12 ejercicios de mecánica de suelos

(1)

Los ejercicios incluidos en este Cuaderno pretenden

“movilizar” los contenidos que los autores consideran básicos para el aprendizaje de la Mecánica de Suelos y la Geotecnia. Sin embargo, no es un cuaderno de iniciación. La resolución de los ejercicios se plantea asumiendo que el lector está familiarizado con la ma- teria. El objetivo del Cuaderno, como indica su título, es “contrastar” que esto es realmente así. No obstante, como cualquier “test de contraste”, el resultado solo puede ser negativo. Seguir todos los ejercicios no es si- nónimo de tener un completo dominio de la materia.

Solo supone que no se tienen fundamentos racionales para asumir lo opuesto (desconocimiento de los funda- mentos de esta área de conocimiento). Por el contrario, los resultados negativos sí son un indicativo claro: si el lector no es capaz de seguir algún ejercicio, debería plantearse la conveniencia de realizar un esfuerzo para afianzar la materia asociada al ejercicio en cuestión.

Colección Manuales Docentes

12 ejercicios de

mecánica de suelos

Cuaderno de contraste

Vicente Navarro Gámir, Gema de la Morena Borja, Laura Asensio Sánchez, Ángel Yustres Real

12 e jercicios de mecánica de suelos

ISBN 978-84-9044-448-1

9 7 8 8 4 9 0 4 4 4 4 8 1

(2)

(3)

12 EJERCICIOS DE MECÁNICA DE SUELOS.

CUADERNO DE CONTRASTE

(4)

(5)

12 EJERCICIOS DE MECÁNICA DE SUELOS.

CUADERNO DE CONTRASTE

Vicente Navarro Gámir Gema de la Morena Borja

Laura Asensio Sánchez Ángel Yustres Real

Cuenca, 2021

(6)

Edita: Ediciones de la Universidad de Castilla-La Mancha Colección MANUALES DOCENTES N.º 22

Diseño de la colección: Servicio de Publicaciones. (Universidad de Castilla-La Mancha).

Esta editorial es miembro de la UNE, lo que garantiza la difusión y comercializa- ción de sus publicaciones a nivel nacional e internacional.

I.S.B.N.: 978-84-9044-448-1 (Edición electrónica) D.O.I.: http://doi.org/10.18239/manuales_2021.22.00 Composición: Compobell, S.L.

Hecho en España (U.E.) – Made in Spain (E.U.)

Esta obra se encuentra bajo una licencia internacional Creative Commons CC BY 4.0.

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra no incluida en la licencia Cretative Commons CC BY 4.0 solo puede ser realizada con la autorización expresa de los titulares, salvo excepción prevista por la ley. Puede Ud. acceder al tex- to completo de la licencia en este enlace: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.es

(7)

7

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN. “GUÍA DE USO” DEL CUADERNO . . . 9

1. IDENTIFICACIÓN Y FASES . . . 11

Problema 1 . . . 13

Problema 2 . . . 15

2. FLUJO . . . 17

Problema 3 . . . 19

Problema 4 . . . 21

Problema 5 . . . 23

3. CONSOLIDACIÓN . . . 25

Problema 6 . . . 27

4. CARACTERIZACIÓN DE CAMPOS DE TENSIONES EN SUELOS . . . 31

Problema 7 . . . 33

5. CARACTERIZACIÓN DE LA RESISTENCIA AL CORTE DE SUELOS SATURADOS . . . 35

Problema 8 . . . 37

(8)

Índice

8

6. EL SUELO COMO MEDIO ELÁSTICO . . . 41

Problema 9 . . . 43

7. ANÁLISIS LÍMITE . . . 47

Problema 10 . . . 49

8. ESTADO PLÁSTICO DE RANKINE . . . 55

Problema 11 . . . 57

9. EQUILIBRIO LÍMITE . . . 61

Problema 12 . . . 63

(9)

9

INTRODUCCIÓN. “GUÍA DE USO” DEL CUADERNO

Los ejercicios incluidos en este Cuaderno quieren “movilizar” los contenidos que los integrantes del equipo de Ingeniería del Terreno de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de Castilla-La Mancha consideramos básicos para el aprendizaje de la Mecánica de Suelos y la Geotecnia.

Sin embargo, no es un cuaderno de iniciación. La resolución de los ejercicios se plantea asumiendo que el lector está familiarizado con la materia. El Cuaderno tiene como objetivo contrastar que esto es realmente así. De ahí la apostilla de

“Cuaderno de contraste” incluida en el título. No obstante, como cualquier “test de contraste”, el resultado sólo puede ser negativo... Si bien seguir todos los ejercicios no significa que se tenga un completo dominio de la materia, sí supone que no se tienen fundamentos racionales para asumir lo opuesto (desconocimiento de los fundamentos de esta área de conocimiento). Por el contrario, los resultados negativos sí son un indicativo claro. Si el lector no es capaz de seguir algún ejer- cicio debería plantearse la conveniencia de realizar un esfuerzo para afianzar la materia asociada al ejercicio en cuestión.

Esperamos que el Cuaderno sea de utilidad. Esa es nuestra ambición, y si lo conseguimos, será nuestra recompensa.

No queremos acabar esta Introducción sin agradecer a Emilio Ruiz Gómez su ayuda para que los ejercicios hayan acabado conformando un material impreso.

Colaboró a delinear buena parte de las figuras, y revisó buena parte de los cálculos.

(10)

(11)

1 IDENTIFICACIÓN Y FASES

(12)

(13)

13

PROBLEMA 1

Se toma una muestra cilíndrica de suelo, de 4 cm de altura y 10 cm

²

de sec- ción, con una masa de 76 g. Tras estabilizar la masa en estufa, esta pasa a ser de 61.524 g.

1) ¿Cuál era la humedad (w) de la muestra?

2) ¿Cuál es la densidad natural ( ρ

n

) del suelo de la muestra?

3) Suponiendo que la densidad de las partículas sólidas es de 2.7 g/cm

³

, ¿Cuál es el índice de poros (e) de la muestra? ¿Y la porosidad (n)? ¿Cuál era su grado de saturación (Sr)?

SOLUCIÓN:

1) La humedad w del suelo se determina como:

7 Problema 1

Se toma una muestra cilíndrica de suelo, de 4 cm de altura y 10 cm²de sección, con una masa de 76 g. Tras estabilizar la masa en estufa, esta pasa a ser de 61.524 g.

1) ¿Cuál era la humedad (w) de la muestra?

2) ¿Cuál es la densidad natural (ρn) del suelo de la muestra?

3) Suponiendo que la densidad de las partículas sólidas es de 2.7 g/cm³, ¿Cuál es el índice de poros (e) de la muestra? ¿Y la porosidad (n)? ¿Cuál era su grado de saturación (Sr)?

Solución:

1) La humedad w del suelo se determina como:

w T s

s s

76 61.524 23.5%

61.524

M M M

w M M

− −

= = = =

donde Mwes la masa de agua, Mses la masa de las partículas sólidas, y MTes la masa total.

2) La densidad naturalρnse define como:

T 3 n

T

76 1.9 g/cm 4 ·10

M

ρ = V = =

donde VTes el volumen total de la muestra.

3) Teniendo en cuenta el diagrama unitario de la Figura 1, la densidad natural se puede expresar como:

( )

s w

s s

w s

n T

T T T

1 1

1 M M

M w

M M

M

V V V e

ρ ρ

 

 +  +

+  

= = = =

+ donde ρses la densidad de las partículas sólidas.

donde M

^w

es la masa de agua, M

^s

es la masa de las partículas sólidas, y M

^T es la

masa total.

2) La densidad natural ρ

n

se define como:

7 Problema 1

Solución:

w T s

s s

76 61.524 23.5%

61.524

M M M

w M M

− −

= = = =

3 n T

T

76 1.9 g/cm 4 ·10

M

ρ = V = =

( )

s w

s s

w s

n T

T T T

1 1

1 M M

M w

M M

M

V V V e

ρ ρ

 

 +  +

+  

= = = =

donde V

^T

es el volumen total de la muestra.

3) Teniendo en cuenta el diagrama unitario de la Figura 1, la densidad natural se puede expresar como:

7 Problema 1

Solución:

w T s

s s

76 61.524 23.5%

61.524

M M M

w M M

− −

= = = =

3 n T

T

76 1.9 g/cm 4 ·10

M

ρ = V = =

( )

s w

s s

w s

n T

T T T

1 1

1 M M

M w

M M

M

V V V e

ρ ρ

 

 +  +

+  

= = = =

(14)

1. Identificación y fases

14

donde ρ

s

es la densidad de las partículas sólidas.

Sólido L!quido

Gas

Masas Volúmenes

w e S_r

s

e S_r e

1

ρ

Figura 1. Diagrama unitario del suelo.

Despejando el índice de poros e:

8

Figura 1. Diagrama unitario del suelo

Despejando el índice de poros e:

( )

s n

1 1 0.755 e ρ w

ρ

= + − =

Por otra parte, la porosidad n se define como:

H T

0.430 1

V e

n=V = e= +

donde VHes el volumen de huecos.

Finalmente, dado que la humedad se expresa en función del grado de saturación Sr como:

w w

s s

M e Sr w M

ρ

= = ρ se tiene:

s w

w 84%

Sr e ρ

=ρ =

Sólido Líquido Gas

Masas Volúmenes

γ_w·e·Sr

γ_s e·S_r

e

1

Por otra parte, la porosidad n se define como:

8

( )

s n

1 1 0.755 e ρ w

ρ

= + − =

H T

0.430 1

V e

n=V = e= +

w w

s s

M e Sr w M

ρ

= = ρ se tiene:

s w

w 84%

Sr e ρ

=ρ =

Masas Volúmenes

γ_w·e·Sr

γs

e·Sr

e

1

donde V

^H es el volumen de huecos.

Finalmente, dado que la humedad se expresa en función del grado de satu- ración Sr como:

8

( )

s n

1 1 0.755 e ρ w

ρ

= + − =

H T

0.430 1

V e

n=V = e= +

w w

s s

M e Sr w M

ρ

= = ρ se tiene:

s w

w 84%

Sr e ρ

=ρ =

Masas Volúmenes

γw·e·Sr

γs

e·Sr

e

1

se tiene:

8

( )

s n

1 1 0.755 e ρ w

ρ

= + − =

H T

0.430 1

V e

n=V = e= +

w w

s s

M e Sr w M

ρ

= = ρ se tiene:

s w

w 84%

Sr e ρ

=ρ =

Masas Volúmenes

γw·e·Sr

γs

e·Sr

e

1

(15)

12 ejercicios de Mecánica de Suelos. Cuaderno de contraste

15

PROBLEMA 2

En un ensayo de compactación, se utiliza un molde cilíndrico de 150 cm

²

de área en la base. La altura inicial del suelo seco es de 8 cm, y su masa con humedad higroscópica nula es de 1462 g. Se añaden 204.68 g de agua. Si, tras la compac- tación, la altura del suelo pasa a ser de 5 cm, ¿cuál es la humedad (w) del suelo?

SOLUCIÓN:

Independientemente del nivel de compactación (altura), M

^w

y M

^s

son cons-

tantes. Por ello, w también lo es:

(16)

(17)

2 FLUJO

(18)

(19)

19

PROBLEMA 3

Asumiendo flujo plano, subhorizontal (Dupuit) y estacionario, en medio homogéneo e isótropo sin fuentes ni sumideros, demostrar que en un acuífero libre de gran potencia situado sobre una formación impermeable la lámina libre adopta una forma parabólica.

SOLUCIÓN:

A B

Q

x z y

k = k I_d

Figura 2.

De acuerdo con la Ley de Darcy, asumiendo que el medio es homogéneo e isótropo y que el flujo es plano y subhorizontal, se tiene que el vector filtración q, que viene dado por sus componentes (q

^x, q^y, q^z

), es:

13 Problema 3

Asumiendo flujo plano, subhorizontal (Dupuit) y estacionario, en medio homogéneo e isótropo sin fuentes ni sumideros, demostrar que en un acuífero libre de gran potencia situado sobre una formación impermeable la lámina libre adopta una forma parabólica.

Solución:

Figura 2.

De acuerdo con la Ley de Darcy, asumiendo que el medio es homogéneo e isótropo y que el flujo es plano y subhorizontal, se tiene que el vector filtración q, que viene dado por sus componentes (qx, qy, qz), es:

y

z

0 : 0

( , ) estacionario ( ) :d ( )

0 : 0 d q h

h

y h h x t h h x q q q x

h x

q z

∂ 

= ∂ =  = → → = → → =

∂ 

= ∂ = 

Por lo tanto:

q q= i

En consecuencia:

A B

q =q =q

Esto es, dado que h solo es función de x, en cualquier sección recta AB, el flujo Q por unidad de longitud ortogonal al plano de flujo puede calcularse como:

A B Q

x z y

k = k Id

(20)

2. Flujo

20

Por lo tanto:

En consecuencia:

Esto es, dado que h solo es función de x, en cualquier sección recta AB, el flujo

Q por unidad de longitud ortogonal al plano de flujo puede calcularse como:

14

( )

B

B A

A d acuífero libre

Q=

∫

q l q z= −z =q h ←

No se contempla la existencia de fuentes o sumideros, por lo que Q debe ser constante a lo largo de x:

, cte q h Q=

2 2

d : d : d 2 : 2 2

d 2 d d

h k h h Q Q

k h Q Q h x C

x x x k k

− = − = =− = − +

Aplicando las condiciones de contorno:

2 2

O O 2

0 ; Q : Parábola de Dupuit

x h h h h x

= = → = − k

donde hOes el valor de h en x=0.

No se contempla la existencia de fuentes o sumideros, por lo que Q debe ser constante a lo largo de x:

14

( )

B

B A

A d acuífero libre

Q=

∫

q l q z= −z =q h ←

, cte q h Q=

2 2

d : d : d 2 : 2 2

d 2 d d

h k h h Q Q

k h Q Q h x C

x x x k k

− = − = =− = − +

2 2

O O 2

x h h h h x

= = → = − k

14

( )

B

B A

A d acuífero libre

Q=

∫

q l q z= −z =q h ←

, cte q h Q=

2 2

d : d : d 2 : 2 2

d 2 d d

h k h h Q Q

k h Q Q h x C

x x x k k

− = − = =− = − +

2 2

O O 2

x h h h h x

= = → = − k

Aplicando las condiciones de contorno:

14

( )

B

B A

A d acuífero libre

Q=

∫

q l q z= −z =q h ←

, cte q h Q=

2 2

d : d : d 2 : 2 2

d 2 d d

h k h h Q Q

k h Q Q h x C

x x x k k

− = − = =− = − +

2 2

O O 2

x h h h h x

= = → = − k

donde h

^O

es el valor de h en x = 0.

(21)

21

PROBLEMA 4

Se tiene un muro vertical que sustenta un terreno horizontal homogéneo e isótropo que descansa sobre un material impermeable situado a la cota de la base del muro. Si en la base del terreno trasdosado se instala un dren ideal infinita- mente extenso, asumiendo flujo estacionario, definir cómo varía la presión de agua al variar la coordenada vertical z. Considerar que el flujo es lo suficientemente reducido para que en todo momento el nivel freático coincida con la rasante del terreno.

SOLUCIÓN:

Figura 3.

Al ser un dren ideal, la permeabilidad es muy alta, y la altura de energía h será constante en él. Por lo tanto, dado que z también se asume aproximadamente constante (dren horizontal), la presión de agua u también lo será. Para cualquier punto C, se tendrá:

15 Problema 4

Se tiene un muro vertical que sustenta un terreno horizontal homogéneo e isótropo que descansa sobre un material impermeable situado a la cota de la base del muro. Si en la base del terreno trasdosado se instala un dren ideal infinitamente extenso, asumiendo flujo estacionario, definir cómo varía la presión de agua al variar la coordenada vertical z.

Considerar que el flujo es lo suficientemente reducido para que en todo momento el nivel freático coincida con la rasante del terreno.

Solución:

Figura 3

Al ser un dren ideal, la permeabilidad es muy alta, y la altura de energía h será constante en él. Por lo tanto, dado que z también se asume aproximadamente constante (dren horizontal), la presión de agua u también lo será. Para cualquier punto C, se tendrá:

C A

Dren ideal→h cte ( cte) : cte : z u u =u =0

tomando la presión atmosférica como referencia. Por otra parte, en cualquier punto B de la coronación se cumplirá:

B 0, cte

h =H+

Al ser h constante tanto en la coronación como en el dren, en un material isótropo, el flujo será vertical. Además, al ser el terreno trasdosado un material homogéneo, y al asumir un estado estacionario, se deduce que h es sólo función de z.

.

^k

Dren ideal Material homogéneo e isótropo H

A C

B

z

. ∞

.

tomando la presión atmosférica como referencia. Por otra parte, en cualquier punto B de la coronación se cumplirá:

15 Problema 4

Se tiene un muro vertical que sustenta un terreno horizontal homogéneo e isótropo que descansa sobre un material impermeable situado a la cota de la base del muro. Si en la base del terreno trasdosado se instala un dren ideal infinitamente extenso, asumiendo flujo estacionario, definir cómo varía la presión de agua al variar la coordenada vertical z.

Considerar que el flujo es lo suficientemente reducido para que en todo momento el nivel freático coincida con la rasante del terreno.

Solución:

Figura 3

Al ser un dren ideal, la permeabilidad es muy alta, y la altura de energía h será constante en él. Por lo tanto, dado que z también se asume aproximadamente constante (dren horizontal), la presión de agua u también lo será. Para cualquier punto C, se tendrá:

C A

Dren ideal→h cte ( cte) : cte : z u u =u =0

tomando la presión atmosférica como referencia. Por otra parte, en cualquier punto B de la coronación se cumplirá:

B 0, cte

h =H+

Al ser h constante tanto en la coronación como en el dren, en un material isótropo, el flujo será vertical. Además, al ser el terreno trasdosado un material homogéneo, y al asumir un estado estacionario, se deduce que h es sólo función de z.

.

^k

Dren ideal Material homogéneo e isótropo H

A C

B

z

. ∞

.

Al ser h constante tanto en la coronación como en el dren, en un material

isótropo, el flujo será vertical. Además, al ser el terreno trasdosado un material

homogéneo, y al asumir un estado estacionario, se deduce que h es sólo función

de z.

(22)

2. Flujo

22 16

x

y

0 d 0

Flujo B C 1D : d ( , ) estacionario ( )

0 d 0

d q h

x

q h h z t h h z

q h

y

= → = 

− =  = → → =



= → =



q k



En situación estacionaria y suelo saturado, de la ecuación de balance de masa se deduce que:

2 2

Estacionario : · 0 0 d 0 h lineal

d

h h

q z z

∇ = →∂ = → = →

∂

Por lo tanto, h debe ser una función lineal entre B y C. En consecuencia, también debe serlo u.

C B

: lineal 0 : 0

u h z u= − →u =u = u≡ ∀z Por lo tanto, u será nula en todo el trasdós.

En situación estacionaria y suelo saturado, de la ecuación de balance de masa se deduce que:

16

x

y

0 d 0

d q h

x

q h h z t h h z

q h

y

= → = 

− =  = → → =



= → =



q k



2 2

d

h h

q z z

∇ = →∂ = → = →

∂

C B

: lineal 0 : 0

Por lo tanto, h debe ser una función lineal entre B y C. En consecuencia, también debe serlo u.

16

x

y

0 d 0

d q h

x

q h h z t h h z

q h

y

= → = 

− =  = → → =



= → =



q k



2 2

d

h h

q z z

∇ = →∂ = → = →

∂

C B

: lineal 0 : 0

En consecuencia, u será nula en todo el trasdós.

(23)

23

PROBLEMA 5

Dada una presa, idealmente impermeable, cuya base horizontal tiene una extensión de 150 m, y en la que aguas arriba el calado es de 20 m, calcular el flujo a través de la cimentación limo-arcillosa de 10 m de potencia, que reposa sobre una roca con techo horizontal que también puede considerarse impermeable.

Suponer que la cimentación es un medio homogéneo e isótropo con una con- ductividad hidráulica saturada de 10

^-7

m/s. Asumir flujo estacionario, plano y horizontal (Dupuit). Aguas abajo la posición del nivel freático coincide con la rasante del terreno.

SOLUCIÓN:

Figura 4.

Al asumir flujo plano y horizontal y condiciones estacionarias, para el material isótropo considerado se tiene que:

17 Problema 5

Dada una presa, idealmente impermeable, cuya base horizontal tiene una extensión de 150 m, y en la que aguas arriba el calado es de 20 m, calcular el flujo a través de la cimentación limo-arcillosa de 10 m de potencia, que reposa sobre una roca con techo horizontal que también puede considerarse impermeable. Suponer que la cimentación es un medio homogéneo e isótropo con una conductividad hidráulica saturada de 10^-7m/s.

Asumir flujo estacionario, plano y horizontal (Dupuit). Aguas abajo la posición del nivel freático coincide con la rasante del terreno.

Solución:

Figura 4

Al asumir flujo plano y horizontal y condiciones estacionarias, para el material isótropo considerado se tiene que:

Dupuit : q Medio homogéneo e isótropo : h h 0 : estacionario h h x ( ) y z

∂ ∂

= → = = =

∂ ∂

q i

Dado que no existen en este problema fuentes ni sumideros, Q será constante. Por lo tanto, también lo será también q, y, en consecuencia, la evolución de h será lineal con x, por lo que podrá calcularse como:

f O

d d d 0 20

· 10 , cte : cte 0.133

d 10 d 10 d 150

h h

h Q h Q h

q Q k

x x k x L

− −

= − = → = − → = = = −

En consecuencia:

x

150 m 20 m

10 m

i

Homogéneo e isótropo

Dado que no existen en este problema fuentes ni sumideros, Q será constante.

Por lo tanto, también lo será también q, y, en consecuencia, la evolución de h será lineal con x, por lo que podrá calcularse como:

17 Problema 5

Dada una presa, idealmente impermeable, cuya base horizontal tiene una extensión de 150 m, y en la que aguas arriba el calado es de 20 m, calcular el flujo a través de la cimentación limo-arcillosa de 10 m de potencia, que reposa sobre una roca con techo horizontal que también puede considerarse impermeable. Suponer que la cimentación es un medio homogéneo e isótropo con una conductividad hidráulica saturada de 10^-7m/s.

Asumir flujo estacionario, plano y horizontal (Dupuit). Aguas abajo la posición del nivel freático coincide con la rasante del terreno.

Solución:

Figura 4

Al asumir flujo plano y horizontal y condiciones estacionarias, para el material isótropo considerado se tiene que:

Dupuit : q Medio homogéneo e isótropo : h h 0 : estacionario h h x ( ) y z

∂ ∂

= → = = =

∂ ∂

q i

Dado que no existen en este problema fuentes ni sumideros, Q será constante. Por lo tanto, también lo será también q, y, en consecuencia, la evolución de h será lineal con x, por lo que podrá calcularse como:

f O

d d d 0 20

· 10 , cte : cte 0.133

d 10 d 10 d 150

h Q h Q h h h

q Q k

x x k x L

− −

= − = → = − → = = = −

En consecuencia:

x

150 m 20 m

10 m

i

Homogéneo e isótropo

En consecuencia:

18

7 7 2

· 10 d · 10 10 · 0.133 · 10 1.33 · 10 m /s d

Q q Q k h x

− −

= → = − = =

(24)

(25)

3 CONSOLIDACIÓN

(26)

(27)

27

PROBLEMA 6

Sobre un estrato arcilloso normalmente consolidado (C

^c

=0.1; C

^s

=0.01; densi- dad natural = 2 t/m

³

) de 10 m de potencia, se aplica una carga uniforme de gran extensión de 10 t/m

²

. El nivel freático se mantiene siempre en superficie. Bajo la arcilla existe un estrato de gravas compacto, idealmente permeable (nivel pie- zométrico constante en él), e indeformable. Inicialmente se tenían condiciones geoestacionarias. Con estos datos:

1) Determinar el asiento a los 5 meses de realizar la carga.

2) Si se deja pasar el tiempo suficiente para poder asumir que se han disipado las sobrepresiones generadas por la carga de 10 t/m

²

, retirando en ese momento 5 t/m

²

, determinar cuál será el asiento final del estrato.

Se puede asumir la hipótesis de que las propiedades y comportamiento del punto medio “M” del estrato define el comportamiento medio del estrato, donde su índice de poros inicial (e

^M

) es igual a 0.6, pudiendo considerar una conducti- vidad hidráulica saturada constante de 10

^-8

m/s.

SOLUCIÓN:

En primer lugar, se dibujan los croquis acotados de la tensión total (líneas rojas) y la presión del agua (líneas azules) en los tiempos 0

⁻

, 0

⁺

y ∞ (valores en t/

m

²

):

(28)

3. Consolidación

28 21 Problema 6

Sobre un estrato arcilloso normalmente consolidado (Cc=0.1; Cs=0.01; densidad natural

= 2 t/m³) de 10 m de potencia, se aplica una carga uniforme de gran extensión de 10 t/m². El nivel freático se mantiene siempre en superficie. Bajo la arcilla existe un estrato de gravas compacto, idealmente permeable (nivel piezométrico constante en él), e indeformable. Inicialmente se tenían condiciones geoestacionarias. Con estos datos:

1) Determinar el asiento a los 5 meses de realizar la carga.

2) Si se deja pasar el tiempo suficiente para poder asumir que se han disipado las sobrepresiones generadas por la carga de 10 t/m², retirando en ese momento 5 t/m², determinar cuál será el asiento final del estrato.

Se puede asumir la hipótesis de que las propiedades y comportamiento del punto medio

“M” del estrato define el comportamiento medio del estrato, donde su índice de poros inicial (eM) es igual a 0.6, pudiendo considerar una conductividad hidráulica saturada constante de 10^-8m/s.

Solución:

En primer lugar, se dibujan los croquis acotados de la tensión total (líneas rojas) y la presión del agua (líneas azules) en los tiempos 0⁻, 0⁺y ∞ (valores en t/m²):

Figura 5.

De acuerdo con los esquemas anteriores, las tensiones efectivas inicial σ’Oy final σ’fen el punto M son:

Figura 5.

De acuerdo con los esquemas anteriores, las tensiones efectivas inicial σ’

O

y final σ’

f

en el punto M son:

22

(

'_{O M}

)

^{0 10} 5 t/m²

σ = ⁺2 =

( )

'_{f M} ^{20 10} 15 t/m²

σ = 2⁺ =

Figura 6.

Al tratarse de un material normalmente consolidado, la variación del índice de poros e viene dada por:

c log 'v

e C σ

∆ = − ∆

1) El asiento a los 5 meses δ5mesesse puede calcular a partir del asiento en tiempo infinito δ∞como:

5meses 5meses

δ =δ U∞

donde U5meseses el grado medio de consolidación del estrato a los 5 meses.

En primer lugar, la variación del índice de poros en tiempo infinito es:

M

( )

clog15 0.04771

e C 5

∆ ∞ = − = −

Por definición, en tiempo infinito, el asiento δ∞asociado se calcula como:

( ) ( )

2 2

0 0

δ d , d

1 ,0

H z H e z z

ε e z

∞ ∞

−∆ ∞

= =

∫ ∫

+

Log(σ’_v)

e 5 t/m²

0.6

1 1 Cc

Cs

10 t/m² 15 t/m²

22

(

'_{O M}

)

^{0 10} 5 t/m²

σ = ⁺2 =

( )

'_{f M} ^{20 10} 15 t/m²

σ = 2⁺ =

Figura 6.

c log 'v

e C σ

∆ = − ∆

5meses 5meses

δ =δ U∞

M

( )

clog15 0.04771

e C 5

∆ ∞ = − = −

( ) ( )

2 2

0 0

δ d , d

1 ,0

H H e z

z z

ε e z

∞ ∞

−∆ ∞

= =

∫ ∫

+

Log(σ_’_v₎

e 5 t/m²

0.6

1 1 C_c

Cs

10 t/m² 15 t/m²

Figura 6.

Al tratarse de un material normalmente consolidado, la variación del índice

de poros e viene dada por:

(29)

29 22

(

'_{O M}

)

^{0 10} 5 t/m²

σ = ⁺2 =

( )

'_{f M} ^{20 10} 15 t/m²

σ = 2⁺ =

Figura 6.

c log 'v

e C σ

∆ = − ∆

5meses 5meses

δ =δ U∞

M

( )

clog15 0.04771

e C 5

∆ ∞ = − = −

( ) ( )

2 2

0 0

δ d , d

1 ,0

H H e z

z z

ε e z

∞ ∞

−∆ ∞

= =

∫ ∫

+

Log(σ_’_v₎

e 5 t/m²

0.6

1 1 C_c

Cs

10 t/m² 15 t/m²

1) El asiento a los 5 meses δ

5meses

se puede calcular a partir del asiento en tiempo infinito δ

∞

como:

22

(

'_{O M}

)

^{0 10} 5 t/m²

σ = ⁺2 =

( )

'_{f M} ^{20 10} 15 t/m²

σ = 2⁺ =

Figura 6.

c log 'v

e C σ

∆ = − ∆

5meses 5meses

δ =δ U∞

M

( )

clog15 0.04771

e C 5

∆ ∞ = − = −

( ) ( )

2 2

0 0

δ d , d

1 ,0

H H e z

z z

ε e z

∞ ∞

−∆ ∞

= =

∫ ∫

+

Log(σ’v)

e 5 t/m²

0.6

1 1 C_c

Cs

10 t/m² 15 t/m²

donde U

^5meses

es el grado medio de consolidación del estrato a los 5 meses.

En primer lugar, la variación del índice de poros en tiempo infinito es:

22

(

'_{O M}

)

^{0 10} 5 t/m²

σ = ⁺2 =

( )

'_{f M} ^{20 10} 15 t/m²

σ = 2⁺ =

Figura 6.

c log 'v

e C σ

∆ = − ∆

5meses 5meses

δ =δ U∞

M

( )

c

log15 0.04771

e C 5

∆ ∞ = − = −

( ) ( )

2 2

0 0

δ d , d

1 ,0

H H e z

z z

ε e z

∞ ∞

−∆ ∞

= =

∫ ∫

+

Log(σ_’_v₎

e 5 t/m²

0.6

1 1 C_c

Cs

10 t/m² 15 t/m²

Por definición, en tiempo infinito, el asiento δ

∞

asociado se calcula como:

22

(

'_{O M}

)

^{0 10} 5 t/m²

σ = ⁺2 =

( )

'_{f M} ^{20 10} 15 t/m²

σ = 2⁺ =

Figura 6.

c log 'v

e C σ

∆ = − ∆

5meses 5meses

δ =δ U∞

M

( )

clog15 0.04771

e C 5

∆ ∞ = − = −

( ) ( )

2 2

0 0

δ d , d

1 ,0

H H e z

z z

ε e z

∞ ∞

−∆ ∞

= =

∫ ∫

+

Log(σ’_v)

e 5 t/m²

0.6

1 1 C_c

Cs

10 t/m² 15 t/m²

De acuerdo con el enunciado este cálculo puede aproximarse como:

23

De acuerdo con el enunciado este cálculo puede aproximarse como:

( ) ( )

M M

10 · 0.04771

δ 2 0.2982 m

1 0 1 0.6

H e

∞ e

∆ ∞

− = =

+ +



El módulo edométrico secante Ems∞puede calcular como:

m 2 m

2 10 · 10

δ 2 2 335.3 t/m

δ 0.2982

H H E H

E

σ σ

∞ ε∞ ∞

∞ ∞

∆ ∆

= = → = = =

Consistentemente con el asiento obtenido, puede adoptarse un coeficiente de consolidación Cv:

8 6 2

v m w

10 · 335.3 3.353 · 10 m /s 1

C k Eγ

− −

= ∞ = =

El tiempo adimensional asociado a 5 meses T5meses, se calcula como:

v 6

5meses 2

3.353 · 10

T · 5 · 30.5 · 86400 1.7674 0.2

25 C t

H

= = − = >>

Por ello U5mesesse calcula con la expresión:

( )

2T5meses

5meses 2 4

U T 0.2 1 8 e 0.9888

π

> = − − =

Por lo tanto, el asiento a los 5 meses es:

5meses

δ =0.2982 · 0.9888 0.2949 m=

2) Para calcular el asiento final tras la descarga, se debe obtener el asiento a tiempo infinito asociado a dicha descarga δ∞2, para lo cual se procede de igual forma que en el apartado anterior:

( )

( ) ( )

( )

2 2 2 M 2

2 0 2 0

O2 O2

δ d , d 2

1 1 M

H z H e z z H e

e z e

∞ ε∞

−∆ ∞ ∆ ∞

= = −

+ +

∫ ∫

^

Por su parte, la variación del índice de poros se debe calcular considerando que la deformación se produce por la rama de descarga-recarga:

El módulo edométrico secante E

^ms∞

puede calcular como:

23

( ) ( )

M M

10 · 0.04771

δ 2 0.2982 m

1 0 1 0.6

H e

∞ e

∆ ∞

− = =

+ +



m 2 m

2 10 · 10

δ 2 2 335.3 t/m

δ 0.2982

H H E H

E

σ σ

∞ ε∞ ∞

∞ ∞

∆ ∆

= = → = = =

8 6 2

v m w

10 · 335.3 3.353 · 10 m /s 1

C k E γ

− −

= ∞ = =

v 6

5meses 2

3.353 · 10

T · 5 · 30.5 · 86400 1.7674 0.2

25 C t

H

−

= = = >>

(

5meses

)

2 ²^T^5meses⁴

U T 0.2 1 8 e ^π 0.9888

π

> = − − =

5meses

δ =0.2982 · 0.9888 0.2949 m=

( )

( ) ( )

( )

2 2 2 M 2

2 0 2 0

O2 O2

δ d , d 2

1 1 M

H H e z e

z z H

e z e

∞ ε∞

−∆ ∞ ∆ ∞

= = −

+ +

∫ ∫

^

Consistentemente con el asiento obtenido, puede adoptarse un coeficiente de consolidación C

^v

:

23

( ) ( )

M M

10 · 0.04771

δ 2 0.2982 m

1 0 1 0.6

H e

∞ e

∆ ∞

− = =

+ +



m 2 m

2 10 · 10

δ 2 2 335.3 t/m

δ 0.2982

H H E H

E

σ σ

∞ ε∞ ∞

∞ ∞

∆ ∆

= = → = = =

8 6 2

v m w

10 · 335.3 3.353 · 10 m /s 1

C k E γ

− −

= ∞ = =

v 6

5meses 2

3.353 · 10

T · 5 · 30.5 · 86400 1.7674 0.2

25 C t

H

= = − = >>

( )

2T5meses

5meses 2 4

U T 0.2 1 8 e 0.9888

π

> = − − =

5meses

δ =0.2982 · 0.9888 0.2949 m=

( )

( ) ( )

( )

2 2 2 M 2

2 0 2 0

O2 O2

δ d , d 2

1 1 M

H z H e z z H e

e z e

∞ ε∞

−∆ ∞ ∆ ∞

= = −

+ +

∫ ∫

^

El tiempo adimensional asociado a 5 meses T

^5meses

, se calcula como:

23

( ) ( )

M M

10 · 0.04771

δ 2 0.2982 m

1 0 1 0.6

H e

∞ e

∆ ∞

− = =

+ +



m 2 m

2 10 · 10

δ 2 2 335.3 t/m

δ 0.2982

H H E H

E

σ σ

∞ ε∞ ∞

∞ ∞

∆ ∆

= = → = = =

8 6 2

v m w

10 · 335.3 3.353 · 10 m /s 1

C k E γ

− −

= ∞ = =

v 6

5meses 2

3.353 · 10

T · 5 · 30.5 · 86400 1.7674 0.2

25 C t

H

−

= = = >>

(

5meses

)

2 ²^T^5meses⁴

U T 0.2 1 8 e ^π 0.9888

π

> = − − =

5meses

δ =0.2982 · 0.9888 0.2949 m=

( )

( ) ( )

( )

2 2 2 M 2

2 0 2 0

O2 O2

δ d , d 2

1 1 M

H H e z e

z z H

e z e

∞ ε∞

−∆ ∞ ∆ ∞

= = −

+ +

∫ ∫

^

Por ello U

^5meses

se calcula con la expresión:

23

( ) ( )

M M

10 · 0.04771

δ 2 0.2982 m

1 0 1 0.6

H e

∞ e

∆ ∞

− = =

+ +



m 2 m

2 10 · 10

δ 2 2 335.3 t/m

δ 0.2982

H H E H

E

σ σ

∞ ε∞ ∞

∞ ∞

∆ ∆

= = → = = =

8 6 2

v m w

10 · 335.3 3.353 · 10 m /s 1

C k E γ

− −

= ∞ = =

v 6

5meses 2

3.353 · 10

T · 5 · 30.5 · 86400 1.7674 0.2

25 C t

H

= = − = >>

(

5meses

)

2 ²^T^5meses⁴

U T 0.2 1 8 e ^π 0.9888

π

> = − − =

5meses

δ =0.2982 · 0.9888 0.2949 m=

( )

( ) ( )

( )

2 2 2 M 2

2 0 2 0

O2 O2

δ d , d 2

1 1 M

H H e z e

z z H

e z e

∞ ε∞

−∆ ∞ ∆ ∞

= = −

+ +

∫ ∫

^