TEMA 8 Estimaci´on de par´ametros por intervalos de confianza

TEMA 8

Estimaci ´on de par´ametros por intervalos de confianza

Sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962)

1. Introducci ´on. Modelos matem´aticos

2. M´etodos num´ericos. Resoluci ´on de sistemas lineales y ecuaciones no lineales 3. Aproximaci ´on de funciones: interpolaci ´on y ajuste

4. Modelos discretos elementales. Ecuaciones en diferencias 5. Estad´ıstica descriptiva. An´alisis de datos

6. Variable aleatoria. Distribuciones de probabilidad 7. Distribuciones de probabilidad importantes

8. Estimaci ´on de par´ametros por intervalos de confianza

9. Contraste de hip ´otesis. Introducci ´on al an´alisis de la varianza 10. Correlaci ´on y regresi ´on. El modelo de regresi ´on simple

• Introducci ´on

• Distribuciones muestrales

• Estimaci ´on estad´ıstica

• Intervalos de confianza

Clases estimadas para este tema: 2 clases

1.I^NTRODUCCION´

Objetivo: Introducir la inferencia estad´ıstica a partir de la

estimaci ´on de par ´ametros por intervalos de confianza

Consideraciones:

- la inferencia estad´ıstica es un proceso inductivo

- aborda dos problemas esencialmente distintos: estimaci ´on y contraste de hip ´otesis

- elementos: poblaci ´on, par ´ametro, muestra, estad´ıstico, estima- ci ´on

- diferentes tipos de muestreo muestra aleatoria simple

2.DISTRIBUCIONES MUESTRALES

concepto de distribuci ´on muestral de un estad´ıstico

¡par ´ametro → constante! ¡estad´ıstico → variable aleatoria!

distribuci ´on muestral de la media X

X = 1 n

n

X

i=1

X_i X_i v.a.i.i.d (µ, σ) ⇒

E(X) = µ V (X) = σ²

n

√σ

n es el error est ´andar de la media - X_i son v.a.i.i.d. ∼ N (µ, σ) ⇒ X ∼ N (µ, σ/√

n)

- X_i son v.a.i.i.d. (µ, σ) ⇒ Teorema Central del L´ımite (TCL)

inferencias sobre la media

- σ dato ⇒ X − µ σ/√

n ∼ N (0, 1) - σ no dato ⇒ X − µ

S/√

n ∼ t_n−1 distribuci ´on muestral de la varianza S²

S² = 1 n − 1

n

X

i=1

X_i − X
2

X_i v.a.i.i.d (µ, σ) ⇒ E(S²) = σ²

inferencias sobre la varianza

- X_i son v.a.i.i.d. ∼ N (µ, σ) ⇒ (n − 1)S²

σ² ∼ χ²_n−1 otras distribuciones

3.E^STIMACION ESTAD´ ´ISTICA

datos muestrales→ estad´ıstico→estimaci ´on→ par ´ametro

Estimaci ´on puntual t θ

¿buen estimador? ECM (t) = E(t − θ)²

caracter´ısticas

insesgado consistente

insesgado de varianza m´ınima eficiente suficiente

m ´etodos

4.INTERVALOS DE CONFIANZA

construimos un intervalo de probabilidad 1 − α

Z ∼ N (0, 1) p −zα/2 ≤ Z ≤ z_α/2
= 1 − α

X ∼ N (µ, σ) p µ − zα/2σ ≤ X ≤ µ + z_α/2σ
= 1 − α objetivo: intervalos de probabilidad muestrales

TCL p



µ − z_α/2 σ

√n ≤ X ≤ µ + z_α/2 σ

√n



= 1 − α probabilidad ⇒ ¡confianza!

intervalo de confianza para la media al nivel 1 − α



X − z_α/2 σ

√n, X + z_α/2 σ

√n

 σ dato

¿σ no dato?

Ejercicio: Queremos conocer, con un nivel de confianza del 95 %, la vida media en d´ıas de cierto organismo. Para ello tomamos una muestra al azar de 300 organismos y anotamos una media de vida de 8 d´ıas, con una desviaci ´on de 2 d´ıas.

conceptos asociados en la estimaci ´on de medias

riesgo, nivel de confianza, desv´ıo ε = z_α/2 σ

√n

⇒ tama ˜no de muestra necesario

Ejercicio: Supongamos que la media anterior se sit ´ua en 7.5 d´ıas de vida con una desviaci ´on de 1 d´ıa ¿qu ´e tama ˜no de muestra ser´ıa necesario para con un nivel de confianza del 95 % dar un margen de error de 2 horas con respecto a la media?

intervalo de confianza para la varianza al nivel 1 − α

¡poblaci ´on normal!

p



χ²_n−1;α/2 ≤ (n − 1)S²

σ² ≤ χ²_{n−1;1−α/2}



= 1 − α

"

(n − 1)S²

χ²_{n−1;1−α/2}, (n − 1)S² χ²_n−1;α/2

#

Ejercicio: En la siguiente tabla, se presentan los valores del pH de una soluci ´on en 10 determinaciones diferentes:

6.8 6.78 6.77 6.8 6.76 6.9 6.82 6.81 6.79 6.8

Suponiendo normal la distribuci ´on de la poblaci ´on de las determina- ciones del pH de esa soluci ´on, encontrar los intervalos de confianza del 95 % para la media y varianza poblacional.

otros intervalos de confianza

intervalo de confianza para la diferencia de medias al nivel 1 − α

¡poblaciones normales independientes!

varianzas conocidas



X_A − X_B − z_α/2 s

σ_A²

n_A + σ_B²

n_B, X_A − X_B + z_α/2 s

σ_A²

n_A + σ_B² n_B



 varianzas desconocidas e iguales



X_A − X_B − tS_pr 1

n_A + 1

n_B, X_A − X_B + tS_pr 1

n_A + 1 n_B



t = t_{nA+nB−2;α/2} S_p = s

(n_A − 1)s²_A + (n_B − 1)s²_B n_A + n_B − 2

intervalo de confianza para el cociente de varianzas al nivel 1−α

¡poblaciones normales independientes!

σ_B

σ_A →  S_B²

S_A² F_{nA−1;nB−1;α/2}, S_B²

S_A² F_{nA−1;nB−1;1−α/2}



σ_A

σ_B →  S_A² S_B²

1

F_{nA−1;nB−1;1−α/2}, S_A² S_B²

1

F_{nA−1;nB−1;α/2}



Ejercicio: Se analizan estad´ısticamente los ´ındices de ataques car- diacos de dos muestras de 21 pacientes con unas varianzas de 12 y 10 respectivamente. Construir un intervalo al nivel del 95 % para la raz ´on de las varianzas poblacionales.