Principio del argumento

Principio del argumento

Visualizaci´on y docencia de variable compleja:

desarrollo y uso de materiales

Ceros de funciones holomorfas

La funci´on f (z) = z⁵− 2z⁴+ 3z²− 3z + 1 tiene un cero en z = 1, es decir, f (1) = 0, y se puede descomponer como

f (z) = (z −1)²h(z) donde h(z) = z³− z + 1 y h(1) 6= 0.

Por ello se dice que 1 es un cero de multiplicidad2de f .

En general, un n´umero complejo a es un cero de multiplicidad n de una funci´on f holomorfa en un entorno abierto de a, si f puede descomponerse como

f (z) = (z −a)ⁿh(z) donde h es una funci´on holomorfa y h(a) 6= 0. Denotaremos por Z(f ) el conjunto de ceros de la funci´on f y si a es un cero de f , entonces su multiplicidad ser´a denotada por ν(f , a).

Ceros de funciones holomorfas

La funci´on f (z) = z⁵− 2z⁴+ 3z²− 3z + 1 tiene un cero en z = 1, es decir, f (1) = 0, y se puede descomponer como

f (z) = (z −1)²h(z) donde h(z) = z³− z + 1 y h(1) 6= 0.

Por ello se dice que 1 es un cero de multiplicidad2de f .

En general, un n´umero complejo a es un cero de multiplicidad n de una funci´on f holomorfa en un entorno abierto de a, si f puede descomponerse como

f (z) = (z −a)ⁿh(z) donde h es una funci´on holomorfa y h(a) 6= 0.

Denotaremos por Z(f ) el conjunto de ceros de la funci´on f y si a es un cero de f , entonces su multiplicidad ser´a denotada por ν(f , a).

Ceros de funciones holomorfas

La funci´on f (z) = z⁵− 2z⁴+ 3z²− 3z + 1 tiene un cero en z = 1, es decir, f (1) = 0, y se puede descomponer como

f (z) = (z −1)²h(z) donde h(z) = z³− z + 1 y h(1) 6= 0.

Por ello se dice que 1 es un cero de multiplicidad2de f .

En general, un n´umero complejo a es un cero de multiplicidad n de una funci´on f holomorfa en un entorno abierto de a, si f puede descomponerse como

f (z) = (z −a)ⁿh(z) donde h es una funci´on holomorfa y h(a) 6= 0.

Denotaremos por Z(f ) el conjunto de ceros de la funci´on f y si a es un cero de f , entonces su multiplicidad ser´a denotada por ν(f , a).

Polos de funciones holomorfas

La funci´on f (z) = _z3^z−3iz^5−3z+12−z−i se puede descomponer como

f (z) = h(z)

(z −i)³ donde h(z) = z⁵− 3z + 1 y h(i ) 6= 0.

Por ello se dice que i es un polo de multiplicidad3 de f .

En general, sea U ⊂ C un entorno abierto de a y f : U \ {a} → C una funci´on holomorfa. El n´umero complejo a es un polo de multiplicidad n de la funci´on f , si f puede descomponerse como

f (z) = h(z)

(z −a)ⁿ donde h es una funci´on holomorfa en todo U y h(a) 6= 0. Denotaremos por P(f ) el conjunto de polos de la funci´on f y si a es un polo de f , entonces su multiplicidad ser´a denotada por ν(f , a).

Polos de funciones holomorfas

La funci´on f (z) = _z3^z−3iz^5−3z+12−z−i se puede descomponer como

f (z) = h(z)

(z −i)³ donde h(z) = z⁵− 3z + 1 y h(i ) 6= 0.

Por ello se dice que i es un polo de multiplicidad3 de f .

En general, sea U ⊂ C un entorno abierto de a y f : U \ {a} → C una funci´on holomorfa. El n´umero complejo a es un polo de multiplicidad n de la funci´on f , si f puede descomponerse como

f (z) = h(z)

(z −a)ⁿ donde h es una funci´on holomorfa en todo U y h(a) 6= 0.

Denotaremos por P(f ) el conjunto de polos de la funci´on f y si a es un polo de f , entonces su multiplicidad ser´a denotada por ν(f , a).

Polos de funciones holomorfas

La funci´on f (z) = _z3^z−3iz^5−3z+12−z−i se puede descomponer como

f (z) = h(z)

(z −i)³ donde h(z) = z⁵− 3z + 1 y h(i ) 6= 0.

Por ello se dice que i es un polo de multiplicidad3 de f .

En general, sea U ⊂ C un entorno abierto de a y f : U \ {a} → C una funci´on holomorfa. El n´umero complejo a es un polo de multiplicidad n de la funci´on f , si f puede descomponerse como

f (z) = h(z)

(z −a)ⁿ donde h es una funci´on holomorfa en todo U y h(a) 6= 0.

Denotaremos por P(f ) el conjunto de polos de la funci´on f y si a es un polo de f , entonces su multiplicidad ser´a denotada por ν(f , a).

Funciones meromorfas

Dado un subconjunto abierto U del plano complejo, una funci´on f : U → C es meromorfa si es holomorfa en todo el abierto U excepto en un conjunto de puntos aislados formado por sus polos.

Las funciones

f₁(z) = z⁷+ 3z⁵− z + 1

z²− 1 f₂(z) = z⁵− 3z + 1

z³− 3iz²− z − i f₃(z) = e^z z son funciones meromorfas en todo el plano. El conjunto de puntos aislados de f₁ es {−1, +1}, el de f₂ es {i } y el de f₃ es {0}.

La funci´on f (z) = e^1/z no es meroforma en todo el plano complejo, ya que z = 0 es una singularidad esencial, es decir, no existe ni limz→0f (z) ni lim_{z→0f (z)}¹ .

Funciones meromorfas

Dado un subconjunto abierto U del plano complejo, una funci´on f : U → C es meromorfa si es holomorfa en todo el abierto U excepto en un conjunto de puntos aislados formado por sus polos.

Las funciones

f₁(z) = z⁷+ 3z⁵− z + 1

z²− 1 f₂(z) = z⁵− 3z + 1

z³− 3iz²− z − i f₃(z) = e^z z son funciones meromorfas en todo el plano. El conjunto de puntos aislados de f₁ es {−1, +1}, el de f₂ es {i } y el de f₃ es {0}.

La funci´on f (z) = e^1/z no es meroforma en todo el plano complejo, ya que z = 0 es una singularidad esencial, es decir, no existe ni limz→0f (z) ni lim_{z→0f (z)}¹ .

Funciones meromorfas

Dado un subconjunto abierto U del plano complejo, una funci´on f : U → C es meromorfa si es holomorfa en todo el abierto U excepto en un conjunto de puntos aislados formado por sus polos.

Las funciones

f₁(z) = z⁷+ 3z⁵− z + 1

z²− 1 f₂(z) = z⁵− 3z + 1

z³− 3iz²− z − i f₃(z) = e^z z son funciones meromorfas en todo el plano. El conjunto de puntos aislados de f₁ es {−1, +1}, el de f₂ es {i } y el de f₃ es {0}.

La funci´on f (z) = e^1/z no es meroforma en todo el plano complejo, ya que z = 0 es una singularidad esencial, es decir, no existe ni limz→0f (z) ni lim_{z→0f (z)}¹ .

Principio del argumento para una curva simple

Sea f una funci´on meromorfa definida en un abierto que contenga a C = {z ∈ C : |z| = 1} y que no tenga polos ni ceros en C .

&% '$

M Sea φ(t) = e^it donde t ∈ [0, 2π], as´ı C = φ([0, 2π]).

Principio del argumento para una curva simple

Sea f una funci´on meromorfa definida en un abierto que contenga a C = {z ∈ C : |z| = 1} y que no tenga polos ni ceros en C .

&%

'$

M Sea φ(t) = e^it donde t ∈ [0, 2π], as´ı C = φ([0, 2π]).

Principio del argumento para una curva simple

Sea f una funci´on meromorfa definida en un abierto que contenga a C = {z ∈ C : |z| = 1} y que no tenga polos ni ceros en C .

&%

'$

M Sea φ(t) = e^it donde t ∈ [0, 2π], as´ı C = φ([0, 2π]).

Sea Nel n´umero de ceros de la funci´on f en el interior de C ,

cont´andolos tantas veces como indiquen sus multiplicidades. q q

q q

Principio del argumento para una curva simple

Sea f una funci´on meromorfa definida en un abierto que contenga a C = {z ∈ C : |z| = 1} y que no tenga polos ni ceros en C .

&%

'$

M Sea φ(t) = e^it donde t ∈ [0, 2π], as´ı C = φ([0, 2π]).

Sea Nel n´umero de ceros de la funci´on f en el interior de C ,

cont´andolos tantas veces como indiquen sus multiplicidades. q q

q q Sea Pel n´umero de polos de la funci´on f en el interior de C , cont´andolos tantas veces como indiquen sus multiplicidades.

q q q q q q

Principio del argumento para una curva simple

Sea f una funci´on meromorfa definida en un abierto que contenga a C = {z ∈ C : |z| = 1} y que no tenga polos ni ceros en C .

&%

'$

M Sea φ(t) = e^it donde t ∈ [0, 2π], as´ı C = φ([0, 2π]).

Sea Nel n´umero de ceros de la funci´on f en el interior de C ,

cont´andolos tantas veces como indiquen sus multiplicidades. q q

q q Sea Pel n´umero de polos de la funci´on f en el interior de C , cont´andolos tantas veces como indiquen sus multiplicidades.

q q q q q q

Entonces, se verifica que 1 2πi

R

C f⁰(z)

f (z)

dz = N − P

Principio del argumento

Sea f una funci´on meromorfa definida en un abierto conexo Ω ⊂ C no id´enticamente nula. Si C es el rango de una curva cerrada de clase C¹ a trozos ϕ tal que ning´un cero ni polo de f est´a en C , entonces se verifica que:

1 2πi

Z

C

f⁰(z)

f (z)dz =X

a∈Z

I(φ, a)ν(f , a) −X

a∈F

I(φ, a)ν(f , a), donde s´olo hay una cantidad finita de sumandos no nulos.

Ra´ıces n-´ esimas holomorfas

El principio del argumento permite averiguar si una cierta funci´on holomorfa tiene ra´ıces n-´esimas holomorfas, es decir, si existe una funci´on holomorfa g tal que gⁿ= f .

Sea f una funci´on holomorfa definida en un abierto conexo Ω ⊂ C. Son equivalentes:

Existe una funci´on holomorfa g definida en Ω tal que gⁿ= f . Para cada curva cerrada de clase C¹ a trozos φ tal que ning´un cero de f est´e en el rango de φ, se cumple

1 2πi

Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz ∈ nZ.

Ra´ıces n-´ esimas holomorfas

El principio del argumento permite averiguar si una cierta funci´on holomorfa tiene ra´ıces n-´esimas holomorfas, es decir, si existe una funci´on holomorfa g tal que gⁿ= f .

Sea f una funci´on holomorfa definida en un abierto conexo Ω ⊂ C. Son equivalentes:

Existe una funci´on holomorfa g definida en Ω tal que gⁿ= f . Para cada curva cerrada de clase C¹ a trozos φ tal que ning´un cero de f est´e en el rango de φ, se cumple

1 2πi

Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz ∈ nZ.

Ra´ıces n-´ esimas holomorfas

El principio del argumento permite averiguar si una cierta funci´on holomorfa tiene ra´ıces n-´esimas holomorfas, es decir, si existe una funci´on holomorfa g tal que gⁿ= f .

Sea f una funci´on holomorfa definida en un abierto conexo Ω ⊂ C. Son equivalentes:

Existe una funci´on holomorfa g definida en Ω tal que gⁿ= f .

Para cada curva cerrada de clase C¹ a trozos φ tal que ning´un cero de f est´e en el rango de φ, se cumple

1 2πi

Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz ∈ nZ.

Ra´ıces n-´ esimas holomorfas

El principio del argumento permite averiguar si una cierta funci´on holomorfa tiene ra´ıces n-´esimas holomorfas, es decir, si existe una funci´on holomorfa g tal que gⁿ= f .

Sea f una funci´on holomorfa definida en un abierto conexo Ω ⊂ C. Son equivalentes:

Existe una funci´on holomorfa g definida en Ω tal que gⁿ= f . Para cada curva cerrada de clase C¹ a trozos φ tal que ning´un cero de f est´e en el rango de φ, se cumple

1 2πi

Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz ∈ nZ.

Ejemplo

La funci´on f (z) = ^sin(πz)_z3−1 posee una ra´ız cuadrada holomorfa en la corona {z ∈ C : 2 < |z| < 3}.

La funci´on f es meromorfa en C con ceros simples Z(f ) = Z \ {1} y dos polos simples P(f ) = {e^{2πi /3}, e^{−2πi /3}}.

Sea φ una curva cerrada de clase C¹ a trozos dentro de la corona {z ∈ C : 2 < |z| < 3}. Entonces, podemos aplicar el principio del argumento a f en el abierto conexo tomando Ω = {z ∈ C : |z| < 3} y obtenemos

1 2πi

Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz = I(φ, 0) + I(φ, −1) + I(φ, 2) + I(φ, −2)

− I(φ, e^{2πi /3}) − I(φ, e^{−2πi /3}). Como todos los ´ındices son iguales, conclu´ımos que

1 2πi

Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz = 2I(φ, 0) ∈ 2Z

y por el resultado anterior, f es una ra´ız cuadrada holomorfa.

Ejemplo

La funci´on f (z) = ^sin(πz)_z3−1 posee una ra´ız cuadrada holomorfa en la corona {z ∈ C : 2 < |z| < 3}.

La funci´on f es meromorfa en C con ceros simples Z(f ) = Z \ {1} y dos polos simples P(f ) = {e^{2πi /3}, e^{−2πi /3}}.

Sea φ una curva cerrada de clase C¹ a trozos dentro de la corona {z ∈ C : 2 < |z| < 3}. Entonces, podemos aplicar el principio del argumento a f en el abierto conexo tomando Ω = {z ∈ C : |z| < 3} y obtenemos

1 2πi

Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz = I(φ, 0) + I(φ, −1) + I(φ, 2) + I(φ, −2)

− I(φ, e^{2πi /3}) − I(φ, e^{−2πi /3}). Como todos los ´ındices son iguales, conclu´ımos que

1 2πi

Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz = 2I(φ, 0) ∈ 2Z

y por el resultado anterior, f es una ra´ız cuadrada holomorfa.

Ejemplo

La funci´on f (z) = ^sin(πz)_z3−1 posee una ra´ız cuadrada holomorfa en la corona {z ∈ C : 2 < |z| < 3}.

La funci´on f es meromorfa en C con ceros simples Z(f ) = Z \ {1} y dos polos simples P(f ) = {e^{2πi /3}, e^{−2πi /3}}.

Sea φ una curva cerrada de clase C¹ a trozos dentro de la corona {z ∈ C : 2 < |z| < 3}. Entonces, podemos aplicar el principio del argumento a f en el abierto conexo tomando Ω = {z ∈ C : |z| < 3} y obtenemos

1 2πi

Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz = I(φ, 0) + I(φ, −1) + I(φ, 2) + I(φ, −2)

− I(φ, e^{2πi /3}) − I(φ, e^{−2πi /3}). Como todos los ´ındices son iguales, conclu´ımos que

1 2πi

Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz = 2I(φ, 0) ∈ 2Z

y por el resultado anterior, f es una ra´ız cuadrada holomorfa.

Ejemplo

La funci´on f (z) = ^sin(πz)_z3−1 posee una ra´ız cuadrada holomorfa en la corona {z ∈ C : 2 < |z| < 3}.

La funci´on f es meromorfa en C con ceros simples Z(f ) = Z \ {1} y dos polos simples P(f ) = {e^{2πi /3}, e^{−2πi /3}}.

Sea φ una curva cerrada de clase C¹ a trozos dentro de la corona {z ∈ C : 2 < |z| < 3}. Entonces, podemos aplicar el principio del argumento a f en el abierto conexo tomando Ω = {z ∈ C : |z| < 3} y obtenemos

1 2πi

Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz = I(φ, 0) + I(φ, −1) + I(φ, 2) + I(φ, −2)

− I(φ, e^{2πi /3}) − I(φ, e^{−2πi /3}).

Como todos los ´ındices son iguales, conclu´ımos que 1

2πi Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz = 2I(φ, 0) ∈ 2Z

y por el resultado anterior, f es una ra´ız cuadrada holomorfa.

Ejemplo

La funci´on f (z) = ^sin(πz)_z3−1 posee una ra´ız cuadrada holomorfa en la corona {z ∈ C : 2 < |z| < 3}.

La funci´on f es meromorfa en C con ceros simples Z(f ) = Z \ {1} y dos polos simples P(f ) = {e^{2πi /3}, e^{−2πi /3}}.

Sea φ una curva cerrada de clase C¹ a trozos dentro de la corona {z ∈ C : 2 < |z| < 3}. Entonces, podemos aplicar el principio del argumento a f en el abierto conexo tomando Ω = {z ∈ C : |z| < 3} y obtenemos

1 2πi

Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz = I(φ, 0) + I(φ, −1) + I(φ, 2) + I(φ, −2)

− I(φ, e^{2πi /3}) − I(φ, e^{−2πi /3}).

Como todos los ´ındices son iguales, conclu´ımos que 1

2πi Z

φ

f⁰(z)

f (z)dz = 2I(φ, 0) ∈ 2Z