï 2a + c = 6ü ïï ïï ï ï 8 a - 6 a + c = 6ü ï 3 a + b + c = 2ýï  a + b + c = 2 ýï  ý ý  íïb = -3  f ( x ) = x - 3 x + 4 ï ï ï ï ï + = a - 3 a + c = 2ï 2 a c 2 ï ï ï ï þ þ ïc = 4 3 a + b = 0þ b = -3 aï ïï ï ï þ î. Se comprueba que x  1 es un mínimo, ya que f ´´( x ) = 6 x  f ´´(1) = 6 > 0 . . Como su gráfica pasa por ( 4, 0) y ( 3, 0), se obtienen las ecuaciones: ì ï 0 = a(-4)3 + b(- 4)2 + c (- 4) + d  0 = -64 a + 16 b - 4c + d ï í 3 2 ï ï î0 = a(-3) + b(- 3) + c (- 3) + d  0 = -27 a + 9 b - 3c + d. . Además, se sabe que su derivada se anula en los puntos x  4 y x = -. 10 , con lo que se obtienen las ecuaciones: 3. ì ï 0 = 3 a(-4)2 + 2b(-4) + c  0 = 48 a - 8b + c ï ï ï 2 í ïï0 = 3 a æçç- 10 ö÷÷ + 2b æçç- 10 ö÷÷ + c  0 = 100 a - 20 b + 3c ÷ ÷ ç ç ï è 3ø è 3ø ï î ïìï-64 a + 16b - 4c + d = 0 ïï -27a + 9b - 3c + d = 0 Se obtienen cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: ïí ïï 48 a - 8b + c = 0 ïï 100 a - 20 b + 3c = 0 ïîï. El sistema es compatible indeterminado, por tanto, no existe una única solución. Dejando d como variable libre: c=. 360 . 5d 11d d ,b= ,a= 6 48 48. .

(25) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. ö÷ ì 13 ï ïü é 13 - 329 ùú éê 13 + 329 Dom f = í x Î  : 2 x 3 - x 2 - 5 x > 0ý = êê , 0ú È ê , + ¥÷÷ ï ï ê ÷ø 2 8 8 ï ï î þ úû ëê ë f ´( x ) =. 6 x 2 - 13 x - 5 1 5  f ´( x ) = 0 cuando 6 x 2 - 13 x - 5 = 0  x = - y x = . 3 2 13 2 3 2 x - x - 5x 2. 5 2. De los dos posibles candidatos a punto crítico se descarta x = por no encontrarse en el dominio de la función. 1 3. Se calcula la segunda derivada para comprobar si x = - es un máximo o un mínimo: f ´´( x ) =. æ 1ö 12 x 4 - 52 x 3 - 60 x 2 - 25 3 1  f ´´ççç- ÷÷÷ = -51 < 0  x = - máximo è 3ø 94 3 2( x (4 x 2 - 13 x - 10))3 / 2 æ13 - 329 æ 1 ö 1÷ö , - ÷÷÷ , y decrece en el intervalo ççç- , 0÷÷÷ . è 3 ø 8 3ø. La función crece en el intervalo ççç è. Los puntos de corte son el (0, b) y el (x0, 0), donde x0 será una raíz del polinomio x + ax + b . 3. 2. En estos puntos, la derivada se anula; en el caso de (0, b) es un mínimo, con lo que la segunda derivada en él es positiva; en el caso (x0, 0) es un máximo, con lo que la segunda derivada en él es negativa: ìïf ´(0 ) = 3 ⋅ 0 2 + 2a ⋅ 0 = 0 ïï ïì x = 0 ïìïf ´( x ) = 3 x + 2ax ïïïf ´´(0 ) = 6 ⋅ 0 + 2a = 2a > 0 ïï 0 í í í 2 2 ïïïf ´( x 0 ) = 3 x 0 + 2ax 0 = 0 ïïï x 0 = - a îïïf ´´( x ) = 6 x + 2a 3 î ïïïîf ´´( x 0 ) = 6 x 0 + 2a < 0 2. Se rechaza x0  0 porque, en ese caso, f ´´( x 0 ) = 6 x 0 + 2a = 2a < 0 , que sería contradictorio con f ´´(0 ) = 2a > 0 . æ è. 3. ö 3ø. æ è. 2. ö 3ø. 3. 3. 3. 27. 27. 27. Por tanto, ççç- 2a ÷÷÷ + a ççç- 2 a ÷÷÷ + b = 0  -8 a + 12 a + b = 0  4 a + b = 0 . Por último, como se cumple la ecuación a + b = -1 , se resuelve el sistema: ìa = -3 y b = 4  Se rechaza por ser 2a > 0. ïü 4 a3 ï ï + b = 0ïï 3 ý  4 a - 27a + 27 = 0  ïí 27 ïï ïïa = 3 y b = -1 a + b = 1 ïþï ïï 2 2 î. Con lo que la función buscada será: f ( x) = x3 +. 3 2 1 x - 2 2. . . . . 361 .

(26) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. El máximo tendrá como coordenadas x = -. 8. b b = -6 y g (-6) = 238 y el mínimo x = - = 2 y h (2) = -90 . 2a 2 a . Por tanto: ìïf ´(-6) = 108 a - 12b + c = 0 ïï ìf ´( x ) = 3 a x 2 + 2bx + c ïïf ´´(-6) = -36 a + 2b < 0 ìï108 a - 12b + c = 0 ï ïí ï í  ïí ï ï ïïf ´(2) = 12 a + 4 b + c = 0 îïï12a + 4 b + c = 0 îïf ´´( x ) = 6 ax + 2b ïïf ´´(2) = 12 a + 2b > 0 ïî ì-216 a + 36 b - 6c + d = 238 ï ï ï î8 a + 4 b + 2c + d = -90. Por otro lado, también se tiene que: ïí. Por tanto, se tiene un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, y al resolverlo se obtienen los valores de los parámetros. üï ïï 12a + 4b + c = 0 ïï -155 41 123 369 ,b= ,c =,d= ý a= -216 a + 36b - 6c + d = 238 ïï 32 16 8 4 ïï 8 a + 4b + 2c + d = -90ïïþ 108 a - 12b + c = 0. Por tanto, la función buscada será: f ( x ) = 32 x 3 +. 123 2 369 155 x x 16 8 4. . . . . 362 .

(27) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. . . . . . . 363 .

(28) Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones. 8. a) x  a es un máximo. b)  x  a es un punto crítico, pero no se sabe si es máximo o mínimo. c) x  a es un punto crítico y como f ( x ) £ 3 siempre y f(a)  3 es un máximo. d)  x  a es un mínimo. e) No se puede decidir si hay máximo o mínimo en x  a. f) x  a es un máximo, porque f ´(a)  0, crece en x  a y decrece en x  a. . a) Decrece en (-¥, - 1) È (0, 1) y crece en (-1, 0) È (1, + ¥) . Tiene máximo en x  0, cuyo valor es 1. Tiene dos mínimos, en x  1 y x  1, ambos con valor 2. b) Decrece en (-¥, 0 ) È (2, + ¥) y crece en (0, 2) . Tiene un mínimo en x  0, cuyo valor es 3, y un máximo en x  2, cuyo valor es 1. c) Crece en (-¥, - 1) È (-1, 1) y decrece en (1, 3) È (3, + ¥) . Tiene un máximo en x  1, cuyo valor es, aproximadamente, 0,25. . . 364 . .