FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica (extraer el factor común), consiste en escribirla como un

(1)

LICEO BICENTENARIO – MOLINA

“Excelencia en Libertad, autonomía en el saber”

Departamento de Matemática Profesor: Patricio Arévalo Sánchez

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FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica (extraer el factor común), consiste en escribirla como un producto, es decir , la factorización es el proceso inverso al de la multiplicación.

Consideraremos los siguientes casos:

1. FACTOR COMUN MONOMIO

Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio :

Para factorizar una expresión algebraica se procede a escribir el factor común y dentro de un paréntesis la expresión que resulta al dividir a cada uno de los términos por dicho factor común.

Ejemplo 1: factorizar 12x + 18y - 24z

En este caso, el factor comun entre los coeficientes es el 6 (factor común numérico), ya que:

12x + 18y - 24z = 6 · 2x + 6 · 3y – 6 · 4z = 6(2x + 3y – 4z ) Ejemplo 2 : factorizar

5a² - 13ab - 10 ac

En esta expresión el factor común es “a”

(factor común literal), por lo consiguiente:

5a² - 13ab - 10 ac = 5a · a – 13a · b – 10a · c = a(5a – 13b – 2c ) Ejemplo 3 : factorizar 6x²y – 30xy² + 12x²y² El factor común es “ 6xy “, luego:

6x²y – 30xy² + 12x²y²= 6xy(x – 5y + 2xy )

Actividad N° 9: Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

i) 14a – 21b + 35 = ………...

ii) 20x – 3xy + 7xz = ………....

iii) 14m²n + 7mn = ……….

2. FACTOR COMUN POLINOMIO

Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :

EJEMPLO 1. Factorizar

x(a + b ) + y( a + b ) =

Existe un factor común que es ( a + b ), luego, al factorizar por a + b , se obtiene:

x(a + b ) + y( a + b ) = ( a + b )( x + y )

EJEMPLO 2. Factorizar 2a(m – 2n) – b (m – 2n ) =

2a (m – 2n ) – b(m – 2n ) = (m – 2n)(2a –b)

i) a(x + 1) + b ( x + 1 ) = ………...

ii) m(2a + b ) + p ( 2a + b ) = ………...

iii) (x + y )(n + 1 ) – 3 (n + 1 ) =

……….

3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO

Se trata de extraer un doble factor común.

EJEMPLO 1 Factorizar

ap + bp + aq + bq

Para factorizar una expresión de este tipo, se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos términos:

p(a + b ) + q( a + b )

Luego se extrae factor común polinomio ( a + b ) ( p + q )

i) ab + 3a + 2b + 6 =………...

ii) am – bm + an – bn = ………....

iii) a² + ab + ax + bx = ……….

4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x² + bx + c

El trinomio de la forma x² + bx + c se puede descomponer en dos factores

binomiales que cumplan con las siguientes condiciones:

 Como primer término de cada binomio se escribe la variable.

 Como segundo término de cada binomio se colocan dos números cuya “suma” sea el coeficiente de la variable en primer grado y cuyo “producto” sea el término libre.

(2)

Página 2

EJEMPLO 1. Descomponer en producto de binomios ( factorizar):

x² + 6x + 5

Solución: Se deben encontrar dos números tales que la “suma” de ellos sea 6 y su

“producto” sea 5.

Los números buscados son 1 y 5, entonces:

x² + 6x + 5 = ( x + 1 )( x + 5 )

y² + 5y – 14

Solución: se deben buscar dos números tales que su producto sea –14 y que al restarlos resulte 5.

Los numeros son 7 ∧ –2 Luego:

y² + 5y – 14 = ( y + 7 ) ( y – 2)

z²– 8z + 12

Solución: se deben buscar dos números tales que su producto sea 12 y que al sumarlos resulte -8.

Los números son – 6 ∧ –2 Luego:

z² – 8z + 12 = ( z – 6 ) ( z – 2)

x² – 7x – 18

Solución: se deben buscar dos números tales que su producto sea – 18 y que al restarlos resulte – 7.

Los numeros son – 9 ∧ 2 Luego:

x² – 7x – 18 = ( x + 2 ) ( x – 9)

i) x² + 7x + 12 =……….

ii) x² – 8x + 7 = ………...

iii) x² – 3x –10 =………..

iv) x² + 5x – 6 =………...……..

GUÍA DE EJERCICIOS.

1.

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas :

i) 6x – 12 = ii) 4x – 8y =

iii) 24a – 12ab = iv) 10x – 15x² = v) 4m² – 20 am = vi) 8a³ – 6a²= vii) ax + bx + cx = viii) b⁴ – b³ = ix) 4a³bx – 4bx =

x) 3ab + 6ac – 9ad = xi) 20x – 12xy + 4xz = xii) 6x⁴ – 30x³ + 2x² =

xiii) 10x²y – 15xy² + 25xy =

xiv) 12m²n + 24m³n² – 36m⁴n³ = xv) 2x² + 6x + 8x³ – 12x⁴ =

xvi) 10p²q³ + 14p³q² – 18p⁴q³ – 16p⁵q⁴ = xvii) m³n²p⁴ + m⁴n³p⁵- m⁶n⁴p⁴ + m²n⁴p³ =

2. Factorizar ( factor común polinomio)

i) x²( p + q ) + y²( p + q ) = ii) ( a² + 1 ) - b (a² + 1 ) = iii) ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = iv) a(2 + x ) - ( 2 + x ) = v) (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = vi) a( a + b ) - b ( a + b ) =

vii) (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

3. Factorizar ( por agrupamiento)

i) ab – 2a – 5b + 10 =

ii) 2ab + 2a – b – 1 = iii) 3x³ – 9ax² – x + 3a =

iv) 3x² – 3bx + xy – by = v) 6ab + 4a – 15b – 10 =

vi) 3a – b² + 2b²x - 6ax = vii) a³ + a² + a + 1 =

viii) ac – a – bc + b + c² – c = ix) 6ac – 4ad – 9bc + 6bd + 15c² – 10cd=

x) ax – ay – bx + by – cx + cy = xi) 3am – 8bp – 2bm + 12 ap = xii) 18x – 12 – 3xy + 2y + 15xz – 10z = 4.

Factorizar los siguientes trinomios:

i) x² + 4x + 3 = ii) a² + 7a + 10 = iii) b² + 8b + 15 = iv) x² – x – 2 =

(3)

Página 3

v) r² – 12r + 27 = vi) s² – 14s + 33 = vii) h² – 27h + 50 = viii) y² – 3y – 4 = ix) m² + 19m + 48 = x) x² + 5x + 4 =

5. Expresar como un cuadrado de binomio:

i) g² + 2gh + h² = ii) 225 – 30b + b² = iii) x² + 2xy + y² = iv) p² – 2pq + q² = v) a² – 2a + 1 = vi) m² – 6m + 9=

vii) 9x² –12xy + 4y² = viii) x² – 12x + 36 = ix) x² + 18x + 81 = x) m² - 20m + 100 =

SIMPLIFICACIÓN

DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Caso 1: Simplificación de monomios

. En este caso, en primer lugar se procede a simplificar los coeficientes y posteriormente los factores literales.

Ejemplos

4ab²

i) ²

3 5 2

4 2

8 ab

ab b

a 

1

7 x⁵ ii)

3 5

2 5

7 2

9 7 36

28

m x x

m x

m 

9 m³

Actividad N° 13: Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

i) 9 7

8 5

72 25

n m

n

m =……….

ii)

y x

z y x

5 2 4

72

 48 = ………...

Caso 2: Simplificación de polinomios

En este caso, primero se debe factorizar y luego a simplificar los factores iguales.

Ejemplo 1

  

   x 5

2 x 5 x 5 x

5 x 2 x 25

x

10 x 7 x

2 2



 





 





Ejemplo 2

  

  2x

4 x 4 x x 2

4 x 4 x x 8 x 2

16 x

2

2 

 



 





Actividad N° 14: Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

i)

3 6

1 4 4 ²





 n

n

n = ……….

ii)

12 8

12 4

2 2





 p p

p

p = ………...

iii) _



 10 7

25

2 2

q q

q ………..

iv)

4 20 25

6 15

2 2





 a a

a

a =………...…..

EJERCICIOS

Simplificar las siguientes expresiones algebraicas, factorizando cuando corresponda:

1)

a b b a

4 6 3

2 ² ²



2)

₂ ₃

3

2 9

3 10

5 x

m m

a y

x  

3)

3 4

2

3 2

5 14 7

4 7 5

x m m

y y

x  

4)

10 3 2 5

2

b b

a a



5)

2

2 2 3 3

7 5 3 15

2

xy x y a a

x  

6)

ax n n m m

a

14 5 10

3 6

7 ⁴

2

2  

7)

2 4

8 6

2 ²

 

 x x

x

(4)

Página 4 8)

50 10

7 7 14

25 5



 



x x

x

9)

2 2

2

2 m n

n n

mn n m

 





10)

xy x

y xy x

xy x

y xy

2 2 2

2

2 2





 





11)

2 2

2

2 2

4 2

4 4

y x

x xy

x

y xy x

 





12)

3 2

2 2

2 2 2

2



 



x x

x x x

x

13)

ab a

a a

b a ab a

6 6

3 1

2 ²

2 2

 









14)

^ ^

 ²

2

3

3 1

1 x y

x x x

y x





 



15)

3 3

5 4 50

2 2

2 ²

2 



 



a a a a

a

16)

4 6 3 3 6

2 3 2

2 2



 





x x x

x

17)

15 5

25 5 5

18

2 9



 





y y y

y y

18)

x x

x x x

x

x x x



 







2 2

3 2 3

3 8 4

3

2

19)

9 3

1 1

27

2 2

3 3



 



x x

a a a

x

20)

 ³

2 2

2 4 2 3

4 4

b a

b a b ab a



 



21)

a x x x

a a a

x ²

2 2

1

1 



 





22)

4 4

4 8

2 16

2

2 2 2

3 2 2

2



 





 





x x

x x x

x x x x

x

23)

^ ^

 

mx mn m

x n m n x m

x n m







 









2 2 2

2 2 2 2

24)

2 2 1

2 2

3

2 2 3

 



 





x x x b x a

x x ax ax

ab

a

25)

4 2

25 30

6 15

3

6

5 ²

2 2



 



 







a a a

a a

26)

x y

xy x

y x

y xy x

y xy

x

2 6 4

16 8

2

10

3 ²

2

2 2



 



 



27)

2 2

2

2 2 2

2 3

6 6 4

2 6

3

4 4

a ax x

x a a

ax a ax a

ax

a ax x



 



 





28)

2 22

5 18

2 12 2 36 11 10

2

81 ³ ²

2 2

2



 



 



 





a a a a

a a

a a a

a

29)

8 2

3 2 15

2 4 3 7

6 10 7

2 2 3 2

2 2

2



 







 





a a

a a a a

a a a

30)

 3 ³

1 9

3

27 ²

2 2

3 4

4

2 3

4

 

 





 







x x x

x x x x

x x x x x

x x

SOLUCIONARIO 1)

^ab

2)

mx y a³

6

3)

y x m² ² 7

8

4)

b 3

5)

3

4

7 2

ay

x

6)

mx n 8

2

7)

3

2 x

8)

4

1 x

9)

2 2

2mn n m

n





10)

2 2

x y xy 

11)

2 2

2

4 4

2 y xy x

xy x





12) 1 13)

a

a 2

2 1

2 

14)

1

 x

y

x

15)

3 15

1



 a

a

16) 1 17)

y  6

18)

1 2

2 3



 x

x

19)

1

3



 a

x

20)

3

2

21) x 22)

1 1



x

23)

m

x n m  

24) 1

25)

6

2 3



 a

a

26)

y x

y xy

x

2 30

11 ²

2





27)

ax a

a x



 8

4

28)

24 4

2 9



 a

a

29)

7

2



 a

a

30)

9 1

2 

 x

x