EL PROGRAMA ESTADÍSTICO R Y UNA APLICACIÓN EN ECONOMETRÍA
TESIS PROFESIONAL
Como requisito parcial para obtener el título de:
LICENCIADO EN ESTADÍSTICA
Presenta:
JESÚS GERMÁN GALDÁMEZ OVANDO
Chapingo, Texcoco, Estado de México.
Abril de 2013
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO DIVISIÓN DE CIENCIAS FORESTALES
y
La Presente tesis profesional titulada “El programa estadístico R y una aplicación en econometría”, fue realizada por Jesús Germán Galdámez Ovando, bajo la dirección del Dr. José Artemio Cadena Meneses, ha sido revisada y aprobada por el Honorable Jurado Examinador siendo aceptada como requisito parcial para obtener el título de:
LICENCIADO EN ESTADÍSTICA
DEDICATORIA
A mis padres Lorenzo y Josefa por su valioso apoyo incondicional que me han brindado a lo largo de mi vida, por darme impulso para concluir mis estudios profesionales.
A la memoria de mis abuelos: Julio Galdámez (†) y Reyna Pérez (†), grandes personas que me alentaron y me enseñaron a ser un hombre de buenos principios, a nunca desistir ante los problemas.
A mis hermanos y hermanas: José Martin, Edilberto, Anita, Marisol y Paty por el cariño y apoyo que siempre me han brindado, porque juntos seguimos forjado una familia unida.
A una gran persona que por largos 6 años me ha acompañado en momentos de
triunfos y de fracasos, por el ánimo que me trasmite para que este trabajo sea
posible, a esa mujer que aprecio por su carisma, Edith.
AGRADECIMIENTOS
A la Universidad Autónoma Chapingo (UACH), por haberme brindado el apoyo por 7 años y concluir mis estudios
A la División de Ciencias Forestales en el Departamento de Estadística, Matemática y Computo por darme la oportunidad de concluir la Carrera de Licenciado en Estadística.
A los profesores de la División de Ciencias Forestales que gracias a su formación y empeño me enseñaron grandes valores y ética profesional.
Al jurado examinador:
Dr. José Artemio Cadena Meneses Dr. Gerardo Terrazas González LIC. Margarito Soriano Montero M. C. Alejandro Corona Ambriz M.C. Ángel Leyva Ovalle
Por las observaciones hechas para concluir esta Tesis Profesional.
A mi familia que siempre me ha brindado su apoyo en cada momento de mi vida.
A mis amigos y compañeros de Licenciatura, que junto hemos compartimos
grandes momentos.
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICES DE CUADROS ... iv
ÍNDICES DE FIGURAS ... v
RESUMEN ... vii
SUMMARY ... viii
I. INTRODUCCIÓN ... 1
1.1. OBJETIVOS ... 2
1.1.1. Objetivos generales ... 2
1.1.2. Objetivos particulares ... 2
II. ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL ... 3
2.1 Modelos Econométricos. ... 3
2.1.1. Función de Producción (Martínez, 1974). ... 3
2.1.2. Función de consumo. ... 4
2.1.3. Función de demanda. ... 5
2.1.4. Modelos de producción para el análisis Econométrico. ... 6
2.2. Modelos de Regresión ... 7
2.2.1. Termino Lineal ... 7
2.2.2. Función de regresión Lineal ... 9
2.2.2.1. Lineal ... 9
2.2.2.2. Logarítmica ... 13
2.2.2.3. Exponencial (Cantatore, 1980) ... 14
2.2.3. Función de regresión lineal ... 15
2.3.1. Naturaleza del Análisis de Regresión ... 17
2.3.2. Notación matemática ... 18
2.3.3. Estimación de los parámetros por el método matricial ... 18
2.4. Estimación de los coeficientes de Regresión por el Método de Mínimos
Cuadrados. ... 19
2.4.1. Estimadores de Mínimos cuadrados ... 22
2.4.2. Propiedades de los Estimadores de Mínimo Cuadrados ... 23
2.4.3. Supuestos del Método del Mínimos Cuadrados ... 24
2.4.4. Propiedad de varianza mínima de los Estimadores de Mínimos Cuadrados ... 26
2.4.5. Coeficiente de determinación r... 26
2.4.6. Medidas de Dependencia Lineal. ... 27
2.4.7. El problema de Estimación ... 29
2.5. Análisis de los Residuales ... 30
2.5.1. Perturbación estocástica o error ... 30
2.5.2. Supuestos de normalidad de Mínimos Cuadrados. ... 31
2.5.3. Supuesto de Normalidad: Modelo Clásico de regresión Lineal Normal. 32 2.6. Multicolinealidad ... 35
2.6.1. Factor de inflación de varianza... 35
2.6.2. Análisis de multicolinealidad con eigenvalores ... 36
2.7. Autocorrelación ... 37
2.8. Heteroscedasticidad ... 38
2.8.1. Prueba de Breusch- Pagan ... 39
2.8.2. Prueba de Heteroscedasticidad de White. ... 40
III. ANÁLISIS DE SERIE DE TIEMPO ... 41
3.1. Introducción ... 41
3.2. Características de las series de tiempo ... 42
3.2.1. Procesos estocásticos ... 42
3.2.2. Función de Autocovarianza y Autocorrelaciones ... 43
3.2.3. Estimación de la media, autocovarianza y las autocorrelaciones ... 46
3.2.4. Operador retardo y diferenciación de una serie ... 48
3.2.5. Procesos de Ruido Blanco ... 53
3.2.6. Caminata aleatoria ... 54
3.2.7. Ejemplos de Series de Tiempo ... 56
IV. Modelos clásicos de series de tiempo ... 59
4.1.1. Modelos autoregresivos AR(p) ... 59
4.1.2. Modelos de promedios móviles ... 71
4.1.3. Modelos mixtos (ARMA) ... 78
4.2. Predicción de procesos estacionarios ... 83
4.3. Estimación ... 86
4.3.1. Estimación Preliminar ... 86
4.3.2. Máxima Verosimilitud ... 97
4.4. Proceso no Estacionario: ARIMA ... 100
4.5. Análisis de residuales de los modelos: Bondad de ajuste ... 113
4.6. Modelos SARIMA ... 117
IV. METODOLOGÍAS PARA UN ANÁLISIS ECONOMÉTRICO ... 120
V. RESULTADOS Y DISCUSIÓN ... 150
VI. CONCLUSIONES ... 151
Objetivos generales ... 151
Objetivos particulares ... 151
VII. RECOMENDACIONES ... 152
VIII. BIBLIOGRAFÍA ... 152
IX. ANEXOS ... 158
ÍNDICES DE CUADROS
Cuadro 2. 1 Estimación de la tasa promedio de producción a través del tiempo ... 12
Cuadro 3. 1 Valores de la función de autocorrelación para h=20 ... 47
Cuadro 3. 2 Resumen teórica de ACF y PACF de un proceso estacionario ... 80
Cuadro 3. 3 Parámetros estimados con el algoritmo de Yule-Walker ... 90
Cuadro 3. 4 Valores de la covarianza de la serie diferenciada “LakeHuron” para h=10 ... 90
Cuadro 3. 5 Valores de la covarianza de la serie diferenciada “Dow Jones” para h=10 ... 93
Cuadro 3. 6 El mejor modelo ARMA(1,1) para los datos de la tasa de desempleo con la función auto.arima()... 100
Cuadro 3. 7 Parámetros estimados con el modelo ARIMA(1,1,0) de los datos "LakeHuron" ... 104
Cuadro 4. 1 Matriz de correlación simple. ... 120
Cuadro 4. 2 Estimación de los parámetros del modelo 1. ... 121
Cuadro 4. 3 Estimación de los parámetros del modelo 2. ... 121
Cuadro 4. 4 Estimación de los parámetros del modelo 3. ... 122
Cuadro 4. 5 Estimación de los parámetros del modelo 4. ... 122
Cuadro 4. 6 Matriz de correlación de las variables de estudios. ... 123
Cuadro 4. 7 Matriz de correlación parcial inversa. ... 123
Cuadro 4. 8 Coeficientes de Regresión múltiple. ... 123
Cuadro 4. 9 Estimación de los parámetros del modelo. ... 124
Cuadro 4. 10 Análisis de Varianza (ANOVA) para el modelo de producción. ... 125
Cuadro 4. 11 Prueba de Normalidad con el estadístico Shapiro-Wilks. ... 126
Cuadro 4. 12 Matriz de correlación y Factor de Inflación de la Varianza. ... 128
Cuadro 4. 14 Cálculo de los índices de condición ... 129
Cuadro 4. 13 Análisis de multicolinealidad a partir de eigen valor y eigen vector. ... 129
Cuadro 4. 15 Prueba de Autocorrelación con el estadístico de Durbin-watson. ... 130
Cuadro 4. 16 Prueba de homoscedasticidad con el estadístico Breusch-Pagan. ... 130
Cuadro 4. 17 Corrección de Heteroscedasticidad mediante método de Error Estándar Robusto de White, EViews 7. ... 131
Cuadro 4. 18 El mejor modelo para los datos Lake Huron con el valor mínimo del AIC... 133
Cuadro 4. 19 Prueba de Normalidad y de Autocorrelación de los residuales ... 133
Cuadro 4. 20 Estadísticos para evaluar la capacidad predictiva de un proceso ARIMA(p,d,q) ... 135
Cuadro 4. 21 Valores de las autocorrelaciones para los datos diferenciados a distancia 1 ... 136
Cuadro 4. 22 Análisis de raíz unitaria mediante el método de Dickey-Fuller y Phillips-Perron ... 137
Cuadro 4. 23 Identificación del orden del modelo mediante la Función de Autocorrelación
Extendida ... 139
Cuadro 4. 24 Resultado del ajuste automático con la función auto.arima() ... 139
Cuadro 4. 25 Evaluación de los modelos ARIMA (0,1,1) de acuerdo al Error Cuadrado Medio ... 140
Cuadro 4. 26 Pronóstico de la producción de maíz en México a partir del 2010 a 2019 ... 140
Cuadro 4. 27 Prueba de normalidad y autocorrelación a los residuos delo modelo ARIMA(0,1,1). ... 142
Cuadro 4. 28 Valores de las Aautocorrelaciones muestral y Parcial ... 146
Cuadro 4. 29 Resultados de modelos SARIMA obtenido a partir de ensayados ... 147
Cuadro 4. 30 Resultado obtenido a partir de un modelo ... 147
Cuadro 4. 31 Pronósticos e intervalos para el consumo de electricidad en logatirmo abr/2012- dic/2013 ... 149
ÍNDICES DE FIGURAS Figura 2. 1 Gráfico de funciones exponencial ... 8
Figura 2. 2 Estimación de la Producción de maíz (PMG) con el método de MCO con las variables CA y PT ... 10
Figura 2. 3 Estimación de la Producción de maíz (PMG) con el método de MCO con las variables REN, IMP. ... 11
Figura 2. 4 Producción promedio anual de maíz en grano. ... 13
Figura 2. 5 Análisis de Regresión con el método de MCO ... 16
Figura 2. 6 Gráfico de los residuos por el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios ... 20
Figura 2. 7 Prueba de Normalidad para los residuos de los modelos 1 y 2. ... 33
Figura 2. 8 Prueba de Normalidad para los residuos de los modelos 3, 4 y 5. ... 34
Figura 3. 1 Función de autocorrelación muestral de los datos de Viscosidad ... 47
Figura 3. 2 Primera diferenciación de los datos ima22.s ... 49
Figura 3. 3 Segunda diferenciación a los datos ima22.s ... 50
Figura 3. 4 Transformación de los datos DEATHS mediante el logaritmo ... 51
Figura 3. 5 Diferenciación a distancia 12 a los datos log(DEATHS) para eliminar el componente estacional. ... 52
Figura 3. 6 Diferenciación a distancia 1 a los datos para eliminar el componente de tendencia. ... 53
Figura 3. 7 Simulación de una Caminata Aleatoria y con la línea de tendencia sobre el tiempo ... 56
Figura 3. 8 Serie de tiempo sobre la lluvia anual, Ángeles California. ... 56
Figura 3. 9 Series de tiempo de la venta de automóviles en México mensual. ... 57
Figura 3. 10 Serie de tiempo sobre el nivel del lago Huron. ... 58
Figura 3. 11 Serie de tiempo sobre la producción de maíz en México (1960-2009). ... 58
Figura 3. 12 Serie de datos con comportamiento cíclico del consumo doméstico de electricidad .. 59
Figura 3. 13 Función de Autocorrelación de un proceso con una ... 63
Figura 3. 14 Función de Auto-Correlación de un proceso con una ... 64
Figura 3. 15 Región de estacionariedad del modelo AR(2) ... 67
Figura 3. 16 Función de Autocorrelación para diferentes valores de ... 69
Figura 3. 17 Función de Autocorrelación Parcial para diferentes valores de Phi. ... 71
Figura 3. 18 Función de autocorrelación de un proceso MA(1) para diferentes valores de ... 75
Figura 3. 19 Función de autocorrelación Parcial de un proceso MA(1) para distintos valores de ... 76
Figura 3. 20 Función de autocorrelación de un proceso MA(2) para distintos valores de y . 78
Figura 3. 21 Datos de la Tasa de desempleo a partir de 1909 a 1988 ... 82
Figura 3. 22 Función de Autocorrelación y Autocorrelación Parcial para datos de tasa de de desempleo . ... 83
Figura 3. 23 Función de autocorrelación Muestral y Parcial para los datos "LakeHuron". ... 88
Figura 3. 24 Primera diferenciación de los datos "LakeHuron" ... 89
Figura 3. 25 Función de autocorrelación a los datos diferenciados ... 89
Figura 3. 26 Primera diferenciación a los datos del Lago Huron ... 103
Figura 3. 27 Datos de producción de maíz en México diferenciado a distancia uno para un modelo ARIMA(0,1,1). ... 104
Figura 3. 28 Diagnostico del modelo mediante gráficos de los residuales. ... 115
Figura 4. 1 Comparación de los valores reales con los valores ajustados por el método de MCO 126 Figura 4. 2 Prueba de normalidad mediante histogramas y Q-Q Plot ... 127
Figura 4. 3 Modelo ajustado con la corrección de heteroscedasticidad con la prueba de White. . 132
Figura 4. 4 Análisis de los residuos del modelo ARIMA mediante gráficos ... 134
Figura 4. 5 Análisis de estacionariedad de los datos a través de las ACF. ... 136
Figura 4. 6 Comportamiento estacionario de los datos de producción de maíz ... 138
Figura 4. 7 Pronóstico de la producción de maíz en México (2010-2015) ... 141
Figura 4. 8 Prueba de Normalidad para los residuos del modelo ARIMA(0,1,1) mediante gráficos ... 143
Figura 4. 9 Serie transformada mediante logaritmo para homogenizar la varianza de los ciclos .. 144
Figura 4. 10 Serie diferenciada a distancia 12 para eliminar el componente de estacionalidad, ... 145
Figura 4. 11 Serie diferenciada a distancia 12 y 1 para eliminar el componente de estacionalidad y de tendencia ... 145
Figura 4. 12 Correlograma de las ACF y PACF para la serie diferenciada ... 146
Figura 4. 13 Prueba de autocorrelación de los residuales mediante los correlogramas ... 148
Figura 4. 14 Gráfico del modelo ajustado y pronóstico para abr/2012-dic/2013... 149
RESUMEN
En este trabajo de investigación bibliográfica se presentan los temas para un análisis de econométrico, en donde se enuncian los principios de un análisis de regresión lineal y series de tiempo univariado. En el primer apartado se realiza un Análisis Exploratorio de Datos (AED), que es un conjunto de técnicas estadísticas para conocer las variables que mejor puedan estimar la variable de interés, en este caso el mejor modelo que se ajuste a los datos de producción de maíz en México. Estas técnicas (linealidad, normalidad, multicolinealidad, homoscedasticidad) están basadas en los supuestos de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). El análisis de las variables económicas comienza con la especificación del modelo en forma matemática, estimar los parámetros del modelo y finalmente realizar pruebas del modelo; en un intento de juzgar si constituye una descripción suficiente real de la economía sometida a estudio o si hay que estimar especificaciones diferentes (Johnston, 1987).
Los datos que inciden en la producción de maíz para el análisis econométrico son:
Superficie sembrada, Superficie Cosechada, Producción, Consumo aparente, Importaciones en miles de toneladas, Valor de la Producción en miles de pesos; además del Rendimiento, Precio Medio Rural y Población total. Estos datos se recopilaron en diferentes fuentes: Instituto de Nacional de Estadística y Geografía (INEGI), Servicio de Información Agroalimentaria y Pesquera (SIAP), Sistema de Información Agroalimentaria de Consulta (SIACON-SIAP), Sistema de Información Estadística de la Organización de la Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación (FAOSTAT), Sistema Nacional de Información e Integración de Mercados (SNIIM), ver Anexo 9.1.
En el apartado de análisis de series de tiempo univariado se enuncia los principios para modelar datos históricos, en donde se hace un análisis individual para cada variable y de esta manera conocer la transformación algebraica adecuada para que una serie sea estacionaria. Esta es la condición que debe de cumplir los datos para hacer un mejor pronóstico, para saber si la serie es estacionaria se recurre a pruebas estadísticas más comunes como podría ser mediante las gráficas, correlogramas a partir de los coeficientes de autocorrelación muestral y Parcial (ACF, PACF) y prueba de raíz unitaria (Dickey-Fuller). Después de estas pruebas se decide cuál es el mejor modelo Autorregresivo Integrado de Promedio Móvil (ARIMA) para el pronóstico a años futuros.
Para llevar a cabo un mejor pronóstico de acuerdo al mejor modelo, se hace uso
del software Estadístico R versión 2.13.0 y otros programas auxiliar (SAS, SPSS,
EViews 7). R es un Software para el análisis estadístico y gráfico, orientado al
análisis de los mercados financieros, además se distribuye bajo la licencia GNU GPL (Licencia Pública General). El Software Estadístico R está disponible para los sistemas operativos Windows, Macintosh, Unix y GNU/Linux en http://www.r- project.org y con una amplia colección de librerías que se encuentra en CRAN (Comprehensive R Archive Network); como los que se usan en este trabajo agricolae, car, lmtest, TSA, tseries, forecast, urca y otros (Verzani, 2005).
Palabras Claves: Regresión lineal, Mínimos Cuadrados Ordinarios, series de tiempo, pronósticos, raíz unitaria, CRAN.
SUMMARY
In this research literature are the topics for econometric analysis, where sets out the principles of linear regression analysis and univariate time series. In the first section we Exploratory Data Analysis (EDA), which is a set of statistical techniques to identify variables that can best estimate the variable of interest, in this case the best model that fits the production of maize in Mexico. These techniques (linearity, normality, multicollinearity, homoscedasticity) are based on assumptions of Ordinary Least Squares (OLS). The analysis of economic variables begins with the specification of the model in mathematical form, estimate model parameters and finally testing the model, in an attempt to judge whether it is a sufficient description of the real economy under study or whether to estimate different specifications.
The data that affect the production of corn for the econometric analysis are: Area planted, area harvested, production, apparent consumption, imports thousands of tons, Value of Production in thousands of pesos in addition to performance, price and Rural Population total. These data were collected from several sources:
National Institute of Statistics and Geography (INEGI), Information Service Agrifood and Fisheries (SIAP), Agri-Food Information System Consultation (SIACON-SIAP), Statistical Information System of the Organization of United Nations Food and Agriculture Organization (FAOSTAT), National Information System and Market Integration (SNIIM), see Annex 6.1.
In the section on time series analysis univariate model sets out the principles for
historical data, where is an individual analysis for each variable and thus know the
proper algebraic transformation so that a series is stationary. This is the condition
that the data must meet to make a better prognosis, as to whether the series is
stationary statistical tests are used most commonly as might be using graphs and
correlograms from the sample autocorrelation coefficient (ACF) and unit root test
(Dickey-Fuller). After these tests you decide what is the best model autoregressive moving integrated average (ARIMA) to forecast future years.
To carry out a better prognosis according to the best model, makes use of statistical software R version 2.13.0, and other auxiliary programs (SAS, SPSS, EViews 7). It is a software for statistical analysis and graphic-oriented analysis of financial markets also distributed under the GNU GPL (General Public License).
The R Statistical Software is available for Windows operating systems, Macintosh, Unix and GNU / Linux in http://www.r-project.org and a wide collection of libraries found in CRAN (Comprehensive R Archive Network) as used in this work agricolae, car, lmtest, TSA, tseries, forecast, urca and others (Verzani, 2005).
Key Words: regression analysis, Ordinary Least Squares, time series, forescat, unit
root, CRAN.
I. INTRODUCCIÓN
La econometría consiste en hallar un modelo apropiado que permita pronosticar datos a futuros, en donde se utiliza herramientas de la teoría económica, las matemáticas y la inferencia estadística para el análisis de los fenómenos económicos. En el trabajo de modelación econométrica es de suma importancia la disponibilidad y calidad de los datos, porque constituyen los insumos básicos para contrastar teorías económicas y técnicas de estimación. Se mencionará la naturaleza de los modelos y también se destaca su enorme utilidad científica en el análisis económico.
La econometría es una amalgama de teoría económica, economía matemática, estadística económica y estadística matemática. La teoría económica formula hipótesis de naturaleza cualitativa, postula una relación negativa o inversa entre el precio y la demanda de un bien. En la economía matemática expresa la teoría económica en forma de ecuaciones: Keynes postula una relación positiva entre el consumo e ingreso, es aquí donde el economista matemático sugiere la siguiente función para la teoría de consumo (Loria, 2007).
………...……. 1.1 Donde Y : Gasto de consumo, X : Consumo, , : Parámetros
La función de consumo es de interés limitado para el econometrista, sin embargo la estadística económica centra su atención en la recolección, procesamiento y presentación de cifras económicas. Cabe mencionar que la piedra angular en la econometría es el análisis de regresión. Un modelo de regresión lineal es aquella en donde se tiene a la variable dependiente (y), que es expresada como una función lineal de una o más variables, llamadas explicativas(x). Además existen relaciones causales entre las variables dependientes y explicativas, con una dirección: de las variables explicativas hacia la variable dependiente (Gujarati, 2003).
Por la creciente complejidad del mundo contemporáneo se requiere de
instrumentos que den claridad, orden y estructura a la comprensión de los
fenómenos económicos. La modelación económica pretende identificar, cuantificar
y sistematizar tendencias y hechos económicos que responde a regularidades en
el tiempo. El econometrista considera que aun cuando existan errores en la
medición, en la captación de las relaciones y estructura económicas, la
econometría es un instrumento útil e indispensable para obtener un conocimiento
más preciso y estructurado de la realidad que ayude a la toma de decisiones económicas. Desde el punto de vista estadístico para la tomas de decisiones es importante hacer predicciones basadas en estimaciones econométricas que permita conocer el futuro con la información que se tiene hoy. En las predicciones no se puede omitir los eventos impredecibles (conflictos sociales, políticos y ambientales) ya que se reconoce que habrá errores en la predicción dado que existen variables estocásticas, esto permitirá obtener un mejor modelo de la realidad económica.
En el presente trabajo se hará uso de datos transversales para el análisis de la producción nacional de maíz en grano, en México. Se pretende hacer una estimación de la producción de maíz en miles de toneladas con datos de 1980 a 2009 (INEGI, anuario estadístico). Las variables a considerar para hacer un análisis econométrico son producción de maíz en grano (PMG), consumo aparente (CA), población total (PT), rendimiento (REN), superficie sembrada (SUP) e importación (IMP), ver Anexo 9.2. Una de las herramientas para este análisis de regresión es la estimación de la producción por el Método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Ya que este método ofrece algunas propiedades estadísticas muy atractivas por lo cual ha sido considerado el método de regresión más eficaz (Gujarati, 2003).
1.1. OBJETIVOS 1.1.1. Objetivos generales
Presentar los conceptos básicos para el análisis de regresión lineal (univariado y múltiple) y la metodología de Box-Jenkins (ARIMA) con datos de series de tiempo univariado, el cual nos permita llevar a cabo un análisis econométrico.
El uso del software R como herramienta para obtener resultados confiables en el ajuste de los modelos estadísticos.
1.1.2. Objetivos particulares
a) Elaborar un material que enuncie los principales temas de esta disciplina (Econometría), junto con sus teoremas y demostraciones correspondientes, con el afán de presentar un tutorial dedicado a profesores y estudiantes que se interesan en la econometría y despertar en ellos el interés por la programación haciendo uso del software R.
b) Hacer una análisis econométrico de la producción de maíz en grano,
mediante el ajuste de un modelo estadístico que permita estimar la
producción a partir de los años 1980 a 2009 tomando en cuenta variables
que inciden directamente como es el consumo aparente (CA), la población total (PT), el rendimiento (REN), la superficie sembrada (SUP), la importación (IMP) (ver Anexo 9.2). Pronosticar la producción para los años futuros mediante un modelo autorregresivo integrado de promedio móvil ARIMA(p,d,q).
II. ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL 2.1 Modelos Econométricos.
2.1.1. Función de Producción (Martínez, 1974).
Estas funciones son de gran utilidad para las empresas de producción agrícola, en donde se tienen insumos variables, uno o más insumos fijos ( ) para producir unidades de un cierto producto. La función de producción de la empresa establece que la cantidad (esperada) de su producto, E(Y) , puede expresarse como una función de las cantidades de sus insumos variables, x i 1 , x i 2 , x i 3 , x i 4 ,... x ip .
Entonces
( ) ………..…2.1
La cual se supone que es una función continua, con derivadas parciales de primer y segundo orden.
a. Función de producción polinomial (Martínez, 1983)
Son las funciones más comúnmente empleadas, su estructura matemática es la de un polinomio de grado igual o menor que 3. Para el caso de un polinomio de segundo grado, para p insumo.
∑ ∑ ∑ ∑ ………..2.2 Para p=1 se tiene
………....2.3 Para p=2
Una función polinómica de segundo grado es más apropiada para representar funciones de producción que sean estrictamente crecientes o decrecientes en las cantidades de insumos. En la investigación agrícola, los modelos son útiles y prácticos para predecir el rendimiento, el efecto de algunos fertilizantes o insecticidas, establecer los niveles de nutrimento que optimizan la respuesta o rendimiento de los cultivos, tanto en terrenos físicos como económicos (Lugo, 1998).
b. Función de producción Cobb-Douglas (Lugo, 1998)
En esta función de producción sólo se consideran dos insumos, el trabajo y el capital , y el producto ( ), que se hace igual al valor agregado.
……….2.4
Donde A , , son constantes positivas (parámetros) Martínez Garza (1974) lo presenta de la siguiente manera
Donde p
2
1 , β ,... .. β β
α, son parámetros desconocidos del modelo, sustituyendo en cada una de las cantidades de insumo en el lado derecho de , por, , se obtiene:
X X X X
t β
1 β
2 ... β
pα β i 1
1* β i 2
2* β i 3
3... ... β ip
p………...…….………...2.5 a una variación proporcional en las cantidades de insumo si
1 . ...
2
1
p
El producto varía en la misma proporción p 1
β . ...
β 2 β 1
α El producto aumenta pero en menor proporción p 1
β . ...
β 2 β 1
α El producto aumenta a una mayor proporción 2.1.2. Función de consumo.
La representación más simple del modelo keynesiano, ésta es la única relación de comportamiento involucrado (Barro, 2001).
Función consumo……..……….……….. 2.6
= Función ingreso…………..………...2.7 Donde
Y t = ingreso disponible, C t = consumo y I t = inversión. Es claro que se tiene un sistema de ecuaciones simultanea.
2.1.3. Función de demanda.
La demanda agregada es simplemente la cantidad total de gasto en bienes y servicios medida a los precios corrientes, PNB nominal (Gordon, 1981). El análisis de la demanda es el deseo de darle contenido empírico al modelo clásico de determinación de los precios, la aplicación de la regresión lineal a fenómenos económicos agregados. Para hacer un análisis estadístico confiable es indispensable contar con información acerca de precios y cantidades, que puedan obtenerse de instituciones oficiales que proporcionen información estadística y artículos especializados. La recolección de datos sobre precios y cantidades de productos agrícola básico, ha sido mucho más fácil que productos manufacturados.
El método más eficiente para determinar la demanda propuesto por Fox (1958) es:
………...2.8
Cantidad de demanda del bien , Precio del bien
Ingreso disponible
Podrá ser otro factor que refleja los cambios en la demanda Error o perturbación estocástica
En otro caso, cuando no se ha tratado como variable dependiente, la única variable dependiente es ; entonces de la ecuación 2.8 transfiriendo a al lado izquierdo se obtiene la siguiente ecuación.
……….2.9
Donde , , y
Así que de la ecuación 2.9 se tiene una ecuación de regresión múltiple y el valor de los parámetros, se pueden estimar mediante el método de regresión de mínimos cuadrados. A este modelo se le conoce como “flexibilidad precio de demanda”, es de gran utilidad para el caso de un mercado que opera mediante ajustes en el precio.
2.1.4. Modelos de producción para el análisis Econométrico.
Considerando un modelo lineal de la forma 1.1, se construyen funciones lineales a partir de variables que inciden directamente en la producción de Maíz en México, para esto se consideran las siguientes variables:
: Producción Nacional de maíz en grano en miles de tonelada.
: Consumo aparente en miles de toneladas.
: Población total en miles de personas.
: Rendimiento de maíz tonelada/hectárea.
: Superficie sembrada miles de hectáreas.
: Importación de maíz en miles de tonelada.
Modelo 1: ………...2.10 Modelo 2: ….………..…...…..2.11 Modelo 3: ...2.12 Modelo 4: ...2.13 Modelo 5: ……….……..…...2.14 En este trabajo se hará uso del modelo de regresión y para la estimación de los parámetros se empleará el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios. Mediante el cual se pretende estimar el valor promedio de la producción de maíz en grano conociendo los datos de producción nacional, consumo aparente, población total, rendimiento por hectárea, superficie sembrada e importación (ver Anexo 9.2). Los modelos propuestos se construyen de acuerdo al grado de asociación que tienen las variables, para esto se analiza la matriz de correlación parcial, matriz de covarianza y Coeficientes de correlación múltiple.
Se analizaran las variables que estarán implícitas en el modelo, que mejor prediga
la producción. Una función con varias variables es un modelo regresión múltiple, el
grado de asociación entre las variables se mide con el coeficiente de regresión múltiple (Peña, 2002). Este grado de asociación entre pares de variables se estudiará más adelante, también el grado de asociación entre una variable y las demás.
2.2. Modelos de Regresión 2.2.1. Termino Lineal
Algunos ejemplo de linealidad en los parámetros o en las variables (Gujarati, 2003)
Es lineal en los parámetros, mas no en la variable
( ⁄ ) ..………...………...….2.15 No es lineal respecto a los parámetros, pero si es lineal en las variables explicativa
( ⁄ ) ..………..………...…………..2.16 En este caso es lineal en ambos, tanto en los parámetros, como en las variables explicativas ( ).
( ⁄ ) …..………..……….……….…2.17
Para el caso de la función de producción de Cobb-Douglas (2.4), no es una función lineal en las variables, pero si es lineal en los parámetros.
Para una función de segundo orden o cuadrática, función respuesta, (Martínez G., 1987) no es lineal en las variables , pero si en los parámetros ( ).
Es claro que se pueden clasificar las funciones en cuadráticas, exponencial,
cúbicas y logarítmicas, estas podrían ser lineales en los parámetros ( ) pero no en
las variables ( ) o de lo contrario no lineales en los parámetros ( ) y lineales en
las variables ( ).
Función exponencial de la forma con valor de los parámetros y . Función Logística de la forma
para diferentes valores de .
#function exponencial
win.graph(width=10, height=10,pointsize=8); par(mfrow=c(2,1)) x<-0:50;y<-3*(1-exp(-0.1*x));plot(x,y,type="l",,main="Función Exponencial",col="blue")
#funcion logistica
x<-seq(-5,5,.1); y<-
exp(.1+.4*x)/(1+exp(.1+.4*x);plot(x,y,type="l",ylim=c(0,1),main="Función Logística para a=0.1, b=0.4 y b=0.6",col="red");y2<- exp(.1+.6*x)/(1+exp(.1+.6*x)); lines(x,y2,lty=2,col="blue"); y3<- exp(.1+1.6*x)/(1+exp(.1+1.6*x));lines(x,y3,lty=4,col="green")
Figura 2. 1 Gráfico de funciones exponencial
0 10 20 30 40 50
0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0
Función Exponencial
x
y
-4 -2 0 2 4
0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0
Función Logística para a=0.1, b=0.4 y b=0.6
x
y
2.2.2. Función de regresión Lineal
Como ya se mencionó en la introducción, el análisis de regresión trata del estudio de la dependencia de la variable dependiente ( ) respecto a una o más variables explicativas ( ). Uno de los principales objetivos del análisis de regresión consiste en hacer predicciones (Johnson, 1987), éstas en promedio, exhiben una aproximación razonable. Para un estadístico a menudo se desea determinar la ecuación de la curva de mejor ajuste, a fin de expresar la relación entre los valores de las dos variables. Algunas ecuaciones de predicción podrían ser:
2.2.2.1. Lineal
Se considera como ejemplo, si se está interesado en estimar la producción de maíz en grano (PMG) promedio, , conociendo el consumo aparente(CA) (2.10). Mediante el diagrama de dispersión y la recta de regresión, muestra que el promedio de la producción de maíz en grano aumenta conforme incrementa el consumo; es decir que la relación entre las variables es lineal (Figura 2.2). Es claro que existen otras variables que inciden en la estimación, es por eso que se le agrega el término de perturbación . Con base a la población total en el país (PT) (2.11), mediante la gráfica se observa que existe una relación lineal entre las variables; es decir que conforme aumenta la población también aumente la producción de maíz.
Antes de empezar a trabajar con el programa R, asegurarse que estén cargadas todas las paqueterías. Posteriormente cargar los datos mediante las siguientes funciones.
getwd()#esta función permite saber cuál es la dirección que R te reconoce
setwd("C:/Users/pavilion/Documents/GERMAN/TESIS")#La dirección de donde estas importando los datos datos<- read.table(file="produccion_maiz.txt", header=T)#El archivo "produccion_maiz.txt" está situado en la dirección que mencione anteriormente.
attach(datos)# Para asegurarse que los datos son correctos
par(mfcol=c(1,2)); modelo1<-lm(PMG~CA)
plot(CA,PMG,xlab="consumo aparente(miles de ton)",ylab="producción de maíz en grano(miles de ton)", main="relación entre producción y consumo",cex.main=.8)
abline(modelo1,col="red"); modelo2<-lm(PMG~PT)
plot(PT,PMG,xlab="total de habitantes(miles)",ylab="producción de maíz en grano(miles de ton)", main="relación entre producción y total habitantes",cex.main=.8)
abline(modelo2,col="blue")
En otro caso para estimar la producción de maíz en grano a partir del rendimiento de maíz por hectárea (2.12), se observa que existe una relación lineal directa. Ya que mediante una recta de regresión se observa que los puntos no se alejan de la recta, con esto se puede decir que hay un buen ajuste. Existen otras pruebas como el coeficiente de determinación ajustado, que para este caso es cercano a la unidad. De igual manera en relación a la Importación de maíz se puede apreciar en la gráfica (Figura. 2. 4) que existe una relación lineal, ya que la importación incide en la producción.
par(mfcol=c(1,2)) ; modelo3<-lm(PMG~REN)
plot(REN,PMG,xlab="rendimiento por ha (miles ton)",ylab="producción de maíz en grano(miles de ton)", main="relación entre producción y rendimiento",cex.main=.8)
abline(modelo3,col="green"); modelo4<-lm(PMG~IMP)
plot(IMP,PMG,xlab="Importación de maíz(miles ton)",ylab="producción de maíz en grano(miles de ton)", main="relación entre producción e importación",cex.main=.8)
abline(modelo4,col="red")
Figura 2. 2 Estimación de la Producción de maíz (PMG) con el método de MCO con las variables CA y PT
10000 15000 20000 25000 30000
10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000
relación entre producción y consumo
consumo aparente(miles de ton)
p ro d u cci ó n d e m a íz e n g ra n o (m ile s d e to n )
7e+04 8e+04 9e+04 1e+05
10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000
relación entre producción y total habitantes
