1 Operaciones Binarias

(1)

1 Operaciones Binarias

Definición

Dado un conjunto A , A ≠ ∅ , decimos que ∗ es una operación binaria en A si, y sólo si, : A A∗ × →A es una función.

Investigar si los siguientes son ejemplos de operaciones binarias

1) A={0,1,2},

0 1 2 0 0 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2

∗

2) ∗:ℚ | a b∗ =a + −b ab

Ejercicio: ¿ : |

2 a b

a b +

∗ ℤ ∗ = es una operación binaria?

Propiedades de las operaciones

Consideramos un conjunto A , A ≠ ∅ , y ∗ una operación binaria en A .

Asociativa

∗ es asociativa ⇔ ∀x, ∀y, ∀z x, ∈A y, ∈A z, ∈A x, ( ∗y)∗ =z x ∗(y∗z)

Ejercicio: Investigar en los ejemplos anteriores 1) y 2) si se cumple esta propiedad.

Existencia de neutro

Existe neutro de ∗ ⇔ ∃e e, ∈A,∀x x, ∈A x,( ∗ = ∗e e x =x)

(2)

Existencia de simétrico

Para cada elemento de A existe simétrico ⇔ ∀x x, ∈A,∃x', 'x ∈A, (^x∗^x'=^x'∗^x =^e) Nota: cuando la operación es adición el simétrico se denomina opuesto y si la operación es multiplicación se denomina inverso.

Conmutativa

∗ es conmutativa ⇔ ∀x, ∀y x, ∈A y, ∈A x, ( ∗ = ∗y y x)

Cancelativa

∗ cumple la propiedad cancelativa ⇔ ∀a, ∀b, ∀c a, ∈A b, ∈A c, ∈A a b, ( ∗ = ∗ ⇒ =a c b c)

Teoremas

I) Dado A , A ≠ ∅ , y ∗ una operación binaria en A . Si existe neutro de ∗ , entonces es único.

II) Dado A , A ≠ ∅ , y ∗ una operación binaria asociativa en A . Si existe simétrico de a , a ∈A, entonces es único.

2 Grupo

Definición

Dado el conjunto G , G ≠ ∅ :

es una operación binaria en es asociativa

( , ) es un grupo

Existe neutro de

Para cada elemento de existe su simétrico G

G

∗

∗

∗ ⇔ 

 ∗



(3)

Ejercicio: Investigar si los ejemplos 1) y 2) del comienzo constituyen una estructura de grupo.

Propiedades que se cumplen en una estructura de grupo

1) El neutro y el simétrico son únicos 2) ∀a a, ∈G a, ( ')'=a

3) ∗ cumple con la propiedad cancelativa

4) Las ecuaciones b x∗ =a y x b∗ =a tienen una única solución 5) ∀a, ∀b a, ∈G b, ∈G, (

(

a b∗ )'=( 'b ∗a')

)

6) ∀a_i, ∀n a, _i ∈G n, ∈ℕ, (a₀ ∗a₁ ∗...∗a_n)'=a_n'∗a_n₋₁'...∗a₀'

Teorema

(H)

es operación binaria en es asociativa

( , ) cumple:

, , , ,

, , ', ' , '

G

G e e G x x G x e x

x x G x x G x x e

∗

∗

∗ 

∃ ∈ ∀ ∈ ∗ =

∀ ∈ ∃ ∈ ∗ =



⇒ (T) (p∗p = p ⇔ p =e)

Teorema

es operación binaria en es asociativa

( , ) es un grupo ( , ) cumple:

, , , ,

, , ', ' , '

G

G G

e e G x x G x e x x x G x x G x x e

∗

∗

∗ ⇔ ∗ 

∃ ∈ ∀ ∈ ∗ =

∀ ∈ ∃ ∈ ∗ =



Grupo conmutativo

Definición

( , )G ∗ es un grupo conmutativo ⇔ ( , ) es grupo es conmutativa

G ∗



∗

(4)

3 Anillo

Definición

( , ) es un grupo conmutativo es una operación binaria en ( , , ) es un anillo

es asociativa

es distributiva respecto de A

A A

 ∗

•

∗ • ⇔ 

•

• ∗



Nota: De ahora en más, para simplificar la notación, notaremos en general cualquier anillo como ( , , )A+ ⋅ . Por tanto, el simétrico del elemento a con respecto a la primera operación lo notaremos a− , y al simétrico de a con respecto a la segunda operación lo notaremos a⁻¹.

Teorema

Si ( , , )A+ ⋅ es un anillo, se cumplen las siguientes propiedades:

1. a⋅ = ⋅ =0 0 a 0, ∀a a, ∈A (siendo 0 el neutro de +) 2. ((− ⋅ = ⋅ − = − ⋅a) b a ( )b (a b), ∀a, ∀b a, ∈A b, ∈A 3. (− ⋅ − = ⋅a) ( )b a b, ∀a, ∀b a, ∈A b, ∈A

(Definición: a− =b a+ −( ),b ∀a, ∀b a, ∈A b, ∈A

4. a⋅(b−c)= ⋅ − ⋅a b a c ∧ (a−b c)⋅ = ⋅ − ⋅a c b c

, , , , ,

a b c a A b A c A

∀ ∀ ∀ ∈ ∈ ∈

Anillo sin divisores de cero

Definición

( , , )A+ ⋅ es un anillo sin divisores de cero si, y sólo si, el producto de elementos no nulos es no nulo.

(5)

O bien: El anillo ( , , )A+ ⋅ no tiene divisores de cero

( )

, , , , 0 0 0

x y x A y A x y x y

⇔ ∀ ∀ ∈ ∈ ⋅ = ⇒ = ∨ =

Esta última se denomina en general propiedad Hankeliana.

O sea que el anillo ( , , )A + ⋅ tiene divisores de cero

( )

, , , , 0 0 0

x y x A y A x y x y

⇔ ∃ ∃ ∈ ∈ ≠ ∧ ≠ ∧ ⋅ =

Propiedad cancelativa de la multiplicación 0 es cancelativa

0

a b a c a b c

b a c a a b c

 ⋅ = ⋅ ∧ ≠ ⇒ =



⋅ ⇔ ∨

 ⋅ = ⋅ ∧ ≠ ⇒ =



Teorema

Un anillo no tiene divisores de cero si, y sólo si, se cumple la propiedad cancelativa de la multiplicación.

Demostración del directo

0 ( ) 0 0

( 0)

x z y z x z y z x y z x y x y

z

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − = ⇒ =

≠

Demostración del recíproco

Si x y⋅ = , supondremos que 0 y ≠ y demostraremos que 0 x = : 0

, , 0 ( )

0 0 z z A z y z y z y z y x y z y z x y

z z x x

y

∀ ∈ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ = + ⇒ =

≠ 

Anillo conmutativo

( , .) es un anillo ( , , ) es un anillo conmutativo

es conmutativa A

A

 + ⋅

+ ⋅ ⇔ 

⋅

(6)

Anillo conmutativo con unidad

( , .) es un anillo conmutativo ( , , ) es un anillo conmutativo con unidad

tiene elemento neutro A

A

 + ⋅

+ ⋅ ⇔ 

⋅

4 Dominio de Integridad

Definición

Todo anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero se denomina dominio de integridad.

Ejercicio

Investigar si ( , , )P + × es un dominio de integridad siendo ^P ⁼

{

^{x x}^| ^∈^ℤ^,^x ⁼^{2 ,}^{h h}^∈^ℤ

}

5 Cuerpo

Definición

( , , )K + ⋅ es un cuerpo si, y sólo si, ( , , )K + ⋅ es un anillo conmutativo con unidad tal que todos los elementos de K (excepto el neutro de la primera operación) tienen inverso.

Teoremas

• Los cuerpos no admiten divisores de cero

• En todo cuerpo vale la cancelativa de la multiplicación para elementos no nulos.

• Si b ≠0, la ecuación b x⋅ =a admite solución única en K .

• −(x⁻¹)= −( x) ,⁻¹ ∀x x, ∈K x, ≠ . 0

• Sean x y x, , ', 'y elementos de un cuerpo con y e 'y no nulos:

(7)

6 Ejercicios

1) Completar las siguientes tablas sabiendo que corresponden a operaciones binarias con neutro y conmutativas.

a b c

a c

b b

c b

∗ a b c d

a a b d

b c d

c c a

d a

•

¿Cuántas soluciones hay?

2) La tabla define la operación ∗ en A={0,1,2, 3, 4,5}. 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1

∗ a) ¿Es conmutativa?

b) ¿Existe neutro?

c) ¿Existe simétrico?

3) En el conjunto ℚ se define ∗ tal que

2 a b

a b +

∗ = a) Investigar si se trata de una operación.

b) Estudiar si es asociativa y conmutativa.

4) En ℕ se definen las operaciones ∗ y • tales que a b∗ =a+2b y a b• =2ab. a) ¿Son conmutativas?

b) ¿Son asociativas?

c) ¿Es distributiva una operación con relación a la otra?

5) Estudiar la existencia de neutro de ∗ en los siguientes casos:

a) En ℚ , con

2 a b∗ =ab

b) En ℤ , con a b∗ =a² + b c) En ℕ , con a b∗ =2a+ab d) En ℕ , con a b∗ = a

(8)

6) Dado el conjunto ℤ y la operación |• a b• =a+(b+1), probar que ( , )ℤ • es un grupo conmutativo.

7) En el conjunto de los puntos de un plano se consideran la transformación idéntica ( )I y la simetría axial de eje e ( )S . Sea C ={I S, }. Se considera la composición de funciones ( ) restringida al conjunto C . Crear la tabla correspondiente a la operación y probar que ( , )C es un grupo conmutativo.

8) Demostrar que la estructura formada por el conjunto de todas las funciones biyectivas de A en A y la composición de funciones es un grupo.

9) Sobre el conjunto ℚ^∗×ℚ se define la operación ∗| ( , ) ( , )a b ∗ x y =( ,ax bx +y). Demostrar que (ℚ^∗×ℚ, )∗ es un grupo.

10) Dado el conjunto ℤ×ℤ se definen las operaciones: ( , ) ( , )a b ∗ c d =(a +c b, +d) y ( , ) ( , )a b • c d =( , 0)ac . Investigar si es un anillo.

11) Se considera el conjunto A={0,1} y las operaciones dadas por las tablas.

0 1

0 0 1

1 1 0

+

0 1 0 0 0 1 0 1

×

Comprobar que ( , , )A + × es un cuerpo.

12) Sabiendo que ( , )A∗ es un grupo conmutativo siendo A={a b c d, , , } y a b∗ = , c a∗ =c c y b d∗ =a:

a) Realizar la tabla de la operación.

b) Resolver:

i) a∗(x ∗b)=d

ii)

[

b∗(x ∗d) (

]

∗ x ∗a)=c

13) Sea ( , )A∗ un grupo conmutativo. Probar que para todo u x y z, , , pertenecientes a A se verifica (u∗x) (∗ y∗z)=(u∗(x ∗y))∗ =z u∗(x ∗(y∗z))=(x ∗z) (∗ y∗u)