Propuesta de una estrategia de apoyo para la enseñanza del cálculo integral en la preparatoria

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(1)!NSTJTIITO TECNOLÓGICO y DE K'iTllDIOS SUPf.RIORES DF. MONTF.RRF.Y. UNIVERSIDAD VIRTUAL. ,. TECNC,LOGICO DE MC,NTERREY. ®. PHOPUESTA DE UNA ESTRATEGIA DE APOYO PARA LA ENSEÑANZA DEL CÁLCüLO L'-i'TEGRAL EN LA PREPARATORIA. COMO REOUISITO PARA OBTENER EL TITULO .._ DE MAESTRO EN EDUCACIÓN CON ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICA"-:,. AUTOR: LORENZO LORETO CRUZ HERNÁNOEZ ASESORA: MAESTRA MARIA ROSAL1A GARZA GUZMÁN. MÉXICO, D. F., JUNIO DE 200fi.

(2) PROPUESTA DE UNA ESTRATEGIA DE APOYO PARA LA ENSEÑANZA DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA PREPARATORIA. Tesis presentada por Lorenzo Loreto Cruz Hernández. Ante la Universidad Virtual del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey como requisito parcial para optar por el título de. MAESTRO EN EDUCACIÓN CON ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS. Junio de 2006.

(3) lll. Resumen. Es una percepción común que los estudiantes tienen problemas para aprender matemáticas. La presente investigación se efectuó para precisar las razones por las cuales sucede esto y proponer una estrategia de apoyo en la enseñanza del cálculo integral, materia situada en el último semestre de la Preparatoria del Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey. Una metodología desarrollada en Francia durante los años ochenta del siglo XX, La Ingeniería Didáctica, sirve de marco teórico para el desarrollo de este trabajo. De acuerdo a esta metodología, se analizó la percepción de los profesores y de los estudiantes, la didáctica actual, los promedios y porcentajes de aprobación, los antecedentes académicos y la epistemología del cálculo integral. Se concluyó y se recomendó, como parte de la estrategia propuesta, que los temarios sintéticos de las materias de cálculo diferencial y de cálculo integral se deben de reformar y que los antecedentes de álgebra y cálculo diferencial se deben de reforzar en los inicios del curso de cálculo integral. La refonna a los temarios sintéticos no corresponde a las atribuciones de las autoridades del Campus, sin embargo el refuerzo de los antecedentes académicos es totalmente factible..

(4) IV. Índice. Capítulo 1. Planteamiento del problema. 1.1 Contexto. 1. 1.2 Definición del problema. 3. 1.3 Preguntas de investigación. 4. 1.4 Hipótesis de trabajo. 4. 1.5 Objetivos. 5. 1.6 Justificación. 6. 1. 7 Beneficios esperados. 7. 1.8 Delimitación y limitaciones de la investigación. Capítulo 2. Fundamentación teórica. 10. 12. 2.1 Antecedentes. 12. 2.2 La ingeniería didáctica. 17. Capítulo 3. Metodología. 24. 3.1 Enfoque metodológico. 24. 3.2 Método de recolección de datos. 25. 3.3 Definición del universo. 27.

(5) V. Capítulo 4. Presentación de resultados. 29. 4.1 Antecedentes. 29. 4.2 Resultados de la aplicación de los instrumentos. 37. Capítulo 5. Conclusiones y recomendaciones. 42. 5.1 Conclusiones. 42. 5.2 Recomendaciones. 51. Referencias Bibliográficas. 60. Anexo 1.Temario oficial de cálculo integral (PM6001). 63. Anexo 2. Cuestionario para estudiantes de cálculo integral. 66. Anexo 3. Cuestionario para profesores de cáleulo integral. 67. Anexo 4. Examen de antecedentes algebraicos. 68. Anexo 5. Examen de elementos de cálculo diferencial. 83.

(6) VI. Introducción. La enseñanza de la matemática es un problema muy complejo. En este trabajo se investiga acerca de la enseñanza del cálculo integral, materia situada en el sexto y último semestre de la Preparatoria. La investigación se realizó en el Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey.. En el pnmer capítulo se describe la necesidad de efectuar esta investigación tomando en cuenta que la situación del cálculo integral es decisiva en la graduación de los estudiantes y en el adecuado inicio de sus estudios profesionales. El objetivo general indica el interés de determinar el dominio técnico que los estudiantes tienen de los antecedentes académicos de la materia y los factores que podrian mejorar su rendimiento para proponer una estrategia que permita ayudar a mejorar los índices de entendimiento real de la materia.. En el segundo capítulo se estudian aspectos relevantes del cálculo diferencial e integral, los más recientes libros de texto, su enseñanza y dos reformas importantes a esta enseñanza, la desarrollada en los Estados Unidos en los años ochenta del siglo XX, conocida como La Reforma del Cálculo y la desarrollada en Francia por esas mismas fechas, La Didáctica de las Matemáticas, una de cuyas partes, La Ingeniería Didáctica, sirve como marco teórico a esta investigación.. El capítulo tercero, dedicado a la metodología, indica que hubo necesidad de efectuar un enfoque cualitativo en algunos aspectos y un enfoque cuantitativo en otros. Se consultaron los temarios oficiales, los archivos de calificaciones y la documentación relativa a las reuniones de análisis sobre el problema de la enseñanza de la matemática organizada por los profesores del Campus. Se aplicaron dos exámenes de diagnóstico,.

(7) Vil. uno de álgebra y otro de cálculo diferencial y dos encuestas, una a profesores y otra a estudiantes.. En el cuarto capítulo se desglosan y analizan los resultados de los instrumentos diseñados para esta investigación, los resultados de los exámenes de diagnóstico, los correspondientes a las encuestas, los promedios y porcentajes de aprobación de los dos últimos semestres y la percepción de los profesores del Departamento de Matemáticas acerca de los problemas de la enseñanza de la matemática. En la parte correspondiente al análisis de la didáctica actual se revisa con cuidado la evolución de los planes de estudio desde 1990 a la fecha.. En el quinto y último capítulo se presentan las conclusiones generales en las cuales se observa que, habiendo iniciado la investigación acerca de los problemas en la enseñanza del cálculo integral (sexto semestre), se hace necesario analizar los que corresponden al cálculo diferencial del quinto semestre, ya que este antecedente resulta ser el más importante obstáculo epistemológico y se propone una reforma a los temarios sintéticos de cálculo diferencial y de cálculo integral. Se destaca la importancia de reorganizar y reforzar los conocimientos previos de cálculo diferencial y de álgebra para un adecuado inicio del curso de cálculo integral.. La propuesta de una estrategia de apoyo para la enseñanza del cálculo integral comprende los tres últimos puntos, es decir, la reforma a los temarios y el refuerzo de los antecedentes académicos de álgebra y de cálculo diferencial..

(8) Capítulo 1. Planteamiento del problema. En este capítulo se establece la situación actual de la enseñanza del cálculo integral, se define el problema de investigación, se plantean las preguntas, las hipótesis de trabajo, los objetivos a cumplir, la justificación, los beneficios que se obtendrán y finalmente se determinan los alcances y las limitaciones.. 1.1 Contexto. La matemática es un factor importante en el desarrollo científico, tecnológico, cultural, económico, artístico y deportivo de un país. Debido a ello, en las escuelas de todos los niveles, primaria, secundaria, preparatoria y en todas las carreras universitarias se da importancia a la enseñanza de esta materia.. La enseñanza de la matemática constituye un verdadero reto, diversas instituciones nacionales e internacionales han tratado con gran profusión este tema. Por ejemplo, a nivel América Latina, la Reunión Latinoamericana de Educación Matemática (RELME) realiza año tras año un congreso en donde se exponen trabajos dirigidos en este sentido, por otra parte, algunos organismos de economía a nivel mundial, como la reunión anual de Davós Suiza, han considerado a la cantidad y a la calidad de los conocimientos matemáticos de los ciudadanos de un país como un índice económico..

(9) 2. Existen instituciones internacionales como la citada antes (RELME), independientes de las escuelas formales, cuyo único fin es la difusión de conocimientos matemáticos y promover su enseñanza. Destacan a nivel nacional, la Olimpiada Mexicana de Matemáticas (OMM), la Sociedad Matemática Mexicana (SMM), el Centro de Investigación en Matemáticas (CIMAT) y la Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas (ANPM). Otros organismos, tales como el Instituto de Matemáticas (IM) y el Instituto de Investigación en Matemáticas Aplicadas y Sistemas (IIMAS), se dedican a la investigación en matemáticas, más que a su difusión y enseñanza.. En todos los diferentes sistemas de bachillerato de nuestro país, los cursos de matemáticas son constantes, es decir, de manera general, los cursos de matemáticas se imparten en promedio durante 5 horas a la semana y hay cursos de matemáticas en todos los semestres o años escolares. Aunque en México no hay estadísticas publicadas acerca de rendimientos en matemáticas, se estima que en el bachillerato los índices de aprobación son muy bajos.. Siendo tan vasto el panorama, es necesario hacer algunas acotaciones.. En el último semestre de la Preparatoria del Tecnológico de Monterrey, la matemática que se enseña tiene como tema el cálculo integral.. Existe la percepción de que en cálculo integral el entendimiento real de los estudiantes es bajo y que esto se refleja en bajos promedios grupales y en altos índices de reprobación en la materia.. Este punto es importante porque es decisivo en el término de los estudios de preparatoria de los estudiantes, puesto que no aprobar la materia, implica en ocasiones no poder inscribirse a tiempo a estudios profesionales, con consecuencias de diversa.

(10) 3. índole, tales como retraso en los estudios, problemas económicos por el costo de colegiaturas extraordinarias, incorrecto aprovechamiento de viajes o becas, etc.. Por otra parte, una excelente preparación en cálculo integral proporcionará a los jóvenes bachilleres una base sólida para el inicio de sus estudios universitarios y para su éxito en la conclusión de los mismos, independientemente de la profesión y de la universidad que elijan.. La enseñanza del cálculo integral para la Preparatoria ofrece un interesantísimo tema de investigación ya que se observan algunos problemas demasiado visibles en sí, por ejemplo el hecho de que se trata de un temario muy novedoso y exigente y que además requiere del estudiante un buen dominio técnico y de conceptos de los conocimientos antecedentes a la materia, es decir, se recurre de manera continua a factorizaciones, gráficas y definiciones diversas del álgebra, la geometría, la trigonometría y del propio cálculo diferencial; en tanto que debe de haber diversas variables que no se perciben y cuyos efectos se reflejan en el bajo rendimiento de los estudiantes en la materia.. 1.2 Definición del problema. Una de las preguntas naturales que surgen ante la percepción de la existencia de un serio problema en la enseñanza del cálculo integral es la siguiente:. ¿ Cuáles son las posibles causas del bajo rendimiento de los estudiantes de cálculo. integral, reflejado esto en bajos promedios y bajos porcentajes de aprobación?.

(11) 4. 1.3 Preguntas de investigación. Para delimitar al problema de investigación, es necesario dar respuesta al menos a estas preguntas:. ¿Cuál es el nivel de dominio de los estudiantes que inician un curso de cálculo. integral de los antecedentes, en cuanto a álgebra, trigonometría, geometría euclidiana, geometría analítica y cálculo diferencial?. ¿ Cuáles son los .factores que obsen1an los profesores como probables causantes del bajo rendimiento de los estudiantes en cálculo integral?. ¿ Cuáles son los .factores que observan los estudiantes como probables causantes de su bajo rendimiento en cálculo integral?. ¿ Cuáles son las estadísticas recientes de promedios y porcentajes de aprobación en cálculo integral en la Preparatoria del Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey?. ¿ En que temas del curso se presentan las más bajas calificaciones?. 1.4 Hipótesis de trabajo. En la materia de cálculo integral, situada en el sexto semestre de la preparatoria, los estudiantes presentan un bajo índice de comprensión real y, en consecuencia, los promedios y los porcentajes de aprobación son bajos..

(12) 5. Es posible que algunas causas sean:. 1.. El bajo nivel del dominio que la mayoría de los estudiantes tiene de los. antecedentes algebraicos, geométricos, trigonométricos y de los conceptos del cálculo diferencial.. 2.. La cantidad y novedad de los temas a estudiar durante el curso.. 3.. Poco uso de los libros de texto o libros no adecuados al temario.. 1.5 Objetivos. l. Determinar el nivel de dominio que los estudiantes tienen de los antecedentes académicos en álgebra y cálculo diferencial para el adecuado inicio de su curso de cálculo integral.. 2. Determinar los .factores que, a criterio de los profesores y de los estudiantes, podrían mejorar el rendimiento de los estudiantes en el curso de cálculo integral.. 3. Proponer una estrategia que permita mejorar el nivel de entendimiento real de la materia en los estudiantes y, como una consecuencia, lograr mejores calificaciones generales y promedios más altos..

(13) 6. 1.6 Justificación. Los actuales cursos de cálculo para el bachillerato tienen dos formatos, el anual, en donde se enseña cálculo diferencial e integral, las dos partes que componen a esta área de la matemática, y el semestral, en donde, en dos semestres, se enseña el cálculo diferencial y el cálculo integral por separado.. La Preparatoria del Tecnológico de Monterrey sigue el formato semestral, de manera que el cálculo integral constituye la última parte de matemáticas que se estudia antes de los estudios propiamente universitarios.. Aquí, en el cálculo integral, es en donde se estima que hay un bajo índice de entendimiento real de la materia, y como consecuencia, hay un bajo promedio general y un bajo índice de aprobación.. Aunque en otras materias de matemáticas también existe este problema, en este curso, la situación es crítica debido principalmente a tres factores:. a). Se trata del último semestre de la preparatoria y los estudiantes tienen presiones. de tipo social y económico, y principalmente, la presión de terminar la preparatoria para iniciar estudios universitarios.. b). Esta materia exige un amplio conocimiento y experiencia en el manejo de todo lo. aprendido en los cursos anteriores de matemáticas.. c). El temario es muy amplio y los temas a desarrollar son totalmente novedosos..

(14) 7. Cumplir con los objetivos en cuanto a determinar las causas académicas del bajo nivel de entendimiento real de la materia y proponer una estrategia que permita a los estudiantes una mejora en este sentido será de gran utilidad a nuestra Institución ya que impulsaría al cumplimiento de su misión en cuanto a la correcta formación de sus educandos.. Por otra parte, uno de los fines de la Preparatoria del Tecnológico de Monterrey es proveer de estudiantes con excelente formación a sus diversas divisiones de estudios profesionales, y siendo el cálculo integral uno de los principales requisitos en varias carreras profesionales, será importante, tanto para los estudiantes como para los profesores de estas carreras, iniciar con mayor agilidad sus estudios universitarios.. 1. 7 Beneficios esperados. La matemática es una materia determinante en la formación de todo profesionista. Prácticamente en todos los planes de estudio de todos los niveles y en todas las especialidades se destaca la importancia de esta materia.. El desarrollo científico y tecnológico de un país depende directamente de la calidad de los conocimientos matemáticos que se imparten en las escuelas del mismo, puesto que la matemática es el motor de la generación y la regulación de la tecnología. Ninguna nación puede aspirar a su libertad económica si es incapaz de impulsar su propia industria, su ciencia, su tecnología, su arte, etc., tampoco si sus estudiantes tienen una mediocre formación matemática, puesto que esto se reflejará más temprano que tarde..

(15) 8. La matemática representa probablemente el único caso de coincidencia universal en cuanto a la homogeneidad de su notación, validez de sus resultados e interpretaciones, diversidad y potencia en sus aplicaciones.. Que los estudiantes del último semestre de la Preparatoria tengan una meJor comprensión real y un mayor dominio técnico del cálculo integral hará que, independientemente de que haya mayores promedios y mejores porcentajes de aprobación en la Preparatoria, las universidades reciban a estudiantes con una mejor preparación matemática en las diversas carreras profesionales.. Esto último mejorará las posibilidades de éxito de estos estudiantes en sus estudios universitarios.. Como muestra de lo que sucede en la educación matemática de México, se inserta a continuación parte de un estudio realizado para el caso de la carrera universitaria de Licenciado en Economía, Cruz (1996).. Este estudio se inicia comprendiendo a estudiantes de la carrera de economía de diversas escuelas del centro de nuestro país, entre las que destacan la UNAM, el IPN, el ITESM, el 1TAM, la UAM, la Universidad Anáhuac, la UDLA y el CIDE. Los estudiantes que ingresan a la carrera de Economía provienen de diversas escuelas de bachillerato. Se analizaron entre otras escuelas de este nivel, a la Preparatoria de la UNAM, al CCH de la UNAM, al CECYT del IPN, al Colegio de Bachilleres, al Bachillerato de la SEP y a la Preparatoria del ITESM. De los conocimientos matemáticos necesarios para iniciar los estudios profesionales en economía, a criterio de las diversas universidades, tenemos como promedio: 60% en álgebra, 30%.

(16) 9. en cálculo diferencial e integral, y el resto en geometría analítica, trigonometría, estadística, probabilidad y otras cosas. Nos centraremos en el álgebra y en el cálculo, puesto que los requisitos en las otras materias son menores. Destaca el hecho de la enorme heterogeneidad en la preparación algebraica de los estudiantes de nuevo ingreso, entre quienes los hay bastante bien preparados, aunque constituyan desafortunadamente menos del diez por ciento del total, también existe una enorme cantidad de estudiantes cuya f01mación es verdaderamente pésima, el porcentaje de éstos sobrepasa el cincuenta por ciento y un treinta por ciento tiene malas o muy malas bases algebraicas. En general es posible afirmar que solamente el veinte por ciento de los estudiantes de nuevo ingreso a la carrera de economía tiene bases sólidas en los conocimientos algebraicos que la carrera requiere, considerando que un diez por ciento posee buenos o muy buenos conocimientos de álgebra y un diez por ciento los tiene excelentes. En cuanto al cálculo, la situación se presenta de manera más dramática puesto que más del 30% no ha tomado un curso de cálculo, un 50% aproximadamente no tiene el menor dominio de los conceptos y algoritmos y reconoce haber cursado deficientemente o aprobado de manera irregular la materia. En promedio solamente un 5% de los estudiantes de nuevo ingreso tiene una adecuada formación en Cálculo y un 15% tiene alguna idea de los conceptos y procesos básicos de esta materia, el restante 80% no cubre los requisitos mínimos.. ¿Por qué destacar lo que sucede en la carrera de Licenciado en Economía en este contexto?.

(17) 10. Aunque se eligió una carrera cuya carga de matemáticas no pareciera ser muy grande, los requisitos matemáticos son muy importantes, lo mismo que para un alto porcentaje de carreras profesionales.. 1.8 Delimitación y limitaciones de la investigación. La investigación se efectuó con estudiantes y profesores de cálculo integral de la Preparatoria del Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey durante los semestres académicos Agosto-diciembre de 2005 y parte del Enero-mayo de 2006.. Se analizaron los datos de los cuatro grupos de cálculo integral del semestre Agostodiciembre de 2005 y se aplicaron encuestas a los estudiantes y a los profesores. Durante el semestre Enero-mayo de 2006 se aplicaron exámenes de diagnóstico a cinco grupos de cálculo integral. También se aplicó la estrategia de apoyo a estos estudiantes durante el inicio de su curso.. Se analizaron los temarios sintéticos de cálculo integral de 1990, año de la inauguración del Campus a la fecha. Al observarse que uno de los principales obstáculos epistemológicos en la enseñanza del cálculo integral lo constituyen los antecedentes académicos de cálculo diferencial, se hizo necesario analizar los temarios sintéticos de cálculo diferencial en esas mismas fechas, proponiéndose una reforma de ambos temarios.. Ante la proximidad de los cambios generales de planes de estudio en el 2007 para la Preparatoria del Sistema Tecnológico de Monterrey, se presenta la gran oportunidad de proponer formalmente estas reformas, lo cual extendería los resultados de la.

(18) 11. investigación a otros ámbitos académicos en donde se imparta la materia en cuestión, es decir, a otros campi del Sistema.. Las otras dos partes que complementan la propuesta, el reforzamiento de los antecedentes de álgebra y de cálculo diferencial, se pueden aplicar en el inicio del curso de cálculo integral a condición de conseguir la autorización de la Dirección del Departamento de Matemáticas y de la Coordinación de cálculo integral..

(19) 12. Capítulo 2. Fundamentación teórica. El cálculo diferencial e integral data de las postrimerías del siglo XVII y es de reciente creación si consideramos a la antigüedad de la humanidad. En poco más de tres siglos se ha afinado a este instrumento para obtener de él importantes consecuencias tecnológicas, lo cual determina la importancia de su enseñanza.. 2.1 Antecedentes. De acuerdo a Bell (1987), la enseñanza del cálculo diferencial e integral se introdujo a principios del siglo XX en el nivel de bachillerato, así como el uso sistemático del libro de texto.. Alanís (1994) indica que, de los textos publicados en los Estados Unidos a finales del siglo XX, denominados de manera genérica como calculus, destacan: Stewart (1985), Zill (1985), Tall (1986), Finney, Demana, Waits y Kennedy (1992), Purcell y Varberg (1993).. Es importante señalar que estos libros están actualmente en uso en México, debido a la influencia que ejerce este país en el nuestro en cuestiones de ciencia, educación y tecnología, y que corresponden a los lineamientos de la reforma estadounidense de la enseñanza del cálculo que se describe adelante..

(20) 13. Según Cantora! (1997) la reforma de las matemáticas modernas en los años sesenta del siglo XX en Francia introdujo cambios como anticipar el estudio del cálculo, el cual se tomó en el antecedente del análisis matemático clásico y se hizo compañero inseparable de las ecuaciones diferenciales y del álgebra lineal. La enseñanza del cálculo entra en una fase de crisis debido en parte a la gran cantidad de conocimiento acumulado a enseñar.. Esta Reforma y las dos que se detallan a continuación impactan en la enseñanza de la matemática en México debido a que nuestro país no permanece aislado respecto de las novedades educativas.. Refiere Alanís (1994), que en 1987, en los Estados Unidos, de 600 000 estudiantes de un primer curso de cálculo, sólo el 43 % de ellos aprobó el curso.. La alarma provocada por esta medición creció debido a que un segundo examen demostró que quienes habían aprobado no comprendían correctamente los fundamentos de la materia y se mostraban incapaces de efectuar sencillas aplicaciones en áreas de su interés.. Uno de los principales objetivos del curso es enseñar a pensar de acuerdo a la estrnctura lógica y rigurosa del cálculo y esto no se había logrado.. Ante esta situación, en ese mismo año (1987), se inició en los Estados Unidos el movimiento de Reforma del cálculo, apoyado por organizaciones como la Nacional Science Foundation, surgiendo proyectos personales e institucionales con el objeto de elaborar propuestas viables para abatir la problemática de la enseñanza del cálculo..

(21) 14. Algunos de los aspectos más importantes de esta reforma, como lo indica Alanís ( 1994) en su interesante trabajo, son:. 1.. Se alienta el uso de las computadoras y las supercalculadoras como recursos para. que los estudiantes aprendan conceptos y no solamente para hacer más eficiente el uso de los algoritmos.. 2.. Se propone involucrar a los estudiantes en proyectos de investigación que generen. un mejor aprendizaje.. 3.. Se fomenta el trabajo en equipo.. 4.. Se rediseñan los contenidos a enseñar, enfatizando en los conceptos más que en los. algoritmos.. 5.. Se fomenta en los estudiantes el uso correcto de la expresión escrita.. Uno de los más autorizados estudios acerca de un movimiento de reforma a la enseñanza del cálculo paralelo al que se desarrolla en los Estados Unidos, pero en Francia, lo realiza de manera amplia Artigue ( 1995).. La Reforma del Cálculo en Francia, conocida también como Didáctica de las Matemáticas, estudia a la manera en la cual los estudiantes proceden en su intento por aprender y usar a la matemática.. Este novedoso concepto tiene sus raíces en el movimiento denominado Matemáticas modernas de los años sesenta del siglo XX y se desarrolla en la década de los ochenta en.

(22) 15. diversas instituciones francesas IREM, INRP y en varias universidades, Paris, Burdeos, Estrasburgo, Lyon, Marsella y otras.. Desde 1980 hay seminarios regulares y se publican artículos y libros sobre el tema. Algunos de los puntos a destacar, según Artigue (1995), son:. 1.. Visión general de la matemática por parte del usuario, no un enfoque teórico.. 2.. Historia y fundamentos de la didáctica de las matemáticas en Francia.. 3.. Se intenta construir una racionalidad de los fenómenos que cubren a las relaciones. entre la enseñanza y el aprendizaje.. 4.. La psicología cognitiva sirve de hipótesis a los procesos de aprendizaje, a la. construcción de los conocimientos y a la interacción constante del sujeto con el objeto.. 5.. Epistemología. Su aportación es la noción de obstáculo didáctico desarrollado por. G. Bachellard en su obra: La formación del espíritu científico.. 6.. El objetivo de la enseñanza es la apropiación individual de conocimientos.. 7.. La lingüística está ligada al aspecto lógico de las matemáticas en la relación. conceptualización-formalización. Los trabajos sobre lectura permiten analizar ciertas dificultades en la resolución de problemas matemáticos.. Siguiendo a Artigue (1995), el objetivo formal de estudio de la Didáctica de las Matemáticas se puede describir como:.

(23) 16. Estudio de los procesos de transmisión y adquisición de saberes proponiendo condiciones para que el funcionamiento del sistema didáctico asegure la construcción de un saber susceptible de evaluación y funcionalidad que permita resolver problemas y plantear verdaderas interrogantes.. La Didáctica de las Matemáticas se centra en:. 1.. Saber, saber sabio, saber del maestro, saber de los programas, saber que se. convierte en objeto de enseñanza.. 2.. El alumno.. 3.. El profesor.. 4.. Las relaciones que se generan entre ellos.. En este sentido, Artigue (1995), la Didáctica de las Matemáticas ha desarrollado conocimientos en dos sentidos:. 1.. La puesta en evidencia de regularidades a nivel funcionamiento cognitivo del. sujeto en sus aprendizajes escolares.. 2.. La noción de transposición didáctica, la cual es el proceso por el cual el saber. científico se convierte en conocimiento a enseñar y después en objeto de enseñanza.. La Didáctica de las Matemáticas se interesa también en las representaciones que el profesor para lo cual establece clases de estrategias:.

(24) 17. 1. Modelo formativo. Comunicación de saber a los alumnos. El maestro muestra las noc10nes, las introduce y proporciona los ejemplos. El alumno escucha, imita, se entrena y aplica. El saber es dado de manera acabada, ya construido. Los problemas son presentados al final del recorrido con fines de evaluación. Estos métodos son llamados dogmáticos o magisteriales.. 2. Modelo iniciativo. Conocer las necesidades de los alumnos y su entorno. El maestro escucha al alumno, le ayuda a utilizar fuentes de información y responde a sus preguntas.. El. alumno busca, organiza, estudia. El problema es concreto.. 3. Modelo aproximativo. Centrado en la construcción del saber por el alumno. El maestro propone y organiza una serie de situaciones, jugando con restricciones, maneja la comunicación en clase y da elementos convencionales del saber. El alumno intenta, busca, hace hipótesis, propone soluciones, las confronta y las defiende. El saber es considerado con su propia lógica. El problema es el medio de aprendizaje.. 2.2 La Ingeniería Didáctica Una parte importante de la Didáctica de las Matemáticas es La Ingeniería. Didáctica. Este nombre proviene de la idea de comparar el trabajo del profesor con el de un ingeniero, es decir, que para llevar a efecto el trabajo didáctico es necesario apoyarse en el conocimiento científico del área y aceptar la verificación científica..

(25) 18. Como lo propone Douday (1993), esta metodología, la Ingeniería Didáctica, sugiere análisis preliminares:. 1.. Análisis epistemológico del contenido escolar involucrado, esto es, indicar el grado. de dificultad histórica que tiene el concepto matemático a enseñar. Es necesario recurrir a la historia de los conceptos, indagar sobre el ambiente en el que se desarrollaron.. 2.. Análisis de la didáctica actual con lo que se podrá contar con una descripción. completa de las distintas situaciones de corte académico que rodea a los cursos, es decir, investigar acerca de los textos, planes de estudio, profesores, exámenes, etc.. 3.. Análisis cognitivo. Estudiar a las relaciones existentes entre los diferentes estilos. cognitivos de los estudiantes con diferentes acercamientos a los fenómenos físicos. Estudiar a las creencias que los estudiantes tienen sobre la matemática y la física ya que éstas norman las actividades de los estudiantes ante tareas que involucran a estos conocimientos.. Según Douday (1993), el propósito de la Ingeniería Didáctica es:. Crear situaciones de aprendizaje destinadas a asegurar de manera controlada la emergencia de conceptos matemáticos en el contexto escolar.. Las dos reformas en la enseñanza del cálculo de los años ochenta del siglo XX tanto en Francia como en los Estados Unidos surgen debido a los grandes problemas de aprendizaje que se detectaron en esos momentos, las ideas surgidas de estos procesos han influido en la elaboración de nuevos textos y en la enseñanza del cálculo diferencial e integral en el mundo, en particular, en México..

(26) 19. El Marco Teórico elegido para esta investigación se inscribe en La Ingeniería. Didáctica.. A continuación, una breve descripción de los elementos de la teoría a utilizar. Estos conceptos son citados en Cantoral (1995).. 1. Epistemología.. Este término se define como una disciplina filosófica que tiene por objeto la crítica de las ciencias y el estudio de los principios en que han de basarse. Un elemento importante dentro de los estudios de orden epistemológico es el llamado obstáculo epistemológico, término acuñado por Gastón Bachellard en 1976 y se refiere a elementos inevitables que retardan la velocidad en el proceso de adquirir conocimientos.. Los obstáculos epistemológicos se presentan en la práctica educativa como los errores que cometen los estudiantes, con la característica de que éstos no dependen de ellos. Este concepto se ha utilizado para mostrar que el error no sólo es efecto de la ignorancia, de la incertidumbre o del azar como lo conciben las teorías conductistas, sino el efecto de un conocimiento anterior que tenía su interés, e incluso habiendo sido exitoso se presenta ahora como falso o inadaptado.. 2. Concepciones de un objeto matemático. El conjunto de situaciones problema que el sujeto asocia al objeto, es decir, para las cuales encuentra apropiado su uso como herramienta es la caracterización de la.

(27) 20. concepción de un objeto matemático. Esta caracterización la aporta Vemaud en 1994, agrega además que también es el conjunto de representaciones simbólicas para resolver las situaciones problema asociadas al concepto.. 3. Teoria de la transposición didáctica. La teoria de la transposición didáctica la acuña Chevallard en 1991, quien describe este término como:. Un contenido que ha sido designado como saber a enseñar sufre a partir de entonces un conjunto de adaptaciones que van a hacerlo apto para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza. El trabajo que transforma un objeto de saber a enseñar a un objeto de enseñanza, es denominado transposición didáctica.. 4. Teoria de las situaciones didácticas. Una noción aprendida es utilizable en la medida en la que está relacionada con otras nociones, estas relaciones constituyen su significado, su etiqueta, su método de activación; es aprendida si es utilizable y se puede utilizar de manera efectiva, es decir, no sólo como solución de un problema.. 5. La Ingenieria Didáctica. La metodología que se desprende de la teoria de las situaciones didácticas, de la transposición didáctica, de las concepciones de objetos matemáticos y de la.

(28) 21. epistemología fue implantada en la década de los ochenta del siglo XX en Francia y lleva por título: La ingeniería didáctica.. La descripción hecha acerca de la Ingeniería Didáctica permite desarrollar una investigación acerca de la enseñanza del cálculo integral con una metodología robusta, ya que de acuerdo con Farfán (1997), la Ingeniería Didáctica es una metodología de investigación que guía a las experimentaciones en clase y también es aplicable a los productos de enseñanza derivados de investigaciones.. En el desarrollo de la presente investigación se lleva a cabo un análisis de orden epistemológico, uno de cuyos factores importantes será determinar a los obstáculos epistemológicos en el conocimiento del cálculo integral y proponer una manera de enfrentarlos.. En nuestro objeto de estudio es importante determinar tanto al saber o saber erudito del cálculo integral como al saber a enseñar o saber didáctico del propio cálculo integral, ya que a partir de lo primero se podrán reforzar elementos que se consideren importantes para modificar o fortalecer el saber didáctico existente.. La Ingeniería Didáctica es un excelente marco para el desarrollo de una investigación cuyos objetivos son:. Determinar el nivel de dominio que los estudiantes tienen de los antecedentes académicos en álgebra y cálculo diferencial para el adecuado inicio de su curso de cálculo integral..

(29) 22. Determinar los .factores que, a criterio de los profesores y de los estudiantes, podrían mejorar el rendimiento de los estudiantes en el curso de cálculo integral.. Proponer una estrategia que permita mejorar el nivel de entendimiento real de la materia en los estudiantes y, como una consecuencia, lograr mejores calificaciones generales y promedios más altos.. Lo anterior puede parafrasearse como:. ¿ Qué elementos debe de contener una estrategia cuya .finalidad sea elevar el nivel de entendimiento real y el dominio técnico, por parte de los estudiantes de la materia de cálculo integral situada en el sexto semestre de la Preparatoria del Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey y, como una consecuencia, lograr un importante incremento de los promedios actuales de calificaciones y de aprobación?. Los pasos a seguir, de acuerdo a esta metodología son:. 1.. Análisis epistemológico del cálculo integral, de los procesos de integración y de las. principales aplicaciones. Será necesario determinar los obstáculos epistemológicos que retardan la velocidad de aprendizaje de los elementos y conceptos del cálculo integral en los estudiantes.. 2.. Análisis de la didáctica actual de la integral en el Campus Ciudad de México del. Tecnológico de Monterrey, es decir, investigar acerca del estado que guarda la enseñanza del cálculo integral, textos, planes de estudio, profesores, exámenes, dominio de los antecedentes por parte de los estudiantes, etc..

(30) 23. 3.. Análisis cognitivo. Estudiar a las relaciones existentes entre los diferentes estilos. cognitivos de los estudiantes, es decir, los antecedentes, tanto académicos como personales de los estudiantes que van a tomar un primer curso de cálculo integral.. El propósito de la Ingeniería Didáctica, se particularizaría en el objetivo específico de la siguiente forma:. Crear situaciones de aprendizaje de los conceptos del cálculo integral, las técnicas de integración y las aplicaciones, destinadas a asegurar de manera controlada la emergencia de estos conceptos matemáticos en el contexto escolar..

(31) 24. Capítllllo 3. Metodología. En este capítulo se presentan la metodología seguida durante la investigación y las herramientas diseñadas para la recolección de los datos a analizar. Se requirió de una combinación de enfoques cualitativos y cuantitativos.. 3.1 Enfoque metodológico. La investigación se realizó con estudiantes y profesores de la materia de cálculo integral de sexto semestre de la Preparatoria del Campus Ciudad de México durante el semestre escolar correspondiente a Agosto-diciembre de 2005 y el primer periodo parcial del semestre escolar Enero-mayo de 2006.. Con un enfoque cualitativo se consultó el archivo de reuniones del semestre Eneromayo de 2005 del Departamento de Matemáticas de la Preparatoria del Campus Ciudad de México en la parte que trata sobre problemas en la enseñanza de la matemática.. Con el mismo enfoque, se consultaron los temarios oficiales de las materias de cálculo diferencial y de cálculo integral correspondientes a los tres últimos planes de estudio de la preparatoria del Tecnológico de Monterrey, esto es, 1990, 1995 y el actual que procede del año 2002.. Se recurrió a los archivos de calificaciones y porcentajes de aprobación de los semestres Enero-mayo de 2005 y Agosto-diciembre de 2005, para obtener datos cuantitativos..

(32) 25. Durante el semestre escolar Agosto-diciembre de 2005 se aplicó a los estudiantes un cuestionario y a los profesores otro cuestionario, mediante los cuales, de manera cualitativa, se pudo observar el problema con mayor detalle. Este material permitió conocer los factores que, a juicio de ellos, podrían mejorar el rendimiento general en un curso de cálculo integral.. Se elaboraron exámenes de diagnóstico de álgebra y de cálculo diferencial para ser aplicados a estudiantes que iniciaron su curso de cálculo integral el semestre Eneromayo de 2006 para determinar el nivel de conocimientos de los antecedentes de álgebra y de cálculo diferencial con que inician un curso de cálculo integral. Esta parte del estudio se efectuó de manera cuantitativa.. 3.2 Método de recolección de datos. Para el desarrollo de la investigación fue necesario efectuar una combinación de enfoques cualitativos y cuantitativos.. Análisis epistemológico de la integral. Con la finalidad de percibir los obstáculos epistemológicos que posiblemente retarden la velocidad del aprendizaje de los fundamentos del cálculo integral se diseñaron y aplicaron los siguientes instrumentos. Se obtuvo información de carácter cualitativo.. A los estudiantes que estaban a punto de concluir su curso de cálculo integral, en el semestre Agosto-diciembre de 2005, se les aplicó una encuesta para determinar con.

(33) 26. cuidado algunos elementos acerca de las dificultades que estaban encontrando o que habían encontrado durante el transcurso de su curso.. Asimismo se aplicó una encuesta a los profesores que estaban impartiendo los cursos en cuestión. Esta información de orden cualitativo indicó que uno de los obstáculos más importantes en el aprendizaje del cálculo integral está relacionado con el hecho de que hay un fuerte descuido de los conocimientos previos de la materia.. Análisis de los antecedentes académicos de los estudiantes. Esta parte del proceso de recolección de datos es de tipo cuantitativo. Se desarrollaron dos exámenes de diagnóstico, uno de álgebra y otro de cálculo diferencial para ser aplicados a los estudiantes que iniciaron su curso de cálculo integral durante el semestre Enero-mayo de 2006.. El examen de álgebra se implementó como un examen de opción múltiple en la plataforma Blackboard del curso de cálculo integral y se dio el espacio de la primera semana de clases para que los estudiantes lo resolvieran. Este examen es individual y la plataforma envía un examen diferente en cada acceso. Los alumnos lo deben de resolver fuera del salón de clase y los profesores simplemente consultan la calificación.. En cuanto al segundo examen, el de elementos del cálculo diferencial, siendo mucho más extenso que el primero, se le dio forma de examen colaborativo y se dividió en cuatro partes, de manera que lo resolvieron en equipos de cuatro estudiantes durante cuatro días, una parte por día en el salón de clase, bajo la supervisión del profesor a partir del segundo día de clase..

(34) 27. 3.3 Definición del universo. De acuerdo a Hemández, Femández y Baptista (1991) es importante delimitar a la población objeto de la presente investigación y seleccionar una muestra probabilística para que los resultados puedan extenderse de manera confiable a toda la población.. La población está confonnada por estudiantes de sexto semestre de la Preparatoria del Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey inscritos en la materia de cálculo integral.. El total de grupos de cálculo integral del semestre Agosto-diciembre de 2005 fue de 4, es decir, 130 alumnos y 2 profesores impartiendo la materia.. Como este censo no es muy grande se aplicaron las dos encuestas a toda la población, tanto de profesores, como de estudiantes. En cuanto a la población de estudiantes del semestre Enero-mayo de 2006, la cantidad fue de 15 grupos, es decir, 495 alumnos y 9 profesores.. La muestra elegida fue de 5 grupos, esto es, 164 estudiantes además de 3 profesores, los cuales constituyen un 33.3 % de la población total. La tercera parte de una población constituye un tamaño adecuado de muestra. A ellos se les aplicaron los exámenes de diagnóstico.. La inscripción en todos los cursos de la Preparatoria se efectúa durante varios días previos al inicio de las clases, en los cuales, de manera aleatoria, se van fonnando los diferentes grupos, lo cual detennina que la muestra elegida es probabilística, ya que.

(35) 28. todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser seleccionados para formar parte de un grupo cualquiera, en particular de un grupo de cálculo integral cualquiera.. Este procedimiento permite la aleatoriedad de la selección y que los resultados puedan extenderse a la población delimitada..

(36) 29. Capítulo 4. Presentación de resultados. En este capítulo se presentan los resultados de la aplicación de los diversos instrumentos de investigación.. 4.1 Antecedentes. Durante el semestre Enero-mayo de 2005, en el Departamento de Matemáticas de la Preparatoria del Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey, debido a que egresaba la primera generación de estudiantes que utilizaba los planes de estudio más recientes, se efectuó una evaluación de estos planes y además se iniciaron varios proyectos académicos. Uno de ellos muy interesante, el Taller de Apoyo al Alumno en el marco denominado Jornadas Académicas, formalizó una reunión en la cual los profesores de planta, extemaron su opinión acerca de los problemas del aprendizaje de los estudiantes en el área de matemáticas. Las minutas de esta serie de reuniones nos indican que se trabajaron con exhausión tres tipos de problemas: Los concernientes al estudiante, los del profesor y los del medio ambiente.. Este resumen se presenta en cuatro rubros, los relacionados a los estudiantes, los relacionados con los profesores, los del medio ambiente y algunas ideas para superar estos problemas.. A) En general, el estudiante:. 1. Tiene conocimientos básicos insuficientes..

(37) 30. 2. No tiene buenos hábitos de estudio. 3. No hace las tareas, o bien, las copia. 4. Busca la ley del mínimo esfuerzo. 5. No ocupa las horas necesarias de estudio a diario y estudia un día u horas antes del examen. 6. Tiene baja responsabilidad académica. 7. Tiene alta proporción de ausentismo. 8. No aprovecha los apoyos de talleres y asesorías. 9. Falta de motivación hacia el aprendizaje. El alumno da prioridad a pasar el examen, no a aprender. 1O. Falta de interés en la materia.. B) En general, el profesor:. 1. Tiene conocimientos básicos insuficientes acerca de la materia. 2. No está lo suficientemente motivado para impartir su clase 3. No propicia un ambiente de aprendizaje en el aula 4. No domina las metodologías adecuadas 5. Tiene preparación académica insuficiente por lo cual tiene una visión limitada de lo que es enseñar. 6. No enseña para que el alumno aprenda, sino para que pase la materia.. C) En general, el ambiente de aprendizaje:. 1. No hay un esquema didáctico en la enseñanza de las matemáticas. 2. No hay apoyos didácticos. 3. No hay homogeneidad en las clases (incluyendo la evaluación), ni en el nivel de exigencia..

(38) 31. 4. Carencia de un plan de apoyo eficiente para alumnos que lo requieran. 5. Demasiados alumnos por grupo para ser atendidos por un solo profesor. 6. Aulas no adecuadas para el trabajo colaborativo, grupos demasiado grandes. 7. No hay salas de estudio adecuadas y suficientes. 8. Falta de comunicación entre los profesores y la coordinación. 9. Falta de uniformidad en la aplicación de las políticas. 1O. El alumno tiene demasiados trabajos y tareas de otras materias por lo cual desatiende a su materia de matemáticas. Esto tiene que ver con una mala planeación académica y actividades extraacadémicas en demasía.. D) Algunas ideas para superar los problemas:. 1. Establecer exámenes de diagnóstico en todos los semestres. 2. Establecer talleres de matemáticas. Atacar los problemas de manejo de algoritmos, hacer ejercicios de números y álgebra, atender a los ejes de los programas de estudio. 3. Establecer bancos de ejercicios con solución. 4. Establecer talleres de solución de tareas. 5. Establecer talleres de hábitos de estudio. 6. Determinar espacios adecuados de trabajo académico para los estudiantes. 7. Propiciar una cultura de trabajo académico. 8. Propiciar una cultura de estudio de los libros de texto.. Aunque no se trató específicamente de cálculo integral, sino de matemáticas en general, muchas observaciones coinciden con lo que se presenta en cálculo integral.. Para conocer la evolución de los temarios de cálculo diferencial e integral durante los últimos años, se recurrió a la información que la Dirección del Departamento de Matemáticas tiene al respecto. Los primeros planes de estudio que se utilizaron en la.

(39) 32. Preparatoria son de 1990, el siguiente cambio se produjo en 1995 y los actuales planes proceden del año 2002. Cabe destacar que estos planes rigen en todo el Sistema Tecnológico de Monterrey.. La fundación del Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey data de 1990, fecha que coincide con el establecimiento del plan de estudios 90. La parte correspondiente a matemáticas para Preparatoria nos indica:. En el plan 90, durante el último semestre, es decir en el curso de Matemáticas VI correspondiente al sexto, el temario señalaba el estudio del cálculo diferencial e integral en un solo semestre.. Una observación importante aquí es que, siendo el material de estudio tan amplio, es muy complicado enseñarlo en un solo semestre. Lo usual, en otras escuelas del mismo nivel en nuestro país, desde hace por lo menos cincuenta años y en la actualidad, es distribuir este tema a lo largo de dos semestres o un año escolar.. La primera reforma a este plan se dio en 1995. Se observa aquí un importante cambio en nuestra materia.. En el plan 95, se divide la enseñanza del cálculo en dos semestres, es decir, en el quinto semestre se estudia cálculo d~ferencial y en el sexto semestre, cálculo integral. Los temarios sintéticos son:. Plan 95. Quinto semestre. Cálculo diferencial. Tema I. Repaso de .funciones. Horas de clase. JO.

(40) 33. 2. límites. 20. 3. Derivadas. 20. 4. Aplicaciones. 30. Total. 80. Plan 95. Sexto semestre. Cálculo integral. Tema. Horas de clase. l. La d(ferencial y sus aplicaciones. JO. 2. La integral indefinida. 5. 3. Teoremas.fundamentales de integración. 10. 4. Fórmulas y técnicas básicas de integración. 25. 5. La integral definida y sus aplicaciones. JO. 6. Introducción a las ecuaciones diferenciales. JO. 7. Modelación matemática elemental. JO. Total. 80. La siguiente reforma a los planes de estudio se dio en el 2002 y es la que prevalece hasta estos momentos. Aunque esta reforma se implantó en el año 2002, se le conoce como plan 2000.. Se sigue conservando aquí la división de la enseñanza del cálculo en dos semestres, aunque hay cambios significativos..

(41) 34. Plan 2000. Quinto semestre. Cálculo diferencial. Tema. Horas de clase. l. Relaciones y.funciones. 5. 2. Álgebra de .funciones. 5. 3. Función exponencial y logarítmica. 5. 4. Funciones especiales. 3. 5. Límites. 5. 6. Continuidad. 4. 7. Derivada. 30. 8. Aplicaciones de la derivada. 20. Exámenes parciales. Total. 3. 80. Plan 2000. Sexto semestre. Cálculo integral. Tema 1. La d(ferencial. Horas de clase 5. 2. La integral indefinida. 25. 3. Técnicas de integración. 30. 4. La integral definida y sus aplicaciones. 17. Exámenes parciales. Total. 3. 80.

(42) 35. En nuestra escuela, la Preparatoria del Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey, existe una coordinación oficial de la materia de cálculo integral, en donde, por fortuna es posible acceder a los datos sobre promedios y porcentajes de aprobación.. La información siguiente corresponde a los semestres Enero-mayo y Agostodiciembre de 2005, ya que, debido al cambio de planes de estudio en el 2002, estos semestres son los primeros en que se utilizaron los planes de estudio recientes.. Semestre Enero-mayo de 2005. Grupo. 01. 02. 03. 04. 06. Promedio. 85.3. 81.7. 83.1. 87.5. 83.7. Aprobación. 89.8. 88.0. 89.8. 95.2. 90.7. Grupo. 07. 08. 09. 10. 11. Promedio. 84.5. 82.4. 79.1. 80.3. 79.3. Aprobación. 90.2. 89.8. 80.6. 77.8. 81.1. Grupo. 12. 13. 14. Promedio. 78.6. 79.7. 79.3.

(43) 36. Aprobación. 87.5. 82.7. 74.6. El promedio general es: 81.9. El promedio de aprobación es: 86.0. Semestre Agosto-diciembre de 2005. Grupo. 01. 02. 03. 04. Promedio. 74. 74.5. 72.5. 78.1. Aprobación. 69.6. 66.7. 57.8. 79.2. El promedio general es: 74.8. El promedio de aprobación es: 68.3. Los promedios y los porcentajes de aprobación son mejores en el semestre Eneromayo de 2005 que los del semestre Agosto-noviembre del mismo año, la razón es que en el semestre Enero-mayo casi todos los estudiantes son regulares, es decir, están en el semestre que les corresponde, en tanto que en el semestre Agosto-noviembre del mismo año la mayoría de los estudiantes son irregulares, esto es, más del 90 % ha reprobado cálculo diferencial o cálculo integral antes..

(44) 37. 4.2 Resultados de la aplicación de los instrumentos. Análisis epistemológico de la integral. Con el fin de determinar a los posibles obstáculos epistemológicos en cuanto a la percepción de los alumnos, se aplicó un cuestionario a estudiantes que estaban concluyendo su curso de cálculo integral (Anexo 2).. Las respuestas fueron:. 1. En promedio 78.3 2. La bibliografia solamente la utiliza un 43 % de los estudiantes. 3. La respuesta generalizada aquí fue: No. 4. Casi todos coinciden en la parte referente a las técnicas de integración: Cambios de variable, fracciones parciales, por partes, trigonométricas, etc. 5. Las causas más comunes fueron: a) No recuerdo algunos conocimientos previos. b) Falta de práctica. c) Es mucho material. d) No he podido asistir a asesoría. 6. Las respuestas más comunes fueron: a) Debo repasar mis conocimientos anteriores. b) Debo asistir a asesorías. c) Debo organizarme mejor. d) Debo mejorar mis apuntes. e) Debo dedicar mayor tiempo a estudiar. 7. Las respuestas más coincidentes:.

(45) 38. a) Hacer repasos al principio del curso. b) Más ejemplos en clase. c) Más flexibilidad en la entrega de tareas d) Más tareas con ejercicios similares a los exámenes. 8. Los factores más comunes: a) Organizar más talleres de asesoría. b) Seleccionar mejor a los profesores de cálculo. c) Buscar mejores libros. d) Mejorar los planes de estudio.. Con la misma finalidad, es decir, detectar los posibles obstáculos epistemológicos de la enseñanza del cálculo integral, se aplicó un cuestionario a profesores en el momento en que concluían su curso (Anexo 3).. Las respuestas fueron:. l. En promedio 12.. 2. Los libros más recomendados, después del texto son: a) Zill b) Purcell. c) Finney La descripción completa se encuentra descrita en la bibliografía 3. En ninguno, la densidad del temario no lo permite. 4.. Las técnicas de integración: Cambios de variable, por partes, integrales. trigonométricas, substituciones trigonométricas, fracciones parciales. 5. Los factores más comunes: a) Falta de habilidades básicas del álgebra. a) El programa es muy exigente..

(46) 39. b) Bajo nivel de conocimientos previos, en especial en cálculo diferencial. 6. Los factores de los estudiantes que son más comunes: a) Los estudiantes no han asimilado los conocimientos previos. b) Falta de compromiso con la materia. c) Ausentismo. d) Necesitan dedicarle mayor tiempo a la materia. e) Necesitan una metodología de estudio. 7. Las respuestas más usuales fueron: a) Hay un ambiente de temor a la materia. b) Los libros de texto no están diseñados para nuestro curso. 8. Los factores del profesorado: a) Se requieren cursos de actualización en la materia. b) Falta de compromiso académico de muchos docentes. 9. Para mejorar el curso de cálculo integral, se propone: a) Instituir exámenes-diagnóstico al principio de la materia. b) Establecer talleres para que los estudiantes acudan a resolver sus tareas. c) Diseñar bancos de reactivos para apoyo a los estudiantes.. Análisis de los antecedentes académicos de los estudiantes. A continuación, se inserta un concentrado de los resultados de los exámenes de diagnóstico de álgebra (Anexo 4) y de cálculo diferencial (Anexo 5).. Resultados del examen diagnóstico de álgebra. Grupo 01. Promedios:. 45.2. Grupo 02. 56.1. Grupo 03. 48.8. Grupo 04. 54.3. Grupo 05. 52.6.

(47) 40. El promedio por grupos es: 51.4. Ningún grupo obtuvo un promedio aprobatorio. La calificación mínima aprobatoria en la Preparatoria del Tecnológico de Monterrey es 70 y la diferencia para alcanzar este promedio es de 18.6 puntos.. Resultados del examen diagnóstico de cálculo diferencial. Grupo 01. Grupo 02. Grupo 03. Grupo 04. Grupo 05. Promedios:. Parte I. 48.1. 55.2. 49.6. 52.5. 47.4. Parte II. 55.3. 58.6. 54.6. 60.3. 54.7. Parte III. 37.2. 35.6. 40.4. 38.9. 42.5. Parte IV. 60.3. 59.2. 62.1. 63.6. 59.8. Los promedios grupales son:. Parte I. 50.6. Parte II. 56.7. Parte 111. 38.9. Parte IV. 61.0.

(48) 41. El promedio es 51.8. Nuevamente se observa que es reprobatorio y que faltan 18.2 puntos para alcanzar el mínimo aprobatorio que es de 70.. La parte I del examen reqmere de algoritmos algebraicos para comprender los elementos iniciales del cálculo diferencial, factorizaciones, graficación, productos notables, etc.. La parte 11 contiene a los algoritmos propios del cálculo diferencial, tales como calcular límites, derivadas, utilizar derivación logarítmica, derivadas de segundo orden, etc.. La parte III se refiere a las aplicaciones propias y la modelación en el cálculo diferencial, se plantean aquí problemas cuya modelación requiere de obtener máximos, mínimos y tasas relacionadas, es decir, debe de calcularse la rapidez de cambio de una cantidad en términos de la tasa de cambio de otra cantidad.. En la parte IV se evalúan los conceptos generales del cálculo diferencial, tales como el significado geométrico de la derivada y del criterio de la segunda derivada, etc.. Según esta información, la parte que menos dominan los estudiantes recién egresados de un curso de cálculo diferencial está en las aplicaciones del cálculo diferencial, seguido de los procesos que requieren de mucha habilidad algebraica.. Están un poco mejor preparados en los algoritmos propios del cálculo diferencial y un poco mejor en los conceptos generales..

(49) 42. Capítulo 5. Conclusiones y recomendaciones. Después de analizar los datos proporcionados por las herramientas de investigación, se presentan las conclusiones y las recomendaciones que permiten proponer una estrategia cuya finalidad es mejorar la enseñanza del cálculo integral. Entre las recomendaciones, destacan una reforma a los temarios sintéticos de cálculo diferencial y de cálculo integral y el refuerzo de los antecedentes de álgebra y cálculo diferencial.. 5.1 Conclusiones. Las conclusiones que se pueden presentar son:. La comparación entre los temarios de cálculo diferencial y de cálculo integral correspondientes a los planes 90, 95 y 2000 nos permiten hacer las observaciones siguientes:. 1. Para los profesores, en el plan 90 debió ser verdaderamente dificil enseñar el curso denominado Matemáticas VI que comprendía al mismo tiempo al cálculo diferencial y al cálculo integral, ya que el tiempo que se dedicaba a cada tema era insuficiente aún con estudiantes con excelentes bases algebraicas, trigonométricas y geométricas. Si además observamos que el álgebra que se enseñaba en esos momentos no estaba dirigida hacia el cálculo, puesto que se insertaba en el contexto de la Reforma de las Matemáticas Modernas de los años sesenta en Francia, la situación era aún más complicada..

(50) 43. Como se observó antes, la mayoría de las escuelas del país, desde por lo menos cincuenta años antes, dedicaban al cálculo diferencial e integral dos semestres o un año, de acuerdo a si dividían en semestres o años escolares sus estudios.. 2. En cuanto al plan 95, en primer lugar hay un cambio de actitud ante la enseñanza del cálculo, puesto que ahora se dedican dos semestres a esta materia y los nombres oficiales cambian a cálculo d(ferencial y cálculo integral respectivamente.. En el quinto semestre, en el curso de cálculo diferencial se observa que el primer punto es repaso de funciones para lo cual hay 1O horas asignadas. En realidad sí se trata de un repaso, puesto que en el segundo semestre de este plan hay un desarrollo bastante aceptable del álgebra de funciones. Al cálculo diferencial en sí se le dedica un 88%.. En cuanto al cálculo integral, se inicia con 1O horas dedicadas a la diferencial y sus aplicaciones. Este tema corresponde al cálculo diferencial. En este plan aparecen los. temas clásicos del cálculo integral, aunque el orden y los tiempos no parezcan completamente prácticos.. Por otra parte se dedican 1O horas a la introducción de las ecuaciones diferenciales y 1O más a la modelación matemática elemental. Esta última parte, aunque diga elemental, se refiere a las aplicaciones más sencillas de las ecuaciones diferenciales, de manera que no es nada elemental.. Aunque en este plan hubo un considerable avance respecto del anterior al dar el doble del tiempo al cálculo diferencial e integral, también se exageró al incluir a las ecuaciones diferenciales y a sus aplicaciones..

(51) 44. En el sexto semestre se dedica un 63% al cálculo integral como tal, el resto a antecedentes y consecuentes, es decir, al cálculo diferencial, a las ecuaciones diferenciales y a sus aplicaciones.. 3. En cuanto al plan 2000, implementado en el 2002 y en uso actualmente, en el quinto semestre cuyo nombre de cálculo diferencial se conserva, los temas 1, 2, 3 y 4, que corresponden a relaciones y funciones, álgebra de funciones, función exponencial y logarítmica y funciones especiales a los cuales se destinan 18 clases, pertenecen al álgebra, la diferencia respecto del plan 95 es que se estudia esto aquí (plan 2000) por primera vez, en tanto que en el plan 95 se estudiaba en el segundo semestre. La proporción de cálculo diferencial de este temario es del orden del 75 %.. Los tiempos destinados al álgebra son insuficientes si se considera que estos temas se estudian por primera vez, por ejemplo el tema 3 correspondiente a fimción logarítmica y exponencial no puede tratarse seriamente en 5 clases, ya que es necesario el antecedente de las ecuaciones logarítmicas y exponenciales para el trato de las respectivas funciones.. Otros temas como funciones polinomiales,. funciones seccionadas y funciones racionales que son antecedentes indispensables para el cálculo diferencial no se estudian aquí, ni en otro lugar del mismo plan. En el plan 95 se estudiaba una parte en el segundo semestre.. Los tiempos dedicados al álgebra son insuficientes y le restan espacio al cálculo diferencial, además de que no deberían de tratarse en este curso.. Una excelente aportación del plan 2000 es que se asignan 3 clases a exámenes parciales, tanto para el quinto como para el sexto semestre..

(52) 45. En el sexto semestre, cuyo nombre de cálculo integral también se conserva, el pnmer tema la diferencial con una asignación de 5 horas pertenece al cálculo diferencial. Se elimina aquí a las ecuaciones diferenciales y a la modelación matemática elemental que aparecía en el anterior plan, con lo cual se destina del orden del 94 % del espacio al cálculo integral. Es posible estar en desacuerdo con la distribución de los tiempos establecidos, pero esto constituye un problema menor puesto que se pueden hacer ajustes localmente, lo importante es que el curso tiene una fuerte proporción de cálculo integral.. Es importante hacer las siguientes observaciones respecto de los temarios sintéticos de los semestres quinto y sexto del plan 2000.. l. El total de horas-clase que aparece en cada programa es de 80, aunque en realidad, la. cantidad total de días hábiles es de 75.. II. Por primera vez se consideran tres horas para la aplicación de los exámenes parciales, pero no se considera que se invierte una hora de retroalimentación por cada examen parcial, además de que la primera clase en general se utiliza para describir a las políticas del curso, su presentación, evaluación, etc. y la última clase para clausurar al curso con los correspondientes comentarios de los estudiantes y del profesor, despedidas, etc.. Conviene además dedicar una clase por cada examen parcial como día de ajuste previendo alguna eventualidad, debido a que, tratándose de estudiantes de los últimos semestres, en ocasiones tienen sesiones de orientación vocacional, actividades sociales, reuniones y comidas con las autoridades, etc..

(53) 46. El número real de clases dedicadas a trabajar con el temario oscila entre 64 y 67. Conviene hacer una planeación para 64 días, los días de ajuste, en el caso de que no se requieran, pueden utilizarse perfectamente para repasos o recapitulaciones generales.. III. Los tiempos destinados al cálculo diferencial en el quinto semestre y los antecedentes necesarios para esta materia, según el plan 2000 en uso actual, no son suficientes y se reducen aún más después de las consideraciones del punto anterior.. Esto se refleja en la baja calidad de los conocimientos del álgebra y del cálculo diferencial de los estudiantes que inician un curso de cálculo integral.. IV. Aunque los tiempos para el cálculo integral estén mejor proporcionados que para el cálculo diferencial, el problema existente en el quinto semestre se manifiesta en el sexto semestre desde el principio. De manera que no dominar adecuadamente los diferentes algoritmos del álgebra y los fundamentos del cálculo diferencial se convierten en un obstáculo epistemológico, puesto que retardan la velocidad del aprendizaje del cálculo integral.. Análisis de los antecedentes académicos de los estudiantes. Los exámenes de diagnóstico muestran que los estudiantes tienen un bajo dominio de los antecedentes necesarios para iniciar un curso de cálculo integral, tanto en álgebra como en cálculo diferencial.. Una parte de esos temas de álgebra se estudiaron en el quinto semestre, el resto está distribuido en los primeros dos semestres. Esta disconexión es una de las razones por las cuales los estudiantes no tienen una buena base algebraica, otra de las razones es que no se proporciona el número adecuado de clases a estos temas y por lo tanto hay una menor.

(54) 47. cantidad y calidad de práctica en los algoritmos y en la representación geométrica de los conceptos algebraicos.. Por otra parte no se incluye el estudio de funciones polinomiales, funciones seccionadas y funciones racionales, temas completamente necesarios para el estudio del cálculo diferencial.. La parte que más se dificulta a los estudiantes, según este diagnóstico es la referente a las aplicaciones del cálculo diferencial (Parte III). Esta parte representa un doble problema para el estudiante, a saber, la modelación propia, es decir la obtención de las ecuaciones o funciones que representan a las diferentes situaciones que se le presentan y después la representación de las funciones involucradas y la resolución de las ecuaciones de acuerdo a los métodos del cálculo diferencial.. Otra de las partes en donde se observan bajas calificaciones en cálculo diferencial es precisamente la parte inicial de un curso de cálculo diferencial (Parte I) ya que se requiere de aplicar algoritmos algebraicos, tales como factorizaciones, graficación, etc. para interpretar los conceptos iniciales de esta materia.. La falta de fortaleza en los antecedentes algebraicos repercute fuertemente en la parte I, de acuerdo a esta evaluación, de manera que las otras partes, excepción hecha de la parte III están ligeramente mejor.. Las observaciones respecto a los resultados de los exámenes de diagnóstico aplicados a los estudiantes pueden resumirse de la siguiente manera..

(55) 48. l. Las evaluaciones en estos exámenes de diagnóstico son sumamente bajas, aún. considerando que los alumnos no estudiaran formalmente para estos exámenes, como se estila con los exámenes normales.. II. Estas calificaciones son una repercusión del hecho de que los cursos de álgebra y de cálculo diferencial no estén dedicados completamente a su materia, que no estén proporcionados los tiempos adecuados a los temas tanto en álgebra como en cálculo diferencial y que los temas del álgebra no estén completos.. III. Los estudiantes inician su curso de cálculo integral con un déficit en los antecedentes. Como además el curso es muy amplio y exigente, deben de aprender estos antecedentes en el transcurso de las primeras semanas y no siempre lo logran de forma correcta.. Análisis epistemológico de la integral. La percepción de los profesores y los estudiantes acerca de los posibles obstáculos epistemológicos, los resultados de los exámmes de diagnóstico de álgebra y de cálculo diferencial y el análisis de los temarios sintéticos de las materias de cálculo diferencial y de cálculo integral, nos permiten concluir lo siguiente:. 1. En efecto, como los exámenes de diagnóstico lo revelan, los estudiantes no tienen un manejo adecuado de los conocimientos previos, es decir, sus conocimientos de álgebra y de cálculo diferencial básicos son insuficientes para el inicio de un curso de cálculo integral..