Tema 3-Sistemas de partículas

Tema 3-Sistemas de partículas

Momento lineal y colisiones

•Momento lineal de un partícula

•Segunda ley de Newton

• Impulso

• Teorema del impulso

v m p   

dt p F d

 



dt F I

tB

tA



 



A

B

p

p

I   





Centro de masas

Variables relativas al centro de masas:





i

i i

cm

m r

r  M 1 





i

i i

cm

m v

v  M 1 





i

i i

cm

m a

a  M 1 

cm i

i cm

i i

cm i

i

r r v v v a a a

r 

^*

    ; 

^*

    ; 

^*

   

0

; 0

;

0

^{* *}

*



_cm



_cm



cm

v a

r   

El centro de masas respecto a sí mismo

:





i

m

i

con

M

Momento lineal de un sistema de partículas

cm i

i

i

v M v m

p      

cm

ext

M a

dt p

F  d  





En un sistema de referencia inercial:

El centro de masas se mueve como si sobre el actuaran todas las fuerzas exteriores y tuviera toda la masa del sistema

Teorema de conservación del momento lineal

Si la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema es nula, se conserva la cantidad de movimiento del sistema.

Corolario: en ese caso, el centro de masas se mueve con velocidad constante.

Impulso actuando sobre un sistema de partículas

dt F

dt F

dt F I

tB

tA

ext tB

tA i

ext i tB

tA i

i

 

 ^{ }

   



,

A B

ext

p p

I   





Las fuerzas interiores se anulan en el ímpulso

Teorema del impulso: Si el impulso de las fuerzas exteriores es nulo se conserva el momento lineal del sistema.

Válido también en tiempos muy pequeños aunque haya una resultante de las fuerzas exteriores no nula.

Colisiones

Colisiones

Teorema del conservación de momento lineal

A A

B

B

p p p

p 

_1,

 

_2,

 

_1,

 

_2,



 0 I 

A

B

p

p   

Dos partículas:

• Colisiones elásticas:

se conserva la energía cinética

• Colisiones inelásticas:

no se conserva la energía cinética

-Completamente inelásticas:

las partículas salen unidas

Energía cinética de un sistema de partículas

Demostrar que:



 ^{ }



 i

i i cm

N

i

i i

c

m v Mv m v

E

^{2 * 2}

1

2

( )

2 1 2

1 2

1

Energía cinética interna:

Energía cinética de traslación u orbital:

 

 







 ^N

i

N

i

i i cm

i cm

i

i m v

v M m

M v

v v

1 1

* 1

;

;  







2

2 1

Mv

cm



i

i i

v m (

^*

)

²

2

1

Donde:

El trabajo de las fuerzas internas y externas se transforma en energía cinética

A c B

c ext

AB

W W E E

W  

_int



_,



_,

Las fuerzas externas e internas influyen en la energía cinética:

El trabajo realizado por la resultante sobre el centro de masas es igual al incremento de la energía

cinética orbital

2 , 2

,

2

1 2

1

A cm B

cm B

A

cm cm

B

A

cm

ext

d r Mv Mv

dt v M d

r d

F      

 ^{   }

Par de fuerzas (1)

Dos fuerzas iguales y opuestas que actuan sobre la misma línea de acción de un cuerpo no cambian su estado de equilibrio

Ejemplo: palo de hockey sobre el hielo (sin rozamiento)

Par de fuerzas (2)

Dos fuerzas iguales y opuestas que actuan sobre

diferentes líneas de acción hacen rotar al palo de hockey

Momento de una fuerza respecto a un punto (1)

El efecto de giro de una fuerza depende del módulo de la fuerza y de la distancia de su línea de acción al punto. Y depende del punto.

F r

_

 

Momento de una fuerza respecto a un punto (2)

F r

_

 

Dirección: perpendicular al plano definido por el punto y la fuerza

Sentido: regla de Maxwell para un vector que gira con el cuerpo

F r  

  







 rF sen (  ) rF



Depende del centro de momentos A o B

Momento de un par de fuerzas dF F

r 



_

F 

r F

r F

r      

 

₁



₁



₂



₂

 



Perpendicular al plano definido por las fuerzas Sentido: avance de un tornillo que gira como giraría el cuerpo:

Vector libre: no tiene punto de aplicación

No depende de que puntos se toman en las líneas de acción

Sistema de fuerzas sobre un sólido rígido

Las fuerzas interiores se anulan en la resultante y además dan momento de fuerzas nulo.

0

;

0 

  ^

F 



 ^{ }



i

i i

i

i

r F

F

F     



;

•Un sistema de fuerzas es equivalente a la fuerza

resultante aplicada en un punto y a un par de fuerzas igual al momento de las fuerzas respecto a ese punto.

•Equilibrio del solido rígido:

• Centro de gravedad: en el se puede considerar aplicado el peso de un cuerpo. Es igual al centro de masas

Ejemplo: el columpio en equilibrio

0 0





 ^

F 

•. Los pesos del niño y de la niña se encuentran aplicados en su centro de gravedad.

• El niño más pequeño se sienta más lejos del fulcro para producir un momento igual en magnitud al que produce la niña

Ejemplo: flexiones

•Calcular la fuerza de reacción opuesta a la que la gimnasta hace con los brazos y con los pies cuando está en equilibrio.

• F_p=20 kp y F_reactiion=30 kp

Ejemplo: palancas en el cuerpo: el pie

Los músculos de los gémelos tiran del tendón de aquiles.

Se muestra el sistema equivalente de

palancas.

Ejemplo: palancas en el cuerpo: la cabeza

El centro de gravedad de la cabeza está

delante del punto de apoyo en la columna.

Hace falta acción múscular para

mantener la cabeza derecha.

¿Cuanto vale F_M?

Ejemplo: palancas en el cuerpo: el brazo

El biceps hace una

fuerza para sostener el peso del antebrazo y del libro. El triceps se supone relajado.

Momento angular

Momento angular de una partícula

Demostrar el teorema del momento angular:

v m r

p r

L     

















 rmv r mv rmv L sen (  )

 ^

 dt 

L

d

Momento angular de un sistema de partículas

Demostrar el teorema del momento angular. Si O es un punto de referencia fijo en algún sistema inercial:

punto al

respecto con

; r O

p r

L

_i

i

i i

O





 

 ^



con

; r F

_,

dt L d

ext i i

i O

O

O

   







 ^{ } 

Momento angular y centro de masas

Demostrar:

*

,

L

L p

r

L

_{O cm}

i

i i

O



 

 







 

, ,

0 cm

r

O cm

M v

cm

L   





Momento angular del centro de masas u orbital

*

*

*

^  ^

i

i i

i

m v

r

L   

Momento angular relativo al centro de masas o interno o de spin

2) Con respecto al centro de masas a pesar de que este pueda estar acelerado y por lo tanto no ser un sistema inercial, es

decir . Se cumple:

Teorema del momento angular y centro de masas

ext cm

O cm

O cm

O cm

O

r F

dt L

d     







_{, , ,}

,

 ; con 

El teorema del momento angular se cumple además por separado para cada componente del mismo.

1) Para una partícula de masa la del sistema y concentrada en el centro de masas. Con O fijo en un sistema de referencia inercial

ext i i

i

F

dt r L d

,

*

*

*

*

con

;   

 





 ^{ } 

* i i

i

m a

F  



Rotación en torno a un eje

-Aceleración angular -Momento de inercia -Momento de fuerzas -Trabajo y energía en la rotación

- Momento angular en la rotación

Rotación: variables básicas

Aceleración angular

• Velocidad angular

• Aceleración angular

• Aceleración tangencial

•Aceleración centrípeta

dt d 

 

dt d 

 

 R a

_t



2

2

R 

R

a

_n

 v 

Aceleración angular: ejemplo

Calcular la aceleración angular de las ruedas si la moto acelera de 0 a 30 108km/h en 4,2 si la rueda tiene un radio de 32 cm

Momento de inercia de una partícula

Dinámica de rotación

Momento de inercia de una particula



  rF

_t

 rma

_t

 mr

²

mr

2

I 



  I

Momento de inercia de un sistema de partículas

Dinámica de rotación para un eje fijo o que pase por el centro de masas





i

i

i

m

r

I

²



 _ext  I



 r dm

I

²

Algunos momentos de inercia

Para ejes paralelos

separados una distancia d

Md

2

I

I 

_cm



Trabajo y energía en la rotación

Respecto a un eje fijo o que pase por el centro de masas:





 d rd

F ds

F

dW

_rot



_t



_t

















B

A B

A

B

A rot

d I dt d

I d

d I W





 





2 2

2 1 2

1

A B

rot

I I

W    

2 2

2 1 2

1

_{cm cm}



c

Mv I

E  

Energía cinética de traslación y rotación:





 

  ^{d P}

W

B

A

rot

;

Ejemplo: helicóptero

Calcular la energía cinética de traslación del helicoptero y de rotación si las 4 aspas pueden asimilarse a barillas delgadas de 4 m de longitud y 50 kg de peso que giran a 300 rpm.

M=1000 kg., v=20 m/s.

2 2

2 1 2

1

_{cm cm}



c

Mv I

E  

Vease un rescate en helícoptero en las Azores en 2014 https://youtu.be/BROhwd3VMKs

Momento angular y su conservación en la

rotación respecto a un eje

Momento angular y su conservación

Respecto a un eje fijo o que pase por el centro de masas:







  

ⁱ²

^

i

i i

i i

i

z

m r v m r

L

L L

_z

 I 

dt dL

_z

ext

z_,





Si el momento de las fuerzas exteriores

es cero, se conserva el momento angular

Ejemplo: formación del sistema solar

El sistema solar tiene el mismo momento angular que la nube de polvo

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