Ejemplos 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
FACTORIZACIÓN Y COMPLETACIÓN DE CUADRADOS
FACTORES
Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Ejemplos:
Los factores de 15 pueden ser 3 y 5 porque 15 = 3.5
Los factores de 2𝑥 − 6 pueden ser 2 y (𝑥 − 3) porque 2(𝑥 − 3) = 2𝑥 − 6
Los factores de 𝑥2− 3𝑥 + 2 pueden ser (𝑥 − 2) 𝑦 (𝑥 − 1) porque (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) = 𝑥2− 3𝑥 + 2
DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORIZACIÓN
Consiste en convertir la expresión dada en el producto indicado de sus factores. Aquí presentamos los casos de factorización más comunes.
a) Factorizar Sacando Factor Común un Monomio
El factor común es el proceso inverso de la propiedad distributiva de la suma respecto del producto; es decir, si aplicamos la propiedad distributiva en la expresión 𝑎(𝑐 + 𝑑) obtenemos como resultado 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑. En el proceso inverso, esta última es la expresión que se busca factorizar. Entonces el procedimiento para realizar el factor común es:
Verificar qué factor o factores es común en cada término de la suma.
Luego escribir dicho factor o factores como coeficiente de un paréntesis.
Dentro del paréntesis colocamos lo que queda de cada término al extraer el factor común, respetando el signo que originalmente tiene cada término. Si el factor común es negativo, entonces cambian de signo todos los términos que quedan en el paréntesis.
Ejemplos
b) Factorizar Sacando Factor común un polinomio
Para este caso se hace lo mismo que en el anterior pero sacando factor común un polinomio, por ejemplo, en la expresión 𝑥(𝑎 + 𝑏) − 𝑚(𝑎 + 𝑏) sacamos factor común (𝑎 + 𝑏), de esa forma tenemos lo siguiente:
c) Factorizar Sacando Factor Común por Agrupación de Términos
Como su nombre lo indica consiste en agrupar término que tengan factores en común para entonces aplicar el método mencionado.
Ejemplos:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦) = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏)
= (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦)
3𝑚2− 6𝑚𝑛 + 4𝑚 − 8𝑛 = (3𝑚2− 6𝑚𝑛) + (4𝑚 − 8𝑛) = 3𝑚(𝑚 − 2𝑛) + 4(𝑚 − 2𝑛)
= (𝑚 − 2𝑛)(3𝑚 + 4)
Ejemplo 1 Ejemplo 2
3𝑎𝑥 − 3𝑥 + 4𝑦 − 4𝑎𝑦 = (3𝑎𝑥 − 3𝑥) + (4𝑦 − 4𝑎𝑦) = 3𝑥(𝑎 − 1) + 4𝑦(1 − 𝑎)
= 3𝑥(𝑎 − 1) − 4𝑦(𝑎 − 1) = (𝑎 − 1)(3𝑥 − 4𝑦)
Ejemplo 3
d) Factorizar Usando las Raíces de un Polinomio
Los polinomios de una variable que tienen raíces reales se pueden factorizar usando sus raíces. Un polinomio en de grado
n
, de una variable, es una función de la forma:
x
a
x
a
1x
a
0P
nn
donde
a
i
R
para cada i = 0, 1, …,n es constante. Iniciaremos con polinomios de grado 2, que comúnmente aparecen en el estudio de cónicas, y el cálculo de raíces usando la resolvente. A esos polinomios también se les llama trinomios. Por ejemplo, las funciones:
3 2. 2 3 2 2 . 1 2 2 x x x Q x x x P
son ambas polinomios que tienen grado 2.
Buscar las raíces o ceros de un polinomio es equivalente a encontrar la solución a la ecuación P
x 0.Analíticamente esto significa, encontrar cuántas veces y para qué valores de
x
la función polinómica P
xalcanza el valor cero. Geométricamente significa, encontrar en donde la gráfica de la función yP
x corta aleje X (si lo corta) o tiene altura cero. Recordemos que, para el polinomio de grados 2 de la forma 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 +
𝑐 = 0, la resolvente o solución viene dada por 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4.𝑎.𝑐
2.𝑎 . Por ejemplo, analíticamente los ceros de la función polinómica
Q
x
3
x
2
x
2
, usando la resolvente, son:3
2
1
6
5
1
3
.
2
2
.
3
.
4
1
1
0
2
3
x
2
x
x
x
ó
x
Ahora, para factorizar este polinomio se escriben un par de monomios multiplicándose entre sí y por el coeficiente que acompaña a la variable de grado dos, de tal manera que cada monomio consta de la variable x restándole cada raíz, esto es:
2
3
x
2
x
= 3(𝑥 − 1) (𝑥 − −2Para polinomios de grado mayor a dos se usan la regla de Ruffini para encontrar sus raíces. Cuando usamos la regla de Ruffini la factorización es directa. Ejemplo: Factorice el polinomio
x
x
4
x
3
7
x
2
13
x
6
P
.Usando regla de Ruffini:
/ 6 1 1 6 1 1 1 / 6 7 0 1 6 7 0 1 1 6 13 7 1 1 Raíces
Muchas veces no hace falta seguir aplicando la regla de Ruffini cuando se llega al nivel de un polinomio de grado 2, porque lo puedo seguir factorizando con la resolvente o, con la experiencia, por observación. Así, una factorización del polinomio dado es:
x
1
x
2
x
3
6
x
x
1
x
6
x
13
x
7
x
x
x
P
2 2 2 2 3 4
El cambio de signo de una función polinómica puede asociarse directamente a la multiplicidad algebraica de las raíces del polinomio. Cuando la multiplicidad de la raíz es un número par no se sucede el cambio de signo, mientras que, cuando es impar si. Con esta información, basta saber el signo de la función para algún valor entre dos raíces, para descifrar el signo de la función en
R
.Un polinomio que no tiene raíces reales, no corta el eje X y por lo tanto tiene alturas ó siempre positivas ó siempre negativas (figura 1). Analíticamente las raíces de este tipo de polinomio no son reales (Raíces negativas o complejas) y entonces no tiene factorización con los números reales.
Figura 1: Gráfica de funciones polinómicas de grado 2, que no cortan al eje X
x
3
x
2
x
2
P
x
3
x
2
x
2
COMPLETACIÓN DE CUADRADOS
Completar cuadrados es un proceso de simplificación o reducción de la escritura matemática que se aplica a trinomios y, más particularmente, a polinomios de grado dos. En general, los procedimientos para completar cuadrado consisten en construir mediante operaciones algebraicas, un trinomio cuadrado perfecto a partir de uno que no necesariamente lo es, salvo posiblemente una constante. Entonces lo primero será identificar un trinomio cuadrado perfecto.
a) Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es un polinomio de tres términos que es factorizable, dado que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Se consideran trinomio cuadrado perfecto a los polinomios de 2do grado de la forma:
Trinomio cuadrado perfecto Proviene del Producto notable
𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2 Cuadrado de la suma (𝑎 + 𝑏)2
𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2 Cuadrado de la diferencia (𝑎 − 𝑏)2
Para abordar esta parte expliquemos primero el cuadrado de una suma (𝑎 + 𝑏)2 de forma gráfica. El cuadrado de la suma de dos cantidades se corresponde con el área que representa un cuadrado de lado (𝑎 + 𝑏). Esto puede representarse geométricamente, cuando los valores 𝑎, 𝑏 son ambos positivos y suponiendo 𝑎 > 𝑏, de la siguiente manera:
C
on
st
ruye
nd
o
Un cuadrado de “a” unidades de lado, es decir, de lado a.
Un cuadrado de “b” unidades de lado, es decir, de lado b.
Dos rectángulos de largo a y ancho b. Uno vertical y el otro horizontal
Luego uniendo estas 4 figuras formaremos un cuadrado de (𝑎 + 𝑏) unidades de lado como se muestra a continuación:
Algebraicamente el área de un cuadrado viene dada por la ecuación 𝐴 = 𝐿2, el de éste cuadrado de lado (𝑎 + 𝑏) es:
(𝑎 + 𝑏)2= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
= 𝑎2+ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏2 = 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Podría resumirse que calcular el área de un cuadrado (𝑎 + 𝑏) de lado viene dado por:
Cuadrado de la suma (𝑎 + 𝑏)2 es Geométricamente Algebraicamente
(𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Nota: Un razonamiento similar se aplica para cuando 𝑠𝑖𝑔(𝑎) ≠ 𝑠𝑖𝑔(𝑏) y podemos llegar a la conclusión de que
𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2= (𝑎 − 𝑏)2.
b) Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto
Un trinomio es una expresión matemática de tres términos separados por sumas o restas, por ejemplo:
3𝑥2+ 25𝑦2− 20𝑥 4𝑥2+ 25𝑦2− 20𝑥𝑦 4𝑧2+ 12𝑦2+ 15𝑥𝑦
Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
Reconoceremos un trinomio cuadrado perfecto cuando dos de sus términos positivos son cuadrados perfectos o tienen raíz cuadrada exacta; por otra parte el término restante (positivo o negativo) es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos términos. En los tres ejemplos anteriores podemos observar que sólo el ejemplo 2 satisface esta propiedad, en efecto:
c) Regla para completar un trinomio cuadrado perfecto
Completar un trinomio cuadrado perfecto es el único caso de trinomios que es equivalente a factorizar. El procedimiento en este caso es el siguiente:
Para escribir el cuadrado perfecto equivalente a la expresión original, se separan estas raíces por el signo del tercer término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio cuadrado perfecto, se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo.
En el ejemplo anterior una vez que compruebas que es un trinomio cuadrado perfecto:
d) Regla para completar un trinomio cuadrado de la forma 𝒙𝟐± 𝒃𝒙 + 𝒄
Aunque esta técnica no se limita a este tipo de expresiones, los siguientes pasos van a estar enfocados a expresiones cuadráticas de la forma 𝑎𝑥2± 𝑏𝑥 + 𝑐, y con 𝑎 = 1 𝑦 𝑎 ≠ 1; que son el tipo de trinomio que aparecen en cónicas. A continuación se mostrará el procedimiento para completar cuadrados cuando 𝑎 = 1:
Tomar el coeficiente 𝑏 que acompaña a la variable 𝑥 , sin signo, y dividir entre 2. Este número, elevado al cuadrado, se suma y resta a la expresión original.
Construir el cuadrado perfecto que sustituye los tres primeros términos de la expresión aumentada. Con los tres primeros términos se construyó un trinomio cuadrado perfecto, en efecto, usando regla
para reconocer un trinomio cuadrado perfecto se puede verificar que 𝑥2± 𝑏𝑥 + (𝑏
2) 2
= (𝑥 ±𝑏
2) 2
. Se
puede ver que el binomio cuadrado perfecto se construye sumando o restándole (según el signo que
originalmente tenga 𝑏) a 𝑥 el número 𝑏
2 . Quedando así (𝑥 ± 𝑏 2)
2 .
Sustituir en la expresión aumentada el cuadrado perfecto. Así la nueva la ecuación queda:
𝑥2± 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 ±𝑏 2)
2 - (𝑏
2)
2
+ 𝑐
Resumiendo en tres pasos:
Paso 1
Paso 2
Ejemplo: Completemos cuadrados en la expresión 𝑥2− 6𝑥 − 4:
e) Regla para factorizar un trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐± 𝒃𝒙 + 𝒄
Cuando 𝑎 ≠ 1 el procedimiento anterior es equivalente solo que agregamos un paso previo, debemos sacar
𝑎 como factor común de la expresión y esto genera un paso adicional al final. Así:
Sacar factor común, de los términos con variable 𝑥, el coeficiente del término cuadrático 𝑎. De la expresión 𝑎𝑥2± 𝑏𝑥 + 𝑐 , agrupamos sólo los términos con variable ( (𝑎𝑥2± 𝑏𝑥) + 𝑐 ) y sacamos como factor común en la expresión agrupada el coeficiente que acompaña al término cuadrado (𝑎), quedando:
𝑎 (𝑥2±𝑏 𝑎𝑥) + 𝑐
Lo que quedó dentro del paréntesis se trabaja como en el caso anterior.
Tomar el coeficiente 𝑏
𝑎 que acompaña a la variable 𝑥 , sin signo, y se divide entre 2. Este número, elevado al cuadrado, se suma y resta a la expresión original.
Construir el cuadrado perfecto que sustituye los tres primeros términos dentro del paréntesis. El binomio cuadrado perfecto se construye sumando o restándole (según el signo que originalmente
tenga 𝑏) a 𝑥 el número 𝑏
2𝑎 . Quedando así (𝑥 ± 𝑏 2𝑎)
2
. Con estos tres primeros términos se construyó
un trinomio cuadrado perfecto, en efecto, usando regla para reconocer un trinomio cuadrado perfecto
se puede verificar que 𝑥2±𝑏𝑎𝑥 + (2𝑎𝑏)2= (𝑥 ±2𝑎𝑏)2.
Sustituir en el paréntesis, en el lugar de los tres primeros términos, el cuadrado perfecto. Así la nueva la ecuación queda:
𝑎𝑥2± 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ((𝑥 ± 𝑏 2𝑎)
2 - (𝑏
2𝑎)
2
Aplicar la propiedad distributiva de 𝑎 respecto al paréntesis, para terminar.
𝑎𝑥2± 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥 ± 𝑏
2𝑎)
2 - 𝑎 (𝑏
2𝑎)
2
+ 𝑐
En resumen:
Ejemplo: Completemos cuadrados en la expresión 3𝑥2+ 15𝑥
