1. 4.2. A TÉCNICA DE INTEGRACIÓN MEDIATE La sustitución de variable

1. 4.2 TÉCNICA DE INTEGRACIÓN MEDIANTE LA SUSTITUCIÓN DE VARIABLE

MM-142 CÁLCULO II UPH COMAYAGUA BIBLIOGRAFIA: EL CALCULO LEITHOLD 7ma Ed.

PREPARÓ: ING. J. FERNANDO GAEKEL D [email protected] whatsapp 9659-1623

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1

Regla de la Cadena para anti derivación (Cambio de Variable.)

Ejemplo 1. Calcule la integral aplicando el Teorema 2

∫ √3𝑥 + 4𝑑𝑥

= ∫(𝟑𝒙 + 𝟒)

𝒅𝒙 (1)

= ∫ 𝑢

( 1

3 𝑑𝑢) (5)

= 1

3 ∫ 𝑢

𝑑𝑢 (6)

= 1

3 ∙ 𝑢

1 ⁄ + 1 2 + 𝑐

= 1 3 ∙ 𝑢

3 ⁄ 2 + 𝑐

= 1 3 ∙ 2

3 𝑢

+ 𝑐

= 2

9 𝑢

+ 𝑐

Paso 7

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑢 = 𝟑𝒙 + 𝟒

= 2

9 (3𝑥 + 4)

+ 𝑐

= 2

9 √(𝟑𝒙 + 𝟒)

+ 𝑐

𝑆𝑒𝑎 𝑢

= 𝟑𝒙 + 𝟒 (2) 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 3 (3) 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥

1

3 𝑑𝑢 = 𝒅𝒙 (4)

Pasos.

1. Expresar como potencia la expresión aplicando las propiedades de las potencias.

𝑎^𝑚⁄𝑛= √𝑎^{𝑛 𝑚}

2. Definir 𝑢. Generalmente la expresión dentro del radical.

En este caso 𝑢 = 3𝑥 + 4 3. Derivar 𝑢 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥

𝑑𝑢 4. Despejar para 𝑑𝑥𝑑𝑥

5. Sustituir y expresar en función de 𝑢

6. Aplicar Teorema 2 7. Sustituir 𝑢

Teorema 1.

Sea g una función diferenciable y sea el contradominio algún intervalo I. Suponga que f es una función definida en I y que F es una anti derivada de f en I. Entonces:

∫ 𝑓(𝑔(𝑥))[𝑔´(𝑥)𝑑𝑥] = 𝐹[𝑔(𝑥)] + 𝐶

Teorema 2.

Si g es una función diferenciable y n un número racional, entonces:

∫[𝑔(𝑥)] ^𝑛 [𝑔´(𝑥)𝑑𝑥] = [𝑔(𝑥)] ^𝑛+1

𝑛 + 1 + 𝐶 ; 𝑛 ≠ −1

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2 Ejemplo 2. Calcule la integral aplicando el Teorema 2

∫ 𝑥

(5 + 2𝑥

)

𝑑𝑥

= ∫(𝟓 + 𝟐𝒙

)

𝒙

𝒅𝒙 (1)

= ∫ 𝑢

( 1

6 𝑑𝑢) (5)

= 1

6 ∫ 𝑢

𝑑𝑢 (6)

= 1 6 ∙ 𝑢

8 + 1 + 𝑐

= 1 6 ∙ 1

9 𝑢

+ 𝑐

= 1

54 𝑢

+ 𝑐

Paso 7

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑢 = 𝟓 + 𝟐𝒙

= 1

54 (𝟓 + 𝟐𝒙

)

+ 𝑐

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝟓 + 𝟐𝒙

(2) 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 6𝑥

(3) 𝑑𝑢 = 6𝑥

𝑑𝑥

1

6 𝑑𝑢 = 𝒙

𝒅𝒙 (4)

Pasos.

1. Aplicar la Propiedad Conmutativa de la multiplicación. 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 2. Definir 𝑢. Generalmente la

expresión dentro del paréntesis con la variable de mayor exponente. En este caso 𝑢 = 5 + 2𝑥³ 3. Derivar 𝑢 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥

𝑑𝑢 𝑑𝑥 4. Despejar para 𝑥² 𝑑𝑥 5. Sustituir y expresar en

función de 𝑢 6. Aplicar Teorema 2 7. Sustituir 𝑢

Ejemplo 3. Calcule la integral aplicando el Teorema 2

∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑑𝑥

= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝒙

𝒙 𝒅𝒙 (1)

= ∫ cos 𝑢 ( 1

2 𝑑𝑢) (5)

= 1

2 ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢

= 1

2 sen 𝑢 + 𝑐

Paso 6

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑢 = 𝒙

= 1

2 𝑠𝑒𝑛 𝒙

+ 𝑐

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝒙

(2) 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 2𝑥 (3) 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥

1

2 𝑑𝑢 = 𝒙 𝒅𝒙 (4)

Pasos.

1. Aplicar la Propiedad Conmutativa de la multiplicación. 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 2. Definir 𝑢. Generalmente la variable

de mayor exponente que acompaña a la función trigonométrica En este caso 𝑢 = 𝑥²

3. Derivar 𝑢 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑑𝑢 4. Despejar para 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

5. Sustituir y expresar en función de 𝑢

6. Sustituir 𝑢

cos 𝑢

≠ 𝑐𝑜𝑠

𝑢

Identidad Trigonométrica

∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝐶

Ejemplo 4. Calcule la integral aplicando el Teorema 2

∫ 4𝑥

(1 − 8𝑥

)

𝑑𝑥

= 4 ∫ 𝒙

𝒅𝒙 (𝟏 − 𝟖𝒙

)

= 4 ∫ − 1 24 𝑑𝑢

𝑢

= − 4 24 ∫ 𝑑𝑢

𝑢

(5)

= − 1

6 ∫ 𝑢

𝑑𝑢 (6)

= − 1

6 ∙ 𝑢

−4 + 1 + 𝑐

= − 1 6 ∙ (− 1

3 ) 𝑢

+ 𝑐

= 1

18 𝑢

+ 𝑐

Paso 7

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑢 = 𝟏 − 𝟖𝒙

= 1

18 (1 − 8𝑥

)

+ 𝑐

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝟏 − 𝟖𝒙

(1) 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = −24𝑥

(2) 𝑑𝑢 = −24𝑥

𝑑𝑥

− 1

24 𝑑𝑢 = 𝒙

𝒅𝒙 (3)

Pasos.

1. Definir 𝑢. Generalmente la expresión dentro del paréntesis con la variable de mayor exponente. En este caso 𝑢 = 1 − 8𝑥³

2. Derivar 𝑢 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 3. Despejar para 𝑥² 𝑑𝑥

4. Sustituir y expresar en función de 𝑢

5. Aplicar Propiedad de los exponentes ¹

𝑎^𝑛= 𝑎^−𝑛 6. Aplicar Teorema 2 7. Sustituir 𝑢

1. 4.2 TÉCNICA DE INTEGRACIÓN MEDIANTE LA SUSTITUCIÓN DE VARIABLE

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3 Ejemplo 5. Calcule la integral aplicando el Teorema 2

∫ 𝑥

√1 + 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝑥

(𝟏 + 𝒙)

𝒅𝒙 (1)

= ∫(𝒖 − 𝟏)

𝑢

𝑑𝑢 (5)

= ∫(𝑢

− 2𝑢 + 1) 𝑢

𝑑𝑢

= ∫ (𝑢

− 2𝑢

+ 𝑢

) 𝑑𝑢

= ∫ 𝑢

𝑑𝑢 − 2 ∫ 𝑢

𝑑𝑢 + ∫ 𝑢

𝑑𝑢

= 𝑢

5 ⁄ + 1 2 − 2 𝑢

3 ⁄ + 1 2 + 𝑢

1 ⁄ + 1 2 + 𝑐

= 𝑢

7 ⁄ 2 − 2 𝑢

5 ⁄ 2 + 𝑢

3 ⁄ 2 + 𝑐

= 2

7 𝑢

− 2 ∙ 2

5 𝑢

+ 2

3 𝑢

+ 𝑐

= 2

7 𝑢

− 4

5 𝑢

+ 2

3 𝑢

+ 𝑐

= 2

105 𝑢

(15𝑢

− 42𝑢 + 35) + 𝑐

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑢 = 1 + 𝑥

= 2

105(1 + 𝑥)^3⁄2[15(1 + 𝑥)⁴− 42(1 + 𝑥) + 35] + 𝑐

Pasos.

1. Expresar como potencia la expresión aplicando las propiedades de las potencias. 𝑎^𝑚⁄𝑛= √𝑎^{𝑛 𝑚} 2. Definir 𝑢. Generalmente la

expresión dentro del radical.

3. Derivar 𝑢 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑑𝑢

4. Despejar para 𝑑𝑥 𝑑𝑥

5. Sustituir y expresar en función de 𝑢

6. Despejar para 𝑥 7. Aplicar Teorema 2 8. Sustituir 𝑢

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝟏 + 𝒙 (2) 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 1 (3) 𝑑𝑢 = 𝒅𝒙 (4)

𝑢^7⁄2

𝑢^3⁄2= 𝑢^{7⁄ −3 22 ⁄} = 𝑢^4⁄2= 𝑢² 𝑢^5⁄2

𝑢^3⁄2= 𝑢^{5⁄ −3 22 ⁄} = 𝑢^2⁄2= 𝑢 𝑢^3⁄2

𝑢^3⁄2= 𝑢^{3⁄ −3 22 ⁄} = 𝑢⁰= 1

7 5 3 3 7 5 1 5 105 7 1 1 7 1 1 1

2⁄7 2⁄105= 15

4⁄5 2⁄105= 42

2⁄3 2⁄105= 35 Caso Especial

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑢 = 1 + 𝑥 (5)

Despejamos para 𝑥

𝑢 = 1 + 𝑥 1 + 𝑥 = 𝑢

𝑥 = 𝒖 − 𝟏 (6)

Podemos elevar al cuadrado o sustituir.

Ejemplo 6. Calcule la integral aplicando el Teorema 2

∫ 𝑠𝑒𝑛 √𝒙

√𝑥 𝑑𝑥

= ∫ sin √𝒙

√𝒙 𝒅𝒙

= ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢

= − cos 𝑢 + 𝑐

= − cos √𝒙 + 𝑐

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = √𝒙 (1) 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 𝑥

(2) 𝑑𝑢 = 1

2 𝑥

𝑑𝑥 2𝑑𝑢 = 1

√𝑥 𝑑𝑥 2𝑑𝑢 = 𝒅𝒙

√𝒙 (3)

Pasos.

1. Definir 𝑢. Generalmente la variable que acompaña a la función trigonométrica En este caso 𝑢 = √𝑥

2. Derivar 𝑢 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 3. Despejar para ^𝑑𝑥

√𝑥

4. Sustituir y expresar en función de 𝑢 5. Aplicar Integral Identidad

6. Sustituir 𝑢

Integral Trigonométrica

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶

1. 4.2 TÉCNICA DE INTEGRACIÓN MEDIANTE LA SUSTITUCIÓN DE VARIABLE

MM-142 CÁLCULO II UPH COMAYAGUA BIBLIOGRAFIA: EL CALCULO LEITHOLD 7ma Ed.

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4 Ejemplo 7. Calcule la integral aplicando el Teorema 2

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥√1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

= ∫(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙)

𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

= ∫ 𝑢

𝑑𝑢 (7)

= 𝑢

1 ⁄ + 1 2 + 𝑐

= 𝑢

3 ⁄ 2 + 𝑐

= 2

3 𝑢

+ 𝑐

= 2

3 √𝑢

+ 𝑐 (8) 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑢 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙

= 2

3 √(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)

+ 𝑐

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 (3) 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 0 − (−𝑠𝑒𝑛 𝑥) (4) 𝑑𝑢 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 (5)

Pasos.

1. Expresar como potencia la expresión aplicando las propiedades de las potencias.

𝑎^𝑚⁄𝑛= √𝑎^{𝑛 𝑚}

2. Aplicar la Propiedad Conmutativa de la multiplicación. 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎

3. Definir 𝑢. En este caso 𝑢 = 1 − cos 𝑥 4. Derivar 𝑢 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥

𝑑𝑢 𝑑𝑥 5. Despejar para 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

6. Sustituir y expresar en función de 𝑢 7. Aplicar Teorema 2

8. Sustituir 𝑢

Identidad Trigonométrica

𝐷

(cos 𝑢) = −𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑐

Ejemplo 8. Calcule la integral aplicando el Teorema 2

∫ 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐

𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒔𝒆𝒄

𝒙 𝒅𝒙

= ∫ 𝑢 𝑑𝑢

= 𝑢

1 + 1 + 𝑐

= 1

2 𝑢

+ 𝑐

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑢 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙

= 1

2 (𝐭𝐚𝐧 𝒙)

+ 𝑐

= 1

2 𝑡𝑎𝑛

𝑥 + 𝑐

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 (1) 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐

𝑥 (2) 𝑑𝑢 = 𝒔𝒆𝒄

𝒙 𝒅𝒙 (3)

Pasos.

1. Definir 𝑢. En este caso 𝑢 = tan 𝑥 2. Derivar 𝑢 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥

𝑑𝑢 𝑑𝑥 3. Despejar para 𝑥 𝑑𝑥

4. Sustituir y expresar en función de 𝑢

5. Aplicar Teorema 2 6. Sustituir 𝑢

Identidad Trigonométrica

𝐷

(tan 𝑢) = 𝑠𝑒𝑐

𝑢