Demostrar el teorema de Weierstrass al que aludimos anteriormente, el Teorema 5.14, y su variante para series de funciones holomorfas. Estudie el teorema de Montel, Teorema 5.32, que caracteriza familias relativamente compactas de funciones holomorfas.
Espacio de funciones continuas en un dominio Ω
Familias relativamente compactas y familias compactas . 66
Si (fn)n≥1 es una secuencia F tal que para todo d∈ D existe un límite de la secuencia (fn(d))n≥1, entonces la secuencia (fn)n≥1 converge a C(Ω ) , eso significa que converge uniformemente sobre compactos Ω. Decimos que la familia F ⊂ C(X, Y) es equicontinua en un compacto si para todo compacto K ⊂X y para todo ε >0 existe δ >0 tal que.
Convergencia de sucesiones de funciones holomorfas
Criterio M de Weierstrass
Tomemos como secuencia M asociada al disco cerrado cl(D(0, r)) la secuencia numérica Mn(r)=|an|rn. Podemos escribir el teorema de la serie doble de Weierstrass, justificando así su nombre, en la forma
Funci´ on ζ y algunas otras series de Dirichlet: Φ y Υ
Por lo tanto, según el criterio bis de Weierstrass, Corolario 5.16, la función ζ es holomorfa en Hσ. La función z 7→ 1/nz es una función entera que no se anula en ningún punto.
Sumaci´ on por partes
Funci´ on η de Dirichlet
Ahora presentamos la función η de Dirichlet, una prima hermana bien adaptada de la función ζ de Riemann. Si tomamos directamente valores absolutos en la serie definitoria de η y argumentamos como en la definición de la función riemanniana ζ, deduciríamos que η está bien definida y es holomorfa (solo ) en el semiplano H1. La función η nos permite, como comprobaremos a continuación, extender la función ζ, originalmente definida sólo sobre H1, a una función meromórfica sobre todo H.
Como η es holomorfa sobre H y 1−2/2z es un número entero, su cociente, que es ζ, es una función meromórfica sobre H. Usando el mismo argumento que se usó en la demostración del Teorema 5.23, se verifica que la función τ se da a través de la serie. R Nota 5.3.2.LSi ya sabía, como es el caso, que la función ζextendida a todos los H tiene un solo polo y que es z = 1, entonces se concluye que la función η debe anularse en el zk, para todo enterok6 = 0.
Edmund Landau en 1909 sugirió la importancia metodológica de una verificación directa, es decir, sin usar información sobre la función ζ, que η desaparece en este zk.
Herencia por convergencia
Ceros y convergencia
Supongamos que tenemos una secuencia de funciones (fn)n≥1 en H(Ω) que converge uniformemente sobre compactaciones a una función f ∈ H(Ω) que no es la función nula. El teorema de la herencia de Hurwitz 5.25 nos dice que si ninguno de fn se anula en ningún punto de Ω, entonces la función f no se anula en ningún punto de Ω. Si f no se anula en ningún punto de Ω, entonces para todo compacto K,K ⊂Ω, existe N tal que para todo n≥N la función fn no se anula en ningún punto de K.
Si esto no fuera cierto, existiría una secuencia (nk)k≥1 de índices tal que fnk desaparece en algún punto znk ∈K. En realidad, este resultado no utiliza la holomorfía de las funciones fn, solo su continuidad y convergencia uniforme. En sentido contrario, y en consecuencia, si la función límite se anula, fn debe anularse.
Sea el dominio Ω el disco unitario D y sean (fn)∞n=1 funciones de H(D) tales que fn=Ω⇒f, que no es idénticamente cero.
Familias normales
Normalidad y convergencia puntual
Para secuencias extraídas de una familia normal, la convergencia puntual se convierte en convergencia uniforme. Dado que la convergencia uniforme en materiales compactos implica convergencia puntual, h ≡ g y, por lo tanto, g ∈ H(Ω). Finalmente, como de toda subsecuencia de (fn)n≥1 se extrae una (sub-)subsecuencia que converge, y necesariamente lo hace a g, se sigue por el Lema 5.4 que fn Ω.
El lector atento y cuidadoso habrá recordado en este punto que el corolario de la Proposición 5.8 permitiría reducir la Hipótesis de Convergencia Puntual a Convergencia Puntual para z en un conjunto denso de Ω. Además, si limn→∞fn(a) = 0 para todo a∈A, entonces fn converge uniformemente sobre compactaciones hacia 0. De cualquier subsecuencia de (fn)∞n=1 podemos extraer una (sub)subsecuencia convergente, p. H.
Con respecto al límite uniforme en los compactos (para verificar que Pn. forma una familia normal), observe que, dado que 1 +x≤ex, para todo x∈R,.
El siguiente lema nos dice que la subordinación es una operación cerrada con respecto a la convergencia uniforme sobre pactos. Supongamos que tenemos una secuencia de funciones holomorfas (sin polos) en el dominio Ω que Cb-converge uniformemente en compactos a la función f. Los componentes de la demostración son el criterio de Marty y el lema de Zalcman.
Establecer b a n y establecer (fk)k≥1 una secuencia F, que queremos ver tiene una subsecuencia que converge Cb uniformemente sobre compactos. Según (?) y el criterio de Marty, la familia G, formada por el conjunto de funciones enteras Gn,n≥1, es una familia Cb-normal. Esta función G es un número entero y, en este caso, según el Lema 5.43, la convergencia de la subserie es uniforme sobre compacta en el sentido habitual; o bien idéntico ∞C.
Para cualquier n≥1, la función entre Gan deja raíces enésimas de la unidad excepto 0, y por el teorema de Picard, son constantes.
Algunas familias compactas
Funciones meromorfas: convergencia y normalidad
Plano extendido C b
La topología dada por esta distancia de cuerda en Cb es la topología de la compresión de un punto que hemos descrito anteriormente. La proyección estereográfica es una isometría desde S2 con su distancia geodésica hasta Cb equipada con la distancia esférica. Las isometrías de la distancia esférica son solo las rotaciones que conservan la orientación de S2 (el grupo ortogonal SO(3)).
Denotamos el grupo de T-isometrías de Cb con distancia cordal o esférica (y que conservan la orientación) por Iso(Cb). La expresión de s(0, z) en (†) se obtiene directamente del hecho de que las líneas que pasan por el origen son geodésicas en la métrica esférica de Cb, ya que son imágenes por proyección estereográfica Π de círculos máximos, meridianos, en hecho, por lo que. Derivada esférica de una función meromórfica Sea f una función meromórfica en un dominio Ω⊂C.
De hecho, esta expresión define la derivada esférica si ∈Ω no es un polo def.
El Teorema 5.14 de Weierstrass sobre convergencia uniforme de funciones holomorfas tiene una analogía para la convergencia uniforme Cb en funciones meromórficas compactas. Comprobaremos que en el disco alrededor de z0 las funciones fn de N en adelante son holomorfas y que convergen uniformemente en compactos (en sentido euclidiano) a f. Dado que la inversión z 7→ 1/z es una isometría de Cb, gn Cb-convergen uniformemente en el compacto k g.
Consideramos funciones meromórficas gn= 1/fn, las cuales Cb-convergen uniformemente sobre compactos a la función cero g≡0. Para funciones holomorfas, podemos considerar dos nociones de convergencia uniforme en el compacto: convergencia Cb y convergencia normal. Suponga que la función límite f es meromórfica y tiene un polo en el punto z0 ∈ Ω.
Como gn Cb- convergen uniformemente a los compactos ag, la discusión del Teorema 5.41 nos dice que en el disco D(z0, r)⊂Ω gn son holomorfos y convergen uniformemente a los compactos (en el sentido usual) ag.
C b -normalidad
El teorema de herencia de Hurwitz 5.25 nos dice que gno desaparece (que no es el caso), o g≡0 (que no es el caso). Entonces, aparte de ese papel de la función constante ∞C, las dos nociones de convergencia son, para funciones holomorfas, equivalentes.
Criterio de Marty
Este doble epónimo es conveniente para distinguirlo del Teorema 5.32 de Montel, que caracteriza la normalidad. Lea antes de continuar y, si lo desea, revise el Ejemplo 5.5.5, sobre la normalidad y el teorema de Schottky, que invocaremos a continuación. Dado que g(0) = 0, el teorema de herencia de Hurwitz 5.27 nos dice que g≡0. Como en el caso a), estos gkCb- convergen uniformemente hacia 0.
Ejemplo 5.6.1 Demostración del teorema de Picard debido al teorema de Montel-Carath'eodory. Vale la pena señalar que el teorema de Montel-Carath, tal como lo hemos presentado, es una consecuencia del teorema de Schottky, por lo que la demostración del teorema de Picard en este ejemplo también depende en última instancia. En cuanto al Teorema 5.46, en esta consecuencia se reemplaza el disco unitario D por un dominio general y los valores omitidos {0,1,∞C} por tres valores {a, b, c};.
Por el Teorema de Montel-Caratheodory 5.46, con una escala adecuada y obvia, tenemos que la familia F acotada en D(a, s) es Cb-normal.
Lema de Zalcman
La idea de la demostración que describiremos a continuación es la siguiente: si la familia F no es normal, tenemos fn ∈ F y a ∈ Ω donde fn](an). Esta sección está dedicada a una demostración de Antonio Ros12 del teorema de Montel-Carath y el teorema de Picard, basados en argumentos de familias normales. Como en la demostración que hemos visto del teorema de Montel-Carath, no se invoca el teorema de Schottky.
Probaremos, de hecho, la versión un poco más general, enunciada en el Corolario 5.47, del teorema de Montel-Caratheodory. Como ya hemos visto en la demostración de este teorema, podemos suponer que los valores sustraídos de los miembros de la familia F son {0,1,∞C}. Dado que cada gn omite las raíces enésimas de la unidad, el Teorema de la herencia del orden 5.27 nos dice que G omite todo el círculo unitario.
El teorema de Liouville, aplicado a G en el primer caso ya la función entera 1/G en el segundo caso, nos dice que G es constante, lo cual es una contradicción.
Principio de Bloch
En la misma línea, o más bien en paralelo, se entiende que Bloch también propone que estos teoremas ((si entero f satisface la propiedad P, entonces f constante) deben tener una contrapartida en familias normales en D, es decir, que la familia F de Deben ser normales las funciones holomorfas sobre D que satisfagan esta propiedad P. El teorema de Liouville, normalizado como antes, correspondería al enunciado de que la familia de funciones de F de H(D) con valores en D es normal, como lo es para cualquier dominio Ω, la familia F de funciones holomorfas (meromorfas) en Ω que satisfacen P es Cb-normal.
Demostrar que una secuencia (fn)n de funciones holomorfas en Ω converge a f (holomórfica a Ω) uniformemente sobre los compactos de Ω si y solo si (fn)n converge a f uniformemente en cada círculo {z ∈ C : | z−a |=r} ⊂Ω. Sea F una familia de funciones continuas sobre (X, dX) con valores en un espacio métrico (Y, dY). Sea F una familia de funciones holomorfas sobre Ω y sea F0 ={f0:f ∈ F } la familia de derivadas de funciones sobre F. i) Demuestre que si F es una familia normal, entonces F0 también es normal. ii) Dar un ejemplo para probar que el inverso del enunciado anterior no es cierto. iii) Comprobar que si F0 es normal y si para un z0 ∈ Ω dado debemos supf∈F{|f(z0)|}<+∞, entonces F es normal.
Demostrar que F es normal si existe una sucesión de números reales positivos Mn tal que . i) lim supn→∞ √n.
