17. Tema 17: Programación lineal. Aplicaciones... 1

17. Tema 17: Programación lineal. Aplicaciones.

Índice

17. Tema 17: Programación lineal. Aplicaciones. ... 1

17.1. Introducción ... 1

17.2. Programación lineal ... 2

17.3. Teoremas ... 3

17.4. Métodos para resolver problemas de programación lineal. Algoritmo Simplex. ... 4

17.5. Dualidad ... 8

17.6. Aplicaciones de la programación lineal ... 8

17.7. Resumen ... 9

17.8. Conclusión ... 9

17.9. Bibliografía ... 9

Oposiciones de Secundaria (Matemáticas)

17. Tema 17: Programación lineal. Aplicaciones.

17.1. Introducción

LEGI SLACI ÓN Actualmente, el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato viene determinado por el siguiente marco legislativo estatal y autonómico:

• Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre.

• Decreto 48/2015 de 14 de mayo del Consejo de Gobierno.

• Decreto 52/2015, de 21 de mayo, del Consejo de Gobierno.

CURRÍ CULO

La programación lineal es una pequeña parte de todo un cuerpo matemático que se ha venido consolidando en el siglo XX con el nombre de optimización. En general, se trata de un conjunto de técnicas matemáticas que intentan obtener el mayor provecho posible de sistemas económicos, sociales, tecnológicos, etc., cuyo funcionamiento se puede describir matemáticamente de modo adecuado.

En términos curriculares, la programación lineal tiene su aparición ya en el segundo ciclo de bachillerato, donde los objetivos son:

• Interpretación y resolución gráfica de inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Iniciación a la programación lineal bidimensional. Noción de optimización. Conceptos generales: la función objetivo y las restricciones. Método gráfico para la resolución de problemas de la programación lineal.

• Resolución de problemas de programación lineal aplicados a la economía, la demografía, la administración y la gestión.

O .D .

En tanto que para los complejos problemas que aborda la optimización, ha sido de importancia vital la interacción, cada vez más fluida, entre el pensamiento matemático y el ordenador, una herramienta de gran potencial para el desarrollo y el aprendizaje de esta área de conocimiento en la educación de bachillerato es el uso de programas; quizás no tanto como herramienta resolutiva de los problemas, sino como calculadora con la intención de que los alumnos y alumnas concentren toda su energía en tareas como plantear el problema y comprender su representación gráfica.

Para esta labor, suponen de gran ayuda softwares como Microsoft-Excel Solve, GeoGebra, Wiris, calculadoras gráficas o PHPSimplex.

HI ST O R IA

Algunos matemáticos como Newton, Leibniz, Bernouilli, y especialmente Lagrange se ocuparon alrededor del siglo XVIII de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones, posteriormente fue Fourier el primero en intuir los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal.

Ya en el siglo XX, Kantorovitch se ocupó mucho del tema y Dantzig también fue una figura importante y fue quien desarrolló el Método Simplex.

La programación lineal consiste en un conjunto de técnicas matemáticas que intentan obtener el mayor provecho posible de sistemas económicos, sociales, tecnológicos, etc., cuyo funcionamiento se puede describir matemáticamente de modo adecuado.

El problema básico es el de la maximización de una expresión lineal que llamamos función objetivo, estando las variables sometidas a una serie de restricciones que vienen expresadas por inecuaciones lineales.

A continuación, desarrollaremos el tema siguiendo el índice anteriormente expuesto.

17.2. Programación lineal 17.2.1. Conceptos básicos

Un problema de programación lineal o programa lineal es un problema de optimización en el que la función que se pretende optimizar (llamada función objetivo) es una función lineal de varias variables (llamadas variables de decisión) relacionadas entre sí por un conjunto de restricciones que forman un sistema de inecuaciones lineales.

Para desarrollar en términos matemáticos muy precisos los principales resultados de este tema, conviene trabajar con el denominado enunciado estándar de un programa lineal cuya formulación es la siguiente:

Minimizar una función lineal, sujeta a ciertas condiciones restrictivas de desigualdad, es decir:

1. Minimizar: .

2. Sujeta a: .

Se supone además que el número de variables, n, es mayor que el número de restricciones de igualdad, m.

Sin ninguna pérdida de generalidad puede suponerse también que b k ≥ 0 para todo k = 1, 2, …, m. Las principales características de esta formulación de problemas lineales son:

• Se trata de minimizar una forma lineal.

• Todas las restricciones son de igualdad, siendo el término independiente no negativo.

• Las variables de decisión solo pueden tomar valores no negativos.

En notación matricial el problema se plantea de la siguiente forma:

1. Minimizar: z = C · X. 2. Sujeta a: .

Siendo: .

A partir de ahora entenderemos que X ≥ 0 significa que la matriz columna X tiene todos sus elementos mayores o iguales que 0.

Todo problema de programación lineal, independientemente de la forma en la que esté dado, puede transformarse a su forma estándar efectuando una serie de manipulaciones que comentamos a continuación:

• La primera manipulación es convertir el problema a uno de maximización teniendo en cuenta el hecho de que maximizar una función es equivalente a minimizar su opuesta.

• Si la función objetivo fuese afín y no lineal, puede prescindirse de la parte no lineal pues el mínimo en ambas se alcanzará en el mismo punto.

Afin: f(X) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + …+ c n x n + d Lineal: g(X) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + …+ c n x

• Las restricciones de desigualdad pueden transformarse en igualdades introduciendo unas nuevas variables que se conocen como variables de holgura a k1 x 1 + a k2 x 2 + …+ a kn x n ≤ b k entonces existe y

≥ 0 tal que: a k1 x 1 + a k2 x 2 + …+ a kn x n + y = b k . De igual forma, si a k1 x 1 + a k2 x 2 + …+ a kn x n ≥ b k , existe y ≥

0 tal que: .

• Si alguna de las variables x k del problema no estuviera sujeta a la condición de no negatividad, bastaría sustituirla por una diferencia de dos variables no negativas; es decir: x k = y k – z k con y k , z k

≥ 0.

• Por último, para conseguir que b k ≥ 0 para todo k, se multiplicaría por -1 la correspondiente ecuación si fuese necesario.

Con todas estas manipulaciones, cualquier problema de programación lineal puede expresarse en la forma estándar.

1 1 ... _{n n}

z c x = + + c x ^{11 1 1 1}

1 1

...

...

n n

m mn n m

a x a x b

a x a x b

+ + =

ì ï

í ï + + =

î

!

· 0 A X B X

=

³ ì í î

11 1

1 1

1

1

...

( ), , , con m<n

...

n n

n m mn m

a a

x b

C c c X A B

x a a b

æ ö

æ ö æ ö

ç ÷

ç ÷ ç ÷

= = ç ÷ = ç ÷ = ç ÷

ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø

! " " "

1 1 2 2

k k kn n k

a x + a x + …+ a x - y = b

Dado el problema de programación lineal:

1. Minimizar: z = C · X. 2. Sujeta a: .

Se llama región factible al conjunto S = {X ∈ ℝ ⁿ : A · X = B, X ≥ 0} y solución posible a cualquier elemento de dicho conjunto.

Nota: A partir de ahora supondremos que rg(A) = m (de lo contrario podríamos eliminar las ecuaciones redundantes) y que m <

n, ya que si fuese m = n la región factible tendría a lo sumo un punto, A ^-1 B, que sería, obviamente, la solución.

Nuestro inmediato objetivo será estudiar características de dicho conjunto. Para ello vamos a definir una serie de conceptos necesarios.

Definiciones

Sean X 1 , X 2 ∈ ℝ ⁿ . Llamaremos segmento que une X1 y X 2 al conjunto [X 1 , X 2 ] = {(1 − α)X 1 +X 2 : α[0, 1]}

Un conjunto S ⊆ ℝ ⁿ diremos que es convexo si para cualquier par de puntos de S el segmento que los une está complemente incluido en S, es decir, si ∀X 1 , X 2 ∈ S [X 1 , X 2 ] ⊆ S

Llamaremos combinación lineal convexa de los puntos X 1 , …, X n a todo punto de la forma .

Un punto X de un conjunto convexo S ⊆ ℝ ⁿ se dice vértice o extremo de S si no se puede poner como combinación lineal convexa de otros dos vectores de S, es decir, si X 1 , X 2 ∈ S y X = (1 − α)X 1 + αX 2 con α∈[0, 1]

entonces X 1 = X 2 . Un vértice nunca puede ser un punto intermedio de un segmento que esté completamente contenido en el conjunto.

Un conjunto convexo de ℝ ⁿ se dice conjunto poliédrico o poliedro si posee un número finito de vértices.

17.3. Teoremas

Teorema: El conjunto de soluciones posibles en un problema de programación lineal, caso de no ser vacío, es convexo.

Demostración: Supongamos S ≠ ∅. Sean X 1 , X 2 , soluciones posibles (y sean α, β cualesquiera con α≥0, β≥0 y α + β = 1); entonces:

Luego toda combinación lineal convexa de X 1 y X 2 es solución posible.

Teorema fundamental de la programación lineal

I) La función objetivo es mínima en un punto extremo (vértice) del conjunto convexo S de las soluciones posibles.

II) Si dos vértices son mínimos de la función objetivo, entonces lo es toda combinación lineal convexa de estos.

Demostración: Supongamos que S es un poliedro convexo.

I) Sean X 1 , X 2 , ..., X n los vértices. Sea X 0 un punto no extremo y solución posible. Por no ser X 0 extremo, se ha de poner como combinación lineal convexa de extremos:

La función objetivo en X 0 es:

· 0 A X B X

=

³ ì í î

1 1

donde 1, 0, 1,...,k

k k

i i i i

i i

X i

a a a

= =

= ³ " =

å å

1 1

1 2 1 2 1 2

2 2

0, 0 y ( ) pues 1

0,

X AX B

X X A X X AX AX B B B

X ^³ ³ AX ^{= ü} = þ B ý a + b ³ a + b = a + b = a + b = a b + =

0

1 1

; 1, 0, 1,...,

n n

i i i i

i i

X a X a a i n

= =

= å å = ³ " =

( ) ( )

{ }

1 1 1

0

1 1

0 0 0 · · · ( )

Sea =mín ( ), i 1,..., n )

·

(

·

n n n

i i i i i i

i i i

n n

i i i

i i

X C X f X

f X f

f X C X f X

X

C a a a

l a l l a l

= = =

= =

= =

= Þ ³

= Þ

= =

= å å å

å å

Por tanto, X 0 no es un punto mínimo de la función objetivo y el mínimo se ha de alcanzar en los extremos.

II) Sean X 1 , X 2 dos extremos donde se alcanza el mínimo de la función objetivo, es decir, f(X 1 )=f(X 2 )=λ y sean α ≥ 0, β ≥ 0 con α + β = 1. Por ser f lineal, se tiene:

f(αX 1 + βX 2 ) = αf(X 1 ) + βf(X 2 ) = αλ + βλ = (α + β)λ = λ

Por tanto el mínimo se alcanza también en toda combinación lineal convexa de X 1 y X 2 . La importancia de los extremos es clara, pues en ellos se alcanza el mínimo de la función objetivo.

Por ello llamaremos solución básica a todo vértice del conjunto S; solución degenerada a toda solución básica en la que al menos una de las variables es nula y solución óptima a toda solución básica que sea máximo (o mínimo) de z = C · X.

Teorema: Si existen k vectores Pi linealmente independientes y existen x 1 , ..., x k reales tales que con todos los x i ≥ 0 y k < n, entonces el punto X = (x 1 , ..., x k ,0, ..., 0) es un vértice del conjunto S de soluciones posibles.

Demostración:

Supongamos que X no es vértice de S. Si X no es vértice de S, existirán , vértices distintos de S y α, β ∈ ℝ (α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1) tales que: X = αX1 + βX2, o sea:

. Podemos considerar que α ≠ 0, β ≠ 0 ya que:

Por tanto, , de

donde, por ser los Pi linealmente independientes resulta que x1i = x2j, para i = 1, ..., k, y por tanto sería X1 = X2, que es una contradicción.

Teorema del recíproco: Si el punto X = (x 1 , ..., x k ,0, ..., 0) es un vértice del conjunto de restricciones, entonces los vectores Pi asociados mediante a los xi son linealmente independientes.

17.4. Métodos para resolver problemas de programación lineal. Algoritmo Simplex.

17.4.1. Método gráfico (caso de dos variables)

En un problema de programación lineal con dos variables, x, y, se trata de optimizar (hacer máxima o mínima, según los casos) una función llamada función objetivo, de la forma f(x, y) = px + qy sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de desigualdades lineales del siguiente tipo: .

Los puntos del plano que cumplen cada desigualdad están en un semi-plano. Los que cumplen todas ellas están en un recinto convexo finito (poligonal) o infinito, llamado región factible (conjunto de soluciones posibles). La solución posible que haga óptima (máxima o mínima, según se desee) la función objetivo se

llama solución óptima.

Si hay una única solución óptima, ésta estará en un vértice del recinto. Puede que haya infinitas y se encontrarán en un lado. También es posible que no haya solución óptima, pues cuando el recinto es infinito, la función objetivo puede crecer o decrecer indefinidamente.

1 k

i i i

x P B

=

å =

( ^{1 1 1} )

1 1 , ,..., 2 _n

X = x x x

( ^{2 2 2} )

2 1 , ,..., 2 _n

X = x x x

( x 1, ..., , 0, ..., 0 xk ) = a ( x x 1 ¹ , ,..., ¹ 2 x ¹ _n ) ( + b x x 1 ² , ,..., 2 ² x _n ² )

2 1

0 1

0 1

Si X X

Si X X

a b

b a

= Þ = Þ =

= Þ = Þ =

ü ý þ

1 2 1 2

1 1 1 2

1 1

1 1 1

2 2

1 1 1

... 0 y, entonces como , ...

...

k k n n

k k

k k

x x x x X X S

AX P P x P x B

AX P P x P x B

+ = + = = = = Î

= Þ + + = ï ü

= Þ + + = ïþ ý

1 2

i j

x = x

1 k

i i i

x P B

=

å =

1 1 1

m m m

a x b y c a x b y c

+ ³

ì ï

í ï + ³

î

!

Una vez representado el recinto de validez, la solución óptima se encuentra con la ayuda de una recta variable que representa la función objetivo y que se mueve paralelamente a sí misma.

Si se quiere localizar la solución óptima sin valerse de la representación gráfica, puede hacerse obteniendo los vértices del recinto y calculando el valor de la función objetivo en cada uno de ellos. Este método es arriesgado, pues es difícil estar seguro, sin representarlo, de si un punto de corte entre dos rectas bordes de semiplano es o no vértice del recinto de validez.

Método gráfico para el cálculo de soluciones: Para hallar, gráficamente, la solución de un problema de programación lineal de dos variables es conveniente seguir el siguiente proceso:

1. Se dibuja el recinto limitado por las restricciones del problema.

2. Se representa el vector director de la recta que viene dada por la función que hay que maximizar o minimizar (función objetivo).

3. Se trazan rectas paralelas a este vector que pasen por cada uno de los vértices del recinto, y se observa en qué vértice la función z se hace máxima, (o mínima) sin más que tener en cuenta cuál de las citadas rectas tiene mayor (o menor) ordenada en el origen.

Ejemplo: El problema de la dieta. Supongamos que se quiere elaborar una dieta alimenticia para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos diarios, por ejemplo, 2 mg de vitamina A, 60 mg de vitamina B y 40 mg de vitamina C. Para ello se van a mezclar dos clases de pienso, P y Q, cuyo precio por kg es, respectivamente, de 40 y 60 euros, cuyo contenido en las vitaminas citadas es el siguiente:

A B C

1 kg de P 1 mg 20 mg 10 mg

1 kg de Q 0,5 mg 20 mg 20 mg

¿Cómo deben mezclarse los piensos para que se satisfagan esas necesidades vitamínicas con el menor gasto posible?

Para resolver el problema designemos por x la cantidad de pienso P que debe consumir diariamente cada animal, y por y la cantidad de pienso Q en kg. Los valores x e y están sometidos a las siguientes restricciones:

1. x ≥ 0 2. y ≥ 0 3. x + 0,5y ≥ 2

4. 20x + 20y ≥

60 5. 10x+20y ≥ 40

Estas inecuaciones forman un sistema que llamaremos S. La función objetivo que ahora es una función de gasto o de costo es: f(x, y) = 40x + 60y

Se trata ahora de encontrar entre todas las soluciones del sistema S aquellas para las que la función de costo tenga un valor mínimo. Siguiendo los pasos indicados en la resolución gráfica, obtenemos:

Para obtener la solución óptima representamos la recta de ecuación 40x + 60y = 0 y la desplazamos

paralelamente a sí misma hasta que encuentre algún punto de soluciones posibles. En este problema existe un

punto único, el C, de coordenadas (2, 1), lo que quiere decir que el coste mínimo se consigue mezclando 2 kg de

pienso P con 1 kg de pienso Q. De esta forma se cubren los mínimos vitamínicos establecidos con el menor gasto

posible. El costo diario por animal será entonces de: 40 · 2 + 60 · 1 = 140 euros.

17.4.2. Método simplex (caso general)

Si la función objetivo tiene dos (o incluso tres) variables, y las restricciones no son demasiadas, el problema se puede resolver gráficamente como hemos visto en el apartado anterior. En la práctica, las variables y restricciones pueden llegar a ser miles, y entonces es cuando se hace uso del método simplex y, con la imprescindible ayuda del ordenador, se soluciona el problema.

El método simplex nos facilitará la obtención de la solución óptima mediante la elaboración de un criterio que nos permitirá saber si una solución básica es o no es la solución óptima y, en caso negativo, nos dará un procedimiento de aproximación a dicha solución óptima.

Para ello partimos del conocimiento de una solución básica inicial (vértice), de la que pasamos a otra solución básica (vértice contiguo) en la que el valor de la función objetivo z = C · X es menor que en la anterior, y así sucesivamente hasta llegar a una solución básica (vértice) en la que el valor de la función objetivo sea el mínimo (solución óptima).

En lo sucesivo supondremos:

a) Que el problema tiene solución óptima.

b) Que conocemos una solución básica inicial. (Esto siempre es posible, pues como m < n bastará con anular n – m de las variables x i y si en el sistema A – X = B sus ecuaciones son entre sí independientes, nos darán m soluciones no nulas que junto con las n – m nulas constituyen la solución básica inicial).

c) Que cada solución básica es no degenerada, es decir, tiene exactamente n – m coordenadas nulas.

Antes de pasar al siguiente teorema, vamos a definir unos ciertos z j :

La solución básica inicial conocida, sean P 1 , ..., P k los m vectores linealmente independientes asociados a X 0 mediante la expresión:

x 10 ·P 1 +x 20 ·P 2 +...+x m0 ·P m =B (1), y sea z 0 =C·X 0 =c 1 ·x 10 +c 2 ·x 20 +...+c m ·x m0 (1 bis), el valor de la función objetivo en el punto X 0 .

Como P 1 , ..., P m son linealmente independientes, constituyen una base del espacio vectorial <P 1 , P m , ..., P n >, cualquier P j de este conjunto podrá expresarse en función de dicha base, así:

(2)

(2bis)

Teorema: Si para un j cualquiera z j – c j > 0 (obsérvese que j debe ser distinto de 1, ..., m), entonces podemos construir un conjunto de soluciones posibles tales que z j < z 0 , pudiendo ser el extremo inferior de dichos valores z j finito o infinito. Si el extremo inferior es finito podemos elaborar una nueva solución posible con m variables no nulas, y si es infinito con m + 1 variables no nulas, siendo arbitrariamente pequeño el valor de la función objetivo.

Teorema: Si una solución básica verifica que zj – cj ≤ 0, ∀j, entonces dicha solución es óptima.

Regla práctica del método simplex

Para hallar la solución óptima de la función z = C · X con las restricciones A – X = B y X ≥ 0, procederemos así:

a. Se anularán n – m variables en A · X = B, obteniendo m variables x i0 > 0. Si llamamos P a la matriz correspondiente a los m vectores linealmente independientes P i asociados a las variables x i0 , P = (P 1 , P 2 , ..., P m ), tendremos que P · X 0 = B ⇒ X 0 = P ^–1 · B (solución básica inicial).

b. Mediante (2) sabemos que: y de aquí obtendremos los λ ij de la forma

siguiente: tendremos que P j = P · L j ⇒ L j = P ^–1 · P j , 1 ≤ j ≤ n.

c. Mediante (2 bis) calcularemos los z j = c 1 · λ 1j + ... + c m · λ mj

10 20

0 0 , 0 0, 1,..., m 0

0

m i

x x

X x x i

æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷

= ç ÷ > = ç ÷

ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

!

!

1 1

1

,1

m

j j mj m ij i

i

P l P l P l P j n

=

= + + ^! = å £ £ ^{Þ z j = c 1 1 l j + c 2 2 l j + + ! c m mj l}

1 1

1 m

j j mj m ij i

i

P l P l P l P

=

= + + ^! = å

1 2 j j j

mj

L l l l æ ö ç ÷ ç ÷

= ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

!

d. A continuación formaremos las diferencias z j – c j Si z j – c j ≤ 0 ∀j, entonces X 0 es la solución óptima.

Si z j – c j > 0 para algunos j, entonces tomaremos el P j correspondiente a la diferencia mayor de aquéllas que son z j – c j > 0 y lo incorporaremos a la base.

e. Para excluir uno de los P i de la base inicial, incorporando el P j del apartado anterior a dicha base, elaboramos los cocientes: con x i0 > 0 (apartado a) y λ ij > 0 (apartado b).

El P i excluido corresponderá al mín: .

Si la base inicial era {P 1 , ..., P i –1 , P i+1 ..., P m } la nueva base obtenida será {P 1 , ..., P i –1 , ..., P m , P j }.

Para saber si esta nueva base corresponde o no a la solución óptima, será preciso repetir el proceso hasta que todas las diferencias z j – c j ≤ 0 o todas las λ ij ≤ 0.

Ejemplo: Aplicación al problema de la dieta. Las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas e hidratos de carbono son respectivamente, 8 y 12 unidades. Se desea obtener un preparado con esa composición mínima mezclando tres productos: P 1 , P 2 y P 3 cuyos contenidos y precio por kg aparecen en la tabla adjunta:

Proteínas Hidratos Coste

P 1 1 2 3

P 2 4 3 1

P 3 2 1 4

¿Cuántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el coste de preparar la dieta sea mínimo?

Sea x 1 , x 2 y x 3 , los kilogramos respectivos de P 1 , P 2 y P 3 que deben comprarse a la semana. Se trata entonces de calcular el mínimo global de la función coste z=3x 1 +x 2 +4x 3 , sujeta a las restricciones:

La matriz de coeficientes es: , y tiene rango 2. Tomamos como base inicial la formada por dos columnas de P que sean linealmente independientes. Por ejemplo:

Base inicial: ,

obteniendo: , que es solución básica factible, al ser no negativas todas sus componentes. El valor en la función en ella es 76/5. La matriz de escalares es:

Aquí son: resultando que z 4 -c 4 >0

y λ 14 =3>0, por lo que, según criterio de optimalidad, debemos formar nueva base. Como es z 4 -c 4 =max{z j -c j >0}, en

10 ij

x l

10 0,1

ij

x i m

l

ì ü

ï > £ £ ï

í ý

ï ï

î þ

1 2 3 1 2 3 4

1 2 3 1 2 3 5

1 2 3

4 2 8 4 2 8

2 3 12 2 3 12

0, 0, 0 _i 0,i 1,...,5

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x

+ + ³ + + - =

ì ì

ï + + ³ Þ ï + + - =

í í

ï ³ ³ ³ ï ³ =

î î

1 4 2 1 0

2 3 1 0 1

A æ - ö

= ç è - ÷ ø

( ) ^{1 1}

1 1 2 1

2

24

1 4 1 3 4 1 3 4 8 5

, 2 3 5 2 1 5 2 1 12 4

5

B a a B x

x

-

æ ö ç ÷

- æ ö -

æ ö æ ö æ öæ ö

= = ç è ÷ ø Þ = ç è - ÷ ø Þ ç ÷ è ø = ç è - ÷ç ÷ øè ø = ç ç ç è ÷ ÷ ÷ ø

( 1 2 3 4 5 )

, , , , 24 4 , ,0,0,0 x x x x x æ 5 5 ö

= ç è ÷ ø

( ) ( )

3 4 5

1

1 1 1'

3 4 5

3 4 2 1 0

1 1 2 3 4

2 1 1 0 1 3 2 1

5 5

2 3 4

1 3 7 11

. , 3 1

3 2 1

5 5 5 5

L L L

B

L B B

z z z c L

- æ - öæ - ö æ ç - - ö ÷

= = ç è - ÷ç øè - ÷ ø = ç è - ÷ ø Þ

- -

æ ö æ ö

= = ç è - ÷ ç ø = - è - ÷ ø

3 3 4 4 5 5

3 23 7 7 11 11

4 , 0 y 0

5 5 5 5 5 5

z - = - - = - c z - = - = - c z - = - - = - c

la nueva base ha de entrar la columna a 4 y para decidir la columna que sale, calculamos el mínimo

, de donde se deduca que sale a 1 .

Nueva base: , obteniendo:

, que es solución básica factible, al ser no negativas todas sus componentes. El valor en la función en ella es 4. La matriz de escalares es:

Como ahora del criterio de optimalidad

se dedica que es la única solución mínima del problema. La dieta de coste mínimo se obtiene así comprando exclusivamente 4 kg del producto P 2 y dicho coste mínimo es de 4 euros.

17.5. Dualidad

El problema que acabamos de resolver mediante el método simplex consiste en minimizar la función z=CX con las restricciones A · X ≥ B y X ≥ 0. A este programa le denominamos primal, y decimos que su programa dual es el siguiente:

Maximizar la función t = W · B con las restricciones W · A ≤ C y W ≥ 0, donde W = (w 1 , w 2 , ..., w m ).

Teorema de dualidad: Si el primal posee solución óptima finita, entonces el dual también posee solución óptima finita y además mín. z = máx. t.

Nota: Debido a la longitud del tema omitimos demostración.

17.6. Aplicaciones de la programación lineal

Como se ha estudiado en este tema, la programación lineal se plantea de un modo geométrico: encontrar un vector (solución) de Rn que pertenezca a una cierta región convexa R (restricciones), y que haga máxima o mínima una función lineal f (función objetivo).

Actualmente, la programación lineal aborda cuestiones que nada tienen que ver con la geometría. En efecto, numerosos problemas de Economía, Industria o Administración tratan básicamente de la asignación de recursos limitados (personal, dinero, tiempo, materiales, espacio, etc.) encaminada a maximizar beneficios o a minimizar costes. Si las restricciones de los recursos se pueden expresar como ecuaciones o desigualdades lineales, y la función de beneficios o costes es lineal, entonces nos encontramos ante un problema de programación lineal.

Un ejemplo característico es el problema del transporte que surge al tener varios puntos de producción y varios de distribución, y se plantea el modo de distribuir los productos para que el coste deI transporte sea mínimo. Un ejemplo muy conocido de este problema se dio en Gran Bretaña al estudiar cuál sería la mejor distribución del carbón de 800 minas a 200 centrales eléctricas.

Otro caso muy común es el problema de la dieta: determinar las cantidades diferentes de alimentos (frutas, vitaminas, piensos, forraje, etc.) que hay que proporcionar a una persona o animal, para asegurarle la nutrición necesaria con un coste mínimo.

En algunos países en vías de desarrollo se utilizaron técnicas de programación lineal para planificar la producción de alimentos, con vistas a satisfacer las necesidades (minera-les, proteínas, vitaminas, etc.) mínimas de la población, teniendo en cuenta los condicionantes deI clima, tipo de suelo, recursos técnicos, etc.

10 10

4

14

24 5 8

, 0

3 5

i i

x l x

l l

ì ü

> = = =

í ý

î þ

( ) ^{1 2}

2 2 4 2

4

4 1 1 0 1 1 0 1 8 4

, 3 0 3 3 4 3 3 4 12 8

B a a B x

x

- - æ ö

æ ö æ ö æ öæ ö æ ö

= = ç è ÷ ø Þ = ç è - ÷ ø Þ ç ÷ è ø = ç è - ÷ç ÷ ç ÷ øè ø è ø =

( x x x x x 1 , , , , 2 3 4 5 ) ( = 0,4,0,8,0 )

( ) ( )

1 3 5

2

1 2 2'

1 3 5

0 1 1 2 0

1 1 2 1 1

3 4 2 1 1 5 2 4

3 3

2 1 1

1 2 1 1

. , 1 0

5 2 4

5 3 3 3

L L L

B

L B B

z z z c L

- æ öæ ö æ ç - ö ÷

= = ç è - ÷ç øè - ÷ ø = ç è - - ÷ ø Þ

æ - ö æ ö

= = ç è - - ÷ ç ø = è - ÷ ø

1 1 3 3 5 5

2 7 1 11 1 1

3 , 4 y 0

3 3 3 3 3 3

z - = - = - c z - = - = - c z - = - - = - c

( x x x x x 1 , , , , 2 3 4 5 ) ( = 0,4,0,8,0 )

También podemos abordar el problema de producción que se plantea al contar con varios centros de producción con sus características particulares (horas de trabajo disponibles, número de empleados, beneficios por unidad de producción, etc.), y hay que estudiar la manera de planificar la producción de los distintos centros para obtener el beneficio máximo.

17.7. Resumen

Se definen en el primer apartado apartado conceptos básicos y necesarios para el resto del tema, como son:

programa lineal, función objetivo, variables de decisión. Se da la formulación estándar de un programa lineal, haciendo uso de la notación matricial, y se detallan las transformaciones necesarias para convertir a esta forma cualquier programa lineal. Otras definiciones básicas son: región factible, solución posible, conjunto convexo, vértice y poliedro.

En el apartado de teoremas se estudian las características del conjunto de soluciones posibles (la región factible) y se demuestra el teorema fundamental de la programación lineal que determina que la solución (o las soluciones) óptima(s) se encuentra en un vértice de la región factible (si esta es no vacía). La importancia de los extremos hace que se definan los conceptos de solución básica, solución degenerada y solución óptima.

A continuación, se definen los métodos para resolver problemas de programación lineal, comenzando por el método gráfico, explicándose el cálculo de soluciones de un programa lineal con dos incógnitas (o incluso tres, usando dualidad) y no demasiadas restricciones trabajando con semiplanos. Como aplicación se expone el problema de la dieta.

En la práctica, las variables y restricciones pueden llegar a ser de miles, y entonces es cuando se hace uso del método simplex y, con la imprescindible ayuda del ordenador, se soluciona el problema. El método simplex nos facilitará la obtención de la solución óptima mediante la elaboración de un criterio que nos permitirá saber si una solución básica es o no es la solución óptima y, en caso negativo, nos dará un procedimiento de aproximación a dicha solución óptima. Termina este punto dando una regla de uso de este método.

Asociado a todo programa lineal, llamado primal, puede definirse otro llamado el dual. El Teorema de Dualidad establece que si el primal posee solución óptima finita, entonces el dual también posee solución óptima finita y además relaciona ambas. Esto nos permite resolver un programa a través de su dual y recíprocamente ya que la dualidad es involutiva, es decir, el dual del dual es el primal.

Por último, se exponen algunas de las aplicaciones directas y más comunes de la Programación Lineal.

17.8. Conclusión

DE SA R R O LL O TE MA El objeto de este tema es introducir los conceptos básicos y necesarios para resolver y comprender problemas de Programación Lineal. El tema se estructura en tres grandes bloques, exponiendo en primer lugar una serie de definiciones y conceptos previos, seguidos de los teoremas que en ellos se basan y dando, por último, los métodos susceptibles de ser empleados para resolver problemas de Programación Lineal.

APLI CACI ON ES

Actualmente, la programación lineal aborda cuestiones que van mucho más allá de la geometría, como ya hemos visto. Numerosos problemas de economía, industria o administración tratan básicamente de la asignación de recursos limitados (materiales, dinero…) encaminada a maximizar beneficios o minimizar costes (si las restricciones de los recursos se pueden expresar como desigualdades lineales y la función de beneficios o costes es lineal, estamos ante un problema de programación lineal).

Un caso muy común es el problema de la dieta, el de determinar las cantidades diferentes de alimentos que hay que proporcionar a una persona para asegurarle la nutrición necesaria con un coste mínimo. Otro ejemplo muy característico es el del problema del transporte, que surge al tener varios puntos de producción y varios puntos de distribución, y se plantea el modo de distribuir los productos para que el coste del transporte sea mínimo.

17.9. Bibliografía

ABELLANAS: Elementos de Matemática. Ed. El Autor. Madrid, 1975.

JIMÉNEZ GUERRA: Álgebra I. UNED. Madrid, 2001.

RÍOS: Matemática aplicada. Ed. Paraninfo, 1975.

WEBER: Matemáticas para Administración y Economía. Ed. Harla. México, D.F., 1984.

TEMARIO DEIMOS TEMARIO GAMBOA

TEMARIO MATEMÁTICAS DIVERTIDAS

TEMARIO CLAUSTRO