2. Teorema de Cauchy y aplicaciones.
2.1. Teorema de Goursat.
Teorema 2.1.1 Sea Ω un abierto en C y T ⊂ Ω un tri´angulo cuyo interior est´a tam- bi´en contenido en Ω, entonces Z
T
f (z) dz = 0 siempre que f sea holomorfa en Ω.
Corolario 2.1.2 Sea f holomorfa en un abierto Ω que contiene un rect´angulo R y su interior, entonces Z
R
f (z) dz = 0.
2.2. Existencia local de primitivas y el teorema de Cauchy en un disco.
Teorema 2.2.1 Una funci´on holomorfa en un disco abierto tiene una primitiva en el disco.
Teorema 2.2.2 (Teorema de Cauchy para un disco) Si f es holomorfa en un
disco, entonces Z
γ
f (z) dz = 0 para cualquier curva cerrada en ese disco.
Corolario 2.2.3 Supongamos que f es holomorfa en un abierto que contiene la circunferencia C y su interior, entonces
Z
C
f (z) dz = 0.
Definici´on de curva de juguete.
2.3. C´ alculo de algunas integrales.
e−πξ2 = Z ∞
−∞
e−πx2e−2πixξdx.
Z ∞ 0
1 − cos x
x2 dx = π 2.
2.4. F´ ormula integral de Cauchy.
Teorema 2.4.1 Supongamos que f es holomorfa en un conjunto abierto que contie- ne el cierre de un disco D. Si C denota la circunferencia frontera de ese disco con la orientaci´on positiva, entonces
f (z) = 1 2πi
Z
C
f (ζ)
ζ − z dζ para cualquier punto z ∈ D.
Corolario 2.4.2 Si f es holomorfa en un conjunto abierto Ω, entonces existen las derivadas complejas de f de cualquier orden en Ω. Adem´as, si C ⊂ Ω es una circun- ferencia cuyo interior est´a tambi´en contenido en Ω, entonces
f(n)(z) = n!
2πi Z
C
f (ζ) (ζ − z)n+1 dζ para todo z en el interior de C.
Las f´ormulas en el Teorema 2.4.1 y el Corolario 2.4.2, reciben el nombre de f´ormulas integrales de Cauchy.
Corolario 2.4.3 (Desigualdades de Cauchy) Si f es holomorfa en un conjunto abierto que contiene el cierre de un disco D centrado en z0 y de radio R, entonces
|f(n)(z0)| ≤ n! kf kC
Rn ,
donde kf kC = supz∈C|f (z)| denota el supremo de |f | en la circunferencia C frontera del disco D.
Teorema 2.4.4 Sea f holomorfa en un abierto Ω. Si D es un disco centrado en z y cuyo cierre est´a contenido en Ω, entonces f admite un desarrollo en serie de
para todo z ∈ D, y los coeficientes est´an dados por
an = f(n)(z0)
n! , para todo n ≥ 0.
Corolario 2.4.5 (Teorema de Liouville) Si f es entera y acotada, entonces f es constante.
Corolario 2.4.6 (Teorema fundamental del ´algebra) Cada polinomio no cons- tante P (z) = anzn+ · · · + a0 con coeficientes complejos tiene una ra´ız en C.
Corolario 2.4.7 Cada polinomio P (z) = anzn + · · · + a0 de grado n ≥ 1 tiene precisamente n ra´ıces en C. Si denotamos estas ra´ıces por w1, . . . , wn, entonces P puede ser factorizado en la forma
P (z) = an(z − w1)(z − w2) · · · (z − wn).
Teorema 2.4.8 Supongamos que f es una funci´on holomorfa en una regi´on Ω, que se anula en una sucesi´on de puntos distintos de Ω con un punto l´ımite en Ω. Entonces f es id´enticamente nula.
Corolario 2.4.9 Supongamos que f y g son holomorfas en una regi´on Ω y que f (z) = g(z) para todos los z en un subconjunto abierto no vac´ıo de Ω (o, con mas generalidad, para los z de una sucesi´on de puntos distintos de Ω con un punto l´ımite en Ω). Entonces f (z) = g(z) en todo Ω.
2.5. Otras aplicaciones
2.5.1. Teorema de Morera.
Teorema 2.5.1 (Morera) Supongamos que f es una funci´on continua en el disco abierto D y que para cualquier tri´angulo T contenido en D se tiene
Z
T
f (z) dz = 0, entonces f es holomorfa en D.
2.5.2. Sucesiones de funciones holomorfas.
Teorema 2.5.2 Si {fn}∞n=1 es una sucesi´on de funciones holomorfas que converge uniformemente a una funci´on f en cada subconjunto compacto de Ω, entonces f es funci´on holomorfa en Ω.
Teorema 2.5.3 Bajo las condiciones del teorema anterior, la sucesi´on de las deri- vadas {fn′} converge uniformemente en compactos de Ω hacia la derivada f′.
2.5.3. Funciones holomorfas definidas por medio de integrales.
Teorema 2.5.4 Sea F (z, s) una funci´on definida para (z, s) ∈ Ω × [0, 1] donde Ω es un abierto de C. Supongamos que F satisface las propiedades:
(i) z 7→ F (z, s) es holomorfa en z para cada s.
(ii) F es continua en Ω × [0, 1].
Entonces la funci´on f definida en Ω por
f (z) = Z 1
0
F (z, s) ds es holomorfa.
2.5.4. Principio de Reflexi´on de Schwarz
Teorema 2.5.5 (Principio de simetr´ıa) Sea Ω un abierto sim´etrico respecto del eje real, sea Ω+= {z ∈ Ω : Re z > 0}, Ω− = {z ∈ Ω : Re z < 0} e I = Ω ∩ R. Si f+ es holomorfa en Ω+ y f− holomorfa en Ω− se extienden a funciones continuas en I de manera que
f+(x) = f−(x) for all x ∈ I
entonces la funci´on f (z) definida en Ω por ser igual a f+(z) en Ω+, igual a f−(z) en Ω− e igual a f+(x) = f−(x) para x ∈ I, es holomorfa en todo Ω.
Teorema 2.5.6 (Principio de reflexi´on de Schwarz) Sea f una funci´on holo-
2.5.5. Teorema de aproximaci´on de Runge.
Teorema 2.5.7 (Runge) Cualquier funci´on holomorfa en un entorno de un com- pacto K puede aproximarse uniformemente en K por funciones racionales con sin- gularidades en C r K.
Si C r K es conexo, cualquier funci´on holomorfa en un entorno de K puede aproxi- marse uniformemente en K por polinomios.
Lema 2.5.8 Sea f holomorfa en el abierto y K ⊂ Ω un compacto. Existen un n´ume- ro finito de segmentos γ1, . . . , γN en Ω r K tal que
f (z) = XN n=1
1 2πi
Z
γn
f (ζ)
ζ − z dζ for all z ∈ K.
Lema 2.5.9 Si γ es un segmento contenido en ΩrK, existe una sucesi´on de funcio- nes racionales con singularidades en γ que aproximan la integral R
γf (ζ)/(ζ − z) dζ uniformemente en K.
Lema 2.5.10 Si C r K es conexo y z0 ∈ K la funci´on 1/(z − z/ 0) puede aproximarse uniformemente en K por polinomios.
