Teoría local de Cauchy

Teor´ıa local de Cauchy

6.1 INTRODUCCI ´ON

Atravesaremos ahora la puerta de entrada a un mundo sin parang´on en la teor´ıa de funciones de una o varias variables reales. La llave: la f´ormula de Cauchy, que al expresar el valor en un punto de una funci´on holomorfa —en abiertos estrellados, de momento— como una especie de promedio integral de sus valores sobre un camino cerrado que rodee al punto, permite representar (localmente, al menos) la funci´on como una integral dependiente de un par´ametro, con consecuencias adivinables en algunos casos (analiticidad de las funciones holomorfas) o un tanto imprevisibles en otros (teorema de Liouville, teorema fundamental del ´algebra, . . . )

La f´ormula de Cauchy descansa, a su vez, en el teorema de Cauchy. Reflexio- nando a posteriori, parece absolutamente imposible que tal cantidad de resultados se sustenten, finalmente, en algo que podr´ıa parecer una simple curiosidad: la in- tegral de una funci´on holomorfa en un disco (o, con la misma demostraci´on, en un abierto estrellado) sobre un camino cerrado es nula (tambi´en si la funci´on deja de ser derivable en un punto, mientras mantenga la continuidad). Esta ser´a nuestra primera versi´on del teorema de Cauchy: m´as adelante nos ocuparemos de extender su alcance (comenzando por ampliar el ´ambito de validez de la f´ormula de Cauchy en la denominada “teor´ıa global de Cauchy”).

Sin embargo, el examen de la demostraci´on del teorema de Cauchy revela la causa de esta peque˜na maravilla, situ´andonos en terreno m´as conocido. Basta encon- trar una primitiva de la funci´on dada para saber que la integral es nula, y esto reduce el problema a probar la anulaci´on de la integral sobre el contorno de un tri´angulo (teorema de Cauchy-Goursat). Una exposici´on inmejorable de este planteamiento puede verse en Open University: Integration/Cauchy’s Theorem I/Taylor Series.

The Open University Press, Milton Keynes (1974), p. 63; a partir de esa p´agina se encuentra perfectamente desglosada y explicada la demostraci´on, si bien bajo la hip´otesis de derivabilidad en todos los puntos.

Los enunciados y demostraciones que nosotros utilizaremos se encuentran b´asicamente en

Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987).

Como complemento en algunos detalles,

Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978).

93

6.2 TEOREMA Y F ´ORMULA DE CAUCHY

1 Teorema. Sea
un abierto no vac´ıo de C, f :
→ C continua. Son equiva- lentes:

(1.1) existe una primitiva de f en
, es decir, una funci´on F ∈ H(
) tal que F^ = f ;

(1.2) para todo camino cerrado γ contenido en
,

γ

f(z) dz = 0;

(1.3) para dos caminos cualesquiera γ1, γ2 contenidos en
que tengan los mismos or´ıgenes e iguales extremos,

γ1

f(z) dz =

γ2

f(z) dz.

Demostraci´on. (Recu´erdese el teorema de los campos conservativos para formas diferenciales reales).

(1.1) ⇒ (1.2) Visto.

(1.2) ⇒ (1.3) γ1∪ (−γ2) es un camino cerrado contenido en
.

(1.3) ⇒ (1.1) Si
no es conexo, las componentes conexas de
son abiertos disjuntos dos a dos cuya uni´on es
. Por tanto, para construir una primitiva de f en
es suficiente construir una primitiva de f en cada una de las componentes de

.

Sea, pues, G una componente conexa de
. Fijado a ∈ G, definimos F : G → C haciendo

F(z) =

γz

f(w) dw,

dondeγz es cualquier camino contenido en G con origen a y extremo z (la funci´on F est´a entonces bien definida por ser la integral independiente del camino). Esta funci´on F es derivable, y para cada z₀ ∈ G es F^(z0) = f (z0). En efecto: dado z₀ ∈ G, tomemos ε de modo que D(z0; ε) ⊆ G; si γ0 es un determinado camino contenido en G con origen a y extremo z₀, para cada z ∈ D(z0; ε) sea γz la uni´on de γ0 con el segmento [z₀, z], que por ser un camino contenido en G con origen a y extremo z nos permite escribir

F(z) − F(z0) z − z0

= 1

z − z0



γz

f(w) dw −

γ0

f(w) dw



= 1

z − z0

[z0,z]

f(w) dw

y por tanto

F(z) − F(z0) z − z0

− f (z0)

 = 

 1 z − z0

[z0,z]

f(w) dw − 1 z − z0

[z0,z]

f(z0) dw



≤ sup

w∈sop[z0,z]| f (w) − f (z0)| ,

que tiende a 0 cuando z tiende a z₀ por la continuidad de f en z₀.

2 Teorema de Cauchy para un tri´angulo (Cauchy-Goursat). Sea
un abierto no vac´ıo de C, p un punto de
, f :
→ C continua tal que f ∈ H(
\ {p}).

Para cualquier tri´angulo cerrado  contenido en
,

∂

f(z) dz = 0.

Demostraci´on. Rudin, loc. cit., Teor. 10.13, pp. 232–234.

3 Teorema de Cauchy para abiertos estrellados. Sea
un abierto estrellado de C, p un punto de
, f :
→ C continua tal que f ∈ H(
\ {p}). Para cualquier camino cerrado γ contenido en
,

γ

f(z) dz = 0.

Demostraci´on. Adaptar la de Rudin, loc. cit., Teor. 10.14, p. 234.

4 F´ormula de Cauchy en abiertos estrellados. Sea
un abierto estrellado de C y f ∈ H(
). Si γ es un camino cerrado contenido en
, para cualquier z de
que no est´e en el soporte deγ es

f(z) · Indγ(z) = 1 2πi

γ

f(w) w − z dw.

Demostraci´on. Adaptar la de Rudin, loc. cit., Teor. 10.15, pp. 234–235.

5 Corolario (F´ormula de Cauchy en un disco). Sea
un abierto no vac´ıo de C, D(a; r) un disco cerrado contenido en
, f una funci´on holomorfa en
. Entonces, para cada z ∈ D(a; r),

f(z) = 1 2πi

∂ D(a;r)

f(w) w − z dw.

Demostraci´on. Puesto que D(a; r) ⊆
, la distancia d(a,
^c) de a al complemen- tario de
es estrictamente mayor que r. Si r < R < d(a,
^c), el disco D(a; R) es un abierto estrellado contenido en
, en el que f ser´a holomorfa.

Llamando γ a la circunferencia ∂ D(a; r), γ es un camino cerrado contenido en D(a; R) y para cada z ∈ D(a; r) es Indγ(z) = 1, luego basta aplicar el resultado anterior para obtener la f´ormula del enunciado.

6.3 CONSECUENCIAS DE LA F ´ORMULA DE CAUCHY

1 Teorema (analiticidad de las funciones holomorfas). Toda funci´on holomorfa es anal´ıtica. Precisando m´as: Si
es un abierto no vac´ıo de C y f ∈ H(
), para cada a ∈
existe una serie de potencias_∞

n=0a_n(z −a)ⁿcon radio R ≥ d(a,
^c) (donde d(a,
^c) es la distancia de a al complementario de
, considerada +∞ si

^c = ∅, o sea, si
= C) tal que

f(z) =^∞

n=0

a_n(z − a)ⁿ

siempre que|z − a| < d(a,
^c).

Informalmente, “la misma serie representa a f hasta la frontera”.

Demostraci´on. Elegido a, sea z tal que|z − a| < d(a,
^c). Tomando r de modo que|z −a| < r < d(a,
^c), el disco cerrado D(a; r) est´a contenido en
, y puesto que|z − a| < r, la f´ormula de Cauchy nos da

f(z) = 1 2πi

∂ D(a;r)

f(w) w − z dw.

Pero el teorema de construcci´on de funciones anal´ıticas nos dice que 1

2πi

∂ D(a;r)

f(w)

w − z dw = 1 2πi

∞ n=0



∂ D(a;r)

f(w)

(w − a)ⁿ⁺¹ dw



(z − a)ⁿ

con tal que z no est´e en la circunferencia |w − a| = r, y as´ı

f(z) =^∞

n=0

a_n(z − a)ⁿ

donde

a_n = 1 2πi

∂ D(a;r)

f(w)

(w − a)ⁿ⁺¹ dw.

En principio los a_n parecen depender de r ; sin embargo no es ´este el caso, ya que

a_n = f⁽ⁿ⁾(a) n! .

Ejemplos.

1. La funci´on f definida en
= (C \ 2πiZ) ∪ {0} por f(z) =

 z

e^z − 1 si z ∈
y z = 0

1 si z = 0

es holomorfa en
, luego ser´a anal´ıtica en
y en particular existir´an coeficientes B_n (los llamados n´umeros de Bernoulli) de modo que

f(z) = ^∞

n=0

B_n n! zⁿ

al menos siempre que|z| < 2π. De hecho, el radio de convergencia de la serie es exactamente 2π, ya que si fuese mayor f admitir´ıa una extensi´on continua en 2πi, lo que es falso.

2. En el ejemplo anterior, la serie de potencias que representa a f en el entorno del punto a = 0 resulta tener por radio exactamente la distancia d(a,
^c). ¿Siempre vamos a encontrar esta situaci´on? La respuesta, en general, es NO: basta tomar

= C \ (−∞, 0] y f : z ∈
→ f (z) = Log z ∈ C; para cualquier a ∈
el desarrollo de f en serie de potencias de z − a tiene radio |a|, mientras que si e a < 0 es d(a,
^c) = | m a| < |a|.

La f´ormula de Cauchy permite obtener una representaci´on de las derivadas de una funci´on holomorfa en t´erminos de la propia funci´on, de la que podremos extraer consecuencias importantes, que no tienen su correspondiente en la teor´ıa de funciones en R.

2 F´ormula de Cauchy para las derivadas. Sea
un abierto no vac´ıo de C y f ∈ H(
). Dado a ∈
, sea r > 0 tal que D(a; r) ⊆
. Entonces, si |z − a| < r, para cada n ∈ N,

f⁽ⁿ⁾(z) = n!

2πi

∂ D(a;r)

f(w)

(w − z)ⁿ⁺¹ dw.

Demostraci´on. Para cada z ∈ D(a; r) es f(z) = 1

2πi

∂ D(a;r)

f(w) w − z dw.

Aplicando reiteradamente el teorema de derivaci´on bajo el signo integral se obtiene la f´ormula deseada.

Un corolario es que el tama˜no de las derivadas sucesivas en un punto no puede crecer “descontroladamente”.

3 Desigualdades de Cauchy. Sea
un abierto no vac´ıo de C y f ∈ H(
).

Dado a ∈
, sea r > 0 tal que D(a; r) ⊆
. Entonces, poniendo M(r) = sup_|w−a|=r | f (w)|, para cada n ∈ N se tiene la acotaci´on

| f⁽ⁿ⁾(a)| ≤ n! M(r) rⁿ . Demostraci´on. Obviamente

| f⁽ⁿ⁾(a)| =

 n!

2πi

∂ D(a;r)

f(w)

(w − a)ⁿ⁺¹ dw

 ≤ n! M(r) 2π rⁿ⁺¹ 2πr.

4 Teorema de Liouville. Sea f una funci´on entera, es decir, f ∈ H(C). Si f est´a acotada, necesariamente es constante.

Demostraci´on. Supongamos que para alg´un K > 0 es | f (z)| ≤ K cualquiera que sea z ∈ C. Entonces, dado a ∈ C, para todo R > 0 se tendr´a

| f^(a)| = 

 1 2πi

∂ D(a;R)

f(w)

(w − a)² dw

 ≤ 1 2π

K

R² 2π R = K R,

expresi´on que tiende a 0 cuando R → +∞. Por tanto f^(a) = 0 en todo a ∈ C, para lo que f debe ser constante.

5 Teorema fundamental del ´algebra. Todo polinomio no constante tiene al menos una ra´ız en C.

Demostraci´on. En caso contrario, si P(z) = a0zⁿ + . . . + an fuese un polinomio no constante (a₀ = 0, n ≥ 1) que no se anulase nunca, la funci´on definida por

f(z) = 1 P(z)

ser´ıa una funci´on entera no nula. Pero como

zlim→∞ f(z) = lim

z→∞

1

zⁿ(a0+ . . .) = 0,

se deduce que f debe estar acotada. (En efecto: tomando ε = 1 en la definici´on de l´ımite, existir´a un R > 0 tal que si |z| > R se tiene | f (z)| < 1; y para

|z| ≤ R, f se mantiene acotada por el teorema de Weierstrass.) Seg´un el teorema de Liouville, f tiene que ser constante (no nula), e igualmente ser´ıa constante 1/f = P, contradiciendo la hip´otesis de partida.

6 Principio del m´odulo m´aximo. Sea f una funci´on holomorfa en una regi´on
de C. Si su m´odulo| f | tiene alg´un m´aximo local, entonces f es constante.

Demostraci´on. Supongamos que para alg´un a ∈
sea posible encontrar un R > 0 tal que D(a; R) ⊆
y | f (a)| ≥ | f (z)| para todo z ∈ D(a; R). Esto obliga a que

| f (a)| = | f (z)| para todo z ∈ D(a; R), puesto que si 0 < |z − a| = r < R, como

f(a) = 1 2πi

∂ D(a;r)

f(w)

w − a dw = 1 2π

_2π

0

f(a + r e^{i t}) dt

se deduce que

| f (a)| ≤ 1 2π

_2π

0

| f (a + r e^{i t})| dt ≤ 1 2π

_2π

0

| f (a)| dt = | f (a)|,

con lo cual

1 2π

_2π

0

(| f (a)| − | f (a + r e^{i t})|) dt = 0.

El integrando es una funci´on continua no negativa, luego | f (a)| = | f (a + r e^{i t})|

para todo t ∈ [0, 2π] y en particular | f (a)| = | f (z)|.

Pero si | f | es constante en D(a; R), f tiene que ser constante en D(a; R) (consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann) y finalmente f es constante en
(por el principio de prolongaci´on anal´ıtica).

Hay otras lecturas equivalentes de este enunciado:

— o bien f es constante o, en caso contrario, su m´odulo | f | no tiene m´aximos locales;

— si f no es constante, su m´odulo| f | no tiene m´aximos locales.

7 Teorema de Morera. Sea f una funci´on continua en un abierto no vac´ıo
de Ctal que para todo tri´angulo cerrado ⊆
se tenga

∂

f = 0.

Entonces f ∈ H(
).

Demostraci´on. Hemos de probar que cada a ∈
posee un entorno en el que f es derivable. Para verlo, consideremos cualquier disco D(a; r) ⊆
; en ´el, f admite una primitiva F que podemos construir poniendo

F(z) =

[a,z] f(w) dw, z ∈ D(a; r).

(La comprobacion de que F es una primitiva de f es est´andar: usando la hip´otesis del enunciado, para cada z₀ ∈ D(a; r) tenemos

F(z) − F(z0) z − z0

= 1

z − z0

[z0,z]

f(w) dw, 0 < |z − z0| < r − |z0 − a|, lo que implica que por ser f continua

F(z) − F(z0)

z − z0 − f (z0)

 = 

 1 z − z0

[z0,z]

f(w) − f (z0) dw



≤ max

w∈[z0,z]| f (w) − f (z0)|

tiende a 0 cuando z → z0.)

Pero si F ∈ H(D(a; r)), es anal´ıtica y en particular su derivada f es a su vez derivable en D(a; r).

El teorema de Morera da una especie de rec´ıproco del teorema de Cauchy- Goursat.

8 Corolario. Sea
un abierto no vac´ıo de C, p ∈
, f :
→ C continua en
y holomorfa en
\ {p}. Entonces f es holomorfa en
.

Demostraci´on. Del teorema de Cauchy-Goursat se deduce que

∂ f = 0

para todo tri´angulo  ⊆
, y el teorema de Morera asegura entonces que f es holomorfa.

Podemos incluso rebajar exigencias:

9 Corolario. Sea
un abierto no vac´ıo de C, p ∈
, f una funci´on holomorfa en
\ {p} y acotada para alg´un r > 0 en el disco reducido D∗(p; r) = {z ∈ C : 0 < |z − p| < r}. Entonces f admite una extensi´on holomorfa en
.

Demostraci´on. La funci´on h definida en
por h(z) =

(z − p)² f(z) si z ∈
\ {p}

0 si z = p

r R -R -r

iR

es holomorfa en
y h^(p) = 0 por la hip´otesis de acotaci´on de f , con lo cual podremos escribir

h(z) = ^∞

n=2

c_n(z − p)ⁿ, z ∈ D(p; r),

y as´ı

f(z) = ^∞

n=0

c_n+2(z − p)ⁿ, z ∈ D∗(p; r),

de manera que basta extender f a p definiendo f(p) = c2.

6.4 AVANCE: El teorema de Cauchy y el c´alculo de integrales reales.

Como aperitivo de procedimientos que posteriormente desarrollaremos de manera m´as completa y sistem´atica, veamos c´omo el uso de la integraci´on compleja permite el c´alculo de ciertas integrales reales que, de otro modo, resulta dif´ıcil de calcular.

Nos proponemos demostrar la tan repetida igualdad

_+∞

0

sen x

x d x = π 2,

teniendo en cuenta que la integral debe ser entendida como integral impropia, es

decir,
_+∞

0

sen x

x d x = lim

r→0⁺, R→+∞

_R

r

sen x x d x.

Comencemos por considerar la funci´on f ∈ H(
), donde

= C \ {iy : y ∈ (−∞, 0]} y f(z) = e^{i z}

z , z ∈
.

Sea γ (r, R) el camino cerrado de la figura, obtenido uniendo el segmento [r, R], la semicircunferencia γR : t ∈ [0, π] → γR(t) = R e^{i t} ∈ C, el segmento [−R, −r] y la semicircunferencia opuesta de γr : t ∈ [0, π] → γr(t) = r e^{i t} ∈ C.

Puesto que
es un abierto estrellado y sop γ (r, R) ⊆
, teniendo en cuenta el teorema de Cauchy podemos escribir

0=

γ (r,R)

f(z) dz

=

[r,R]

f(z) dz +

γR

f(z) dz +

[−R,−r]

f(z) dz −

γr

f(z) dz

=

_R

r

e^{i x}

x d x +

γR

f(z) dz +

_−r

−R

e^{i x}

x d x −

γr

f(z) dz

=

_R

r

e^{i x} − e^−ix

x d x +

γR

f(z) dz −

γr

f(z) dz;

equivalentemente,

_R

r

e^{i x} − e^−ix

x d x =

γr

f(z) dz −

γR

f(z) dz. (^∗)

Ahora bien:

γr

f(z) dz =

_π

0

e^{i r ei t}

r e^{i t} r i e^{i t} dt = i

_π

0

e^{i r}(cos t+i sen t)dt,

y para cada t ∈ [0, π] la funci´on del integrando tiene l´ımite (cuando r → 0⁺) igual a e⁰ = 1. Adem´as, la acotaci´on

e^{i r}(cos t+i sen t =e^{−r sen t} ≤ e⁰ = 1, t ∈ [0, π],

muestra que el integrando est´a dominado por una funci´on (constante) integrable en [0, π] que no depende de r, luego aplicando el teorema de la convergencia dominada se obtiene

lim

r→0⁺

γr

f(z) dz = i

_π

0

dt = i π.

An´alogamente

γR

f(z) dz = i

_π

0

e^{i R}(cos t+i sen t)dt,

pero ahora, para t ∈ (0, π), es lim

R→+∞e^{i R}(cos t+i sen t = lim

R→+∞e^{−R sen t} = 0, e^{−R sen t} =e^{−R sen t} < e⁰ = 1, y por la misma raz´on de antes

lim

R→+∞

_π

0

e^{−R sen t} dt = 0.

(En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan, se prueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotaci´on

_π

0

e^{−R sen t} dt ≤ π

R (1 − e^R), deducida de la desigualdad sen t ≥ 2t

π para 0 ≤ t ≤ π

2.)

Como consecuencia,

lim

R→+∞

γR

f(z) dz = 0,

y llevando los resultados obtenidos a la igualdad (^∗) y pasando al l´ımite para r → 0⁺, R → +∞, queda

2i

_+∞

0

sen x

x d x = i π + 0,

luego
_+∞

0

sen x

x d x = π 2.