Sea F un cuerpo finito de q elementos

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AMPLIACI ´ON DE MATEM ´ATICAS

OTROS RESULTADOS SOBRE CUERPOS FINITOS.

El grupo multiplicativo de un cuerpo finito es como hemos visto un grupo c´ıclico. Lo cu´al nos permite encontrar propiedades especiales de los cuerpos finitos.

Corolario 1. Sea F un cuerpo finito de q elementos. Sea α ∈ F^∗ un elemento primitivo (es decir un generador del grupo multiplicativo).

Entonces

F = { 0, 1, α, α², ...., α^q−2}

donde α^q−1 = 1. Adem´as, α^k es otro elemento primitivo de F si y solo si m.c.d(k, q − 1) = 1.

Demostración: (F^∗, ×) es un c´ıclico y α por definición es un generador del grupo. Luego sus potencias recorren todos los elementos de F^∗ (ver el Tema de Grupos). Si añadimos a F^∗ el 0 ya tenemos todos los elementos del cuerpo F.

Por otro lado si m.c.d.(k, q − 1) = 1, se tiene que m.c.m.(k, q − 1) = k(q − 1). Luego

(α^k)^r= 1 ⇔ q − 1 | kr.

Como k y q − 1 no tienen divisores comunes, se tiene que q − 1 | r, lo que prueba que α^k es un generador de F^∗

Observaci´on 1.

Card{k ∈ Z^q−1 : m.c.d.(k, q − 1) } = ϕ(q − 1), donde ϕ es la funci´on de Euler.

Teorema 1. Sea F un cuerpo finito y sean α1, ..., α_k elementos al- gebraicos sobre F (pertenecientes a alguna extensi´on del cuerpo F).

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Entonces existe alg´un α ∈ F(α¹, ..., αk) de modo que F(α) = F(α¹, ..., α_k).

Demostración: Como sabemos F(α1, ..., α_k) es el menor cuerpo K que contiene a F y a los elementos α1, ..., α_k (ver el cap´ıtulo de Cuerpos de Descomposición, en el apéndice anterior). K es un extensión finita de F (ya que cada αj es un elemento algebraico sobre F), F es un cuerpo finito, por tanto K también es un cuerpo finito. Existe en K un elemento primitivo α ∈ K. F(α) es el menor cuerpo que contiene al cuerpo F y a α, por tanto F(α) ⊆ K. Como α genera todo el grupo multiplicativo de K, es claro que F(α) = K

Corolario 2. Sea F un cuerpo finito de caracter´ıstica p y sea [F : Zp] = n (n es la dimensi´on de F como espacio vectorial sobre Zp). Entonces existe α ∈ F, algebraico de grado n sobre Zp, de modo que F = Zp(α).

Demostraci´on: F es un espacio vectorial sobre Zp de dimensi´on n.

Sea 1, α₁, ..., α_n−1∈ F una base de F. As´ı,

F = { a0+a₁α₁+...+a_n−1α_n−1 : a₀, ...., a_n−1 ∈ Zp} = Zp(1, α₁, ..., α_n−1) = Zp(α) donde la ´ultima igualda nos viene dada por el teorema anterior.

Sea ahora f el polinomio m´ınimo de α con respecto a Zp. Vimos que Zp(α) es isomorfo a Zp[x]/f (ver cap´ıtulo de Extensiones Finitas y Polinomio M´ınimo). Para que esto sea as´ı claramente el grado de f tiene que ser n

(n = [F : Zp] = [Zp(α) : Zp] = [Zp[x]/f : Zp] = grad.f )

Teorema 2. a: Todo cuerpo finito F tiene cardinal igual a pⁿ(|F| = pⁿ), donde p es la caracter´ıstica de F (Char.F = p) y n es alg´un n´umero natural (n ∈ N).

b: Para todo p primo y para todo n ∈ N, existe un cuerpo F con cardinal igual a pⁿ.

c: Todo cuerpo finito de orden (o cardinal) pⁿ es, salvo isomorfismo, el cuerpo de descomposici´on del polinomio x^pⁿ − x ∈ Z^p[x] (y tambi´en del polinomio x^pⁿ⁻¹− 1 ∈ Z^p[x]).

d: Dos cuerpos finitos de orden pⁿ son isomorfos.

Demostraci´on: a) Ya lo hemos visto en el primer cap´ıtulo sobre cuerpos finitos.

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b) Consideremos el polinomio x^pⁿ − x ∈ Z^p[x]. Sea K el cuerpo finito donde se descompone el polinomio anterior; as´ı

x^pⁿ− x = Π^p_i=1ⁿ (x − α_i)

con αi ∈ K para todo i = 1, 2, ..., pⁿ (K sabemos que existe, que es finito y de caracter´ıstica p por el Teorema de Kronecker). Sea

A = {α_i ∈ K : i = 1, 2, ..., pⁿ} ⊆ K,

el conjunto de todas las ra´ıces del polinomio x^pⁿ − x. Veamos que (A, +, ×) es un cuerpo. Como K tiene caracter´ıstica p,

(α_i+ α_j)^pⁿ− (α_i+ α_j) = α^p_iⁿ+ α^p_jⁿ− (α_i+ α_j) = α^p_iⁿ− α_i+ α_j^pⁿ− α_j = 0, luego α_i+ α_j ∈ A. Adem´as, como α^p_jⁿ = α_j se sigue que

(αiαj)^pⁿ− αiαj = αiαj(α^pⁿ⁻¹− 1) = 0,

ya que si α_i = 0, es clara la último igualdad; y si no se tiene que α^pⁿ⁻¹ − 1 = 0. Por tanto α_iα_j ∈ A. Hemos visto que la suma y el producto son cerrados en A. Solo nos queda ver que los opuestos e inversos de los elementos de A están tanbién en A para concluir que A es un cuerpo.

Como p es impar (es un primo) se tiene que pⁿ tambi´en es impar, y as´ı

(−α_i)^pⁿ− (−α_i) = (−1)^pⁿ(α_i)^pⁿ − (−α_i) = −(α^p_iⁿ− α_i) = 0, lo que prueba que −α_i ∈ A.

Por otro lado si α_i 6= 0, entonces

0 = α^p_iⁿ⁻¹− 1 ⇒ α_iα^p_iⁿ⁻² = 1, lo que muestra que α⁻¹_i = α^p_iⁿ⁻². Ahora

(α^p_iⁿ⁻²)^pⁿ⁻¹ = (α^p_iⁿ⁻¹)^pⁿ⁻² = 1, lo que prueba que α⁻¹_i ∈ A.

Hemos visto que A es un cuerpo y como en ´el se descompone x^pⁿ− x, se tiene que A = K. Adem´as, como estamos en caracter´ıstica p,

m.c.d.(x^pⁿ− x, pⁿx^pⁿ⁻¹− 1) = m.c.d.(x^pⁿ − x, −1) = 1.

Lo anterior prueba que todas las ra´ıces de x^pⁿ−x son simples (ver el tema de Polinomios), lo que nos dice que el cardinal de A es exactamente pⁿ (|A| = Card.A = pⁿ).

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c) y d) Sea K⁰ un cuerpo de cardinal pⁿ, con p primo y n ∈ N. As´ı la caracter´ıstica del cuerpo es p y tenemos que

Zp ,→ K⁰.

Sea ahora A el cuerpo de descomposici´on del polinomio x^pⁿ− x (ver el apartado anterior b)). Tenemos que

[K⁰ : Zp] = [A : Zp] = n.

Por el corolario anterior existen α ∈ K⁰ y α⁰ ∈ A de modo que Zp(α) = K⁰ y Zp(α⁰) = A.

Por el ´ultimo teorema del cap´ıtulo de Extensiones Finitas. Polinomio M´ınimo sabemos que

Zp(α) = {a₀+ a₁α + .... + a_n−1αⁿ⁻¹ : a₀, a₁, ..., a_n−1∈ Zp } y que

Z^p(α⁰) = {a0+ a1α⁰+ .... + an−1α⁰ⁿ⁻¹ : a0, a1, ..., an−1 ∈ Z^p }.

Luego identificando α con α⁰ se llega a que K⁰ y A son isomorfos Observaci´on 2. En un cuerpo finito F de caracter´ıstica p todo elemento a ∈ F tiene una ra´ız p-´esima (existe √^p

a).

Claro, salvo isomororfismo, F es el cuerpo de todas las ra´ıces del polinomio x^pⁿ− x, donde pⁿ = card.F. Luego

(a^pⁿ⁻¹)^p = a ⇒ √^p

a = a^pⁿ⁻¹.

Recordemos que la existencia de la ra´ız p-ésima de un elemento del cuerpo se utiliza para ver la forma de los polinomios con ra´ıces múltiples (ver el cap´ıtulo de Ra´ıces Múltiples, en el tema de Polinomios) Observación 3. Sea F un cuerpo finito de caracter´ıstica p y sea f ∈ F[x] un polinomio irreducible sobre F. Todas las ra´ıces de f son simples.

Claro, vimos que un polinomio irreducible ten´ıa ra´ıces simples si y solo si su derivada no era nula (f⁰ 6= 0). Si f⁰ = 0 y F es finito, entonces vimos que existe g ∈ F[x] de modo que f = g^p, luego f no ser´ıa irreducible

Corolario 3. Sea F un cuerpo finito y sea f ∈ F[x] un polinomio irreducible de grado mayor que 1. El cuerpo de descomposici´on de f es precisamente F[x]/f.

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Demostracción: Supongamos que grad.f = n. Por la Observación anterior f tiene n ra´ıces distintas en su cuerpo de descomposición. Si

´

estas son α1, α2, .., αn, el cuerpo de descomposici´on de f es K = F(α1, α₂, .., α_n)

(ver el cap´ıtulo de Cuerpos de Descomposición). Por ser F finito y las ra´ıces α_j claramente algebraicas sobre F, el cuerpo de descomposición es una extensión finita de F (por tanto también algebraica). Supongamos que [K : F] = k. Como los cuerpos finitos de igual orden son isomorfos, sea una ra´ız de f para la cuál α ∈ FF^k\FF^k−1 (donde notamos por Fp^r

el cuerpo finito de orden p^r). α tiene que existir, de otro modo F_F^k−1 ser´ıa el cuerpo de descomposici´on.

El polinomio m´ınimo de α sobre F es f . Ve´amoslo. Si hubiese otro de grado menor, pongamos g, como F(α) es isomorfo a F[x]/g (ver cap´ıtulo de Extensiones Finita. Polinomio M´ınimo), se tendr´ıa que α ∈ F_F^k−1 ya que

F[x]/g F[x]/f j K.

Por lo tanto F(α) es isomorfo a F[x]/f. Por otro lado F(α) j K y α ∈ FF^k\FF^k−1, luego el orden de F(α) ser´a

|F(α)| ≥ |F|^k > |F|^k−1. Por tanto F(α) = K

Ejemplo 1. Los cuerpos Z²[x]/x³ + x + 1 y Z²[x]/x³ + x² + 1 son iguales, salvo isomorfismo.

Los polinomios x³ + x + 1 y x³ + x² + 1 no tienen ra´ıces en Z² y como son de grado tres ambos son irreducibles. Por tanto los cocientes Z²[x]/x³+x+1 y Z²[x]/x³+x²+1 son cuerpos de orden 2³ = 8 (Teorema de Kronecker). Sabemos que dos cuerpos finitos de igual orden son isomorfo, lo cu´al termina la prueba

Corolario 4. Para todo n ∈ N y para todo p primo, el cuerpo finito de pⁿ elementos (F^pⁿ) es el cuerpo de descomposici´on de un polinomio irreducible de grado n en Zp[x]. En particular, siempro podemos encontrar polinomios irreducible de grado n en Z^p[x] para todo n ∈ N.

Demostracci´on: Sea F un cuerpo finito con |F| = pⁿ. Como (F^∗, ×) es un grupo c´ıclico, existe un elemento primario α ∈ F (es decir α

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genera F^∗ = {1, α, ...., α^pⁿ⁻²} y α^pⁿ⁻¹ = 1). Sea f ∈ Z^p[x] el polinomio m´ınimo de α con respecto a Zp[x] (es decir el polinomio primitivo de α). Ahora se tiene que

F = Z^p(α) isomorfo a Z^p[x]/f.

As´ı

n = [F : Zp] = [Zp[x]/f : Zp] = grad.f.

Luego f es el polinomio que busc´abamos

Este resultado es propio de los cuerpos finitos, como muestra el si- guiente ejemplo.

Ejemplo 2. En R[x] los polinomios irreducibles solo pueden tener grado 1 o 2.

Referencias

Departamento de Análisis Matemático, Facultad de Matemáticas, Universidad Complutense, 28040 Madrid, Spain

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