Principio de Bloch

el teorema de Picard para demostrar el teorema de Montel–Carath´eodory, sino con- quistar este ´ultimo teorema armados tan s´olo con la noci´on de normalidad y el lema de Zalcman; para luego deducir el teorema de Picard del de Montel–Carath´eodory.

Esta es parte de la gracia de esta demostraci´´ on.

5.6.6. Principio de Bloch

El propio teorema 4.33 de Bloch (para funciones holomorfas en el disco uni- dadD) surgi´o (en la mente de Bloch) como versi´on finita del siguiente teorema sobre funciones enteras.

Teorema 5.49 (Teorema de Valiron) Seaf entera, no constante. Entonces, pa- ra todo R >0 existe un disco D(a, R) quef cubre biholomorfamente.

O, contrarrec´ıprocamente, si f es entera y para un cierto R₀ < +∞ la funci´on entera f no cubre ning´un disco de radio R₀ biholomorfamente, entonces f es cons- tante.

Veamos la demostraci´on del teorema de Valiron, en su versi´on contra- rrec´ıproca, como corolario del teorema de Bloch siguiendo la pauta de c´omo se de- duce el teorema de Liouville a partir del lema de Schwarz, o el teorema de Picard a partir de la versi´on finita de Landau.

Seaf entera yR₀ como en el enunciado contrarrec´ıproco. Queremos ver quef es constante. Fijemosb∈Cy consideremos la funci´on holomorfa g(z) =f(b+z) para z ∈ D. Por el teorema 4.33 de Bloch biholomorfo, la funci´on g cubre biholomorfa- mente un disco de radio |g⁰(0)|/6 =|f⁰(b)|/6. De manera que |f⁰(b)| ≤6R₀. Como esto es cierto para todob∈C, el teorema de Liouville nos dice que f⁰ es constante, y por tanto que para ciertos α y β se tiene que f(z) = αz+β para todo z ∈ C. Si α 6= 0, entonces f es biholomorfa de C sobre C, lo que es contrario a hip´otesis.

As´ı queα= 0 yf es la funci´on constanteβ.

En la misma l´ınea, o mejor, en paralelo, se entiende que Bloch est´a proponien- do asimismo que estos teoremas ((^{si f} entera satisface la propiedad P, entonces f constante” deben tener una contrapartida en familias normales en D, a saber, que la familia F de funciones holomorfas en D que cumplen esa tal propiedad P ha de ser normal. Al teorema de Liouville, normalizado como antes, le corresponder´ıa el teorema de que la familia de F de funciones de H(D) con valores en D es normal, como es el caso. Y al teorema de Picard, donde la propiedadP es la de omitir{0,1}, le corresponder´ıa el teorema de Montel–Carath´eodory, donde de rond´on, se cuela la Cb-normalidad para as´ı abarcar el posible l´ımite ∞_C.

El lema de Zalcman fue ideado por Zalcman precisamente para trasladar este principio heur´ıstico, esta gu´ıa metodol´ogica, y formalizarlo en un teorema-teorema.

Es conveniente en lo que sigue indicar junto a la funci´on el dominio al que nos referimos; as´ı, (f,Ω) se refiere a la funci´on meromorfaf en el dominio Ω.

Decimos que (f,Ω) ∈ P si la funci´on f meromorfa en Ω cumple (en Ω) la pro- piedad P. Por ejemplo, siP es la propiedad de estar acotada, y sif(z) = 1/(1−z) entonces (f,D(0, r))∈P, si r <1, pero (f,D)∈/P.

Decimos que P es una propiedad de Zalcman si cumple las siguientes tres requisitos naturales:

[1.- Restricci´on] Si (f,Ω)∈P, entonces (f,Ω⁰)∈P, para cualquier Ω⁰ ⊂Ω.

[2.- Normalizaci´on] Si (f,Ω)∈P, y si φ(z) =az+b, cona6= 0, entonces (f ◦φ, φ⁻¹(Ω))∈P .

[3.- Convergencia mon´otona] Si (fn,Ωn)∈P para cadan≥1 son tales que los dominios Ωn son crecientes, es decir, Ω1 ⊂Ω2⊂ · · ·,

y las fnCb-convergen uniformemente sobre compactos a f, entonces (f,C)∈P.

La propiedad P dada por (f,Ω) ∈ P si f(Ω) ⊂ D cumple los tres requisitos, pero la propiedad de ser acotada no cumple el tercer requisito. La propiedad de tener dominio contenido en D, es decir, (f,Ω)∈P si Ω⊂D, no cumple el segundo requisito.

La propiedad P dada por (f,Ω)∈P si f(Ω)⊂C\ {0,1} es de Zalcman.

Teorema 5.50 (Principio de Bloch/Teorema de Zalcman) SeaP una propie- dad de Zalcman. Entonces son equivalentes:

α) Las funciones enteras (meromorfas en C)que cumplenP son constantes.

β) Para cualquier dominio Ω la familia F de funciones holomorfas (meromor- fas)en Ωque cumplen P es Cb-normal.

γ) Para un dominioΩ, la familia F de funciones holomorfas (meromorfas)en Ω que cumplenP es Cb-normal.

demostraci´on. α) ⇒ β). Sea Ω un dominio y sea F la familia de funciones holo- morfas (meromorfas) en Ω que cumplen P. Si la familia F no fuera normal, el lema 5.48 de Zalcman, y el hecho de queP es propiedad de Zalcman, nos dar´ıa una funci´on entera (meromorfa enC) no constante (pues cumplir´ıaf^](0) = 1), y que satisfaceP. γ)⇒α). Sea Ω el dominio dado enγ) y seaa∈Ω cualquiera. Seaf una funci´on entera (meromorfa) que cumpleP enC. Queremos probar quefes constante. Fijemos b∈Cy comprobemos que f^](b) = 0.

Para cada enteron≥1, la funci´onf_n(z) =f(n(z−a) +b), paraz∈C, cumpleP enC, por la segunda condici´on de la propiedad de Zalcman. Por la primera condici´on de propiedad de Zalcman de P, la familia F que consiste de la f_n cumple en Ω la propiedad P. Por γ), F es una familia Cb-normal en C. En particular, la sucesi´on (f_n⁰(a))n≥1 ha de estar acotada, lo que implica quef^](b) = 0, como quer´ıamos.

El lector habr´a observado c´omo el argumento para ver que γ)⇒ α) es de hecho el mismo que hemos usado en los ejemplos 5.5.2 y 5.6.1, que son casos particulares.

Asimismo, observe, lector, que en la demostraci´on de la implicaci´on γ)⇒ α) no ha hecho falta la tercera condici´on de la propiedad de Zalcman.

EJERCICIOS DEL CAP´ITULO 5

Convergencia 5.6.1 Sea Ω un dominio en C. Demu´estrese que una sucesi´on (f_n)_n de funciones holomorfas en Ω converge a f (holomorfa en Ω) uniformemente sobre compactos de Ω si y s´olo si (f_n)_n converge a f uniformemente en cada circunferencia {z ∈ C: |z−a|=r} ⊂Ω.

5.6.2 Compru´ebese que la sucesi´on(fn)n de funciones holomorfas en D dadas por f_n(z) = nzⁿ⁺¹

1−z², para todoz∈D,

no converge uniformemente en D, aunque s´ı converge (a 0) uniformemente sobre compactos de D.

5.6.3 Demu´estrese que la sucesi´on de funciones (tan (n z))n≥1 converge a la cons- tante −ı uniformemente sobre compactos de Ω ={z∈C:=z <0}.

5.6.4 Sea(fn)^∞_n=1una sucesi´on de funciones enH(Ω)tal quefn Ω

=⇒f. Demu´estrese que si f tiene k ceros (contando multiplicidades) en Ω, entonces para un N ≥1 se tiene que fn tiene al menos kceros en Ω, para cada n≥N.

5.6.5 Sea ω una funci´on holomorfa de D, con ω(D) ⊂ D y tal que ω(0) = 0 (es decir, ω es un subordinador). Sea ω_n la composici´on de ω consigo mismo n veces:

ω₁ ≡ω y ω_n =ωn−1◦ω, para n≥1. Demu´estrese que si |ω⁰(0)|<1, entonces ω_n converge a0 uniformemente sobre compactos.

5.6.6 Convergencia de partes reales en D. Sean (fn)^∞_n=1 una sucesi´on de funciones holomorfas en D, f una funci´on holomorfa enD y z₀ un punto cualquier (fijo)en D.

Supongamos que 1) <(f_n)=^D⇒ <(f),

2) fn(z0)→f(z0) cuando n→ ∞.

Compru´ebese que fn D

=⇒f. D´ese un ejemplo para demostrar que la condici´on2) es necesaria.

El ejercicio 5.6.6 afirma que la convergencia uniforme sobre compactos de las par- tes reales implica la convergencia uniforme sobre compactos de las propias funciones, si al menos hay convergencia puntual en un punto.

sugerencia: Reducir al casoz0 = 0. Aplicar el lema de Borel–Carath´eodory (ejer- cicio 4.8.6) afn−f.

En el siguiente ejercicio 5.6.7 se extiende el resultado del ejercicio 5.6.6 a dominios generales.

5.6.7 Convergencia de partes reales en un dominio Ω. Sea Ω un dominio en C. Sean (fn)^∞_n=1 una sucesi´on de funciones holomorfas en Ω, f una funci´on holomorfa en Ωy z₀ un punto cualquiera(fijo)en Ω.

Supongamos que 1) <(f_n)=^Ω⇒ <(f),

2) fn(z0)→f(z0) cuando n→ ∞.

Compru´ebese quef_n=^Ω⇒f.

sugerencia: Denotemos porA el subconjunto de Ω formado por los puntos z∈Ω tales que f_n^D=^(z,r)⇒ f para alg´un 0< r <dist(z, ∂Ω). Compru´ebese, usando el ejerci- cio 5.6.6 quez₀ ∈A. Compru´ebese que A es abierto y cerrado.

Espacio C(Ω). Ascoli–Arzel`a 5.6.8 Sea (an)^∞_n=1 una sucesi´on acotada de n´umeros complejos. Demu´estrese que existe una sucesi´on creciente de ´ındices (n_k)^∞_k=1 tal que

k→∞l´ım an+nk existe en C para todo n∈Z.

Se entiende que para n ≤ 0 la sucesi´on (a_n+nk) est´a definida para los k tales que n+nk≥1.

5.6.9 Demu´estrese que si Ω es un dominio, entonces el espacio m´etrico (C(Ω), D) es completo, y en consecuencia, (H(Ω), D) es asimismo completo.

5.6.10 SeaΩun dominio enCyz0un punto fijado deΩ. Consid´erese la familiaF_L, con L >0, de funciones en C(Ω)tales que

|f(z)−f(w)| ≤L|z−w|, para todoz, w ∈Ω, y tales que

|f(z₀)| ≤1.

Compru´ebese que la familia F_L es relativamente compacta en C(Ω).

5.6.11 Teorema de Ascoli–Arzel`a en espacios m´etricos. Sea (X, dX) un espacio m´etrico separable. SeaF una familia de funciones continuas en(X, d_X)con valores en un espacio m´etrico(Y, dY). Demu´estrese que siF es equicontinua y si para todox∈X el conjunto{f(x) :f ∈ F } es relativamente compacto, entonces de toda sucesi´on(f_n)^∞_n=1deF se puede extraer una subsucesi´on que converge uniformemente sobre compactos de X.

Familias normales 5.6.12 Sea Ω un dominio en C. Sea F una familia de funciones holomorfas en Ω y seaF⁰ ={f⁰:f ∈ F } la familia de derivadas de funciones en F.

i) Demu´estrese que siF es una familia normal, entonces F⁰ es asimismo normal.

ii) D´ese un ejemplo para comprobar que el rec´ıproco de la afirmaci´on anterior no es cierto.

iii) Compru´ebese que si F⁰ es normal y si para un cierto z₀ ∈ Ω se tiene que sup_f∈F{|f(z0)|}<+∞, entoncesF es normal.

5.6.13 Determ´ınese si son normales o no cada una de las siguientes familias de funciones holomorfas en D:

F₁= n

f holomorfa en D:

f(z)− 1 1−z²

≤1, para todo z∈D o

F₂=n

f holomorfa en D:

f(z)·(1−z²)

≤1, para todo z∈D o

F₃= n

f holomorfa en D:f(0) = 0 y |f⁰(z)|(1− |z|²)≤1, para todo z∈D o

F₄=n

f holomorfa en D:f(0) = 1 y <f(z)>0, para todo z∈D o

F₅=n

f holomorfa en D:f(0) = 0 y |f⁰⁰(z)|(1− |z|²)≤1, para todoz∈D o

5.6.14 SeaΩun dominio en el plano complejo tal que0∈Ω. Se considera la familia F =

f holomorfa enΩ :|f⁽ⁿ⁾(0)|<1, para cada n≥0 .

i) Demu´estrese que para toda funci´on f ∈ F, existe una funci´on entera fetal que f =fe_|Ω.

ii) Demu´estrese que la familiaF es normal.

5.6.15 SeaF una familia de funciones holomorfas en el disco unidadD. Para cada f ∈ F denotemos por an(f) al n-´esimo coeficiente del desarrollo de Taylor de f alrededor del origen.

Demu´estrese que F es normal si existe una sucesi´on de n´umeros reales positi- vosM_n tales que

i) l´ım sup_n→∞ √ⁿ

M_n≤1 ,

ii) |a_n(f)| ≤Mn para cadaf ∈ F y cada n= 1,2,3, . . ..

5.6.16 Sea F una familia normal de funciones holomorfas en D. Compru´ebese que la familiaH de funciones h que se expresan en la forma

h(z) =e^z2f(z)− g(z)² (1−z²)³ es normal.

5.6.17 Un teorema de Montel. Sea f una funci´on holomorfa en la banda B= {z∈C:|=z|<1} y con valores en D. Sup´ongase que

x∈l´ımR; x→+∞

f(x) = 0.

Demu´estrese que para todo y∈R tal que|y|<1 se tiene que

x∈l´ımR;

x→+∞

f(x+iy) = 0.

sugerencia: Consid´erese A = {z = x+iy ∈ C : 0 < x < 2,|y| < 1} y la suce- si´on (f_n)_n de funciones holomorfas en A dadas por f_n(z) = f(z+n). Ap´elese al teorema 5.36 de Vitali–Porter.

5.6.18 Sea Ω un domino en C. Sea (f_n)n≥1 una sucesi´on de funciones holomorfas en Ω tales que fn(Ω)⊂D\ {0}, para cada n ≥1. Sup´ongase que existe z0 ∈Ω tal quel´ımn→∞fn(z0) = 0. Demu´estrese que entonces fnconverge uniformemente sobre compactos de Ω a 0.

sugerencia:Hurwitz.

5.6.19 Sea Ω un domino en C. Sea (f_n)n≥1 una sucesi´on de funciones holomorfas en Ω tales que fn(Ω) ⊂ D, para cada n ≥ 1. Sup´ongase que existe z0 ∈ Ω tal que l´ımn→∞f_n(z₀) = 1. Demu´estrese que entonces f_n converge uniformemente sobre compactos de Ω a la constante1.

5.6.20 SeaΩun dominio,a∈Ωyδ >0. SeaF la familia de funciones holomorfas enΩ, tales que

i) f(Ω)⊂D,

ii) f no se anula en todo Ω, iii) |f⁰(a)| ≥δ.

Demu´estrese que la familia F es compacta.

sugerencia:Hurwitz.

5.6.21 SeaF la familia de funciones f holomorfas enDque cumplen las siguientes tres condiciones: